Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 3: Idrostatica (parte II pressione e sua misura) proprietà dei fluidi Anno Accademico 2008-2009 2009 1
Indice Definizione di pressione Densità e peso specifico Comprimibilità Tensione superficiale contatto liquido-gas gas-solidosolido Legame sforzi-deformazioni Viscosità Equazione indefinita dell idrostatica Equazione fondamentale dell idrostatica Variazione della pressione all interno di un fluido e relative applicazioni Misura della pressione Piezometro Manometri (metallico, semplice e differenziale) 2
Slides delle lezioni frontali Materiale didattico Citrini-Noseda (pagg. 8-208 + 28-43) 3
Pressione: definizione In un fluido in quiete tutte le componenti tangenziali degli sforzi dovranno essere nulle Esisteranno pertanto soltanto componenti normali: : tutti gli sforzi sono diretti perpendicolarmente alle superfici su cui agiscono 4
Pressione: definizione In un fluido in quiete,, gli sforzi agenti su tutte le superfici infinitesime passanti per il punto M risultano uguali fra loro indipendentemente dalla giacitura della superficie su cui agiscono (sistema( isotropo rispetto agli sforzi) φ = φ = φ = n xx yy φ zz 5
Pressione: definizione Il modulo di questi sforzi si definisce pressione; ; di solito la pressione si indica con la lettera p Lo sforzo φ n agente sull elemento di versore normale n è rappresentato dal prodotto pn 6
Pressione: definizione La pressione ha le stesse dimensioni dello sforzo e quindi la stessa unità di misura (nel S.I. il pascal = N m -2, nel S.T. il kg m -2 ) [ ] 1 2 ML T 7
Densità e peso specifico La densità di un fluido è il rapporto tra la massa M del fluido e il volume V occupato dalla stessa: ρ = Nel S.I. le sue dimensioni sono M L -3 ; la sua unità di misura è il kg/m 3 (la densità dell acqua a 4 C 4 è di 1000 kg/m 3 ) Nel S.T. le sue dimensioni risultano F L -4 T 2 ; la sua unità di misura il kg s 2 / m 4 (la densità dell acqua a 4 C 4 C risulta 102 kg s 2 /m 4 ) M V 8
Densità e peso specifico Il peso specifico di un fluido è il rapporto tra il peso P del fluido ed il volume V occupato dallo stesso: γ = P V Confrontando la precedente con la definizione di densità, si ricava: γ ρ = P = M Nel S.I. il peso specifico dell acqua a 4 C 4 C risulta 9806 N/m 3 ; nel S.T. risulta 1000 kg/m 3 g 9
Comprimibilità La densità in un liquido può variare con la temperatura e con la pressione: per definire tale ultima proprietà si definisce un modulo di comprimibilità ε = dp dρ ρ Esso indica la variazione di pressione necessaria per ottenere una variazione relativa di densità pari a 1 Per i liquidi,, dato l elevato l valore di ε,, risulta in pratica dρ=0, quindi si può considerare ρ=costante (fluido incomprimibile) 10
Tensione superficiale La superficie di separazione fra due fluidi non miscibili si comporta, a causa delle forze di attrazione molecolare,, come una membrana elastica in stato uniforme di tensione Tale proprietà è definita tensione superficiale 11
Tensione superficiale La figura evidenzia le differenti intensità delle forze di attrazione molecolare all interfaccia fra due fluidi immiscibili (es. aria-acqua) acqua) 12
Tensione superficiale F l F Se immaginiamo di tagliare una superficie circolare lungo un diametro (l), per mantenere in contatto le due labbra del taglio occorre esercitare su ciascuno di essi una forza F: la tensione superficiale è misurata dal rapporto s (forza per unità di lunghezza): s = F l 13
Contatto liquido-gas gas-solido solido Quando un liquido viene a contatto con una superficie solida in presenza di un gas, per effetto delle forze di attrazione molecolare la superficie di separazione liquido-gas forma con la superficie solida un angolo di contatto β variabile fra 0 0 e 180 in funzione della natura del liquido, del gas e della superficie solida 14
Contatto liquido-gas gas-solido solido L interazione solido-fluidi non miscibili si può schematizzare attraverso l angolo l di contatto β: 0 < β <90 fluido bagnante 90 < β <180 fluido non bagnante 15
Distingueremo due casi: Contatto liquido-gas gas-solido solido menisco menisco Caso A Caso B La parete attira il liquido Il liquido bagna la parete Le molecole interne attirano il liquido Il liquido non bagna la parete 16
Contatto liquido-gas gas-solido solido Questo comportamento spiega il fenomeno della capillarità Per l acqua l (liquido che bagna la parete) 17
Contatto liquido-gas gas-solido solido Legge di Jurin-Borelli h = 4σ cos γ ( π β ) Hg d L innalzamento (o la depressione) h dovuto alla capillarità è inversamente proporzionale al diametro d del tubicino 18
Contatto liquido-gas gas-solido solido Dati i valori delle proprietà fisiche medie dei liquidi per temperature ordinarie, per tubicini di vetro si ha: h d = 30 (acqua) h d = -10 (mercurio) con h e d espressi in mm 19
Legame sforzi-deformazioni Il volume e la forma di un elemento solido o fluido variano al mutare dei valori degli sforzi cui esso è soggetto La dipendenza della densità dai valori di pressione evidenzia la correlazione fra sforzi e deformazioni volumetriche 20
Viscosità Per i fluidi gli sforzi tangenziali non sono collegati a deformazioni, bensì alla velocità di deformazione: sollecitazioni maggiori determinano velocità maggiori L evidenza sperimentale mostra che la forza F, rapportata all unit unità di superficie bagnata (A), è direttamente proporzionale alla velocità e inversamente proporzionale allo spessore di fluido 21
Viscosità Al limite per Δx 0, F/A risulta proporzionale alla derivata della velocità nella direzione perpendicolare al moto n Il coefficiente di proporzionalità μ è detto viscosità dinamica del fluido [N s s m -2 ] Legge di Newton 22
Viscosità La viscosità varia da fluido a fluido; nella maggior parte dei casi (fluidi( newtoniani) ) il suo valore non dipende dallo stato di sforzo, risultando pertanto una proprietà intrinseca del fluido medesimo I valori di μ possono variare di parecchi ordini di grandezza al variare del fluido e sono in generale significativamente correlati con la temperatura 23
Viscosità Nella meccanica dei fluidi risulta conveniente introdurre un altra grandezza cinematica direttamente legata alla viscosità: : essa è la viscosità cinematica, pari al rapporto fra la viscosità dinamica μ e la densità del fluido ρ μ ν = [m ρ [m 2 s -1 ] = [N s s m -2 ] [N -1 ] μ ρ 24
Equazione indefinita dell idrostatica Sulla faccia del cubetto di fluido infinitesimo agisca la pressione p; ; le spinte sulle tre facce elementari saranno: p dx dy k p dy dz i p dx dz j 25
Equazione indefinita dell idrostatica Le pressioni sulle facce opposte risultanti valgono rispettivamente: ( p + p z dz ) ( p + p x dx ) ( p + p y dy ) Le spinte sulle facce opposte risultanti sono pari rispettivamente a: p ( p + dz) dxdyk z p ( p + dx) x dydzi p ( p + dy) y dxdzj 26
Equazione indefinita dell idrostatica La forza di massa complessiva agente sull elemento di volume dxdydz vale: ρ dx dy dz F dove F è la forza di massa per unità di massa Per l equilibrio l del cubetto ρ F = p x i + p y j + p z k Equazione indefinita dell idrostatica (in forma vettoriale) 27
Equazione indefinita dell idrostatica Se l unica l forza di massa è la gravità F = -g k si ha quindi in forma vettoriale: dp = ρ g dz ρ gk ovvero, in forma scalare: = p z k Equazione indefinita dell idrostatica (in forma scalare) 28
Equazione indefinita dell idrostatica La pressione varia con la quota e con il peso specifico sia per i fluidi comprimibili, sia per quelli incomprimibili La pressione rimane la stessa tra due punti di un fluido aventi la stessa quota 29
Equazione fondamentale dell idrostatica Per i liquidi, posto ρ = cost (fluido incomprimibile) dalla equazione fondamentale della statica per i fluidi pesanti z + p γ = cost dp = ρg dz integrando questa equazione differenziale a variabili separabili, si ottiene: Equazione fondamentale dell idrostatica (o legge di Stevin) 30
Equazione fondamentale dell idrostatica L equazione fondamentale dell idrostatica indica che la somma della quota geodetica z di un punto rispetto ad un riferimento orizzontale e del rapporto p/γ rimane costante all interno di un fluido in quiete Il rapporto p/γ,, che ha le dimensioni di una lunghezza, prende il nome di altezza piezometrica e viene di solito indicato con h La somma z + p/γ si chiama invece quota piezometrica 31
Variazione della pressione all interno di un liquido z=z0 z=zs p/ γ a p.c.i.a. p.c.i.r. pa h γ z=0 p=p + γ h p-p = γ h a a p = γ z + cost γ Equazione di una retta di coefficiente angolare γ 32
Variazione della pressione all interno di un liquido In un fluido in quiete la quota piezometrica è costante: per conoscerla, basta conoscere la quota del punto e la pressione nello stesso La pressione varia linearmente con la quota all interno della massa fluida e diminuisce con essa, poiché il coefficiente angolare è negativo Le superfici isobariche (p=cost) sono piani orizzontali 33
Variazione della pressione all interno di un liquido Sviluppando i calcoli: p = γ z + cost γ p = ( cost - z)γ alla quota z S della superficie libera la pressione è pari alla pressione atmosferica p atm p atm = γ z + cost S γ 34
Variazione della pressione all interno di un liquido p = γ z + p atm + γ z S p = p + γ atm ( z z) S posto h = z S z (affondamento) p = pa + γ h 35
Variazione della pressione all interno di un liquido Detta ora z 0 la quota dove è p=0,, si trova: da cui: atm ( z z ) 0 = p + γ S 0 z = z + 0 S p γ atm 36
Variazione della pressione all interno di un liquido z=z0 z=zs p/ γ a p.c.i.a. p.c.i.r. pa h γ z=0 p=p + γ h p-p = γ h a a I punti per i quali è p=0 giacciono su un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici assoluti (p.c.i.a.) 37
Pressione assoluta e pressione relativa Pressione assoluta (p): si determina con riferimento al p.c.i.a. ed esprime lo sforzo normale assoluto agente su un elemento di superficie immerso in acqua Pressione relativa (p r ): differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica: p = p r p atm La pressione relativa è nulla sulla superficie libera; i punti della superficie libera appartengono ad un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici relativi (p.c.i.r.) 38
Pressione assoluta e pressione relativa La distanza fra i piani dei carichi idrostatici relativo ed assoluto è pari a: z z = s 0 Nel caso in cui p atm assuma il valore di 102000 Pa, si ha: p γ atm 102000 Nm z z = 0 3 9806 Nm 2 = s 10.33 m 39
Variazione della pressione all interno di un liquido Dalla legge di Stevin in un fluido in quiete la pressione assoluta o relativa in un punto è pari al prodotto del peso specifico del fluido per l affondamentol del punto stesso sotto il corrispondente piano dei carichi idrostatici p = p r = γ ( z z) γ 0 γh ( z z) = γh s = * Ne deriva che, nota la pressione in un punto, il piano dei carichi idrostatici sovrasta il punto stesso di una quantità pari all altezza altezza piezometrica h=p/γ 40
Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Fluidi non miscibili 41
Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido 42
Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione uguale a p atm 43
Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione maggiore di p atm 44
Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione minore di p atm 45
Misura della pressione Unità di misura kg/m 2 Pa kg/cm 2 bar atm Torr kg/m 2 1 9,806 10-4 0,98 10 0,97 10 0,0736 Pa 0,102 1 1,02 10 10-5 10-5 0,98 10 7,5 10 kg/cm 2 10 4 9,8 10 1 0,98 0,97 735,56 bar 1,02 10 10 4 10 5 1,02 1 0,99 750,06 atm 10.330 1,013 10 10 5 1,033 1,013 1 760 Torr 13,59 133,3 0,136 10 10-4 1,333 10 10-3 1,316 10 10-3 1 46
Piezometro 47
Manometro semplice p A = γ h = γ man Δ 48
Manometro metallico o Bourdon Indicazione in kg/cm 2 o kg/m 2 p 4 =10 n in kg/m 2 49
Manometro differenziale p B + γ 1h1 = pc + γ 2h2 + γ mδ 50
Manometro differenziale p p = γ h γ h B C 2 2 1 1 + γ m Δ Nel caso in cui γ 1 = γ 2 = γ, risulta: ( h h ) + γ Δ p p = γ 2 1 B C m (1) D altra parte risulta anche: p γ B pc + h1 = + h2 γ + Δ + δ dove con δ si è indicata la distanza tra i due p.c.i. 51
Manometro differenziale p B + 1 C h2 γ h = p + γ + γδ + γδ p B p C = γ ( Δ + + δ ) h 2 h 1 ( h h ) + γ( Δ δ) p p = γ + C 2 1 B (2) Uguagliando la (1) e la (2), si ha pertanto: Δ m γ = Δγ + δγ γ δ = Δ m γ γ 52
Manometro differenziale Caso γ 1 γ 2 h E D 53
Manometro differenziale Dall equazione di equilibrio applicata ai punti del piano A-D, risulta: p A = γ 1 h p = p A D (3) Calcolando p D : pd 2 ) = pe + γ mδ = γ ( h δ Δ + γ mδ 54
Manometro differenziale Sostituendo nella (3), si ha: γ1h = γ 2( h δ Δ ) + γ m Δ Sviluppando i calcoli, si ottiene: δ = Δ γ m γ γ 2 2 + h γ 2 γ γ 2 1 55