OLUZIONE IMULAZIONE EAME 0 DICEMBRE 05 I Parte Domanda (5 punti) Un fluido incomprimibile viene pompato in tubo orizzontale di lunghezza L e diametro D. La differenza di pressione agli estremi del tubo è pari Δp. Assumendo condizioni di flusso laminare stazionarie, si scriva il bilancio della quantità di moto macroscopico (cioè su tutto il volume del tubo) lungo la direzione del moto e si ricavi da questo l'espressione dello sforzo viscoso tangenziale alla parete del tubo, σ w, in funzione delle altre variabili del problema oluzione (la soluzione è stata sviluppata in maniera molto generale, è sufficiente anche solo la parte che comincia subito dopo l'eq ()) In condizioni stazionarie il moto nel tubo del fluido incomprimibile è governato dall'equazione di bilancio della quantità di moto. La sua versione macroscopica, considerando anche che il moto è rettilineo, si riduce a: ρg dv + t n d = 0 () V La () sancisce il concetto fisico che, in tali condizioni, il bilancio di quantità di moto si riduce ad un bilancio di forze. La proiezione lungo la direzione (orizzontale) della () implica prima di tutto che il contributo della forza peso (verticale) è nullo in tale direzione. Inoltre, ricordando che: t n = T n = ( pi + σ ) n () la () diventa: ( pi + σ ) nd = 0 () Per rendere operativa la () dobbiamo individuare le superfici del volume di controllo e stabilire quali sono le forze agenti su di esse e che hanno componente nella direzione del flusso. Le superfici sono quelle di un cilindro e quindi sono le due basi e la superficie laterale. ulle superfici di base le uniche forze agenti in direzione del flusso sono quelle di pressione: π D pi nd = p 0 4 + p π D π D = Δp (4) L 4 4 ulla superficie laterale le uniche forze con componente orizzontale sono quelle determinate dallo sforzo tangenziale alla parete, cioè appunto σ w : σ nd = σ w π DL (5) i ottiene quindi: da cui: Δp π D 4 +σ π DL = 0 (6) w σ w = Δp L D 4 (7) Domanda (5 punti) In un CTR di volume V avvengono le seguenti reazioni chimiche: ) A B e ) B C + D. Entrambe le reazioni sono irreversibili con cinetica elementare e costanti cinetiche k (reazione ) e k (reazione ). Il CTR viene alimentato con una portata volumetrica Q contenente il solo reagente A alla concentrazione c A 0. i scrivano in condizioni stazionarie le equazioni di bilancio di materia di tutte le specie chimiche coinvolte. Inoltre, utilizzando unità di misura del istema cgs, si scrivano le dimensioni della costante cinetica k.
oluzione Le equazioni di bilancio di materia delle quattro specie chimiche coinvolte nella reazione devono tenere conto dei termini di ingresso, di uscita e di generazione. i ha: Qc 0 A Qc A k c A V = 0 Qc B + ( k c A + k c B )V = 0 Qc C + k c V = 0 B Qc D + k c V = 0 B Le dimensioni di k si ricavano considerando che la velocità di reazione per la scomparsa di B dalla reazione ) è: r B = k c B (9) Considerando che le unità di misura di r B sono moli/(cm s), quelle di k devono essere: k = cm6 / moli s (8) (0)
II parte Problema (0 punti) Un catalizzatore poroso sferico è costituito da una parte interna di raggio R =cm ricoperta da una parte esterna compresa tra R e R =cm. La reazione catalitica A B del primo ordine (costante cinetica k=0. min - ) avviene solo nella parte interna (dove A è caratterizzato da una diffusività effettiva D i =0-4 cm /s), mentre in quella esterna, che serve solo a proteggere il (costoso) catalizzatore interno, A diffonde senza reagire con un coefficiente di diffusione D e = 0-4 cm /s. e la concentrazione di A sulla superficie esterna del catalizzatore (r=r ) vale c =mole/cm, si determini, in condizioni stazionarie: - la concentrazione di A all'interfaccia tra i due solidi porosi( cioè a r=r ), c, in moli/cm - la portata molare di A che reagisce nel catalizzatore, N A in moli/min R R oluzione Un bilancio di materia macroscopico sul volume interno di catalizzatore sancisce, in condizioni stazionarie, che la portata molare di A entrante è pari a quella reagita. i ha quindi: c N A = 4πD e R R c = 4 R R π R kc η () Nella () il primo membro è stato scritto in termini di portata molare che attraversa lo strato esterno, mentre il secondo membro in termini di portata molare reagita. Nel secondo membro η è l efficienza del catalizzatore, calcolabile come: η = Λ tanh Λ Λ () dove il modulo di Thiele, per un catalizzatore sferico, vale: Λ = kr () 9D i ed è calcolabile a priori in quanto sono noti tutti i parametri fisici. Da quanto detto risulta che la () è una equazione di I grado nella incognita c, che può essere risolta fornendo: D c = c e R (4) R ( R R )kη + D e R Passando ai numeri, il modulo di Thiele vale: Λ = kr = 0.00 =.9 9D i 9 0 4 (5) i noti che nella (5)la costante cinetica è stata espressa in s - per garantire l omogeneità dimensionale. Dalla () si ha: η = Λ tanh Λ Λ =.9 e quindi, usando la (4), otteniamo c come: tanh(.9).9 = 0.40 (6)
D c = c e R 0 4 = R ( R R )kη + D e R ( ) 0.00 0.40 + 0 4 = 0.89moli / cm (7) La portata molare è poi calcolabile utilizzando una delle due espressioni riportate nella (). Ad esempio: N A = 4 π R kc η = 4 π 0.00 0.89 0.40 = 5.5 0 moli / s (8) o anche, nelle unità richieste dal problema, N A =0. moli/min. Problema (0 punti) Nella macchinetta moka l'acqua liquida (viscosita µ=0.00 Pa s e densità ρ= g/cm ) viene spinta attraverso il filtro contenente il caffè dalla pressione del vapore surriscaldato all'interno della caldaia. Il filtro è a tutti gli effetti un letto fisso di particelle di caffè di diametro D=.5 e altezza H=.5cm. i assuma la polvere di caffè costituita da particelle sferiche tutte uguali di diametro d p =0.mm. La pressione all'imbocco del filtro è di 0. bar più alta di quella all'uscita (atmosferica). i calcoli il grado di vuoto necessario ad ottenere 0 cm di caffè in un minuto. i assumano condizioni stazionarie. H D oluzione i tratta di un problema di moto in letto fisso di particelle, in cui sono noti tutti i parametri fisici ad eccezione del grado di vuoto. Infatti, l informazione che si vogliono ottenere 0 cm in un minuto fissa la portata volumetrica Q=0/60=0.67 cm /s. Dalla portata, conoscendo il diametro del filtro, si calcola anche la velocità superficiale v = 4Q π D = 4 0.67 = 0.040cm / s (9) π.5 come rapporto tra portata e sezione del filtro. I dati del problema forniscono anche la differenza di pressione Δp tra l ingresso e l uscita del letto, posti a distanza H. Possiamo quindi scrivere la legge di Ergun, che regola il moto in letti fissi: f p = 50 +.75 (0) Re p e possiamo esplicitare le espressioni per il fattore di attrito e il numero di Reynolds nel letto: Re p = D p µ ε f p = Δ D ε p Lρv ε () () i ha quindi:
Δpd p ε Hρv ( ε ) 50µ ( ε ) = +.75 () d p La (), come detto, è una equazione algebrica non lineare nella sola incognita ε. Tra le procedure di soluzione si può pensare ad un procedimento di tipo iterativo, ad esempio esprimendo il grado di vuoto nei seguenti termini: 50µ ε Hρv ε = +.75 ε (4) d p Δpd p e risolvendo la (4) per successive iterazioni a partire da un valore di ε di primo tentativo. iccome tutti i parametri sono noti si può procedere a calcolare tutte le quantità costanti. i ha (tutte le grandezze sono espresse in unità I): 50µ = d p i ha in definitiva: H Δpd p = ε = 0 ε La soluzione per iterazione fornisce ε=0.079. 50 0.00 = 0 000.40 0 4 4 0 4 0.05 000.40 0 000 0 4 =.6 0 7 { +.75 ( ε )}.6 0 7 (5) (6)