ACCADEMIA NAVALE Sllbus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO
PREFAZIIONE È noto che in tluni ordini dell scuol medi superiore l'insegnmento dell mtemtic non giunge sino ll'ultimo nno, in ltri, lo svolgimento del progrmm è spesso finlizzto l supermento dell sol prov scritt dell'esme di mturità Ne consegue che lcuni studenti hnno un preprzione incomplet e comunque non sufficiente superre l'esme di mmissione l nno dei corsi normli dell'accdemi Nvle Nsce d queste considerzioni l compilzione del presente "Sllbus" che h nche lo scopo di elencre nel dettglio gli rgomenti per l'esme di mmissione m soprttutto servirà ll'spirnte llievo per verificre l propri preprzione, l comprensione dell teori e l propri bilità nell'utilizzre lo strumento mtemtico Questo "Sllbus", che riclc quello proposto dll'umi, è strutturto in sezioni; ogni sezione const di tre prti contrssegnte con le seguenti lettere N nozioni che occorre CONOSCERE Q quesiti e semplici esercizi che occorre SAPER FARE S esercizi per l cui soluzione sono richieste nozioni e cpcità culturlmente più rilevnti
Seziione N Numeri nturli - Numeri primi - MCD e mcm - Frzioni numeriche - Operzioni con frzioni - Numeri interi reltivi - Numeri rzionli reltivi - Potenz di numeri interi e di numeri rzionli - Disuguglinze Q Provre che il qudrto di un numero dispri è dispri Provre che per ogni n i numeri n e n non sono primi Clcolre MCD e mcm di 75 e 85 Provre che se due numeri hnno un divisore comune, nche l loro somm e l loro differenz hnno lo stesso divisore comune 5 Provre che due numeri consecutivi sono primi fr loro 6 Determinre n in modo che n n n 5 6 : 8 P P 7 Trovre un frzione tle che < < Q 5 Q 5 8 Trovre le frzioni genertrici di, e, 9 Spendo che 7 clcolre Determinre i numeri nturli n per cui n < < < < n Determinre il mggiore fr i due numeri 9, 9 ( )( ) ( ) ( )( ) n 56 < < 6 n S Dire per quli vlori di n il numero n n è divisibile per n n Dire qul è il resto dell divisione di per 7 essendo n m c m ( m, n) Determinre i numeri m, n tli che m n 875 e 8 M C D ( m, n) n 7 Dire per quli n il numero è nturle n 5 Determinre due numeri m, n venti somm 55, quoziente 5 ed un certo resto 6 L somm di tutti i numeri interi minori di un numero primo p è un numero divisibile per p
Seziione N Monomi - Polinomi - MCM e mcm - Operzioni con polinomi - Fttorizzzione di polinomi - Teorem e regole di Ruffini- Espressioni rzionli frtte Q Scomporre, 5 nel prodotto di due fttori Fcendo uso di prodotti notevoli clcolre mentlmente 99 e 9 P spendo che P ( ) Determinre il polinomio ( ) Determinre, b in modo che P ( ) b si tle che P ( ), ( ) 6 5 Determinre quoziente e resto di ( ) : ( ) 6 Assegnti P ( ), P ( ) modo che il polinomio ( ) P ( ) P ( ) P, determinre il vlore di in P bbi uno zero in 7 Nel polinomio P ( ) b divisibile per ( ) ( ) 8 Determinre, b, c in modo che determinre, b in modo che risulti b c S Costruire il polinomio P ( ) di grdo minimo, con coefficiente del termine di grdo mssimo ugule, tle che P ( ), P ( ), P ( ) Trovre due interi, tli che ( ) ( ) P, è, scomporre in prodotto di fttori il polinomio Dopo ver detto per quli n il polinomio ( ) ( ) n n divisibile per ( )( )( ) ( ) Provre che risult b b > per ogni coppi (,b) con, b 5 Si P ( ) e si consideri ( ) P[ P( ) ] P( ) sono nche zeri di Q( ) 6 Determinre un polinomio P ( ) di grdo tle che ( ) P ( ) P( ) Q ; provre che gli zeri di n P e tle che ; sfruttre tle risultto per trovre l somm dei qudrti dei primi numeri nturli
Seziione N Numeri reli - Potenz con esponente intero - Rdice nm - Rdicli ritmetici - vlore ssoluto - Potenz ( Z, Q) - Operzioni con rdicli - Medi ritmetic e medi geometric di numeri positivi - Potenz ( R) - L funzione - Il logritmo - L funzione log Q Determinre gli reli per cui < Determinre gli reli per cui > Ridurre,, Provre che 5 8 < 7 tre rdicli venti lo stesso indice 5 Determinre i vlori di per cui > 6 Dimostrre che l medi geometric di due numeri positivi è non mggiore dell loro medi ritmetic, 5 5 è il mggiore 8 Provre le seguenti uguglinze log b log, log b log b, log b l b 7 Dire qule dei due numeri ( ) ( ) 9 Essendo,b,c R ( )( ) g b, è ver l'impliczione ( c) ( b c) b? S Rzionlizzre i denomintori delle seguenti frzioni A, B Mettere sotto form di prodotto di due fttori Semplificre l seguente espressione Si rzionle con ; provre che se 5 Provre che 6 Provre che log log log ( ), R si h log b c log log log8 7 bc
Seziione N Le equzioni e i principi di equivlenz - Equzioni e disequzioni lineri - Equzioni di grdo o d ess riconducibili - Regol dei segni di Crtesio - Relzione fr i coefficienti e le rdici di un'equzione di grdo - Disequzioni di grdo - Equzioni e disequzioni rzionli Q Risolvere l vrire di le equzioni, e si dic se esistono vlori di per cui sono equivlenti Risolvere l vrire di l'equzione Al vrire di R determinre i vlori di per cui < Si dic per quli vlori di R l'equzione ( ) ( ) h soluzioni e l vrire di si determini il loro segno 5 Assegnt l'equzione ( ) determinre in modo che mmett due rdici, tli che 6 Assegnt l'equzione b si scriv l'equzione di grdo vente come rdici le reciproche dell'equzione ssegnt; qule legme deve intercorrere tr e b ffinché mmett due rdici, tli che < < <? 7 Studire l disequzione > S Assegnto ( ) 7 P studirne il segno, spendo che esso h due zeri, tli che Al vrire di studire l disequzione < Assegnt l'equzione dire per quli vlori di ess mmette due rdici, tli che l somm si minim Trovre i due numeri, s ed il rpporto p tr l dei quli è not l somm s ( ) somm dei cubi e l somm dei qudrti ( p ) 6 5 5 Studire il segno del polinomio ( ) P 6 Provre che se m, n sono interi dispri l'equzione m n non h rdici rzionli 5
6 Seziione 5 N Sistemi lineri - Sistemi di equzioni di grdo superiore l - Sistemi omogenei - Equzioni e disequzioni irrzionli - Sistemi misti Q Risolvere i seguenti sistemi ) 5 b) c) Provre, giustificndo l rispost, che delle seguenti equzioni,, solo un mmette soluzione Risolvere l'equzione Risolvere le seguenti disequzioni ) ( ) > R b) < 5 Risolvere il sistem ( ) > S Si giustifichi perché l seguente equzione è impossibile Risolvere il seguente sistem 8 Si giustifichi perché l seguente disequzione < è impossibile Risolvere l vrire di l disequzione > 5 Provre che l seguente disequzione è verifict d ogni coppi ( ), di numeri reli
Seziione 6 N Equzioni esponenzili ed equzioni logritmiche Disequzioni esponenzili e logritmiche Sistemi misti Q Completre le seguenti impliczioni > (, ) < (, ) Fcendo uso dei teoremi sui logritmi, trsformre le seguenti espressioni in somme lgebriche: b log c Determinre l bse dei seguenti logritmi: 8 log, 6 Risolvere le seguenti equzioni 5 ) m n, log ( log ) log log b) 5 Risolvere il seguente sistem log log 7 6 Risolvere le seguenti disequzioni: ) log ( ) > log b) 8 8 > ( ) 5 S Risolvere l seguente disequzione: 8 8 > Risolvere il sistem, R Risolvere l seguente disequzione: >, e Provre che le uniche soluzioni del sistem e 5 Provre che l'equzione è impossibile sono (, ) e (, ) 7
Seziione 7 N L geometri euclide del pino Principli luoghi geometrici Costruzioni con rig e compsso Nozioni di uguglinz (o congruenz), di similitudine, di equivlenz di figure pine L circonferenz e sue principli proprietà Q Verificre che l rett perpendicolre d un segmento AB, pssnte per il suo punto medio coincide con il luogo geometrico dei punti equidistnti dgli estremi A, B ( sse del segmento ) Dte due rette incidenti r, s, verificre che il luogo geometrico dei punti equidistnti d r e s è costituito d un coppi di rette tr loro ortogonli (le bisettrici degli ngoli individuti d r e s) Costruire con rig e compsso (ovvero descrivere un procedimento per ottenere un tle costruzione) l circonferenz pssnte per tre punti non llineti Costruire con rig e compsso un tringolo, noi tre suoi elementi (lti o ngoli interni) dei quli lmeno uno si un lto 5 Costruire con rig e compsso le rette tngenti d un circonferenz, pssnti per un punto esterno d ess 6 Verificre che se un qudriltero è circoscrittibile d un circonferenz, llor l somm di due lti opposti è ugule ll somm degli ltri due 7 Costruire con rig e compsso l prte ure di un segmento S Dimostrre che ogni trpezio inscrittibile in un circonferenz è isoscele Costruire con rig e compsso le rette tngenti comuni due circonferenze dte Costruire con rig e compsso il lto di un decgono regolre inscritto in un dt circonferenz Costruire con rig e compsso un qudrto equivlente d un dto poligono convesso 8
Sezione 8 N Geometri dello spzio: posizione reciproc di rette e pini nello spzio Rette complnri o sghembe Angolo di due rette, di due pini, di un rett e un pino Perpendicolrità tr due rette, tr due pini, tr rett e pino Q Si dimostri che un qulunque rett r di un pino α ed un rett s non contenut in α e che incontr α in un punto P non pprtenente d r sono sghembe Si riconosc che tre rette venti due due un punto in comune, o gicciono in un pino o pssno per uno stesso punto Dti un rett r ed un punto P non pprtenente d ess, giustificre l esistenz e l unicità dell rett per P, perpendicolre e incidente r Giustificre che i pini pssnti per un punto e perpendicolri d un pino dto costituiscono un fscio proprio e descrivere l rett sostegno S Dte due rette sghembe r, s ed un punto P, individure un rett pssnte per P e complnre con r e s Dte un rett r e un punto P (non necessrimente pprtenente r) giustificre < ϑ < π con r Qunte che esistono infinite rette per P che formno un ngolo ϑ ( ) di esse sono complnri con r? Sino α e β due pini incidenti e si r l loro rett di intersezione Si dimostri che fr le rette di α, quelle formnti ngolo mssimo con β sono le perpendicolri d r < ϑ < π l misur (in rdinti) di un ngolo compreso tr due pini Si ϑ ( ) incidenti α e β Se un rett r pprtenente β form con α un ngolo di mpiezz ϑ, in qule posizione si trov r rispetto ll rett di intersezione tr i pini α e β? 9
Sezione 9 N Distnz di due punti, di due rette, di due pini; distnz di un punto d un rett, di un punto d un pino, di un rett d un pino Q Verificre che tr tutti i segmenti venti un estremo ssegnto e l ltro pprtenente d un dto pino, ne esiste uno di lunghezz minim Verificre che tr tutti i segmenti venti gli estremi pprtenenti due pini prlleli, ne esistono di lunghezz minim Individure, medinte intersezioni con pini opportuni, il segmento di minim distnz tr due rette sghembe Individure tutte le rette equidistnti d due pini prlleli ssegnti 5 È vero o flso che l distnz di un punto d un pino coincide con quell di tle punto d un qulsisi rett contenut nel pino? 6 Clcolre il rpporto tr i volumi di un cubo inscritto e di uno circoscritto d un stess sfer S Individure tutti i pini equidistnti d tre punti non llineti Determinre perimetro e re dell figur individut dll intersezione di un cubo di spigolo l con un pino perpendicolre d un digonle del cubo nel suo punto medio Determinre l distnz tr due fcce opposte (ovvero situte su pini prlleli) di un ottedro regolre di spigolo l Dti due pini incidenti α, β e un punto P, si individuino le rette contenute in α, venti distnz ssegnt h d P e formnti ngolo mssimo con β
Sezione N Luoghi geometrici di punti, di rette, di pini L sfer, il cono, il cilindro Problemi bsti sull intersezione di luoghi geometrici Q Descrivere l sfer come luogo di punti, il cono e il cilindro come luogo di rette Descrivere il luogo dei punti dello spzio equidistnti d due punti P e Q ssegnti Descrivere il luogo dei punti dello spzio equidistnti d due pini α e β ssegnti Descrivere il luogo dei punti dello spzio equidistnti di punti di un ssegnt circonferenz γ 5 Individure il centro dell sfer pssnte per un circonferenz γ e per un punto P non pprtenente l pino di γ 6 Individure il centro dell sfer tngente d un pino α in un suo punto A e pssnte per un ulteriore punto B non pprtenente α 7 Descrivere il luogo delle rette pssnti per un punto P e formnti un ssegnto ngolo ϑ con un pino α S Descrivere il luogo dei centri delle sfere pssnti per un punto P e tngenti due pini α e β tr loro prlleli e distinti Descrivere il luogo dei centri delle sfere di rggio ssegnto e tngenti due pini non prlleli Descrivere i pini pssnti per un rett r ed venti distnz ssegnt h d un punto P Dti un pino α ed un rett r d esso prllel, descrivere le eventuli rette di α prllele d r ed venti d r distnz ssegnt d 5 Dti due punti A e B, un pino α ed un segmento di lunghezz d, individure le eventuli rette per A, prllele d α ed venti distnz d d B Qul è il mssimo numero di soluzioni? 6 Individure l sse di un cono circolre del qule sono ssegnte tre genertrici 7 Dimostrre che le circonferenze circoscritte lle quttro fcce di un tetredro pprtengono ll superficie di un stess sfer 8 Dti un pino α ed un rett r perpendicolre d α, descrivere il luogo dei punti equidistnti d r e d α
Sezione N Coordinte ortogonli in un pino; equzioni di rette e di fsci di rette Problemi di prllelismo e di perpendicolrità Q L equzione segmentri, con e b numeri reli non nulli, rppresent b tutte le rette del pino? Considerti i fsci di rette di equzioni e ( ), si individui il luogo geometrico dei punti di intersezione delle coppie di rette corrispondenti d uno stesso vlore del prmetro Verificre che le equzioni ( ) b( ) e c ( ) d( ) rppresentno lo stesso fscio di rette Dto un prllelogrmm ABCD, con A (,), B (,), C ( 5,), scrivere l equzione dell rett contenente il lto opposto d AB 5 Dto il tringolo di vertici A (,), B (,), C (,), determinre il piede dell ltezz reltiv ll bse AB 6 Determinre le simmetriche delle rette r : e s : nell simmetri ortogonle rispetto ll rett t : S Considerte le rette r :, s : e detti P un generico punto del pino, P r e P s le sue proiezioni ortogonli su r ed s, rispettivmente, determinre il luogo geometrico dei punti P tli che OP r OPs Dte le rette r : ed s :, individure i vertici dei rombi venti due dei lti contenuti in r e s e di perimetro 8 Individure un isometri priv di punti uniti (ovvero che si trsformno in sé stessi) che si composizione di un numero pri di riflessioni e che trsformi, B 5, Descrivere inoltre le suddette riflessioni A ( ) in ( )
Sezione N Equzioni di un circonferenz rispetto d un riferimento crtesino ortogonle Ellisse, iperbole, prbol come luoghi geometrici; loro equzioni cnoniche Prbol di equzione b c Fsci di circonferenze Q S Scrivere le equzioni delle circonferenze tngenti ll sse delle e tngenti in T, ll rett r : ( ) Dt l ellisse di equzione, scrivere l equzione dell iperbole vente gli stessi fuochi dell ellisse e pssnte per il punto P (,) Individure il luogo dei centri delle circonferenze pssnti per il punto (, ) tngenti ll sse delle A e Tr le prbole di equzione b c individure quelle venti il fuoco nel P e pssnti per Q (, ) punto (,) Se ne scrivno le equzioni 5 Senz fre clcoli dire qunti sono i punti del pino crtesino le cui coordinte verificno tutte e tre le seguenti condizioni:,, < Verificre che, l vrire del prmetro rele ϑ, le coppie ( ), tli che 5cosϑ e sen ϑ individuno nel pino crtesino i punti di un ellisse dell qule si chiede l eccentricità Tr le circonferenze venti il centro sull ellisse di cui l precedente n, trovre quelle tngenti si ll sse che ll sse Fcendo uso di un opportuno prmetro rele, scrivere l equzione delle circonferenze venti il centro sull circonferenz di equzione e tngenti ll sse Nel pino crtesino rppresentre grficmente il luogo dei vertici delle prbole di equzione k, essendo k un prmetro rele non nullo 5 Nel pino crtesino rppresentre grficmente il luogo dei centri delle k circonferenze di equzione k k 6 Individure i fuochi delle prbole pssnti per i punti P (,) e (, ) per direttrice l rett di equzione Q ed venti 7 Verificre che l equzione rppresent un fmigli di ellissi eventi b b tutte gli stessi fuochi, l vrire del prmetro rele non nullo b Riconoscere che P, del pino pss un ellisse dell fmigli se e soltnto se > per un punto ( ) oppure (con )
Sezione N Interpretzione geometric, in un pino crtesino, di sistemi di equzioni e disequzioni in due incognite, dipendenti d un prmetro Q Si interpreti geometricmente il ftto che il sistem R non h lcun soluzione rele Si descriv il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di equzioni ( ) ( ) π ϑ < ϑ ϑ, sen cos Si riconosc che tli circonferenze pssno tutte per uno stesso punto; qule? Servendosi dell interpretzione geometric si riconosc che il sistem ( ) m h soluzioni per m Discutere l risolubilità dei seguenti sistemi:, ( ) m S Stbilire un condizione nlitic sufficiente ffinché l insieme dei punti che rppresentno le soluzioni di un sistem di equzioni e disequzioni lgebriche in due incognite bbi un sse di simmetri prllelo ll sse Discutere l risolubilità del seguente sistem: ( ) k Per quli vlori di k il seguente sistem h infinite soluzioni? ( ) k k
Sezione N Misur degli ngoli e degli rchi circolri Elementi di trigonometri pin: definizioni e principli formule Equzioni e disequzioni trigonometriche Risoluzione di tringoli Q Clcolre l misur in rdinti e in grdi sessgesimli di un ngolo ll circonferenz che insist su un rco di lunghezz ugule l rggio Risolvere le seguenti equzioni: sen sen sen tn Risolvere l seguente equzione: sen 5 sen sen Si riconosc che l equzione cos ( cos ) è impossibile, mentre l equzione sen ( sen ) mmette soluzioni (quli?) 5 Risolvere il seguente sistem di disequzioni: sen > sen cos > cos S Risolvere il seguente sistem di disequzioni (si consigli di porre cos X e sen Y ): sen cos < sen cos < Determinre i vlori di k per i quli l disuguglinz k cos sen è ver per ogni π Verificre che, dti tre numeri reli α, β, γ tli che α, β, γ kπ e α β γ π, risult: tn α tnβ tn γ tn α tnβ tn γ 5