RICHIAMI DI MATEMATICA Prof. Ersmo Modic ersmo@glois.it GEOMETRIA ANALITICA LE COORDINATE CARTESIANE Qundo si vuole fissre un sistem di coordinte crtesine su un rett r, è necessrio considerre: un punto O detto origine; un verso di percorrenz; un punto P destr di O in modo l lunghezz del segmento si l unità di misur. Definizione: Dicesi sciss di un punto P dell rett r, l misur del segmento OP. In generle l misur del segmento orientto PQ è positiv qundo P precede Q, negtiv qundo P segue Q. In questo modo si stbilisce un corrispondenz biunivoc tr i numeri reli ed i punti dell rett. COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Se si vuole fissre un sistem di coordinte crtesine nel pino, si procede in mnier nlog qunto ftto nel cso dell rett, cioè: si considerno due rette orientte e y nel pino tr loro perpendicolri e si indic con O il loro punto di intersezione; si fiss un unità di misur u comune lle due rette. Le rette considerte dividono in pino in quttro prti e il sistem che si viene formre prende il nome di pino crtesino ortogonle. Le rette e y prendono il nome di sse delle scisse e sse delle ordinte ed il loro punto di intersezione viene detto origine del sistem. Preso un qulsisi punto P del pino se si trccino le perpendicolri gli ssi crtesini, i loro piedi individuno due segmenti, uno sull sse delle scisse e uno sull sse delle ordinte. Al punto P si può ssocire un coppi ordint di numeri reli che rppresentno, rispettivmente, l misur del segmento orientto OA e l misur del segmento OB. Tli numeri prendono il nome di coordinte crtesine del punto P e, in prticolre, viene detto sciss e y ordint di P.
B P O A y Le rette ortogonli suddividono il pino in quttro qudrnti che vengono numerti in senso ntiorrio prtire dl qudrnte in lto destr. Le coordinte dei punti possono quindi essere si positive che negtive, in prticolre: i punti del I qudrnte hnno sciss e ordint positiv; i punti del II qudrnte hnno sciss negtiv e ordint positiv; i punti del III qudrnte hnno si sciss che ordint negtiv; i punti del IV qudrnte hnno sciss positiv e ordint negtiv. È bene osservre che così come ogni punto determin un coppi di numeri, un coppi di numeri reli determin un unico punto del pino crtesino. Per tle rgione esiste un corrispondenz biunivoc tr il prodotto crtesino e l insieme dei punti del pino: DISTANZA ASSOLUTA TRA DUE PUNTI DEL PIANO Uno dei primi problemi che ci si presentno in geometri nlitic è quello di clcolre l distnz tr due punti del pino crtesino. Si vuole quindi determinre, dti i punti A, y e B, y, l loro distnz. Dll figur lto si deduce che: Quindi: e, per il Teorem di Pitgor, si h: Osservzione: In prticolre qundo i punti hnno l stess sciss o l stess ordint, l formul si riduce un delle due: E. Modic, 00/0
Inoltre l distnz di un punto A dll origine O è dt dll formul: A A AO y PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Voglimo trovre le coordinte del punto medio M di un segmento i cui estremi sono i punti e. Si M il punto medio del segmento AB, llor, nche M y è il punto medio di B y A y ed M è il punto medio di B A. Inoltre se M è il punto medio di B A llor: AB O A M A B A A B A A B AB y y y y y y y y OA y M y A In definitiv: y y B A A B A A B M A B y M y A y B Esempio: Clcolre il punto medio del segmento vente come estremi i punti di coordinte e. Applicndo le formule precedentemente determinte si h: y M M E. Modic, 00/0
LA RETTA Dimostrimo desso che ogni rett del pino crtesino può essere rppresentt medinte un equzione di primo grdo. ASSE DELLE ASCISSE Dll figur è semplice notre che tutti i punti dell sse delle scisse sono crtterizzti dll vere l second coordint null. Tle sse è quindi il luogo geometrico dei punti del pino venti l second coordint null. Algebricmente si h: ASSE DELLE ORDINATE Dll figur è semplice notre che tutti i punti dell sse delle ordinte sono crtterizzti dll vere l prim coordint null. Tle sse è quindi il luogo geometrico dei punti del pino venti l prim coordint null. Algebricmente si h: RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ORDINATE È intuitivo notre che ogni rett prllel ll sse delle ordinte è costituit d un insieme di punti venti ugule l prim coordint. Algebricmente tle condizione si trduce medinte l equzione: con. E. Modic, 00/0 4
RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ASCISSE È intuitivo notre che ogni rett prllel ll sse delle scisse è costituit d un insieme di punti venti ugule l second coordint. Algebricmente tle condizione si trduce medinte l equzione: con. RETTA PASSANTE PER L ORIGINE Si consideri un rett pssnte per l'origine si scelgno su di ess un numero rbitrrio di punti. Per fissre le idee considerimo i punti,,, E. Modic, 00/0 5
È semplice dimostrre che i tringoli OAA', OBB', OCC',... sono simili e quindi sussiste l relzione: AA ' BB ' C C '... O A ' O B ' O C ' y y y... m dove con m si indic il rpporto costnte. Dto che l relzione è vlid per qulsisi punto dell rett considert, possimo concludere che i punti di tli rett costituiscono il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte il rpporto tr l loro ordint e l loro sciss. In formule, considerto il generico punto si h: y m, cioè y m L costnte m prende il nome di coefficiente ngolre e ci dà informzioni sull pendenz dell rett, cioè sull ngolo che ess form con l sse delle scisse. In generle se il coefficiente ngolre è positivo l rett form con l sse delle scisse un ngolo cuto, se il coefficiente ngolre è negtivo l ngolo formto è ottuso. RETTA GENERICA Si dimostr che l equzione di un generic rett nel pino crtesino che non rientri in uno dei csi precedentemente studiti è: L costnte m viene ncor chimt coefficiente ngolre e q viene dett intercett o ordint ll'origine, e rppresent l'ordint del punto di intersezione dell rett r con l'sse y. E. Modic, 00/0 6
Abbimo in prtic ftto vedere che pres un qulunque rett nel pino crtesino, l su equzione è sempre un equzione di primo grdo. PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ DI RETTE PARALLELISMO DI RETTE Come osservto in precedenz, il coefficiente ngolre esprime l pendenz di un rett, cioè l su inclinzione rispetto ll sse delle scisse. È fcile intuire che due rette prllele sono inclinte llo stesso modo rispetto l suddetto sse, di conseguenz i loro coefficienti ngolri sono uguli. Teorem: Dte le rette y m q e y m ' q ', non prllele ll sse delle ordinte, esse sono prllele se, e solo se, hnno lo stesso coefficiente ngolre, cioè: m m ' Esempio: Le rette y ngolre. e y sono prllele, in qunto hnno lo stesso coefficiente PERPENDICOLARITÀ DI RETTE Teorem: Dte le rette y m q e y m ' q ', non prllele gli ssi, esse sono perpendicolri se, e solo se,il prodotto dei loro coefficienti ngolri è ugule -, cioè: m m ' Esempio: Le rette y e coefficienti ngolri è pri -. y sono perpendicolri, in qunto il prodotto dei loro FASCI DI RETTE FASCIO PROPRIO Definizione: Dicesi fscio proprio di rette l insieme di tutte le rette del pino pssnti per un punto fisso detto centro del fscio. E. Modic, 00/0 7
Si dimostr che dto il centro, l totlità delle rette pssnti per P h equzione del tipo: Osservzione: Come si può notre dll equzione, tutte le rette del fscio pssno per il punto P e l totlità delle rette si ottiene ssegnndo diversi vlori l coefficiente ngolre m. Esempio: Scrivere l equzione del fscio di rette pssnte per il punto. Si h: FASCIO IMPROPRIO Definizione: Dicesi fscio improprio di rette l insieme di tutte le rette del pino prllele d un rett dt dett bse del fscio. Nel cso di un fscio improprio di rette, l inclinzione di tutte le rette non vri e, di conseguenz, il loro coefficiente ngolre rimne sempre m. Ciò che differenzi le vrie rette è l loro intersezione con l sse delle ordinte, ovvero l intercett ll origine. Di conseguenz l equzione del fscio di rette prllele un rett dt y m q è: Esempio: Scrivere l equzione del fscio improprio di rette vente come rett bse l rett di equzione y 5. Si h: y k POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE Dte due rette nel pino, si possono presentre le seguenti possibilità:. le due rette sono coincidenti;. le due rette sono incidenti;. le due rette sono prllele. E. Modic, 00/0 8
Per studire l posizione di due rette nel pino bst studire il sistem vente come equzioni le due equzioni delle rette considerte, cioè: Si osserv fcilmente che: y m q y m ' q '. se il sistem è indeterminto, llor le rette sono coincidenti;. se il sistem è determinto, llor le rette sono incidenti;. se il sistem è impossibile, llor le rette sono prllele. E. Modic, 00/0 9
PARABOLA Definizione: Dicesi prbol il luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoco e d un rett fiss dett direttrice. Prbol y = > 0 concvità verso l'lto < 0 concvità verso il bsso vertice V( 0 ; 0 ) sse di simmetri = 0 (sse y) fuoco F 0 ; direttrice Prbol = y + by +c 4 y 4 > 0 concvità verso destr < 0 concvità verso sinistr vertice sse di simmetri b V ; 4 fuoco F ; direttrice 4 b 4 b y Prbol y = + b + c > 0 concvità verso l'lto < 0 concvità verso il bsso vertice sse di simmetri b V ; 4 fuoco F ; direttrice b Fscio di prbole 4 =b -4c y 4 y - -b -c + k ( y - - b - c ) = 0 b se e hnno punti in comune tutte le prbole del fscio pssno per tli punti (punti bse) E. Modic, 00/0 0
CIRCONFERENZA Definizione: Dicesi circonferenz il luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro. Tle distnz comune tutti i punti prende il nome di rggio dell circonferenz. Equzione dell circonferenz di centro e rggio : Equzione dell circonferenz di centro e rggio : Equzione dell generic circonferenz: Intersezione fr circonferenze Bst intersecrne un con l sse rdicle: Asse rdicle - Fscio di circonferenze: Tutte le circonferenze del fscio di equzione hnno i centri pprtenenti d un medesim perpendicolre ll'sse rdicle delle due circonferenze se e hnno punti in comune tutte le circonferenze del fscio pssno per tli punti (punti bse) E. Modic, 00/0
ELLISSE Definizione: Dicesi ellisse il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Equzione: I cso: I fuochi pprtengono ll sse delle scisse: con L eccentricità è dt d: (se si h un circonferenz) Per determinre le intersezioni tr un rett e un ellisse si deve risolvere il sistem: II cso: I fuochi pprtengono ll sse delle ordinte: con L eccentricità è dt d: (se si h un circonferenz) Per determinre le intersezioni tr un rett e un ellisse si deve risolvere il sistem: E. Modic, 00/0
IPERBOLE Definizione: Dicesi iperbole il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Equzione dell iperbole con fuochi sull sse delle scisse : I fuochi hnno coordinte: con L eccentricità è dt d: Per determinre le intersezioni tr un rett e un ellisse si deve risolvere il sistem: Equzione dell iperbole con fuochi sull sse delle ordinte : I fuochi hnno coordinte: con L eccentricità è dt d: Per determinre le intersezioni tr un rett e un ellisse si deve risolvere il sistem: Asintoti: Sono le rette di equzione e. Equzione dell iperbole equilter riferit gli ssi di simmetri: Asintoti dell iperbole equilter riferit gli ssi di simmetri: e Equzione dell iperbole equilter riferit i propri sintoti: Funzione omogrfic: E. Modic, 00/0
ESPONENZIALI E LOGARITMI POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele ed un numero rele qulunque, si definisce potenz con esponente rele del numero il numero rele. Osservzione: Quest potenz risult essere sempre un numero rele positivo! PROPRIETÀ DELLE POTENZE CON ESPONENTE REALE. Se e, llor.. Se e, llor.. 4. 5. 6. 7. Esempi:.. 5 5 GRAFICO ESPONENZIALE Voglimo studire il comportmento dell relzione di dipendenz fre ciò distinguimo i due seguenti csi. y l vrire di. Per I CASO: Per fissre le idee considerimo. y - 0,5-0,5-0,5 0 4 8 E. Modic, 00/0 4
Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: ogni vlore di h un corrispondente ; i vlori del corrispondente sono tutti positivi, cioè ; vle l proprietà di crescenz, cioè:, con. II CASO: 0 Per fissre le idee considerimo. y - 8-4 - 0 0,5 0,5 0,5 Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: ogni vlore di h un corrispondente ; i vlori del corrispondente sono tutti positivi, cioè ; vle l proprietà di decrescenz, cioè:, con. LOGARITMI Il teorem precedente ci permette di stbilire che dti due numeri reli positivi e b, con, l equzione b mmette un e un sol soluzione. Tle soluzione si chim logritmo di b in bse e si indic con: Definizione: Dti due numeri reli positivi e b, con, si chim logritmo in bse del numero b l unic soluzione dell equzione b, cioè quell unico numero, che dto come esponente d, rende l potenz ugule b. Pertnto le scritture: sono equivlenti. Il numero b si chim rgomento del logritmo e deve essere un numero positivo. Osservzione: L definizione di logritmo permette di ffermre che ogni numero rele positivo b si può scrivere, in modo unico, come potenz di un ltro qulsisi numero positivo, diverso d. e E. Modic, 00/0 5
È inftti: In ltre prole ogni numero b 0 si può pensre come potenz di bse prefisst, qulsisi, positiv e divers d. Esempi: log = 8., perché è. log = 0 perché è 5 0 5 =. = 8.. log 7 = perché è 7 7 = 7. 4. log 7-7 =? non esiste perché b 7 non è positivo. 5. log 7 non h significto perché, secondo l definizione, l bse deve essere divers d. Inftti l equzione b è impossibile (se b ), indetermint (se b ), inoltre l potenz è definit per 0 ; l equzione 0 b, come sppimo è impossibile se b 0 rele ed indetermint se b 0. 6. log 7 e log 7 non hnno significto perché, secondo l definizione, l bse deve essere - 0 positiv (i logritmi di numeri negtivi sono numeri immginri). PROPRIETÀ GENERALI. Il log b è positivo se:. Il log b è negtivo se: > 0 < < e b > 0 < b < > 0 < < e 0 < b < b >. log perché è =. 0 4. log 0 perché è =. 5. Se due numeri sono eguli, nche i loro logritmi (rispetto ll stess bse) sono eguli; e vicevers. 6. Se l bse è mggiore di, l crescere del numero b, cresce nche il logritmo di questo. 7. Se l bse è minore di, l crescere del numero b, il logritmo decresce. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEL LOGARITMO. log y log log y. log log log y y E. Modic, 00/0 6
n. log n log n m m 4. log b log n b Queste regole trsformno le quttro operzioni di moltipliczione, di divisione, di elevzione potenz di esponente n e di estrzione di rdice di indice n sopr numeri positivi ssegnti, rispettivmente, nelle operzioni di ddizione, di sottrzione, moltipliczione per n e divisione per n sopr i logritmi dei numeri ssegnti. Si teng presente che per poter pplicre le proprietà e i singoli numeri e y, dei quli si considerno i logritmi, devono essere positivi, e non soltnto deve essere positivo il loro prodotto y o il loro quoziente y. Osservzione: Non vi sono, invece, regole nloghe rigurdo ll somm e ll differenz: il logritmo di un somm o di un differenz non è esprimibile medinte i logritmi dei suoi singoli termini. SIMBOLISMO e numero di Nepero è un numero irrzionle che vle ( meno di 0-5 ),788 lnn LogN logritmo nturle o neperino (cioè bse e) di un numero positivo N logritmo decimle (cioè in bse 0) di un numero positivo N Siccome esistono infiniti sistemi di logritmi (poiché infinite sono le possibili bsi pssre d un bse d un ltr b bst pplicre l seguente formul: GRAFICO DEL LOGARITMO log b N log log B b ), per Voglimo studire il comportmento dell relzione di dipendenz Per fre ciò distinguimo i due seguenti csi. y l vrire di. log I CASO: Per fissre le idee considerimo. y 0 0,5-0,5 -,58496 4 5,9 6,58496 E. Modic, 00/0 7
Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: i vlori di che mmettono un corrispondente sono solo ; i vlori dell sono positivi per e negtivi per 0 ; vle l proprietà di crescenz, cioè:, con. II CASO: 0 Per fissre le idee considerimo. y 0 0,5 0,5 - -,585 4-5 -,9 6 -,585 Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: i vlori di che mmettono un corrispondente sono solo ; i vlori dell sono negtivi per e positivi per 0 ; vle l proprietà di decrescenz, cioè:, con. EQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione: Si definisce equzione esponenzile ogni equzione in cui l incognit compre ll esponente di un o più potenze. Il cso più semplice di equzione esponenzile è l equzione esponenzile elementre: b con 0. Osservzione: Nell insieme dei numeri reli l equzione b 0 (se 0, llor 0 0 per ogni 0 e quindi l equzione 0 b indetermint se b 0 ); inftti: b può vere soluzioni solo se 0 e è impossibile se b 0 e. il primo membro di b h significto solo se è positivo;. inoltre risult sempre positivo per qulsisi vlore di pertnto l equzione può vere soluzioni soltnto se nche b è positivo. E. Modic, 00/0 8
EQUAZIONI ESPONENZIALI RIDUCIBILI AD UGUAGLIANZE DI DUE POTENZE AVENTI LA STESSA BASE L risoluzione di tli equzioni è semplice in qunto si pss dll uguglinz di due potenze ll uguglinz dei loro esponenti, cioè: Esempi: y y. Per risolvere l equzione esponenzile porre 4.. Per risolvere l equzione esponenzile 5 6 e porre, bst riscrivere l equzione come 8 5 6, d cui si ricv che e. 4 e 64 0, bst riscrivere l equzione come EQUAZIONI ESPONENZIALI RIDUCIBILI AD EQUAZIONI ALGEBRICHE MEDIANTE L USO DI UN INCOGNITA SUPPLEMENTARE Esempio: Risolvere l equzione esponenzile Ponimo z e ottenimo:. 6 0 0 z 0 z 6 0 le cui soluzioni sono z e z 8. Quindi: ;. EQUAZIONI LOGARITMICHE Definizione: Si dice equzione logritmic un equzione in cui compre il logritmo dell incognit o il logritmo di un espressione contenente l incognit. Nell risoluzione di un equzione logritmic si cerc, medinte l uso delle proprietà dei logritmi, di ricondurre tutto ll form: log log A B dove A e B sono espressioni lgebriche contenenti l incognit. Dll uguglinz precedente segue che i vlori dell che l verificno, devono verificre nche l equzione A B. E. Modic, 00/0 9
Osservzione: Attenzione! Non vle il vicevers, cioè le soluzioni dell equzione A B può non essere soluzione dell equzione log A log B. Per risolvere tli equzioni si pone, quindi, A B e si vede se le soluzioni trovte soddisfno l equzione di prtenz. Esempi:. Risolvere l equzione log log. Imponendo l condizione di esistenz dei logritmi si deve vere: 0 0 cioè. Uguglindo gli rgomenti si h: 4 che è un soluzione ccettbile in qunto 4.. Risolvere l equzione log 6 log 5 8 Uguglindo gli rgomenti si h:. 6 8 5 4 0 7, L soluzione 7 è l unic ccettbile in qunto per i due logritmi perdono di significto.. Risolvere l equzione 5 7. Pssndo i logritmi si h: log 7 log 5 log 7 log 5 log 7 log 5 E. Modic, 00/0 0
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione: Un disequzione si dice esponenzile se in ess l incognit, o qulche espressione contenente l incognit, compre come esponente di un o più potenze. Prim di pssre i metodi di risoluzione di tli disequzioni, ricordimo lcuni risultti già discussi in precedenz. ESPONENZIALI 0 è un numero rele positivo 0 y y y y y y y y LOGARITMI 0 y log log y y log log y y log log y y log log y DISEQUAZIONI RIDUCIBILI A DISUGUAGLIANZE DI DUE POTENZE DI UGUAL BASE Sono delle disequzioni che si presentno in un delle forme: f g oppure f g In questo cso si h: 0 f g f g f g f g f g f g f g f g Esempi:. Risolvere l disequzione 5 5. In bse ll precedente tbell è fcile notre che ci si trov nel cso in cui 0 h che. e quindi si. Risolvere l disequzione E. Modic, 00/0 7
In bse ll precedente tbell è fcile notre che ci si trov nel cso in cui e quindi si h che 7. DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON L UTILIZZO DI UN INCOGNITA AUSILIARIA Esempio: Risolvere l disequzione esponenzile 4 8 0 Riscrivimo come segue l disequzione: 6 8 0 e ponimo z, ottenendo così: z 6 z 8 0 Le soluzioni di quest disequzione sono: t t 4 e quindi si h: ; 4. DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON L UTILIZZO DEI LOGARITMI Per risolverle bst pplicre d mbo i membri dell disequzione: f g b oppure f g b i logritmi, fcendo ttenzione ll bse del logritmo considerto. Inftti si hnno i due csi: cso: c f g log b f g log b f g c log b f g log b c c c cso: 0 c f g log b f g log b f g c log b f g log b c c c Esempi: E. Modic, 00/0
log log 9 9.. 8 log log 8 DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Definizione: Un disequzione si dice logritmic se in ess compre o il logritmo dell incognit, o il logritmo di un espressione contenente l incognit. DISEQUAZIONI DELLA FORMA: log log A b A b Per risolvere tli disequzioni è necessrio considerre i seguenti csi. I cso: Le disequzioni si trsformno nei sistemi: II cso: 0 Le disequzioni si trsformno nei sistemi: A 0 A 0 b A A A 0 A 0 b A A b b Esempio: L disequzione 0 log 7 0 equivle l sistem: 7 0 0 7 0 0 00 DISEQUAZIONI DELLA FORMA: log A log B log A log B Per risolvere tli disequzioni è necessrio considerre i seguenti csi. I cso: Le disequzioni si trsformno nei sistemi: E. Modic, 00/0
A 0 A 0 B 0 B 0 A B A B II cso: 0 Le disequzioni si trsformno nei sistemi: Esempio: A 0 A 0 B 0 B 0 A B A B L disequzione log log equivle l sistem: 0 0 4 4 E. Modic, 00/0 4
TRIGONOMETRIA RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice ngolo ciscun delle due prti in cui un pino è diviso d due semirette venti l stess origine. Definizione: Dicesi rco (di circonferenz) l intersezione tr un circonferenz e un ngolo l centro dell circonferenz stess. Definizione: Si definisce grdo l 60 prte dell ngolo giro. MISURA IN RADIANTI Considerimo un ngolo l centro di due circonferenze C e C di rggi r e r. Detti l e l gli rchi corrispondenti, si h che: l : l r : r Cioè: dte due circonferenze, due rchi che sottendono ngoli l centro uguli, sono proporzionli i rispettivi rggi. Se le circonferenze sono concentriche si h che: se un ngolo l centro di un circonferenz corrisponde d un rco lungo qunto il rggio, llor lo stesso ngolo corrisponde, su qulsisi ltr circonferenz concentric ll prim, d un rco lungo qunto il rggio. Definizione: Si definisce rdinte l ngolo l centro di un circonferenz che corrisponde d un rco di lunghezz ugule l rggio. Se g è l misur in grdi di un ngolo e l misur in rdinti dello stesso ngolo, si h: cioè: 60 : g : g 80 80 g GRADI 0 0 45 60 90 5 80 70 60 RADIANTI 0 6 4 4 E. Modic, 00/0 5
Definizione: Si definisce ngolo orientto un ngolo pensto come l insieme di tutte le sue semirette uscenti dl vertice, che sino stte ordinte secondo uno dei due versi possibili. Definizioni: Un ngolo orientto di centro O si dice orientto positivmente qundo il lto deve ruotre in senso ntiorrio intorno d O per sovrpporsi b. Si dice orientto negtivmente se l stess rotzione vviene in senso orrio. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Un circonferenz si dice orientt qundo su di ess è fissto un verso di percorrenz. Definizione: Un circonferenz goniometric è un circonferenz che h centro nell origine degli ssi crtesini e rggio unitrio. Si ssume che il punto A si l origine degli rchi, e che il lto OA si l origine degli rchi. Inoltre si consider come positivo il verso ntiorrio. Qundo il punto P, prtendo d A, percorre intermente l circonferenz, gli rchi,,, e sono rispettivmente 0, 90, 80, 70, 60, in rdinti: 0,,,,. Considerimo un punto P sull circonferenz e si l rco di origine A e di estremo P. Si l misur in grdi di. L ordint e l sciss di P sono funzioni dell ngolo, cioè d ogni vlore di corrisponde un determinto vlore si per l ordint che per l sciss del punto. Definizioni: Dicesi seno di un rco sull circonferenz goniometric, l ordint dell estremo dell rco, cioè: sin PQ Dicesi coseno di un rco sull circonferenz goniometric, l sciss dell estremo dell rco, cioè: cos OQ E. Modic, 00/0 6
Si trcci or l tngente ll circonferenz goniometric nel punto A e si T il suo punto d intersezione con il prolungmento del segmento OP. L ordint del punto T è un funzione dell ngolo. Definizione: Dicesi tngente di un rco sull circonferenz goniometric l ordint del punto d intersezione fr l tngente ll circonferenz goniometric nel punto di origine degli rchi e il prolungmento del segmento che unisce il centro dell circonferenz con l estremo dell rco, cioè: tn AT Dll proporzione OA : OT OQ : OP segue che: : tn cos : sin d cui: tn sin cos Le funzioni sin, cos e tn prendono il nome di funzioni circolri o funzioni goniometriche o funzioni trigonometriche. 0 90 90 80 80 70 70 60 sin Positivo Positivo Negtivo Negtivo cos Positivo Negtivo Negtivo Positivo tn Positiv Negtiv Positiv Negtiv Considerimo il tringolo APQ, per il teorem di Pitgor si h: OQ PQ OP. Poiché OQ cos e PQ sin, si ottiene: cos sin che prende il nome di relzione fondmentle dell goniometri. D quest relzione segue che: cos sin sin cos Inoltre l tngente dell ngolo, come visto, risult: tn sin cos Si definisce cotngente dell ngolo il reciproco dell funzione tngente: cos cot sin E. Modic, 00/0 7
Le funzioni sin e cos sono funzioni periodiche di periodo 60, cioè: sin k 60 sin cos k 60 cos mentre le funzione tn e cot hnno periodo 80, cioè: tn k 80 tn cot k 80 cot Nell seguente tbell sono riportti i vlori delle funzioni goniometriche di prticolri ngoli. 0 90 80 70 60 sin 0 0-0 cos 0-0 tn 0 0 0 cot 0 0 Osservzioni:. L funzione seno e l funzione coseno sono limitte l vrire dell ngolo, cioè i loro vlori sono sempre interni ll intervllo,.. Le funzioni tngente e cotngente sono illimitte l vrire dell ngolo, di conseguenz i loro vlori vrino in. PARTICOLARI VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Grdi Rdinti seno coseno tngente cotngente 0 0 0 0 non è definit 0 60 90 6 0 non è definit 0 80 0-0 non è definit 70-0 non è definit 0 60 0 0 non è definit E. Modic, 00/0 8
GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE GRAFICO DI y sin 0 6 4 y sin 0 0 - GRAFICO DI y cos 0 6 4 y cos 0 0-0 E. Modic, 00/0 9
GRAFICO DI y tn 0 y tn 0 6 4 0 0 E. Modic, 00/0 0
GRAFICO DI y cot 0 6 4 y cot 0 0 RELAZIONI GONIOMETRICHE ESPRESSIONI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE PER MEZZO DI UNA DI ESSE D Si h sin cos tn cot sin sin sin sin sin cos cos cos tn tn tn cot cot tn cot cot cos cos tn cot sin sin cos cos tn cot E. Modic, 00/0
FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI OPPOSTI Due rchi si dicono opposti se sono uguli in vlore ssoluto m di segno contrrio. sin cos tn cot sin cos tn cot FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI ESPLEMENTARI Due rchi si dicono esplementri se l loro somm è un ngolo giro. sin 60 cos 60 tn 60 cot 60 sin cos tn cot FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI SUPPLEMENTARI Due rchi si dicono supplementri se l loro somm è un ngolo pitto. sin 80 cos 80 tn 80 cot 80 sin cos tn cot FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI CHE DIFFERISCONO DI 80 Due rchi differiscono di 80 se uno è e l ltro è 80. sin 80 cos 80 tn 80 cot 80 sin cos tn cot FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI CHE DIFFERISCONO DI 90 Due rchi differiscono di 80 se uno è e l ltro è 90. E. Modic, 00/0
sin 90 cos 90 tn 90 cot 90 cos sin cot tn FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI COMPLEMENTARI Due rchi si dicono complementri se l loro somm è un ngolo retto. sin 90 cos 90 tn 90 cot 90 cos sin cot tn FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Servono clcolre le funzioni circolri di ngoli che si possono pensre come differenz o come somm di rchi notevoli. sin sin co s co s sin sin sin co s co s sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tn tn tn tn tn tn tn tn tn tn FORMULE DI DUPLICAZIONE sin sin sin cos sin cos sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin tn tn tn tn tn tn tn tn E. Modic, 00/0
FORMULE DI BISEZIONE cos sin cos cos cos tn cos cos cot cos FORMULE DI PROSTAFERESI Servono trsformre in prodotto l differenz e l somm di seni e coseni. p q p q sin p sin q sin cos p q p q sin p sin q sin cos cos p cos q cos p q p q cos cos p cos q sin p q p q sin FORMULE DI WERNER Servono trsformre il prodotto di seni, di coseni e di un seno e di un coseno nell somm o nell differenz: EQUAZIONI GONIOMETRICHE Definizione: Le equzioni goniometriche sono delle equzioni del tipo: con f funzione goniometric. f 0 E. Modic, 00/0 4
EQUAZIONI IN SENO Sono equzioni del tipo sin con. e mmettono le soluzioni: k k Esempio: Risolvere l equzione sin. Il più piccolo ngolo positivo il cui seno è k 4 k k 4 4 è 4 e quindi si h: EQUAZIONI IN COSENO Sono equzioni del tipo cos con. e mmettono le soluzioni: k Esempio: Risolvere l equzione cos. Il più piccolo ngolo positivo il cui coseno è è 6 e quindi si h: EQUAZIONI IN TANGENTE k 6 Sono equzioni del tipo tn con. e mmettono le soluzioni: k Esempio: Risolvere l equzione tn Il più piccolo ngolo positivo l cui tngente è è 4 e quindi si h: k 4 E. Modic, 00/0 5
EQUAZIONI IN COTANGENTE Sono equzioni del tipo cot con. e mmettono le soluzioni: k Esempio: Risolvere l equzione cot Il più piccolo ngolo positivo l cui tngente è è 6 e quindi si h: k 6 EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ELEMENTARI Esempio: Risolvere l equzione sin L uguglinz si relizz nei csi seguenti: sin 4 k k 4 4 k k k 4 4 4. EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO Definizione: Si dice equzione linere in seno e coseno un equzione del tipo: con. sin b cos c Per risolvere tli equzioni esistono diversi modi, uno di questi è quello di utilizzre le seguenti formule prmetriche che esprimono le funzioni goniometriche di un ngolo in funzione dell tngente dell ngolo metà. FORMULE PARAMETRICHE tn sin tn tn cos tn E. Modic, 00/0 6
Esempio: Risolvere l equzione sin cos. Utilizzndo le formule prmetriche, in cui si pone t tn, ottenimo: t t t t t t t 0 t t 4 0 t tn k k 4 6 EQUAZIONI OMOGENEE IN SENO E COSENO Definizione: Si dice equzione omogene in seno e coseno un equzione del tipo: con. sin b sin cos c cos 0 Per risolvere tli equzioni distinguimo diversi csi. I CASO: bc,, 0 È possibile supporre cos 0, in qunto k, per 0 non è soluzione dell equzione. Dividendo tutto per cos ottenimo: tn b tn c 0 che è un equzione fcilmente risolubile. Esempio: Risolvere l equzione sin sin cos cos 0. Dividimo tutto per cos D queste equzioni segue che: si ottiene: tn tn 0 4 4 tn tn ; tn k e 4 k E. Modic, 00/0 7
II CASO: 0 b, c 0 OPPURE, b 0 c 0 In questo cso si hnno le due equzioni: oppure b sin cos c cos 0 sin b sin cos 0 che diventno: oppure b cos b sin c cos 0 sin sin cos 0 In questo modo ci si riconduce due equzioni: un elementre e un linere in seno e coseno. Esempio: Risolvere l equzione. sin cos cos 0 Mettendo in evidenz cos si ottiene: ovvero: cos sin cos 0 cos 0 k ; sin cos 0 tn 0 tn k. 6 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Definizione: Le disequzioni goniometriche sono delle disequzioni del tipo: con f funzione goniometric. f 0 f 0 f 0 f 0 DISEQUAZIONI ELEMENTARI Sono delle disequzioni del tipo: sin cos b tn c etc. Esempio: Risolvere l disequzione sin. Dll rppresentzione riportt sotto è fcile dedurre che deve essere: 5 k k k k 6 6 E. Modic, 00/0 8
DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI A DISEQUAZIONI ELEMENTARI Sono equzioni del tipo: sin b c etc. Esempio: Risolvere l disequzione sin 4. Con un rgionmento nlogo quello del precedente esempio si ottiene: k k k k k k 4 4 4 6 DISEQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO: sin b cos c 0 Esempio: Risolvere l disequzione sin cos 0 Bst utilizzre le formule prmetriche per ottenere:. t t 0 t t 0 t t t t t Essendo il verso dell disequzione discorde con il coefficiente del termine di grdo mssimo, l disequzione è soddisftt per tutti i vlori dell incognit interni ll intervllo delle rdici, cioè: tn k k k k 4 6 E. Modic, 00/0 9
DISEQUAZIONI OMOGENEE DI II GRADO IN SENO E COSENO: sin b sin cos c cos 0 Esempio: Risolvere l disequzione sin sin cos 0. Poiché per k l disequzione non è soddisftt, dividendo tutto per cos si ottiene: tn tn 0 d cui: Quindi le soluzioni sono: 0 tn k k TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Considerimo un sistem di ssi crtesini ortogonli e un circonferenz goniometric; si inoltre l tngente geometric pssnte per il punto e prllel ll sse delle ordinte. Si un qulsisi tringolo rettngolo vente uno dei vertici coincidente con l origine del sistem di riferimento crtesino e un cteto gicente sull sse delle scisse. Si dimostr fcilmente che i tringoli rettngoli AOB e OHM sono simili e, di conseguenz, i loro lti sono in proporzione, cioè: Inftti 0 0 E. Modic, 00/0 40
Considerndo i primi due membri di quest relzione e sostituendo in ess i vlori, secondo l clssic notzione dei tringoli rettngoli, si h: d cui: Considerndo invece il primo e il terzo membro dell stess relzione e sostituendo in ess i vlori, secondo l clssic notzione dei tringoli rettngoli, si ottiene: d cui: In generle si h il seguente: Primo teorem dei tringoli rettngoli: In un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto dell ipotenus per il coseno dell ngolo d esso dicente; ovvero un cteto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo d esso opposto. In riferimento ll precedente figur, si considerino i tringoli simili OPQ e OPA, si h: Sostituendo in tle relzione i vlori, secondo l clssic notzione dei tringoli rettngoli, si h: e quindi: Essendo, per le formule degli rchi ssociti si vrà: In generle si h il seguente: Secondo teorem dei tringoli rettngoli: In un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto dell ltro cteto per l tngente dell ngolo d esso opposto; ovvero un cteto è ugule l prodotto dell ltro cteto per l cotngente dell ngolo d esso dicente. E. Modic, 00/0 4