Esme di Stto 09 Mtemtic-Fisic Problem Derivimo l funzione d cui x x g x x b e x x xx g ' x e x b x e x b x b g ' x 0 per x b x b 0 b b b b b b b b b x che mmette soluzioni distinte 0. Per l condizione di pssggio si h: f () b b g() b b b Per cui le due funzioni diventno e f x x x f x x x x x g x x e 5 è un prbol con vertice di coordinte V ; x x g x x e xx g x x e 0 x x x lim x e 0 x dl punto precedente si ottiene subito, sostituendo i vlori di e b trovti, xx g ' x e x x xx g ' x e x x 0 per x con g ' x 0 per x ; Si h infine: M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09
xx xx g '' x e x 6x x e x x x Con flessi di sciss 6 x, x Verifichimo che il punto C ;0 è centro di simmetri dell funzione: pplicndo ll funzione y g x l trsformzione si ottiene: x x' x x' y y ' y y ' 0 x' x' x' x' y ' x' e y ' x' e y Per verificre l tngenz tr le due curve bst osservre che: f 0, f x x f g 0, g ' ' 0 e ' 0 Per cui le due curve sono entrmbe tngenti nel punto B ll rett di equzione y x pertnto sono tngenti tr di loro. L re dell regione S è dt dll integrle definito M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09
dove si è usto xx S g x f x dx x e dx x x dx 0 0 0 x x 0 x 0 x x x e dx 0 per l simmetri di g(x) rispetto l punto B (; 0). 0 Si h: B 0 iconc Per verificre se le tre correnti sono conctente S, clcolimo il vlore ssunto dlle due funzioni del contorno per x : f per cui e g,06 P, P S, P S. Ne segue che l circuitzione del cmpo mgnetico lungo S, orientndo l superficie nel B i i verso uscente dl pino xy, quindi l line in senso ntiorrio, è dt d Per cui 0 i,0a, uscente, oppure i entrnte B 0 i i 0 i i i, 0 A, uscente 0 i i i, 0 A, uscente L corrente i non influisce sull circuitzione del cmpo mgnetico. 0 L corrente indott nell spir è dt d db d B S d B S cost B S i sint R dt R dt R dt R d cui i mx Ri B S B S mx 0,0 5,0 0 A 0,05 s R,5 0 T m M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09
Problem t s (somm di grndezze omogeneee) Isolndo k nell definizione ssegnt del cmpo mgnetico, limitndosi ll sol dimensionlità, si h: Bt Lt - k B L t T m s L d.d.p. vribile determin ll interno del condenstore un cmpo elettrico nch esso vribile nel tempo; dll IV equzione di Mxwell si h: de B 00 () dt Per l simmetri del sistem, trscurndo gli effetti di bordo, il cmpo elettrico è uniforme (m vribile nel tempo) ll interno del condenstore, con modulo E t V t () d Il cmpo mgnetico indotto h linee di cmpo circolri, modulo costnte ed è diretto nel pino perpendicolre lle linee del cmpo elettrico (quindi in pini prlleli lle rmture del condenstore); il verso di B dipende invece dll vrizione del cmpo elettrico, non è pertnto deducibile di dti forniti (comunque non è richiesto). Per qunto detto, per r R si h: de de () dt dt 0 0 rb 0 0 r B r r R che h l form dell funzione B dt nel testo. Inserendo nell () il vlore ssegnto di B si h: d E B rb r k t dt 0 0 0 0 0 0 t kr t t kr kr E dt 0 0 0 0 0 0 0 t t t t 0 () (5) Essendo, per l () M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09
V E r E r d si h: V d d kr kd E r r 0 0 t 0 0 t (6) L d.d.p. tr le rmture del condenstore tende d ssumere, l trscorrere del tempo, un vlore costnte: lim V t t kd costnte 0 0 conseguentemente nche il cmpo elettrico tende d ssumere un vlore costnte per cui non si mnifestno più effetti indotti: lim B t 0 t f ( t) t F( t) t t Segue dll integrzione (5) che F( t ) è l primitiv di f ( t ) tle che F(0) 0 F t t t dt 0 t t t (d notre solo il cmbio disegno rispetto ll (5)). Pssndo llo studio di F( t ) si h. F( t ) è definit x ; F( t ) è pri; lim F( t) lim t t t t 0 F '( t) f ( t) t t F '( t) 0 per t 0 ; segue che F( t ) h mssimo ssoluto in 0;0. t t t t t t F ''( t) f '( t) 5 M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 5
che si nnull per t, punti di flesso per F( t ). In tli punti l tngente inflessionle h pendenz m f 9 f ( t) F '( t) è dispri (derivt di un funzione pri), positiv per t < 0 (dove F( t ) è crescente), h sintoto orizzontle y = 0 (corrispondentemente ll sintoto orizzontle di F( t ) ; si nnull per t = 0 (mssimo di F( t ) ); h due punti estremi (reltivi e ssoluti) in corrispondenz dei punti di flesso di F( t ). Il suo grfico qulittivo è pertnto il seguente: M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 6
L re richiest è dt d: Infine, poiché 0 0 6 S f t dt F t t b f t è dispri: 0 0 b f t dt b 0 M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 7
QUESITI p x è un polinomio di grdo, in qunto p x, si nnull in 0 e 5, si h: f x mmette sintoto orizzontle. Poiché f x, quindi p x x x 5 Dll conoscenz degli sintoti verticle si deduce d 9, mentre dll sintoto orizzontle segue 5, pertnto: 5x x p x 5 5x x f ( x) x d x 9 x 9 Derivndo rispetto x si ottiene: f '( x) che si nnull per x 0x x 9 x 5x x 6 x 5x 8 9 x 9 x e x 6, punti di mssimo e minimo reltivi di f ( x ). Tutti i termini dell somm sono potenze dispri, pertnto sono concordi; ne segue che g( x0 ) 0 se e solo se x0 0. g( x ) è un polinomio di grdo 09 00 g( x) x 00x n n 09 g( x) P x P x lim lim lim,, e 09 09 x x x x x x ln, L ultimo limite può essere clcolto pplicndo 09 volte il teorem di de l Hopitl, ottenendo 09 x 09! lim... lim 0 x xln, 09 x x e ln, e Indichimo con gli spigoli dell bse qudrt, con b gli ltri spigoli del prllelepipedo. Dobbimo minimizzre l somm s 8 b con l condizione S Ricvndo b dll second equzione, b, si ottiene: S b costnte. M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 8
S 8 S S s 8 b 8 6 S s ' 6 0 per S (si considerno l sole soluzioni positive), per cui si h il minimo per 6 S 6 S S Notimo che 6 S b, quindi il prllelepipedo è un cubo. S 6 6 Riscrivimo l condizione richiest come: PA PB Considerndo il punto generico dello spzio P x; y; z si ottiene x y z x y z Sviluppndo i clcoli: x y z x y z 8 6 0 che è l equzione di un sfer di centro C 6;; e rggio r (sfer di Apollonio). Per sostituzione dirett si verific che il punto T pprtiene ll sfer. Il pino tngente in T S h l direzione del vettore TC, ovvero TC T C 0;8;7 6;; ;; ovvero ; ; 5 x 0 y 8 z 7 0 x y z 5 0 Il numero dei csi possibili è N 6 96 ) l somm può ssumere i vlori:, ottenibile con l sol combinzione 5, ottenibile come ( csi in qunto il ddo con l fcci può essere uno qulunque); pertnto 5 96 5,86 0 P s b) Il prodotto dei numeri usciti è multiplo di se e solo se lmeno uno di essi è multiplo di, ovvero se tr le quttro uscite figur lmeno un o un 6. Conviene considerre l evento contrrio (non esc nessun multiplo di in nessun ddo), ovvero: M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 9
l probbilità che nel singolo ddo non esc un multiplo di è ; l probbilità che non esc in 6 nessuno dei ddi è. Infine, l probbilità richiest è: P p 6 65 P p multiplo di multiplo di 0,80 8 8 c) I csi fvorevoli sono: : cso fvorevole * dove * rppresent un delle fcce,, : csi fvorevoli **: 5 csi fvorevoli *** : 08 csi fvorevoli Pertnto P 5 08 75 mx 0,5 96 96 6 Per l legge di Frdy-Lenz, l corrente indott si oppone ll cus che l h genert secondo l relzione: db d B S S db i R dt R dt R dt L corrente medi è dt d: t t db dt db dt S t S t S B T B T i R t t R t t R t t ) b),0 0 m 0,0 0 T 0 i 0,050 A 50 ma,00,0 0 s,0 0 m 0,0 0 T 0,0 0 T i 0,50 A 50 ma,0 0 5,0,0 0 s M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09 0
c),0 0 m 0 0,0 0 T i 0,00 A 0 ma,00 0,0 5,0 0 s 7 Nel sistem di lbortorio: 0,5 m 8 9,5 0 m/s = 0, v,0 0 s Nel sistem dell nvicell (V = 0,80 c): v V 0, c 0,80 c v ' = 0,58 c vv 0, c0,80 c c c In questo S.R. verrebbe misurto l intervllo di tempo: c V 9 0,80c 9 t ' t x,0 0 s 0,5m, 0 s =, ns c 0,80 c e lo spostmento (negtivo in qunto l nvicell è più veloce dell prticell) 8 8 9 0,5 m 0,80,0 0 m/s,00 s s ' s Vt = 0,8 m = 8 cm 0,8 Indicndo con v e rispettivmente l velocità del protone e l ngolo tr velocità e cmpo mgnetico, il rggio dell orbit è dto d: mpvsin r eb Essendo il periodo orbitle T r m p, il psso dell elic risult vsin eb m P v cos T p v cos eb Dividendo membro membro: r tn r 0,5 cm rctn rctn 60,0 P P 8, cm d cui infine: ebr v m sin,670 kg sin 60,0 p 9,600 C,000 T 0,05m 7,6 0 m/s M. Vincoli Liceo Sttle Glilei - Veron Esme di Stto 09