Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- Dt un circonrnz di cntro O rggio unitrio, si prndno su di ss tr punti A, B, C, tli ch AB BC.. Si clcoli, in unzion dll ngolo AÔB, l quntità: controllndo ch risulti: ( ) cos cos. Si studi l unzion () si trcci il suo grico γ nll intrvllo π. Si vriichi ch l curv γ è simmtric risptto ll rtt di quzion π. Si clcoli il vlor mdio dll unzion () nll intrvllo π. PROBLEMA Si dt l unzion ( ). Si dtrmini il dominio di () si dic s l unzion è continu drivil in ogni punto di sso.. Si studi l unzion () s n trcci il grico γ.. Si clcoli l r dll prt di pino R rcchius dl grico γ dl smiss positivo dll sciss.. L rgion R gnr, nll rotzion ttorno ll ss dll sciss, un solido S. In S si inscriv un cono circolr rtto con vrtic nll origin. Si dtrminino rggio ltzz dl cono, inchè il suo volum si mssimo. QUESTIONARIO. In cim d un rocci picco sull riv di un ium è stt costruit un torrtt d ossrvzion lt mtri. L mpizz dgli ngoli di dprssion pr un punto situto sull riv oppost dl ium, misurt rispttivmnt dll s dll sommità dll torrtt, sono pri. Si dtrmini l lrghzz dl ium in qul punto.. Considrt l unzion ( ), dov è un costnt rl positiv, si dtrmini tl costnt, spndo ch lim ( ).. Su un pino orizzontl α si pongono un cono circolr rtto, il cui rggio di s è r l ltzz r, un sr di rggio r. A qul distnz dl pino α isogn sgr qusti du solidi con un pino orizzontl ß, prché l somm dll r dll szioni così ottnut si mssim?
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9-. Si dimostri ch pr gli zri di un unzion ( ) c vl l rlzion ) ( ) si di un intrprtzion gomtric dll rmzion dimostrt. ( ( ). Si clcoli il vlor mdio dll unzion ( ), nll intrvllo.. Si dtrminino in modo tl ch il grico dll unzion y pssi pr i punti dl pino y di coordint (,) (,). 7. Un ttrdro d un ottdro rgolri hnno gli spigoli dll stss lunghzz l. Si dimostri ch il volum dll ottdro è il qudruplo di qullo dl ttrdro.. Si trovi l quzion dll rtt tngnt ll curv di quzioni prmtrich t y nl suo punto di coordint (,). t 9. Si dimostri ch s un unzion () è drivil nl punto, ivi è nch continu; si porti un smpio di unzion continu in un punto ivi non drivil.. Si dimostri ch l dirnz di qudrti di du lti di un tringolo è ugul ll dirnz di qudrti dll rispttiv proizioni di lti stssi sul trzo lto dl tringolo.
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA Punto Considrimo l igur di sguito. B O A C Posto A ÔB si h ABˆ O OÂB. L ngolo l vrtic è A Bˆ C ABˆ O. Applicndo il torm di Crnot l tringolo AOB si h: AB AO OB AO OB cos ( ) cos( ) cos( ) Anlogmnt, pplicndo il torm di Crnot l tringolo ABC si h: AC AC Quindi: AB Punto )AB BC ( ) ( ) ( ) ) cos cos AB BC AB BC cos AB AB cos( ) AB [ cos( ) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] cos ( ) [ cos( )] cos ( ) [ ] cos ( ) cos( ) BC CA Studimo l unzion ( ) cos ( ) cos( ) [ cos( ) ] [ cos( ) ] in [,π] Dominio: [,π]; Intrszion ss sciss: ( ) [ cos( ) ] [ cos( ) ] ( ) cos > Intrszion ss ordint: ( ) Simmtri: l unzion è priodic di priodo [,π] ( ) π cos T π pri in qunto ( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) cos( ) ( ) Positività: ( ) > cos( ) > cos( ) (,π) ; ;
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- Asintoti vrticli: non v n sono in qunto l unzion è priodic limitt; Asintoti orizzontli: non v n sono in qunto l unzion è priodic limitt; Asintoti oliqui: non v n sono in qunto l unzion è priodic limitt; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è ( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) [ cos( ) ] ; di sguito il qudro di sgni sin cos ( ) ( ) ( ) > π π π > π π π > π sin ( ) cos( ) π π π π Dl qudro soprstnt dducimo ch l π π du mssimi rltivi in M,9, M, 9 ; m ( π,) unzion prsnt un minimo rltivo in [ ] Concvità convssità: l drivt scond è ( ) cos ( ) cos( ) pr cui rccos ( ) > cos( ) cos( ) π rccos π rccos π rccos π > Quindi l unzion prsnt concvità vrso l lto in, rccos π rccos π rccos, π rccos,π prsnt quttro lssi tngnt oliqu in
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- rccos π rccos,, π rccos Il grico è di sguito prsntto:,, π rccos 7,,, Punto Un unzion è simmtric risptto ll rtt k s ( ) ( k ). Nl cso in sm ( π ) cos ( π ) cos( π ) cos ( ) cos( ) ( ) pr cui ( ) simmtric risptto ll rtt Punto π. Il vlor mdio di un unzion ( ) in [ ] M π π π π π cos [ ( ) ( ) ] ( ) cos cos d π π è, è M ( )d. Nl cso in sm π [ cos( ) cos( ) ] d [ sin( ) sin( ) ] π cos ( ) π d
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA Punto Il dominio dll unzion ( ) Nl dominio l unzion è continu. L drivt prim è ( ) è dto d:. d cui dducimo ch l unzion non è drivil ni punti ± in cui prsnt un tngnt vrticl; intti lim ( ) lim ( ) dominio sclusi i punti con sciss ±. Punto Studimo l unzion ( ) Dominio: ;. In conclusion l unzion è drivil in tutti i punti dl Intrszion ss sciss: ( ) Intrszion ss ordint: ( ) Simmtri: l unzion è dispri in qunto ( ) ( ) ( ) Positività: > > ( ) > - - - - Asintoti vrticli: non v n sono in qunto lim ( ) lim ( ) Asintoti orizzontli: non sistono visto il dominio chiuso [,] ; Asintoti oliqui: non sistono visto il dominio chiuso [,] ; Crscnz dcrscnz: l ; drivt prim è ( ) ; il qudro di sgni è lto prsntto: d sso dducimo l prsnz di un minimo rltivo
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9-7, m d un mssimo rltivo, M ; Concvità convssità: l drivt scond è ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pr cui, ricordndo ch il dominio è, si h ( ) > > > cioè l unzion prsnt concvità vrso l lto in ( ), vrso il sso in ( ), ; l unzion prsnt quindi un lsso tngnt oliqu ( ), F con tngnt inlssionl di quzion y. Di sguito il grico: Punto L r richist è pri ( ) ( ) d d d d S Punto Si ( ), P con un punto gnrico pprtnnt l rmo dl primo qudrnt dll unzion ( ). Il rggio dl cono inscritto srà pri ll ordint dl punto P cioè R mntr l ltzz srà pri ll sciss cioè h. Il volum dl cono srà llor ( ) ( ) ( ) h R π π π. L mssimizzzion l ttuimo mdint
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- drivzion: l drivt prim è ( ) ( ) π pr cui l unzion volum, ricordndo l limitzion gomtric è strttmnt crscnt in, strttmnt dcrscnt in, d cui dducimo ch il volum è mssimo qundo l ltzz è pri d il rggio è pri R. Il vlor mssimo è prtnto pri 9 π π.
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- QUESTIONARIO Qusito Considrimo l igur lto. Doimo clcolr l lunghzz dl sgmnto PO. Applicndo il torm di tringoli rttngoli i tringoli POT OH si h l rlzion ( ) PO tn( ) PO tn d cui PO 9m Qusito Il limit richisto si prsnt nll orm indtrmint pr cui possimo pplicr il torm di d lim l Hospitl: Qusito si h lim 7 ln ln Si considri l igur sgunt: A ln lim ln ln ln 7 ln ln ln. Imponndo ln ln ln 7 7 7 ln ln ln ln 7. O K L D E B H C F Indichimo con, r, l distnz tr pini α β. L intrszioni dl pinoβ con il cono l sr sono du circonrnz rispttivmnt di rggio 9
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- R C KL or i du rggi: R S DE. L somm dll r dll szioni è quindi S π π R C R S. Clcolimo Rggio R C I tringolo AKL AHC sono simili ssndo ntrmi rttngoli con un ngolo in comun pr cui vl l sgunt proporzion tr lti omologhi: ( r ) AK : KL AH : HC d cui AK HC r KL r pr cui l r dll circonrnz di rggio AH r KL r è Rggio R S A C RC π r π ; Il tringolo ODE è rttngolo pr cui DE OE OD r ( r ) r pr cui l r dll circonrnz di rggio R S R S DE r è AS π RS π ( r ). π con L somm dll r è quindi ( ) S r π ( r ) π r r. Notimo ch l unzion ( ) r il mssimo nll sciss dl vrtic mssim pr r vl S r S è un prol con concvità vrso il sso ch prsnt r r ; quindi l somm dll du r è 9 π r r r r πr. Altrntivmnt possimo prosguir mdint drivzion: l drivt prim dll unzion S ( ) è S ( ) π r pr cui S ( ) > r d cui dducimo ch ( ) crscnt in, r strttmnt dcrscnt in r, r r è l sciss dl mssimo. Qusito Gli zri dll quzion c sono S è strttmnt S pr cui ; inoltr ( ) π c c, ; l drivt prim di ( ) c è ( ) pr cui
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- ( ) ( ) c c c c d cui dducimo ch ( ) ( ). Pr dr un intrprtzion gomtric l risultto ottnuto riscrivimo l somm ( ) ( ) [ ] : ss è pri ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) imponndo ch si null ottnimo ( ) o quivlntmnt ( ). L rlzion ppn ricvt ci dic ch l smisomm dll soluzioni è pri ch è l sciss dl vrtic; in ltri trmini gli zri dll prol sono simmtrici risptto ll rtt coincidnt con l ss di simmtri dll prol. Qusito Il vlor mdio di un unzion ( ) in [ ], è ( )d M. Nl cso in sm ( ) d M ; pplicndo l intgrzion pr prti si h ( ) ( ) ( ) d d d M Qusito L s dll unzion potnz dv ssr >. Imponndo il pssggio pr i punti ( )( ),,, si h: in cui l soluzion è stt scrtt in qunto non soddis l condizion >. Qusito 7 Considrimo il ttrdro l ottdro sottostnti:
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- Clcolimo i du volumi. olum ttrdro L ltzz di ognuno di tringoli quiltri componnti è DK l ; ricordndo ch l ortocntro di un tringolo quiltro divid ognun dll tr ltzz in du prti di cui un doppi dll ltr si h KH l l pr cui l ltzz dl ttrdro è pri DH DK KH l l l ; il volum è llor pri l l A h l ; T olum ottdro Il volum dll ottdro può ssr visto com l somm di volumi dll du pirmidi componnti. In ccordo con l igur soprstnt si h l OH, CH l, CO CH OH l pr cui il volum di un dll du pirmidi è l l A h l pr cui il volum dll ottdro è P corrispond l qudruplo dl volum dl ttrdro. P l ch O
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- Qusito L quzioni prmtrich possono ssr scritt com t y y ; l quzion dll rtt tngnt in (,) l drivt prim dll unzion y è t d cui dducimo l curv è y m( ) con y ( ) ( ) conclusion l quzion dll rtt tngnt è ( ) Qusito 9 Dimostrzion ( ) ( ) Ipotsi: inito il limit lim ( ) Tsi: lim ( ) ( ) ( ) ( ) Scrivimo: ( ) ( ) ( ) Sgu: ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ( ( ) ( ) ) lim lim( ) ( ) ( ) ( ) com volvsi dimostrr. ) m ; y pr cui m y ( ) ; in y. S l drivilità in un punto n implic l continuità, non vl il vicvrs. Bst prndr in considrzion l unzion ( ) s s in in cui prsnt un punto ngoloso in qunto lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ch risult ssr continu m non drivil
Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- Qusito Considrimo l igur lto. I tringoli AHB d AHC sono rttngoli in H. Applicndo il torm di Pitgor d ntrmi si h: A AB AC AH AH BH HC Sottrndo mmro mmro si h: AB AC ( AH BH ) ( AH HC ) BH HC coincid con qunto volvmo dimostrr. B H C ch