1 La legge di Stevino.

1 La legge di Stevino. Ricordiamo la definizione di pressione come la forza per unita di superficie. P = F A (1) La Figura 1 mostra un contenitore con del liquido dove e segnato un immaginario parallelepipedo avente area di base A e altezza h. Figure 1: Legge di Stevino. Il parallelepipedo ha una massa m. Se la densita del liquido e ρ e il suo volume e V, possiamo calcolare la massa m = ρ V = ρa h (2) L elemento di massa e in equilibrio sotto l azione di tre forze La forza agente sulla faccia superiore dovuta alla pressione originata da tutti i materiali che si trovano al di sopra dell elemento di massa. F 1 = P 1 A (3) 1

La forza agente sulla faccia inferiore, F 2 = P 2 A (4) questa forza e di segno contrario perche si oppone al movimento verso il basso. Ricordiamo inoltre che la pressione di un fluido e indipendente dall orientazione. Il peso dell elemento di fluido, diretto verso il basso W = mg = ρa hg (5) Poiche l elemento di massa e in equilibrio la somma delle forze deve essere nulla. ovvero Semplificando Questa si puo anche scrivere F 1 +W = F 2 (6) P 1 A+ρA hg = P 2 A (7) P 1 +ρ hg = P 2 (8) Se lo spessore dell elemento di fluido e infinitesimo P 2 P 1 = P = ρ hg (9) dp = ρgdh (10) Integriamo questa equazione per ottenere quaqntita finite. Orientiamo l asse delle h verso il basso, cosi che h e una profondita a partire dalla sommita del fluido P P 0 dp = ρg h 0 dh (11) ovvero P P 0 = ρgh (12) P = P 0 +ρgh (13) Questa e la legge di Stevino che dice che in un fluido la pressione cresce linearmente con la profondita. P 0 rappresenta la pressione sul livello zero del fluido, dovuta ad esempio alla pressione atmosferica. 2

2 Il principio di Archimede La figura 2 mostra un fluido nel quale supponiamo di aver ritagliato un cilindro di area S e altezza h. Sono evidenziate le forze di pressione agenti sul cilindro che aumentano con la profondita. Figure 2: Principio di Archimede. Si osserva che le forze laterali si annullano, mentre il cilindro, poiche la forza F 2 e piu grande di F 1, sara sottoposto ad una forza totale verso l alto pari a F = F 2 F 1 = P 2 S P 1 S = PS = ρ 0 g hs = ρ 0 Vg = m 0 g (14) dove abbiamo applicato la legge di Stevino P = ρg h e il volume V = hs. Nella (14) abbiamo indicato con ρ 0 e m 0 la densita e la massa di fluido. La (14) afferma che il cilindro e sottoposto ad una spinta dal basso verso l alto pari a F = ρ 0 Vg = m 0 g (15) che e il peso del fluido occupato dal cilindro (il peso del fluido spostato). Questo e il principio di Archimede. Se il cilindro e fatto dello stesso materiale del fluido, esso ha un peso pari a W = ρ 0 Vg = m 0 g. Quindi il peso del corpo e la spinta di Archimede sono uguali e il fluido e in equilibrio. Se il cilindro ha una densita diversa allora il suo peso sara W = ρvg F = ρ 0 Vg (16) Se ρ < ρ 0 il cilindro galleggia, se ρ > ρ 0 il cilindro sprofonda. 3

3 Verifica sperimentale del principio di Archimede e misura della densita dell acqua La figura 3 mostra l apparato sperimentale. Figure 3: Verifica sperimentale del principio di Archimede. Si inseriscono nel cestello tutti i bulloni utilizzati nella calibrazione della molla. Si riempie quindi il contenitore di acqua fino alla base del cestello. Si prende questo come riferimento. Si aggiunge acqua fino a che il cestello non risulti immerso nell acqua fino alla prima tacca. La molla si sara accorciata e misuriamo la nuova quota della base del cestello. Si ripete l operazione aggiungendo acqua fino alla seconda tacca e cosi via. Ad ogni posizione, la molla di accorcia di una quantita L dovuta alla spinta di Archimede in modo tale che K L = F archimede = ρgv = bv (17) dove K e la cotante elastica della molla, ρ e la densita dell acqua e V e il volume immerso nel liquido. Qui abbiamo posto b = ρg. La figura 4 mostra il foglio di excel con l analisi dei dati. Le tacche sono disposte ad 1 cm di distanza l una dall altra. La colonna A elenca la tacca, B il raggio del cestello. La colonna C riporta i volumi immersi V = πr 2 x. La colonna D riporta le variazioni di lunghezza della molla e la colonna E riporta la forza esercitata dalla molla che corrisponde alla spinta di Archimede. Il grafico riporta la spinta di Archimede (=forza elastica) in funzione del volume immerso. Notiamo, come atteso, un andamento lineare. Calcoliamo il coefficiente angolare della retta con il metodo dei minimi quadrati b = < V F > (18) < V 2 > Le colonne F e G riportano i calcoli e B riporta il valore di b. Le colonne K,L,M,N calcolano l errore du b utilizzando la dispersione dei punti attorno alla retta. 4

Figure 4: Foglio di Excel: Verifica sperimentale del principio di Archimede. Otteniamo Possiamo ora calcolare la densita dell acqua L errore percentuale e b = 995.6±5.3 (19) ρ = b g = 1.016±0.005 g/cm3 (20) e = 100 0.005 = 0.5% (21) 1.016 Il risultato e in buon accordo con il risultato noto di 1 g/cm 3. 5