ESERCITAZIONE DIECI: INTEGRALI DEFINITI E FORMULA DI TAYLOR Tizin Rprlli 5/5/8 RICHIAMI DI TEORIA Proposizion.. Si f C ([, b]) g C ([, b]), llor f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx. dov F (x) è un primitiv di f(x) su [, b]. Proposizion.. Si f C ([, b]) φ C (J), φ(j) [, b]. Allor Clcolo dll r: f(t)dt = φ (b) φ () S f(x) è continu non ngtiv, llor f(φ(x))φ (x)dx. f(x)dx = A(T ) dov T è il trpzoid dlimitto dl grfico di f, dll ss dll x dll rtt di quzion x = x = b. S f(x) ssum vlori di sgno rbitrrio, llor, posto f (x) = min{, f(x)} f + (x) = mx{, f(x)} si h ch f(x) = f + (x) f (x)
f(x) dx = A(T + ) + A(T ) dov T + è l rgion dlimitt dl grfico di f +, l ss dll x l rtt di quzion x = T è l rgion pin dlimitt d f, l ss dll x l rtt di quzion x = b. In gnrl, dt du funzioni intgrbili f, g con g(x) f(x) x [, b], l rgion pin T dlimitt di loro grfici dll rtt di quzion x =, x = b è l sgunt: T = {(x, y) [, b] R : g(x) y f(x)} in tl cso si h A(T ) = [f(x) g(x)]dx ESERCIZI ESERCIZIO : Clcolr i sgunti intgrli dfiniti: ) ) ) 5 π π π 4) ( cos x + 4 ) dx sin x + sin x cos x dx sin x cos x 6 cos x + 9 dx π sin x dx. ESERCIZIO : Clcolr l r dll rgion pin T comprs tr l curv y = x, l ss dll x l rtt di quzioni x = x =. ESERCIZIO : Clcolr l r dll rgion pin T comprs tr l rtt di quzion
y = x + l prbol di quzion y = x. ESERCIZIO 4: Clcolr l r dll rgion pin T dlimitt dl lliss di quzion x 9 + y 4 =. ESERCIZIO 5: Scrivr il polinomio di Mc Lurin di ordin dll funzion clcolr il sgunt limit: f(x) = sin (x ) sin (x ) x 6 lim x x. ESERCIZIO 6: Scrivr il polinomio di Tylor cntrto in fino ll ordin dll funzion: g(x) = sin(log( + x)).
SOLUZIONI ESERCIZIO : ) Dobbimo clcolr: 5 π cos xdx + 4 π 5 π π sin xdx. Ricordndo l formul prmtrich pr sin x cos x: sin x = t + t cos x = t + t ffttuimo l sostituzion t = tn x, d cui L intgrl dto divnt quindi: x = rctn t dx = + t dt. t dt = [log t ] = log. ) Smpr con l sosituzion t = tn x, l intgrl dto divnt t(t + ) dt = ( + t t(t + ) dt t t(t + ) dt) = [log t + t ] [log t + ] = log ( ( + ) ). ) Ponndo cos x = t, ossrvimo ch sin xdx = dt, prciò ci riconducimo clcolr [ (t ) dt = (t ) dt = ] =. t 6 4) π sin x dx = (mntr π sin xdx = ). sin xdx sin xdx = [ cos x] π + [cos x] π π =, 4
ESERCIZIO : y = x è l iprbol quiltr nl primo qudrnt (dov pssno l rtt x = x =, dto ch > ) è positiv, quindi A(T ) = dx = log. x ESERCIZIO : I punti d intrszion tr rtt prbol sono l soluzioni dll quzion x x + = ossi x = x =. Nll intrvllo [, ] l rtt y = x + è l di sopr dll prbol y = x, quindi T = {(x, y) [, ] R : x y x + } A(T ) = ( x + x )dx = ] [ x + x x =. ESERCIZIO 4: Scrivimo y in funzion di x: y = ± 9 x d cui x [, ]. Quindi T = {(x, y) [, ] R : A(E) = 4 9 x y 9 x dx ch si risolv con l sosituzion x = sin t, d cui 4 π 9 cos tdt 9 x } ch si clcol itrndo du volt l formul pr prti d il risultto finl è A(E) = [ (t + sin t cos t)] π 5 π = 6π.
ESERCIZIO 5: Dto ch sin t t = = t t 6 + o(t4 ) llor, ponndo t = x, sin (x )(= sin(x ) sin x ) = ) (x x9 6 + o(x ) = x 6 x + o(x ) vndo trscurto tutt l potnz di x di grdo mggior di d vndo utilizzto l sgunti proprità dgli o piccoli: o(x) = o(x) o(x m ) o(x n ) = o(x n ) x m = o(x n+m ) () o(x m ) + o(x n ) = o(x n ), s n < m. sin (x ) x 6 lim x x = x x = 6. ESERCIZIO 6: Poiché log( + t) t = = t t + t + o(t ) sin y y = = y y 6 + o(y4 ), llor, posto y = log( + x) = x x + 8 x + o(x ), l spnsion in sri di Tylor di nl punto di g(x) è dt d sin(log( + x)) x = = x x + 8 x + o(x ) 6 = x x + 4 x + o(x ) vndo usto l (). ( x x + 8 ) x + o(x ) 6