Fisica Applicata (FIS/07) 9CFU Facltà di Ingegneria, Architettura e delle Scienze Mtrie 8-marz-01 Architettura (crs magistrale a cicl unic quinquennale) Prf. Lanzalne Gaetan
Cambiament di SR
Cambiament del Sistema di Riferiment (SR) Il mt dipende dal sistema di riferiment dal quale viene sservat: Un viaggiatre sedut sul sedile di una carrzza ferrviaria nn si muve rispett al vagne Se sservat dal marciapiede della stazine, egli invece percrre diversi metri al secnd. Il viaggiatre, se lascia cadere un ggett nel vagne, descriverà il mt cme un mt rettiline (unifrmemente accelerat) L stess mt apparirà parablic (mt del priettile) ad un sservatre sul marciapiede della stazine. Cme si fa a trasfrmare le P grandezze cinematiche, psizine, z velcità, accelerazine da un r sistema di riferiment ad un altr? O r r'+oo'!! O y r r' O z' O' 3 y' '
Sistemi di riferiment in mt traslatri trasfrmazini della psizine Studierem il cas mlt particlare in cui gli assi del sistema O y z sn cstantemente paralleli a quelli crrispndenti nel sistema Oyz e l rigine O del secnd sistema si muve sull asse delle. r r'+oo'!! z z y O z' r y' O' r r' ' r i + y j + zk r' ' i '+ y' j'+ z' k' ' i + y' j + z' k OO' O' i '+ ' y y' z z' 4
Sistemi di riferiment in mt traslatri trasfrmazini della velcità v d r d ( i + yj + zk ) v' d r' d ' i '+ y' j'+ z' k' v O' d OO' d O' i d ( ) ( ) d O' i i + dy d' j + dz i + dy' k j + dz' k z z y O z' r y' O' r r' ' v d r " d r'+oo' $ # % ' & d r' + d OO' d r' + v O' v v' + v O' v v'+ v O' v v' ' + v O' v y v' y' v z v' z' 5
Sistemi di riferiment in mt traslatri a d v d trasfrmazini dell accelerazine ( v'+ v O' ) d v' + d v O' d v' + a O' y y' a a'+ a O' a a' ' + a O' a y a' y' a z a' z' z z O z' r O' r r' ' Sl se a 0, l accelerazine nei due sistemi di riferiment è la stessa! a O' 0 a a' a a a y z a' a' a' ' y' z' + a O' 6
7 Tasfrmazini di Galilei y y' ' z z z' O O' r r r r' Se O si muve lung l asse cn velcità cstante e O cincide cn O a t0: + ' ' ' ' z z y y t v O ' ' ' ' ' ' z z y y a a a a a a + ' ' ' ' ' ' ' z z y y O v v v v v v v r r'+oo'!! v v'+ v O' a a'
La neve sta cadend verticalmente ad una velcità cstante di 8 m/s. A quale angl rispett alla verticale sembran cadere i ficchi di neve per il guidatre di un aut che viaggia a 50 km/h? Cnsideriam il sistema di riferiment Oyz ferm rispett al sul c n l asse dirett lung la strada e il sistema O y z ferm rispett al guidatre. il sistema O y z si muve cn velcità cstante rispett al sistema Oyz v v'+ v Pssiam applicare le trasfrmazini di Galilei: O' y 50 km h 501000 m 3600s 13,9m / s v vo' y La velcità dei ficchi di neve rispett alla macchina (sistema O y z ) sarà: v O' v' v θ v O' v' v O O tanθ v a v 13.9 8.0 1.737 θ 60 8
Le Cause del Mt
Le cause del mt: la situazine prima di Galilei e di Newtn Ogni element ha una sua psizine naturale: la terra e l acqua stt, l aria e il fuc spra. Ogni element cerca di raggiungere la sua psizine naturale dp di che rimane in quiete L stat naturale dei crpi è la quiete Per far muvere un crp per mantenerl in mt ccrre esercitare un azine su di ess! Il mt dei crpi celesti era assicurat da schiere di angeli ( dei) che spingevan i pianeti, il sle (Apll cn il carr) e le stelle nel lr mt attrn alla terra. 10
Le cause del mt: la visine attuale La visine attuale è cndensata nelle tre leggi di Newtn. Questi vann cnsiderati cme dei pstulati, dei principi fndamentali, nn dimstrabili, frmulati sulla base delle intuizini di grandi fisici, Galilei, Newtn, da cui si pssn far discendere tutte le altre leggi che descrivn i fenmeni particlari. E dunque il cnfrnt delle previsini dedtte dai principi fndamentali cn i risultati di esperimenti che ci permette di apprezzare la crrettezza dei pstulati iniziali. I legge di Newtn II legge di Newtn III legge di Newtn 11
DINAMICA PRINCIPI : regle di validità generale dedtte (cn grande intuizine!!!) dalla sservazine dei fatti. Frmulazine dei Teremi Leggi, ed enunciazine in termini di Equazini. PRINCIPI DELLA DINAMICA Classica (v<<c300000km/s): (dinamica del punt materiale e dei sistemi) - Principi Zer di Relatività - Prim Principi Principi di Inerzia - Secnd Principi della Dinamica - Terz Principi della Dinamica (sl nella dinamica dei sistemi)
DINAMICA:Descrizine dei Fenmeni. Sistemi di riferiment diversi, spess in mt relativ l un rispett all altr. Y Y V 0 O X O X Due sistemi si muvn di mt traslatri se i crrispndenti versri (i e i,j e j,k e k ) degli assi crdinati mantengn inalterate le lr direzini parallele. MOTO TRASLATORIO RETTILINEO E UNIFORME se il mt dell rigine O è unifrme e rettiline rispett all rigine O.
PRINCIPIO ZERO DI RELATIVITA. Se due labratri si muvn l un rispett all altr di mt traslatri rettiline e unifrme, nn esiste esperiment che dia risultati diversi nell un e nell altr labratri (indistinguibilità dei sistemi) Il principi di relatività nn implica necessariamente che i due sservatri misurin l stess valre!!! Esempi. Pallina che rimbalza in alt sulla nave. O O O V O 14
La prima legge di Newtn legge di inerzia I crpi islati cnservan il lr stat di mt rettiline unifrme di quiete (cas particlare del mt rettiline unifrme) L stat naturale dei crpi nn è la quiete ma il mt rettiline unifrme (a velcità cstante): nn è necessaria alcuna azine per mantenere in mt (rettiline unifrme) un crp. Se nn ci sn interazini cn altri crpi (ggett islat) nn c è alcuna pssibilità di cambiare la sua velcità. Sl le interazini cn altri crpi pssn far cambiare la velcità (il su mdul la sua direzine) di un crp. Se un crp cambia il su stat di mt (la sua velcità cambia in mdul in direzine) allra vul dire che nell ambiente circstante esiste almen un altr crp che sta esercitand un azine sul crp stt sservazine. Le azini esercitate dagli altri crpi, capaci di far cambiare la velcità di un crp, si chiaman frze. 15
Definizine Operativa di FORZA. Def. DINAMICA Oggett Ferm, Liber di muversi + Frza Oggett in Mviment Def. STATICA Oggett Vinclat + Frza Oggett che si Defrma
Definizine STATICA di FORZA. Essa si basa sul csiddett : DINAMOMETRO (a defrmazine) È sstanzialmente una mlla tarata. Cnsideriam una mlla vinclata per un su estrem ad un sstegn fiss; dtiam l altr estrem di una freccia di riferiment. Segnerem, su un regl slidale al sstegn, l zer quand la mlla nn è sllecitata. Successivamente una certa frza nta (generata da un ggett campine.c.- di frza) è applicata al su estrem. Segnerem l 1 sul regl in crrispndenza della freccia. Per successivi multipli dell.c. si segnan,3,4, etc. Abbiam cstruit un DINAMOMETRO, strument capace di misurare l intensità di una FORZA. La frza è una grandezza Vettriale. (Attravers carrucle è pssibile far vedere che le frze sn grandezze vettriali piché segun la regla parallelgramma) regl 0 1 Campine di massa unitari
Sistema di Riferiment Inerziale (SRI) E definit dalla cndizine che in ess un punt materiale liber (nn sttpst ad alcuna frza), se pst inizialmente in quiete, permane in quiete. La sua Psizine è detta di equilibri. è In un SRI tutte le psizini sn di equilibri per un punt materiale liber. Nn esistn punti Liberi sulla Terra. Equivalenza ad un Punt Liber è Si ttiene equilibrand le frze che agiscn sul punt. (es. ripian lisci e disc ) Frza Pes Reazine Vinclare La TERRA è un SRI? NO (Pendl di Fucault) Si avvicina ad SRI la scelta del sistema cn rigine il SOLE ed assi rientati su tre stelle csiddette fisse. Dal Principi di Relatività è Se un sistema è un SRI allra gni altr sistema che si muva rispett al prim di mt traslatri rettiline ed unifrme è anch ess un SRI. (altrimenti, punti in quiete inizierebber a muversi per sservatri diversi, da cui la negazine del P. di relatività) PRIMO PRINCIPIO PRINCIPIO DI INERZIA In un SRI un punt materiale liber che abbia ad un cert istante una velcità V, mantiene indefinitamente (fin a che resta liber) il su stat di mt rettiline ed unifrme. 18
In un SRI : Frza ed Accelerazine. Punt ferm à resta ferm ppure Punt in mt rett. unif. à permane nel su stat di mt Nn serve una Frza per nessuna delle due situazini. Le FORZE in un SRI pssn avere a che fare slamente cn le VARIAZIONI di Velcità (àaccelerazione). Esisterà una relazine tra : il risultante f delle frze applicate ad un punt materiale e l accelerazine a che il punt subisce. La medesima frza f misurata staticamente quand il punt si trva in una psizine, agisce anche quand il punt passa per quella psizine. Per α diversi à f diverse à misuriam le accelerazini a Un punt materiale subisce una accelerazine a prprzinale in mdul alla intensità del risultante f delle frze e diretta cme il risultante delle frze applicate : f a f m i a 19
MASSA INERZIALE. Quand un punt materiale è sttpst a frze misurabili staticamente, si riscntra che: - Una frza può esser psta in relazine ltre che cl punt materiale, cn le caratteristiche e la cnfigurazine dei sistemi fisici presenti nell ambiente circstante. (es. Pian inclinat: dipende da m(punt), dalla psizine del punt, dall angl alfa, ). Tali relazini sn dette: LEGGI DELLE FORZE. - Se il punt è lasciat liber di muversi, la sua accelerazine a è legata alla frza f dalla relazine: f m a Qualunque sia la natura delle frze e l stat di mt dell ggett, la cstante m i è la stessa. A frze dppie in intensità crrispndn accelerazini dppie in mdul. Chiamerem m i MASSA INERZIALE. Essa è una prprietà del punt materiale ( in seguit dell ggett). Def.Operativa: la massa inerziale si misura misurand l accelerazine subita dal crp quand ad ess è applicata una frza nta. i 0
MASSA GRAVITAZIONALE. Def.Operativa: La massa gravitazinale è quella grandezza fisica che si misura cn la bilancia. La Bilancia è cstituita da una asticella rigida mgenea, incernierata nel su punt centrale ad un asse rizzntale, e dtata agli estremi di due piatti. In equilibri l indice slidale segna zer. Cnvenzinalmente si assegna massa unitaria di 1kilgramm (1Kg) ad un ggett campine arbitrari di Pt-Ir custdit a Parigi. Si assegna massa unitaria ad un ggett quand pst su un piatt della bilancia, essa è in equilibri se pniam il campine del kilgramm massa nell altr piatt della bilancia. Analgamante a cme vist per Lunghezza e Temp, si definiscn multipli e sttmultipli della massa campine. Il pes per definizine è prprzinale alla massa gravitazinale. (da dinammetr e misura statica) In particlare scriverem: p mg Nella trattazine che farem la massa inerziale e la massa gravitazinale darann la stessa misura e quindi le cnsidererem equivalenti. 1
La secnda legge di Newtn Il risultante delle frze agenti su un punt materiale è uguale alla massa del punt per l accelerazine subita F ma Piché l accelerazine è un vettre e la massa è un scalare à si ha che : La frza è un vettre. La secnda legge di Newtn è una relazine vettriale F F F ( ) F ( ) F y y ( ) F z z Equivalente a tre equazini scalari: ( ma ) ma ( ma ) y ma y ( ma ) z ma z F F y ma ma y F z ma z Nn è una identità Ma un equazine! " F # $ m! " F # $! " mlt [ ][ a ] # $ SI: kg m s N
Sistemi nn Inerziali. Aut che frenaàsistema di Riferiment nn Inerziale SRnI Frze che nn sn esercitate da alcun agente. (Dette Frze fittizie apparenti d inerzia) Y O V B FRENATA Y X BRUSCA Y A O B V X O X L sservatre B, attribuisce ad una frza l imprvvisa accelerazine della biglia. 3
Osservazini sulla II a legge di Newtn Se si cnscn le frze cme funzine del temp, della psizine, delle prprietà dei crpi interagenti (massa, carica, etc.), etc., à Allra la secnda legge della dinamica ci permette di determinare l accelerazine una vlta nta l accelerazine, cn i metdi che abbiam discuss in cinematica (risluzine dell eq. diff.), è pssibile arrivare alla legge raria arrivare a cnscere la psizine del crp in funzine del temp, a descrivere il mt. F(t,, ) a X(t) Y(t) Z(t) Occrre quindi determinare le espressini delle frze! 4
Ulteriri sservazini sulla II a legge di Newtn La secnda legge di Newtn richiede che tutte le frze agenti su un crp sian prese in cnsiderazine. F m a Cme si fa ad includere tutte le frze? Nei sistemi di riferiment inerziali le frze sn dvute ad altri crpi presenti nell ambiente attrn al crp di cui si vul studiare il mt. Una frza è cmpletamente definita quand si cnsce qual è il crp che la subisce e qual è il crp che la genera Quest rende più facile anche l applicazine della terza legge di Newtn Per ricercare tutte le frze bisgnerà cercare i crpi presenti nell ambiente circstante e che pssn interagire cn il crp stt sservazine. Alcune frze agiscn a distanza, altre per agire richiedn che ci sia cntatt tra i crpi interagenti. Massima attenzine ai crpi che sn a cntatt cn quell stt sservazine.
La terza legge di Newtn Ad gni azine crrispnde una reazine uguale e cntraria Se il crp C esercita sul crp B una frza, F BC, allra anche il crp B esercita sul crp C una frza, F CB. Le due frze sn uguali in mdul e direzine, ma ppste in vers. r F BC F r CB N.B.: L e frze di azine e reazine agiscn sempre su crpi diversi. Frze uguali ed ppste, ma agenti sull stess crp, nn pssn essere quelle previste dalla terza legge di Newtn. 6
Nte sul Mt in due tre dimensini 7
Mt in (due e) tre dimensini Traiettria: lug di punti via via ccupati dal punt materiale La psizine del punt materiale viene individuata dal vettre psizine Il vettre psizine rappresenta l spstament a partire dall rigine per raggiungere la psizine del punt materiale Legge raria: psizine in funzine del temp. Le cmpnenti cartesiane del vettre psizine sn le crdinate del punt materiale r r( t) y z ( t) y( t) z( t) Equaz. parametriche della traiettria Il mt nell spazi è la cmpsizine di tre mti rettilinei dei punti priezine sugli assi crdinati: r(t) (t) i + y(t) j + z(t) 8 k
La velcità vettriale media L spstament del punt materiale in Δt Δ r r t + Δt ( ) r t ( ) Si definisce velcità vettriale media nell intervall Δt v m Δ r Δt r t + Δt ( ) r t ( ) Δt Se il punt materiale nell intervall Δt viene cstrett a muversi cn la velcità media, allra si muverà sul segment che cnnette il punt P(t) al punt P(t+ Δt) [SEGMENTI CELESTI] La descrizine del mt nn è accurata Un miglirament si ttiene se si scelgn intervalli più piccli. 9
Si fissa l istante t La velcità vettriale istantanea Si fissa un intervall Δt maggire di zer Si calcla la velcità media nell intervall Δt v m Δ r Δt r t + Δt ( ) r ( t) Δt Si definisce la velcità istantanea cme: r t + Δt v lim Δt 0 Δt ( ) r ( t) Attenzine è la derivata di un vettre d r t Analgamente a quant vist nel cas unidimensinale : La velcità vettriale tende ad assumere la direzine tangente alla traiettria nel punt P. Il vers è quell del mt. La velcità vettriale è la derivata del vettre psizine valutata all istante t. 30
La velcità riferita alla traiettria Indichiam cn Δs il percrs effettuat sulla traiettria dal punt materiale. Osserviam che per Δt 0 anche Δs 0 La velcità media può essere scritta: Δs Δt v m Δ r Δt Δs Δt Δ r Δs è la velcità scalare media in Δt Il limite per Δt che tende a zer ci darà la velcità scalare istantanea. v lim Δt 0 Δs Δt Suppniam di pter calclare il limite del rapprt incrementale nel seguente md: è la velcità scalare istantanea Δr v lim Δt 0 Δt # lim Δs & % Δt 0 ( $ Δt ' md ul # Δr & % lim Δs 0 ( $ Δs ' direzine e vers 31
Osserviam che La velcità riferita alla traiettria lim Δs 0 Δ r Δs 1 La lunghezza dell arc, per Δt, Δs che tende a zer diventa uguale alla lunghezza della crda lim Δs 0 Δ r Δs è un vettre di mdul unitari (versre) Abbiam già sservat che l spstament, per Δt che tende a zer, si dispne lung la direzine della tangente alla traiettria nel punt cnsiderat nel vers del mt. Quindi pssiam prre Δr lim Δs 0 Δs u t u t è il versre tangente ( u t ) La velcità istantanea può essere scritta: v vu t 3
Velcità ed accelerazine Abbiam definit la velcità e analgamente definiam l accelerazine : v(t) d r a d v v d(t) v y dy(t) v z dz(t) a dv d r a a a y z v v u t dv dv y dv z d d y d z 33
Mt Parablic (Attravers un esempi)
Un cannne lancia un priettile cn una velcità iniziale v 60m/s ad un angl di 60 rispett all rizzntale. Determinare, trascurand la resistenza dell aria, a) la distanza dal punt di partenza del punt di atterraggi del priettile (gittata). b) la velcità di impatt al sul c) la durata del mt d) l altezza massima raggiunta dal priettile. e) il temp impiegat per raggiungerla. f) il valre dell angl per il quale la gittata è massima ed il valre della gittata. g) la gittata quand l angl è di 30. y Intrdurre il sistema di riferiment Asse rizzntale Asse y verticale v cntenuta nel pian y Origine nel punt di lanci Il crp sarà sggett all accelerazine di gravità a 0 a g ay g az 0 O v 60 Cndizini iniziali: y z 0 0 0 v v y v v v z csθ senθ 0 35
y z 0 0 0 d 0 d y g d z 0 v v y v v v z cs senθ 0 θ 1 ricrdiam + vt + at v ( t) v + at mt unifrme mt unifrmemente accelerat mt unifrme y (t) ( v csθ )t v v csθ y(t) ( v sen θ )t 1 gt v y v sinθ gt z(t) 0 v z 0 Il mt avviene nel pian y Le equazini parametriche della traiettria: (t) ( v csθ )t y(t) ( v senθ )t 1 gt Per ttenere l eq. della traiettria y() bisgna eliminare il temp t v csθ v θ O 60 y(t) ( v senθ ) v csθ 1 g v cs θ 36
y(t) tanθ g v cs θ del tip y(t) a + b una parabla passante per l'rigine! 37
gittata G la distanza tra il punt di partenza ed il punt di atterraggi del priettile. 0 y( t) tan tanθ θ 1 v g v g cs θ cs θ 1 0 tanθ v cs g v senθ g θ csθ v cs g θ senθ csθ G 1 v sen θ csθ g y(t) tanθ g v cs θ G v sen θ g 317.8m G 8m 317. θ 60 NOTA: G è massima quand senθ è massim:θ 90 θ 45 y 0 38
Trviam gli istanti di temp in cui il priettile è al sul y0 y 0 0 t v sinθ 1 t 1 0 gt t v sinθ g Δt t t1 v senθ g Δt 10. 59 s La velcità all impatt tt v v v v v csθ v y v sinθ g v sinθ g v z 0 La cmpnente y della velcità ha cambiat di segn ma il mdul della velcità di impatt è ancra v y z v csθ 0 v sinθ v v sinθ ( v csθ ) + ( v senθ ) v (t) v csθ t y(t) v sinθ t 1 gt z(t) 0 v v csθ v y v sinθ gt v z 0 y 0 39
l altezza massima raggiunta dal priettile ed il temp necessari per raggiungerla. Quand il punt si trva nel punt più alt della traiettria v y 0 v y v sinθ gt v y 0 0 v sinθ gt t 3 v sinθ g ma v sen θ csθ g 158.9 m y ma 1 v sen θ g ptevam anche... y( t) tan θ v g cs θ 137.6 m La gittata massima G v sen θ g G ma v g 366.9m G 366. ma 9m θ 45 La gittata per θ 30 G v θ 30 senθ g v sen60 g 317. 8 m (t) v csθ t y(t) v sinθ t 1 gt z(t) 0 v y 0 v v csθ v y v sinθ gt v z 0 40
Mt del priettile θ 30 θ 45 41 Per graficare vi cnsigli di usare il prg. Free : http://www.walterzrn.cm/grapher/grapher_app.htm