Analisi Matematica. Note di base di. Parte terza. Lamberto LAMBERTI Corrado MASCIA

Spienz, Università di Rom Diprtimento di Mtemtic G.Cstelnuovo Note di bse di Anlisi Mtemtic Prte terz versione 1.2 (18 novembre 2012) Lmberto LAMBERTI Corrdo MASCIA

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Indice Cpitolo 1. Anlisi locle e nlisi globle 1 1. Punti stzionri 1 2. Anlisi l microscopio 5 3. Comportmento sintotico 6 4. Funzioni convesse 10 5. A ccci di mssimi e minimi ssoluti 13 Cpitolo 2. Ordini di grndezz e l formul di Tylor 25 1. Verso lo zero e d un psso dll infinito 25 2. Il Teorem di de l Hôpitl 33 3. L formul di Tylor 38 4. Espressioni del resto 43 Cpitolo 3. L integrle 47 1. L re di un sottogrfico e l definizione di integrle 47 2. Istruzioni per l uso 57 3. Il Teorem dell medi integrle 64 4. Il Teorem fondmentle del clcolo integrle 66 Cpitolo 4. Zoologi dell integrzione 71 1. Metodo di sostituzione 72 2. Integrzione per prti 77 3. Integrzione di funzioni rzionli 81 iii

CAPITOLO 1 Anlisi locle e nlisi globle Un proprietà di un funzione f è locle se dipende dl comportmento dell funzione nell intorno di un punto x. Continuità e derivbilità in x sono proprietà locli. Un proprietà di un funzione f è globle se vle in tutto l insieme di definizione dell f. Ad esempio le funzioni e x, rctn x, x 3,... sono funzioni globlmente monotòne crescenti e pertnto (globlmente) invertibili. Nell prim prte di questo cpitolo pprofondimo l uso dell derivzione per determinre proprietà locli di funzioni: mssimi/minimi reltivi, punti di singolrità,... Torneremo più vnti sulle proprietà globli, concentrndoci sul problem di determinre mssimi e minimi (ssoluti) di un funzione ssegnt. 1. Punti stzionri Abbimo già definito mssimo e minimo di un funzione: dt f : D R, un punto x 0 D è punto di mssimo di f se f(x) f(x 0 ) per ogni x D. Il vlore f(x 0 ) = mx f(x) è il mssimo dell funzione f in D. Anlogo per i minimi. x D L esistenz di mssimo e/o minimo è un proprietà globle dell funzione. E utile introdurre un nlogo locle del concetto di mssimo e di minimo. Definizione 1.1. Mssimo e minimo locle. Il punto x 0 D è un punto di mssimo locle (o reltivo) e il vlore f(x 0 ) è un mssimo locle (o reltivo) di f se esiste un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) del punto x 0 tle che f(x 0 ) è il mssimo di f in (x 0 δ, x 0 + δ): δ > 0 tle che f(x) f(x 0 ) x D (x 0 δ, x 0 + δ). Anlogmente per il minimo locle. Un punto x 0 che si o di mssimo o minimo locle è un punto di estremo locle. Per distinguere in modo più chiro il mssimo e il minimo dgli nloghi concetti locli, si prl di mssimo globle (o ssoluto) e di minimo globle (o ssoluto). Dll definizione segue immeditmente che se x 0 è punto di mssimo globle, llor è nche punto di mssimo locle. Il vicevers invece non è vero, come nel cso del grfico rppresentto in Figur 1. Per un esempio nlitico, si può considerre l funzione 1

2 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE 0 x 0 x 1 Figur 1. Il punto x 0 è di mssimo locle, m non globle; il punto x 1 è di mssimo globle. f(x) = x 4 x 2. Dto che f(0) = 0 e f(x) 0 per x ( 1, 1), il punto x = 0 è un punto di mssimo locle, m non è di mssimo globle dto che f(x) = +. x ± Definizione 1.2. Si D R. Un punto x 0 R è interno D se esiste un intorno di x 0 intermente contenuto in D, cioè se esiste δ > 0 per cui (x 0 δ, x 0 + δ) D. Se un funzione f h un mssimo o un minimo locle in corrispondenz di un punto x 0 interno ll insieme di definizione e in cui l funzione è derivbile, necessrimente f (x 0 ) = 0. Bst inftti pensre ll necessri posizione orizzontle dell rett tngente (Fig.2()). Per un dimostrzione nlitic, si x 0 un punto di mssimo locle interno e supponimo f derivbile in x 0. Dto che f(x) f(x 0 ) per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) f(x 0 ) 0 x 0 < x < x 0 + δ, x x 0 0 x 0 δ < x < x 0, Pssndo l ite per x x 0 si deduce f (x 0 ) = 0. x 0 b = x 0 b Figur 2. Se il punto di mssimo locle è interno, l tngente è orizzontle. Se, invece, si trov sul bordo... non è detto! Nel cso in cui il punto x 0 non si interno l dominio, non è detto che l rett tngente si orizzontle (Fig.2(b)). Conclusioni nloghe per i punti di minimo.

1. PUNTI STAZIONARI 3 Pertnto, risolvere l equzione f (x) = 0 permette di determinre i possibili cndidti punti di minimo o mssimo locle interno in cui f è derivbile. È comunque possibile che un estremo locle cd in un punto in cui l funzione non è derivbile; d esempio f(x) = x h un minimo (globle) in x = 0 dove non h rett tngente. Definizione 1.3. Punto stzionrio. Si f : D R. Un punto x 0, interno D, tle che f (x 0 ) = 0 si dice punto stzionrio 1 (o punto critico) dell funzione f. Equivlentemente, si può ffermre che i punti critici di f sono i punti x per cui l tngente l grfico di f in (x, f(x)) è orizzontle. Esercizio 1.4. Determinre i punti critici di f(x) = x 7 + 14x 4 + 1. Clssificzione dei punti stzionri. Se x 0 è un punto di mssimo o di minimo locle interno e f è derivbile in x 0, necessrimente x 0 è un punto critico, cioè f (x 0 ) = 0. Il vicevers non è vero: esistono punti x 0 tli che f (x 0 ) = 0, m che non sono né punti di mssimo locle, né punti di minimo locle. Ad esempio, l funzione f(x) = x 3 è strettmente crescente (quindi non h né punti di mssimo né punti di minimo in R), m f (x) = 3x 2 si zzer nel punto x = 0. Conoscendo il segno dell derivt prim ll destr e ll sinistr del punto in questione, grzie l legme tr monotoni e segno di f, si può individure qundo un punto stzionrio si di mssimo o di minimo. Supponimo f derivbile in (x 0 δ, x 0 +δ) con δ > 0, llor 0 x 0 δ < x < x 0, f (x) = x 0 punto di mssimo locle. 0 x 0 < x < x 0 + δ, Anlogmente, per il minimo, vle 0 x 0 δ < x < x 0, f (x) 0 x 0 < x < x 0 + δ, = x 0 punto di minimo locle. Esercizio 1.5. Determinre i punti critici dell funzione f(x) = x 2 (3x 2 8x + 6) e dire quli di essi sono punti di mssimo o di minimo. Soluzione. L derivt prim dell funzione è f (x) = 2x(3x 2 8x + 6) + x 2 (6x 8) = 12x(x 2 2x + 1) = 12x(x 1) 2. 1 Il termine stzionrio è ereditto dll cinemtic. Se x è l posizione di un punto su cui gisce un forz conservtiv con potenzile dto dll funzione f = f(x), llor l ccelerzione del punto è proporzionle f. Se il punto viene collocto riposo nell posizione x 0 e f (x 0 ) = 0, llor, dto che l ccelerzione (cioè l vrizione di velocità) è null, il punto stzionerà nell posizione x 0 per ogni tempo successivo

4 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE I punti critici sono x = 0 e x = 1; il punto x = 0 è punto di minimo, mentre il punto x = 1 non è né di mssimo né di minimo. Il grfico qulittivo dell funzione f è in Figur 3. 0 1 Figur 3. Il grfico di f(x) = x 2 (3x 2 8x + 6) dell Esercizio 1.5. Se x 0 è un punto critico di f, per riconoscere se f cmbi segno trversndo x 0, bst considerre il segno di f, qulor esist: f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0 = x 0 punto di minimo locle; f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0 = x 0 punto di mssimo locle. Si noti che si trtt solo di condizioni sufficienti: d esempio, l funzione f(x) = x 4 h un punto di minimo in 0, m f (0) = 0. Esempio 1.6. Un rffintezz per buongusti. In genere, si immgin il grfico di un funzione vicino l punto di minimo x 0 con f (x) 0 per x 0 δ < x < x 0 e f (x) 0 per x 0 < x < x 0 + δ. Esistono però nche situzioni in cui un funzione ll sinistr del punto di minimo non è decrescente e ll destr non è crescente. Scetticismo? Ecco un esempio: ( )) 1 x (2 f(x) = 2 sin x 0, x 0 x = 0. L funzione f è derivbile in tutto R e f(x) 0 x R, e f(x) = 0 x = 0. Il punto x = 0 è punto di minimo globle, e quindi di minimo locle. Necessrimente f (0) = 0 (come si può ottenere nche trmite il clcolo del ite del rpporto incrementle). L derivt prim di f nei punti x 0 è ( ( )) ( ) 1 1 f (x) = 2x 2 sin + cos, x x quindi, per x 0, si h f (x) cos ( 1 x), che ssume vlori si positivi che negtivi.

2. ANALISI AL MICROSCOPIO 5 2. Anlisi l microscopio Nello studio dell ndmento qulittivo del grfico di un funzione, è interessnte pprofondire quello che succede in prossimità di certi punti significtivi. Qui considerimo come punti significtivi quelli che corrispondono d un delle seguenti situzioni: () punti x 0 che non sono nell insieme di definizione di f, m che sono sul bordo (d esempio, se f : (, b] R, il punto x 0 =, oppure se f : [, b] \ {c} R, x 0 = c); (b) punti x 0 dell insieme di definizione in cui f non è continu; (c) punti x 0 in cui f è continu, m non derivbile. Nei csi (b) e (c) si prl tlvolt di punti di singolrità. Asintoti verticli. Si nel cso () che nel cso (b), si clcol il ite x x 0 f(x). Se il ite è + o, l funzione h in x = x 0 un sintoto verticle. Lo stesso è vero Figur 4. Alcuni esempi di sintoti verticli. nel cso in cui si il ite destro che il ite sinistro tendno + o, m con segni opposti. In generle, zeri del denomintore di un funzione rzionle (che non sino nche zeri del numertore), corrispondono punti di sintoto verticle. Ci sono situzioni più esotiche: il ite potrebbe non esistere oppure potrebbero esistere i iti destro e sinistro, m con vlori diversi,... A voi individure possibili esempi e corrispondenti grfici. Esercizio 2.1. Studire l funzione f(x) = rctn (1/x) vicino l punto x = 0.

6 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE Punti ngolosi e cuspidi. Considerimo il cso (c), quindi supponimo x 0 tle che l funzione f si continu in x 0, m non derivbile. Se esistono finiti i iti destro e sinistro dell derivt prim x x ± 0 f (x) = l ±, dto che f non è derivbile in x 0, deve essere l + l. Un punto di questo genere si chim punto ngoloso (o spigolo). Per disegnrlo correttmente è possibile trccire le rette tngenti destr e sinistr, cioè le rette di equzione y = f(x 0 ) + l ± (x x 0 ). Nel cso in cui i iti destro e sinistro sino ± si possono vere due situzioni differenti. Se entrmbi sono + (o ), cioè se x x ± 0 f (x) = + ( ), il punto x 0 è un punto tngente verticle. Se invece i iti destro e sinistro sono ±, m con segni opposti, il punto x 0 è un cuspide del grfico di f. Per un esempio di cuspide, si consideri l funzione f(x) = x. In questo cso f 1 (x) = x 0 + x 0 + 2 x = +, x 0 f (x) = x 0 1 2 x =. Ovvimente sono possibili comportmenti nloghi quelli descritti, m misti: d Figur 5. D sinistr: un punto ngoloso, un cuspide e un punto tngente verticle. esempio, un funzione può vere derivt prim che tende d un vlore dto d destr e che diverge d sinistr, o tutte le vrinti che l mente è in grdo di inventre. 3. Comportmento sintotico Se l funzione f è definit in insiemi ilitti, è interessnte studirne il comportmento per x ±. Per fissre le idee, considerimo un funzione f definit su un semirett [, + ) con R. In questo cso si vuole stbilire cos succed per x +, cioè determinre il comportmento sintotico per x +. Considerzioni nloghe vlgono per il cso di semirette del tipo (, ], per R, e, in generle, per domini ilitti.

3. COMPORTAMENTO ASINTOTICO 7 L prim operzione senst è il clcolo del ite per x +. Se f(x) = l R, x + si dice che l funzione f tende sintoticmente d l, oppure che f h un sintoto orizzontle (di equzione y = l) per x +. Il grfico dell funzione f si vvicin ll rett di equzione y = l per x sempre più grndi. Per un disegno più preciso, si può studire il segno dell funzione f(x) l, che indic se il grfico dell funzione f si l di sopr o l di sotto dell sintoto. Esempio 3.1. Considerimo l funzione f(x) = 2x2 x [1, + ). x 2 + 1 In questo cso, 2x 2 x + x 2 + 1 = 2, quindi l funzione h l sintoto orizzontle di equzione y = 2. Dto che f(x) l = 2x2 x 2 + 1 2 = 2 x 2 + 1 < 0, quindi f tende y = 2 dl bsso. A voi il gusto di trccire il grfico di quest funzione. Invece, l funzione f(x) = 2x2 sin x x [1, + ), x 2 + 1 non h ite per x + e quindi non h sintoto orizzontle. Se il ite dell funzione f esiste, m è + o, evidentemente non c è sintoto orizzontle. Che cos si può dire in questo cso? È possibile che l funzione tend d un sintoto obliquo, ossi è possibile che esistno, b R tli che [ ] (1) f(x) (x + b) = 0. x + Quest proprietà indic che il grfico dell funzione f si vvicin l grfico dell rett y = x+b per x +. Il problem è: come determinre (qulor esistno) le costnti e b? Supponimo che vlg (1), llor f(x) x + x = f(x) x + =. x + x Un volt noto, è possibile determinre b (qulor esist) clcolndo x + [ f(x) x ] = b. Ecco, quindi, le istruzioni per determinre l presenz di un sintoto obliquo:

8 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE i. clcolre f(x): se il ite esiste finito, c è un sintoto orizzontle (fine x + dello studio + ), se il ite non esiste, non c è né sintoto obliquo, né sintoto orizzontle (fine dello studio + ), se il ite è + o si v l punto (ii); ii. clcolre x + f(x)/x: se il ite esiste finito, il suo vlore è e si v l punto (iii), se il ite non esiste o se vle ±, non c è sintoto obliquo (fine dello studio + ); [ ] iii. clcolre f(x) x : se il ite esiste finito, il suo vlore è b, l funzione x + h sintoto obliquo di equzione y = x + b, se il ite non esiste o se vle ±, non c è sintoto obliquo (fine dello sudio + ). Si h Esempio 3.2. Considerimo l funzione f(x) = x2 1 3x + 1 f(x) = x 2 1 x + x + 3x + 1 = +, f(x) x + x = x 2 1 x + 3x(x + 1) = 1 3 f(x) x x + 3 = x 2 1 x + 3x + 1 x 3 = x [0, + ). =:, x + 3 x 3(3x + 1) = 1 9 =: b. Quindi l funzione h un sintoto obliquo di equzione y = 1x 1. Anche in questo 3 9 cso, per disegnre un grfico più preciso, si può studire il segno dell funzione f(x) (x + b) = x2 1 3x + 1 ( 1 3 x 1 9 ) 8 = 9(3x + 1) < 0 x > 1 3. L differenz è negtiv, quindi l funzione tende ll sintoto dl bsso. Dopo il punto (i), se esiste finito f (x), llor è ugule l vlore di questo x + ite e si può proseguire direttmente dl punto (iii). Se invece il ite di f non esiste, bisogn necessrimente seguire il procedimento esposto sopr. Ad esempio, per f(x) = x + sin(x2 ), si h x f (x) = 1 + 2 cos(x 2 ) sin(x2 ) x 2, che non mmette ite per x +, m è fcile vedere che l funzione h un sintoto obliquo per x + di equzione y = x.

3. COMPORTAMENTO ASINTOTICO 9 Esercizio 3.3. Si f(x) = p(x) con p polinomio di grdo k e q polinomio di grdo q(x) h. Dimostrre che: (i) f h un sintoto orizzontle se e solo se k h; (ii) f h un sintoto obliquo, non orizzontle, se e solo se k = h + 1. Altri profili sintotici. Il cso dell sintoto obliquo è solo un situzione molto prticolre: può cpitre che un funzione tend sintoticmente d un funzione, che non si un polinomio di primo grdo. Considerimo, d esempio, f(x) = x3 + 1 x 2. Grzie ll lgoritmo di divisione di polinomi, possimo riscrivere quest funzione come f(x) = x 2 + 2x + 4 + 9 x 2. D quest espressione è immedito vedere che [ f(x) (x 2 + 2x + 4) ] = 0, x ± e quindi il grfico di f tende sintoticmente ll prbol y = x 2 + 2x + 4. Riconsiderimo l funzione f(x) = 2x2 sin x x 2 + 1 x [1, + ). Dto che 2x2 2 per x +, è sensto immginre che quest funzione ssomigli x 2 +1 ll funzione f(x) = 2 sin x per x +. Clcoo l differenz tr f(x) e 2 sin x e vedimo se è infinitesim: Quindi 2x 2 sin x x 2 + 1 2 sin x f(x) = 2x2 sin x x 2 + 1 2 sin x = 2 0 per x +. 1 + x 2 1 + x2 = 2 sin x + h(x) con h(x) = 0. x + In generle se simo in grdo di riscrivere l funzione f nell form f(x) = g(x) + h(x) con g funzione di cui si conosce il grfico e h 0 per x, il grfico dell funzione f tende verso quello dell funzione g. Non esiste lcun strtegi generle per determinre un decomposizione di questo genere.

10 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE grfico dell funzione f grfico dell funzione g quest lunghezz rppresent h(x)=f(x)-g(x) Figur 6. Il grfico di f con f(x) = g(x) + h(x) e h infinitesim per x +. 4. Funzioni convesse Come già detto, ripetuto ed usto mpimente, il segno dell derivt prim dà informzioni reltive ll monotoni dell funzione f. Qule ruolo gioc, invece, il segno dell derivt second? Prtimo d un definizione. Definizione 4.1. Un funzione f : [, b] R è convess in [, b] se (2) f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) x, y [, b] t (0, 1). Un funzione per cui vlg l disuguglinz oppost si dice concv.?! Figur 7. Un funzione convess ed un non convess. Dll definizione segue che se f è concv, llor f è convess, e vicevers. Quindi studire l convessità è sufficiente per comprendere nche l concvità. Osservzione 4.2. Esiste un mnier divers di introdurre il concetto di convessità. Un sottoinsieme E del pino è convesso se scelt un qulsisi coppi di punti P e Q pprtenenti d E, il segmento che li congiunge è intermente contenuto in E. Un funzione f : [, b] R è convess in [, b] se l insieme E := {(x, y) : y f(x)}, composto di punti che si trovno sopr il suo grfico (detto epigrfico) è un insieme convesso. Le due definizioni sono comunque equivlenti (spete dimostrrlo?). Cerchimo di cpire il significto geometrico dell condizione (2). Fissimo x = x e y = ȳ con x < ȳ. Per t (0, 1), definimo z(t) := t x + (1 t)ȳ ( x, ȳ). Scrivimo

l rett che pss per ( x, f( x)) e (ȳ, f(ȳ)): 4. FUNZIONI CONVESSE 11 Φ(x) = f( x) + e clcoo quest funzione in z(t). Dto che f(ȳ) f( x) (x x), ȳ x f(ȳ) f( x) Φ(z(t)) = f( x) + (t x + (1 t)ȳ x) ȳ x f(ȳ) f( x) = f( x) + (1 t)(ȳ x) ȳ x = f( x) + (f(ȳ) f( x))(1 t) = tf( x) + (1 t)f(ȳ), l condizione (2), si può riscrivere come f(z(t)) Φ(z(t)) x, y [, b] t (0, 1). Quest scrittur h un interpretzione in termini di grfico immedit: un funzione f è convess, se per ogni scelt di x e y, il grfico di f gice l di sotto dell rett secnte che congiunge i punti (x, f(x)) e (y, f(y)) nell intervllo di estremi x e y. Esercizio 4.3. Se f e g sono due funzioni convesse in [, b], llor un tr mx{f, g} e min{f, g} è convess. Spete dire qule? (3) Proposizione 4.4. Un funzione f : [, b] R è convess in [, b] se e solo se f(z) f(x) z x per ogni x, y, z tli che x < z < y b. f(y) f(x) y x f(y) f(z) y z L dimostrzione dell formul (3) si ottiene riscrivendo in termini di rpporti incrementli l formul (2). I dettgli sono lsciti ll buon volontà del lettore. L proprietà (3) può essere interprett grficmente in termini di monotoní delle pendenz delle secnti: fissto y, l funzione φ(x) := f(x) f(y) x y è crescente in x. Qundo l funzione è derivbile, quest proprietà diviene un richiest di monotoni dell derivt prim f. Nel cso in cui l funzione f si derivbile due volte, l monotoní dell funzione f può essere trdott in termini di segno dell derivt second f. Teorem 4.5. Si f : [, b] R. Allor (i) se f è derivbile un volt, l funzione f è convess in [, b] se e solo se f è non decrescente in [, b];

12 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE (ii) se f è derivbile due volte, l funzione f è convess in [, b] se e solo se f (x) 0 per ogni x [, b]. Per le funzioni concve, vle un risultto nlogo sostituendo f non decrescente l frse f non crescente e f 0 l frse f 0. Dl Teorem 4.5(i) discende un ltr interpretzione geometric dell convessità: se l funzione f è derivbile e convess, il suo grfico è intermente l di sopr di ogni rett tngente d esso. Inftti, scrivimo l differenz tr f e l rett tngente in (x 0, f(x 0 )) R(x; x 0 ) = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ), con l obiettivo di dimostrre che se f è convess, l funzione R(x; x 0 ) è positiv. Applichimo il Teorem di Lgrnge e riscrivimo R(x; x 0 ) come R(x; x 0 ) = f (ξ)(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = ( f (ξ) f (x 0 ) ) (x x 0 ). Se x > x 0 llor ξ > x 0 e quindi, essendo f crescente, f (ξ) > f (x 0 ). Ne segue che il termine destr è positivo perché prodotto di termini positivi. Se x < x 0 llor ξ < x 0 e, sempre per l monotoní di f, f (ξ) < f (x 0 ). Quest volt i due termini sono entrmbi negtivi, m comunque il loro prodotto è positivo. Dimostrzione del Teorem 4.5. (i) Supponimo che f si convess, llor vle l (3). Quindi, pssndo l ite per z x + si ottiene f (x) f(y) f(x). y x Anlogmente, pssndo l ite nell (3) per z y, f(y) f(x) y x f (y). Ne segue che f (x) f (y) per ogni x y. Vicevers, supponimo che l funzione f si non decrescente e dimostrimo l (2) studindo l funzione differenz F (t) := tf(x) + (1 t)f(y) f(tx + (1 t)y), t [0, 1], con x, y fissti. Considerimo il cso y < x (l ltro è nlogo). Clcolndo l derivt di F e pplicndo il Teorem di Lgrnge, si deduce che esiste ξ (y, x) tle che [ ] F (t) = f(x) f(y) f (tx + (1 t)y)(x y) = f (ξ) f (tx + (1 t)y) (x y). Dto che, per t [0, 1], il punto tx + (1 t)y descrive l intervllo [y, x], esiste t tle che t x + (1 t )y = ξ. Inoltre, dto che f è non decrescente, f (tx + (1 t)y) f (ξ)

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 13 per t [0, t ] e f (tx + (1 t)y) f (ξ) per t [t, 1]. Perciò: F (t) 0 per t [0, t ] e F (t) 0 per t [t, 1]. Perciò il minimo globle dell funzione F è ssunto in uno degli estremi t = 0 o t = 1 e, dto che F (0) = F (1) = 0, F (t) 0 per ogni t [0, 1], cioè l formul (2). Esercizio 4.6. Si f un funzione convess e derivbile in (, b). Se esistono x 0, x 1 (, b) con x 0 x 1 tli che f (x 0 ) = f (x 1 ) = 0, che cos si può dedurre sull funzione f? Definizione 4.7. Si f : (, b) R derivbile due volte. Se x 0 è tle che f cmbi segno in x 0 (cioè è negtiv d un prte e positiv dll ltr), llor x 0 si chim punto di flesso dell funzione f. Grzie l Teorem 4.5, se f h segno opposto ll destr e ll sinistr di x 0, necessrimente x 0 è un punto di flesso. Esempio 4.8. Considerimo l funzione f(x) = sin x. L su derivt second è f (x) = sin x, quindi tutti punti dell form x = kπ per k Z sono punti di flesso. Per l funzione f(x) = 1 1+x 2, si h f (x) = 2x = f (x) = 2(3x2 1) (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ), 3 e quindi i punti di flesso di f sono x = ±1/ 3. L funzione f è convess in (, 1/ 3) e in (1/ 3, + ) e concv in ( 1/ 3, 1/ 3). L convessità è utile per determinre l esistenz di minimi di un funzione. Inftti, vle l seguente impliczione f convess, f (x 0 ) = 0 = x 0 punto di minimo globle. L dimostrzione è lscit per esercizio. Anlogmente, per le funzioni concve ed i punti di mssimo. Chirmente se l convessità è solo locle (cioè in un intorno del punto x 0 ), x 0 è punto di minimo locle. Esercizio 4.9. Dimostrre l seguente impliczione f : [, b] R convess f continu in (, b). 5. A ccci di mssimi e minimi ssoluti Problem 1. Abbimo già considerto il problem di determinre il cilindro di volume V = k = costnte con superficie totle S minim, con l obiettivo (mlcelto) di diventre ricchi grzie ll uso dell mtemtic, pplicndo il risultto ll costruzione

14 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE di sctole di fgioli, o, più in generle, di confezioni cilindriche con minim spes di mterili. L spernz si er presto infrnt qundo ci simo resi conto che per vi elementre non riuscivmo determinre il minimo dell funzione S, cioè risolvere il problem (r =rggio dell bse del cilindro) ( determinre il minimo di S(r) = 2π r 2 + k ) r > 0. πr Tornimo l problem con l conoscenz delle derivte e studimo l monotonì di S: ( ds dr = 2π 2r k ) = 4π ( r 3 k ). πr 2 r 2 2π Perciò S (r) 0 se e solo se r r dove r = (k/2π) 1/3. Quindi l funzione S S F r* r 1 x Figur 8. () Il grfico dell funzione S(r) = 2π ( r 2 + k πr ) ; (b) il grfico dell funzione F (x) = x p 1 p(x 1), p > 1. è decrescente in (0, r ) ed è crescente in (r, ). Ne segue che il punto di minimo richiesto esiste ed è proprio r = r (Fig.8()). Problem risolto, corrimo in fbbric! Problem 2. Vogo dimostrre l disequzione Fissimo p > 1 e considerimo l funzione x p 1 p(x 1) p > 1, x 0. F (x) = x p 1 p(x 1) x 0. Dto che F (x) = p(x p 1 1), F (x) < 0 per x (0, 1) e F (x) > 0 per x (1, + ). Quindi l funzione F è decrescente in [0, 1) e crescente in (1, + ) e x = 1 è un punto di minimo. Ne segue che F (x) F (1) = 0, d cui l conclusione (Fig.8(b)). Problem 3. Sino 1, 2,..., n R ssegnti. Supponimo di voler determinre x R tle che si minim l quntità (4) ( i x) 2. i=1 Possimo immginre che i vlori i provengno d misurzioni di un fenomeno sotto osservzione e che si sti cercndo un vlore medio per questi numeri, che minimizzi

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 15 l errore commesso misurto dl vlore in (4). Considerimo l funzione F (x) = n ( i x) 2 e clcoone l derivt: [ F (x) = 2 ( i x) = 2 i i=1 i=1 L funzione F è decrescente sinistr di 1 n x = 1 n ] [ x = 2n x 1 n i=1 ] i. i=1 i e crescente destr. Il vlore è il punto di minimo (e coincide con l medi ritmetic di 1,..., n ). Esercizio 5.1. Dti 1, 2,..., n R, determinre x che minimizzi i=1 i=1 dove λ 1,..., λ n > 0 sono pesi (positivi) ssegnti. i i=1 λ i ( i x) 2 I problemi che bbimo ppen presentto mostrno lcune tr le miridi di situzioni in cui si pone il problem: dt un funzione f, come determinrne mssimo e minimo globli (qulor esistno)? Provimo d ffrontre il problem in generle. Supponimo di lvorre con un funzione f definit nell intervllo [, b] e continu. Grzie l teorem di Weierstrss, l ipotesi di continuità grntisce l esistenz del mssimo e del minimo ssoluti. Abbimo già visto che le soluzioni di f (x) = 0 (cioè i punti critici di f) permettono di determinre i possibili cndidti punti di minimo o mssimo locle interno derivbile. Chirmente, è possibile che un estremo locle cd in un punto in cui l funzione non è derivbile. Quindi, l strtegi per individure il mssimo ed il minimo di un funzione continu in [, b] è l seguente: determinre l insieme S dei punti stzionri in (, b); determinre l eventule insieme N dei punti in cui f non è derivbile; clcolre l funzione in S, in N e negli estremi dell intervllo e b. individure il più grnde e il più piccolo tr i vlori clcolti. Esercizio 5.2. Determinre il mssimo ed il minimo ssoluti di f(x) = (x 2 5x + 7)e x x [0, 2]. Soluzione. L funzione f è derivbile dppertutto. Per determinre i punti singolri: f (x) = (2x 5)e x + (x 2 5x + 7)e x = (x 2 3x + 2)e x = (x 2)(x 1)e x. i=1

16 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE Quindi f (x) = 0 se e solo se x = 1 o x = 2. L insieme dei punti critici interni è S = {1}. Dto che f(0) = 7 < f(2) = e 2 < f(1) = 3e, si h min f(x) = f(0) = 7, mx x [0,2] che è qunto richiesto dll esercizio. f(x) = f(1) = 3e, x [0,2] Spesso è utile conoscere il mssimo del modulo di un funzione ssegnt f, cioè risolvere il problem dt f : [, b] R continu, clcolre mx x [,b] f(x). In questo cso, si può procedere come detto sopr, o, lterntivmente, determinre il mssimo ed il minimo dell funzione f in [, b] e poi sfruttre l relzione (evidente?) { mx f(x) = mx mx f(x), min f(x) }. x [,b] x [,b] x [,b] Esercizio 5.3. Clcolre mx{ x 2 1 : x [ 1, 2]}. Nel cso in cui si studi un funzione f continu, m definit su un dominio ilitto (d esempio, f : [, + ) R), le ipotesi del Teorem di Weierstrss non sono soddisftte e quindi non è detto che esistno il mssimo ed il minimo dell funzione. Comunque h senso domndrsi: qunto vlgono l estremo superiore e l estremo inferiore? Nel cso in cui sino finiti, si trtt di mssimo o di minimo? L strtegi per risolvere questo problem è simile qunto ppen visto. Il punto che bisogn modificre è quello reltivo l clcolo dell funzione negli estremi dell intervllo. In questo cso lmeno uno degli estremi dell intervllo srà + o e le espressioni f(+ ) e f( ), in generle, non hnno senso, m vnno sostituite con f(x). x ± Vedimo l procedur negli esercizi che seguono. Esercizio 5.4. Determinre l estremo superiore e l estremo inferiore dell funzione f(x) = e x2 in R e dire se si trtt di mssimo e minimo. Soluzione. L estremo superiore è presto detto: dto che sup x R x + f(x) = +, è chiro che f = +. Che possimo dire sull estremo inferiore? Visto che l funzione f è continu su R, esistono mssimo e minimo di f in [ M, M] per ogni scelt di M > 0. Quindi { } inf f(x) = min min f(x), inf f(x). x R x M x >M Inoltre, dto che f(x) + per x ±, per M grnde, min x M f(x) inf f(x). Non x >M rest che cercre i punti di minimo reltivo in [ M, M]. Derivndo, f (x) = 2xe x2 che si zzer se e solo se x = 0, quindi l unico punto di minimo reltivo è x = 0 che, per qunto detto, è nche minimo ssoluto: min x R ex2 = e 0 = 1.

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 17 Esercizio 5.5. Si f : R R un funzione continu tle che f(x) = f(x) = +. x + x Dimostrre che l funzione f mmette minimo ssoluto su R. Esercizio 5.6. Determinre l estremo superiore e l estremo inferiore dell funzione f(x) = e x2 in R e dire se si trtt di mssimo e minimo. Soluzione. L funzione è derivbile su tutto R e l derivt vle f (x) = 2xe x2. Quindi c è un unico punto critico x = 0 in cui l funzione vle f(0) = 1. Inoltre Confrontndo i vlori deducimo che x e x2 = x + e x2 = 0. inf x R e x2 = 0 sup e x2 = f(0) = 1. x R Dto che l estremo superiore f prte dell insieme immgine, l estremo superiore è mssimo. Invece l estremo inferiore non è minimo, perchè l funzione f è strettmente positiv. Anlogmente nel cso di funzioni continue definite in insiemi non chiusi, cioè f : (, b) R oppure f : [, b) R, o vrinti, non si pplic il Teorem di Weierstrss. Anche in questi csi, per determinre l estremo superiore/inferiore bisogn considerre i iti gli estremi. Concludimo l Sezione, nlizzndo ltri due problemi di mssimo e minimo. Un problem di sttic: l puleggi di De L Hôpitl. Considerimo gli ssi crtesini (x, y) posti in modo che l sse y si in verticle rispetto l suolo e che l forz di grvità si direziont nel verso delle y negtive. Indichimo con O = (0, 0) e con A = (, 0) dove > 0 è un lunghezz fisst. Nel punto O, fissimo un cord di lunghezz b e ll estremità B di quest cord fissimo un puleggi. Lscimo pendere per ftti suoi l puleggi e fissimo un second cord di lunghezz l l punto A. Dopo ver ftto pssre l second cord ttrverso l puleggi (quindi fcendol pssre per il punto B) fissimo un peso M ll ltr estremità. L configurzione finle è disegnt in Figur 9. Il problem è: in qule punto (x, y) si posizionerà il peso M? Qui stimo supponendo che l unic forz estern che gisce sul sistem è l forz di grvità. Se, inoltre, supponimo che il peso delle corde e dell puleggi si trscurbile rispetto l peso di M, e che non si presente nessun tipo di ttrito, il peso M si collocherà nell posizione più bss possibile, cioè minimizzerà il vlore y. Quest ffermzione discende dl principio seguente: l posizione d equilibrio (stbile) del sistem minimizz l energi potenzile di M. Dto che l energi potenzile di M è dell form Ay + B con A > 0, minimizzre l energi potenzile equivle minimizzre l ltezz y.

18 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE y O H A x B quest è un puleggi M Figur 9. L puleggi di De L Hôpitl. Riscrivimo per chirezz i dti del problem: OA =, OB = b, AB + BM = l. L incognit è l posizione di M = (x, y). Supponimo inoltre 0 < b < < l. L soluzione del problem può essere divis in due pssi: psso 1. ssegnt l coordint x di M, determinre l coordint y = f(x); psso 2. clcolre (se esiste) il minimo dell funzione f. D brve persone ordinte, prtimo dl primo psso. Indichimo con H l proiezione ortogonle di M sull sse x, cioè H = (x, 0). Allor y = ( HB + BM ) = ( HB + l AB ) = AB HB l. Si trtt or di scrivere le lunghezze AB e HB in funzione di x. Bst usre il Teorem di Pitgor per ottenere: HB = OB 2 OH 2 = b 2 x 2, AB = HB 2 + HA 2 = b 2 x 2 + ( x) 2 Quindi l funzione d studire è y = f(x) = b 2 x 2 + ( x) 2 b 2 x 2 l x [0, b]. L intervllo di vrizione di x si deduce direttmente dl problem considerto. Secondo psso: qul è l scelt di x che minimizz y? Dto che l funzione è continu in [0, b] e l intervllo è chiuso e itto, il Teorem di Weierstrss ci ssicur che il problem h soluzione, m non ci dà nessun informzione su qule si il punto di minimo. Implementimo, quindi, l strtegi propost poche pgine f. Prim di tutto, notimo che l funzione f non è derivbile nei punti in cui si zzer l rgomento di un delle due rdici. Dto che b <, il termine b 2 x 2 + ( x) 2 è sempre non nullo. L second rdice b 2 x 2 si zzer per x = ±b. Di questi due punti, b v scrtto perché è fuori d [0, b] e b è uno degli estremi dell intervllo.

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 19 Determinimo l insieme S dei punti stzionri di f in (0, b). Dto che f (x) = b2 x 2 + ( x) + x 2 b2 x 2 i punti stzionri x (0, b) verificno b2 x 2 + ( x) 2 = e, pssndo i qudrti, 2 x b2 x 2, b 2 + 2 2x = x2 b 2 x. 2 Or ci vogliono un po di conti: l equzione precedente è equivlente 2x 3 2 2 x 2 b 2 x 2 + 2 b 2 = 0 2x 2 (x ) b 2 (x + )(x ) = 0. Dividendo per x 0, 2x 2 b 2 x b 2 = 0 x = x ± := b2 ± b 4 + 8 2 b 2 4 Dto che x < 0 < x + < b (verificre!), c è un unico punto critico in (0, b): S = {x + }. Ricpitolndo, l nostr strtegi propone tre punti di minimo ssoluto possibili: 0, x +, b. Per determinre chi di questi si il punto di minimo bisognerebbe confrontre i tre vlori f(0), f(x + ) e f(b). Fttibile, m non prticolrmente semplice. Seguimo un strd divers. Dto che f (0) = b < 0 il punto 0 non può essere di minimo reltivo e dunque nemmeno di minimo ssoluto! L lott rimne tr x + e b. In b non possimo rgionre come in 0 dto che l funzione f non è derivbile in b, quindi f (b) non h senso. Non perdimoci d nimo: dto che f (x) = x b x b b2 x 2 + ( x) + x 2 b2 x = + 2 l funzione f è crescente in un intorno (sinistro) di b, quindi nemmeno b può essere il punto di minimo richiesto. Perfetto: rest un unico soprvvisuto x + che è il punto di y 0 x + b x Figur 10. Il grfico dell funzione f.

20 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE minimo cercto. Il peso M si collocherà nell posizione di coordinte (x +, f(x + )). In lterntiv, per stbilire che x + è il punto di minimo ssoluto, si srebbe potuto nche notre che f 0, quindi l funzione f è convess e, necessrimente, il suo punto critico x + è di minimo ssoluto. Il principio di Fermt. Pssimo or considerre due problemi di ottic geometric che si trducono nell ricerc del punto di minimo ssoluto di certe funzioni. In quel che segue, considereremo un rggio di luce in mnier nïf: come un qulcos che viggi d un punto d un ltro, si riflette sugli oggetti, entr nell occhio... Il problem fondmentle è stbilire qule si il trgitto percorso dl rggio per pssre d un punto A d un punto B. Il principio, proposto d Fermt, è il segunte: il trgitto prescelto è quello che minimizz il tempo di percorrenz. Se il rggio viggi sempre nello stesso mezzo, l su velocità v è costnte, quindi minimizzre il tempo di percorrenz T equivle minimizzre l lunghezz del percorso. Perciò il rggio percorre linee rette. Che succede in situzioni un po più complicte? Riflessione. Considerimo un rggio di luce che prt dl punto A = (0, ) e e che si dirig verso l sse delle x dove immginimo collocto uno specchio. Il rggio viene riflesso nel punto P = (x, 0) e d lì rriv nel punto B = (b, c). I trgitti d A P e d P B sono percorsi lungo segmenti. Supponendo ssegnti, b, c > 0 e quindi ssegnti i punti A e B, qul è il punto P prescelto dl rggio luminoso? Ad ogni scelt di P = (x, 0), corrisponde un certo tempo di percorrenz T = T (x). Il principio di Fermt fferm che il punto di riflessione (x 0, 0) è tle che T (x 0 ) = min T (x). Bene, non rest che determinre l espressione esplicit di T = T (x) e trovre in qule punto si ssunto il minimo. Indicndo con T AP e T P B, il tempo impiegto dl rggio per ndre d A P e d P B rispettivmente, e con v l velocità dell luce nel mezzo in considerzione, T (x) = T AP (x) + T P B (x) = AP v + P B v. Quindi, grzie l teorem di Pitgor, T (x) = 1 ( x2 + v 2 + ) (b x) 2 + c 2 x [0, b]. Dto che l funzione T è derivbile infinite volte, pplicndo l strtegi per il clcolo di mssimi e minimi ssoluti, il punto di minimo x 0 srà o 0, o b, o tle che T (x 0 ) = 0. Cerchimo quindi i punti critici di T. L derivt prim T è esplicitmente dt d T (x) = 1 v ( x x2 + 2 Ess si zzer se e solo se x = x := b/( + c). ) b x. (b x)2 + c 2

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 21 y y A B A K H B! " 0 P P P x 0 P x Figur 11. Qule srà il punto P prescelto d un rggio riflesso in uno specchio? Quello che f in modo che gli ngoli di incidenz α e di riflessione β coincidno. Invece di confrontre i vlori di T per x = 0, x, b, si può notre che T b (0) = v b 2 + c < 0 e T (b) = 2 b v b 2 + 2 > 0, quindi nessuno dei due estremi dell intervllo è di minimo. Pertnto il punto x è il punto di minimo ssoluto. Il punto di riflessione P è individuto d un condizione geometric semplice. Si α l ngolo, detto di incidenz, determinto dl segmento AP e dll semirett d P, perpendicolre ll sse x, contenut nel semipino y > 0, e si β l ngolo, detto di riflessione, determinto dl segmento P B e dll stess semirett di prim. Allor, indicndo con H il punto di coordinte (x, ) e con K il punto di coordinte (x, c), tn α = AH P H = x = b + c tn β = BK P K = b x c = b + bc b + c 1 c = b + c Quindi tn α = tn β e, dto che α, β [0, π/2], ne segue che α = β. In definitiv, il principio di Fermt implic che l ngolo di riflessione coincide con l ngolo di incidenz. Rifrzione. Cmbimo tipo di esperimento. Considerimo un rggio luminoso che viggi in due mezzi differenti in cui l su velocità è v + e v. Per semplicità, supponimo che il mezzo in cui l velocità è v + corrispond ll regione di pino con y > 0 e quello in cui l velocità è v corrispond y < 0. Se un rggio prte d A = (0, ) con > 0 ed rriv B = (b, c) con c < 0 < b, che trgitto sceglie? Esttmente come prim, utilizzimo il principio di Fermt. Indicndo con T AP e T P B, il tempo impiegto dl rggio per ndre d A P e d P B rispettivmente, il tempo impiegto per ndre d A B è T (x) = T AP (x) + T P B (x) = AP v + + P B v.

22 1. ANALISI LOCALE E ANALISI GLOBALE y A A 0 P P P x B B Figur 12. Qule percorso scegliere? Supponimo che nel semipino y > 0 ci si l terr ferm e il mre nel semipino y < 0. Nel punto A c è l prestnte bgnin di Bywtch pront d intervenire per slvre l vit di un ffogndo sito nel punto B. Spendo che l soccorritrice qundo corre sull spiggi v velocità v + e qundo nuot in mre v velocità v, qul è il percorso che le permette di soccorrere il mlcpito nel minor tempo possibile? e, di nuovo per il teorem di Pitgor, x2 + T (x) = 2 (b x)2 + c + 2 v + v x [0, b]. Anche quest funzione è derivbile infinite volte in [0, b]. L su derivt prim è T (x) = x v + x2 + b x 2 v (b x)2 + c. 2 Quindi T (0) < 0 < T (b) e nche in questo cso gli estremi non sono punti di minimo. Perciò il minimo è in (0, b). Inoltre, con un po di pzienz, si ottiene T (x) = 2 v + (x 2 + 2 ) 3/2 + c 2 v [(b x) 2 + c 2 ] 3/2 > 0 Dto che l derivt second è (strettmente) positiv, l derivt prim T è strettmente crescente, quindi esiste un unico x tle che T (x ) = 0 (si ricordi che T (0) < 0 < T (b)). Necessrimente x è il punto di minimo che ndimo cercndo. Come individurlo? Per or sppimo solo che x è individuto in mnier univoc dll relzione T (x ) = 0, cioè x è l unico vlore per cui (5) 1 v + x x 2 + = 1 2 v b x (b x ) 2 + c 2. Come nel cso dell riflessione, rgionimo in termini di ngoli. Si α, ngolo di incidenz, l ngolo formto dl segmento AP con l semirett verticle per P contenut in y > 0, e si β, ngolo di rifrzione, l ngolo formto dl segmento P B con l semirett verticle per P contenut in y < 0. Se H e K sono le proiezioni di A e B

5. A CACCIA DI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI 23 y A " H 0 K P! B x Figur 13. Gli ngoli di incidenz e di rifrzione. sull rett x = x, i tringoli AP H e BP K sono rettngoli e quindi sin α = AH AP = x x 2 + 2 sin β = BK BP = b x (b x ) 2 + c 2. Sostituendo nell formul (5), si deduce che il punto di rifrzione P è scelto in modo che vlg sin α = sin β. v + v Tle relzione è not come legge di rifrzione di Snell.

CAPITOLO 2 Ordini di grndezz e l formul di Tylor 1. Verso lo zero e d un psso dll infinito Le funzioni con cui ci si trov dover lvorre possono vere un struttur complict, e nche molto. Se si è interessti l comportmento dell funzione solo per determinti regimi, cioè per vlori dell incognit in opportune regioni, può bstre conoscere quli sino i termini dominnti ll interno dell funzione. Ad esempio, se il vlore f(t) rppresent l posizione di un prticell ll istnte t, si potrebbe essere interessti solo l comportmento dell funzione f per vlori grndi di t. Se f(t) = e t + sin t, è chiro che sremo soddisftti di un pprossimzione del tipo f(t) e t per t +, dto che questo termine diverge +, mentre l ltro rimne itto. M se invece f(t) = e t + t? Anche qui l pprossimzione senst, per t +, è f(t) e t, dto che l esponenzile cresce più rpidmente del termine di primo grdo t. Come formlizzre in modo preciso l frse cresce ben più rpidmente? Lo stesso tipo di problem sorge nel cso di quntità infinitesime. Come confrontre termini che diventno molto piccoli (tendenti zero)? Ordine di infinito per x +. Considerimo qui funzioni f tli che f(x) = + x + (il cso x è nlogo). Come distinguere tr funzioni di questo genere quelle che divergono più rpidmente e quelle che divergono meno rpidmente? Ad esempio le funzioni x α, ln x, e x, x (con α > 0 e > 1) divergono per x + in modi essenzilmente differenti. Qule di queste funzioni cresce più rpidmente delle ltre? Dto che x 1 10 100 1000 x 2 1 100 10000 1000000 x 3 1 1000 1000000000 1000000000000 ci spettimo che x 3 tend ll infinito più rpidmente di x 2. L mnier rigoros per esprimere questo concetto è studire il rpporto delle due quntità. Dto che x 3 x + x = +, 2 25

26 2. ORDINI DI GRANDEZZA E LA FORMULA DI TAYLOR l grndezz di x 3 reltivmente quell di x 2 è mggiore. Quest proprietà si esprime dicendo che x 3 tende + più rpidmente di x 2 per x +. Allo stesso modo, x α cresce più rpidmente di x β per α > β x + Definizione 1.1. Ordine di infinito I. x α = + α > β. xβ Sino f e g tli che (6) f(x) = g(x) = +. x + x + Si dice che: f h ordine di infinito superiore rispetto g per x + se f(x) x + g(x) = +. Anlogmente, f h ordine di infinito inferiore rispetto g per x + se f(x) x + g(x) = 0. Può cpitre che due funzioni bbino lo stesso tipo di ndmento ll infinito. Ad esempio: x e 2x sono entrmbi polinomi di grdo 1 e vle: x + x 2x = 1 2. Il ftto che il ite del rpporto si un costnte non zero, suggerisce che le due funzioni hnno lo stesso ordine di grndezz. Si srebbe tentti di dire che due funzioni hnno lo stesso ordine di grndezz se e solo se f(x) x + g(x) = l > 0. Quest definizione, seppure rgionevole, è troppo restrittiv: non è in grdo di coprire csi con termini oscillnti. Un esempio: per f(x) = x(1 + sin 2 x) e g(x) = x, si h f(x) g(x) = x 1 + sin2 x x = 1 + sin 2 x [1, 2], che non mmette ite per x +. M, dto che x f(x) 2x, è rgionevole ffermre che f tende ll infinito con l stess velocità di x. Definizione 1.2. Ordine di infinito II. Si dice che le funzioni f e g, soddisfcenti (6), hnno lo stesso ordine di infinito per x + se esistono C 1, C 2 > 0 tli che (7) 0 < C 1 f(x) g(x) C 2 per x sufficientemente grnde.

1. VERSO LO ZERO E AD UN PASSO DALL INFINITO 27 In generle, per verificre l condizione (7) occorre stimre il rpporto f / g e non sempre quest operzione è fcile. Però, se esiste ed è diverso d zero il ite f(x) x + g(x) = l 0, l condizione (7) è utomticmente soddisftt. Ad esempio, considerimo le funzioni f(x) = 2x 2 1 e g(x) = x 2 + x + 3: x + 2x 2 1 x 2 + x + 3 = 2 0, quindi hnno lo stesso ordine di infinito. In generle, se f è un polinomio di grdo m e g un polinomio di grdo p, llor: se m > p, f è di ordine superiore g; se m = p, f e g sono dello stesso ordine; se m < p, f è di ordine inferiore g. Osservzione 1.3. Se f è di ordine superiore rispetto g, llor l funzione somm f + g h lo stesso ordine di f, inftti ( f(x) + g(x) = 1 + g(x) ) = 1. x + f(x) x + f(x) Ad esempio, l funzione x + ln x h lo stesso ordine di infinito di x per x + ( x + ln x = 1 + ln x ) = 1. x + x x + x Definizione 1.4. Se per un funzione f esiste un vlore α > 0 tle che f è dello stesso ordine di infinito di x α per x + si dice che f è un infinito di ordine α. L funzione x è dett infinito cmpione per x +. Ad esempio, l funzione 1 + x 2 è tle che 1 + x 2 1 = x + x x + x + 1 = 1, 2 quindi h ordine di infinito ugule d 1 per x +. L funzione 4x3 + 1 x 5 (4x 3 + 1)/(x 5) x + x 2 = x + 4x 3 + 1 x 3 5x 2 = 4 è tle che quindi h ordine di infinito 2. In generle, l ordine di infinito di un funzione rzionle con numertore di grdo m e denomintore di grdo p (con m > p) è m p (dimostrtelo!). Osservzione 1.5. Se un funzione f h ordine di infinito α, llor f(x) x + x = f(x) 1 α+ε x + x α x = 0 ε > 0; ε

28 2. ORDINI DI GRANDEZZA E LA FORMULA DI TAYLOR cioè h ordine di infinito inferiore rispetto d x α+ε per ogni ε > 0. Anlogmente f(x) x + x = f(x) α ε x + x α xε = ε > 0, quindi h ordine di infinito superiore rispetto d x α ε per ogni ε > 0. Si potrebbe pensre di introdurre un scl ssolut di ordine di grndezz delle funzioni, ttribuendo ciscun funzione divergente l corrispondente potenz che l rppresent. Quest scl, però, non dempie il compito richiesto: ci sono funzioni l cui velocità di divergenz non corrisponde quell di nessun potenz e quindi che, in questo senso, non possono essere clssificte. I due csi più rilevnti sono dti dll funzione ln x e d e x per cui vle ln x e x (8) = 0, = + α > 0. x + xα x + xα Per dimostrre (8), osservimo preinrmente che vle l disequzione 1 (9) ln t t t > 0. Or, dto α > 0, scego ε (0, α). Applicndo l disequzione (9) per t = x α ε e usndo le proprietà del logritmo: ln x 1 α ε xα ε x > 0, 0 < ε < α. Dividendo entrmbi i membri per x α e pssndo l ite, 0 ln x x 1 ln x x > 0 α (α ε)x ε x + x = 0. α Per il secondo ite in (8), ponendo y = e x, e x x + x = α y + y (ln y) α = y + ( ) y 1/α α = +. Le formule in (8) ffermno che ln x diverge per x + più lentmente di qulsisi potenz x α e che e x diverge più rpidmente di qulsisi potenz x α. Osservzione 1.6. Con le funzioni esponenzili e con i logritmi, è possibile costruire funzioni che divergono velocità sempre più grndi o velocità sempre più piccole. Ad esempio, ln(ln x) x + ln x ln y = y + y ln y e (ex ) e y = 0, = x + e x x + y = +, e quindi ln(ln x) è un infinito di ordine inferiore ln x e e (ex) è di ordine superiore e x. 1 Inftti, dett F (t) = t ln t, llor F (t) = 1 1/t e quindi F h un punto di minimo ssoluto per t = 1. Perciò F (t) F (1) = 1 > 0.

1. VERSO LO ZERO E AD UN PASSO DALL INFINITO 29 Osservzione 1.7. Cos succede per x e log x con > 1 (e diverso d e)? L funzione log x si può scrivere in termini dell funzione ln x: log x = ln x ln (spete giustificre quest formul?). Quindi log x ln x = x + x α x + x α ln = 0 α > 0. Procedendo come nel pssggio dl ite rigurdnte il logritmo nturle l ite per l esponenzile con bse e, deducimo che x + x = + α > 0, > 1. xα E interessnte confrontre tr loro esponenzili e logritmi con bsi diverse: log x x + log b x = ln x x + ln ln b ln x = ln b ln, b > 1, quindi logritmi con bsi diverse hnno lo stesso ordine di infinito. Per gli esponenzili, invece, dti, b > 1 x x + b = x x + ( b ) x = 0 < b, 1 = b, + b <, che mostr che esponenzili con bse mggiore hnno ordine di infinito mggiore. Ordine di infinito e comportmento sintotico. vlg un decomposizione del tipo È possibile che per un funzione f (10) f(x) = g(x) + h(x) con h(x) = 0, x + dove l funzione g è un funzione not (d esempio, un funzione con un sintoto obliquo). Se l funzione g diverge + per x +, llor f(x) = g(x) + h(x) = +. x + x + Come sono collegti gli ordini di infinito di f e g? L rispost è semplice: le funzioni f e g hnno lo stesso ordine di infinito, inftti ( f(x) (11) x + g(x) = g(x) + h(x) = 1 + h(x) ) = 1. x + g(x) x + g(x) Ad esempio, tutte le funzioni che possiedono un sintoto obliquo (non orizzontle) per x + hnno ordine di infinito 1.

30 2. ORDINI DI GRANDEZZA E LA FORMULA DI TAYLOR E vero il vicevers? Supponimo di spere che un funzione f bbi lo stesso ordine di infinito di un funzione g: f(x) = g(x) = + e 0 < C 1 f(x) x + x + g(x) C 2. E vero che vle un rppresentzione come quell dt in (10)? L rispost, in generle, è negtiv. Ad esempio, per le funzioni f(x) = x + ln x e g(x) = x x + ln x x + x = x + 1 + ln x x = 1, m l differenz tr f e g se ne gurd bene dl tendere zero per x + h(x) = f(x) g(x) = (x ln x) x = ln x h(x) = +. x + Ordine di infinito per x x 0. Così come si confrontno i comportmenti delle funzioni per x +, è possibile confrontre funzioni che divergono in un punto x 0. L terminologi è nlog ll precedente. Definizione 1.8. Ordine di infinito III. Dte due funzioni f e g tli che x x 0 f(x) = x x0 g(x) = +, si dice che f è un infinito di ordine superiore rispetto g per x x 0 se f(x) x x 0 g(x) = +. Se il ite è 0, f è un infinito di ordine inferiore rispetto g per x x 0. Infine, se esistono C 1, C 2 e δ > 0 per cui (12) 0 < C 1 f(x) g(x) C 2 per 0 < x x 0 < δ si dice che f e g hnno stesso ordine di infinito per x x 0. Come nel cso di x +, se f(x)/g(x) = l 0, llor è utomticmente x x0 verifict l condizione (12) e, quindi, f e g sono dello stesso ordine. Ad esempio 1 x 0 x = 1 x 0 sin x = + e x 0 1/x 1/ sin x = x 0 sin x x = 1, quindi f(x) = 1/x e g(x) = 1/ sin x sono infiniti dello stesso ordine per x 0. Definizione 1.9. Se l funzione f h lo stesso ordine di infinito di 1/ x x 0 α per qulche α > 0, si dice che f è un infinito di ordine α per x x 0. L funzione 1/ x x 0 è dett infinito cmpione per x x 0.

1. VERSO LO ZERO E AD UN PASSO DALL INFINITO 31 Anche qui si può ripetere qunto detto in precedenz: esistono funzioni che non hnno un ordine di infinito per x x 0. Un esempio? Con il cmbio di vribile y = ln x, si deduce che x 0 + ln x 1/x α = y + y = 0, eαy che mostr che ln x h un ordine di infinito in 0 inferiore qulsisi potenz. Ordine di infinitesimo. Così come si confrontno infiniti, è possibile confrontre funzioni infinitesime per x x 0 con x 0 R oppure per x ±. Qui, per bbrevire l esposizione, scrivimo x 0 per indicre o un numero rele, o uno dei due simboli ±. Definizione 1.10. Ordine di infinitesimo. Sino f e g infinitesime per x x 0. Si dice che f è un infinitesimo di ordine superiore g per x x 0 se (13) x x0 f(x) g(x) = 0. Se il ite è +, f è un infinitesimo di ordine inferiore g. Infine, f e g hnno lo stesso ordine di infinitesimo se in un intorno di x 0 (nel cso di x 0 = ± si intende per vlori sufficientemente grndi), 0 < C 1 f(x) g(x) C 2 per qulche C 1, C 2 > 0. Come nel cso degli infiniti, si introducono infinitesimi cmpione. Se x 0 R, si dice che f è un infinitesimo di ordine α, se è dello stesso ordine di x x 0 α. L funzione x x 0 è l infinitesimo cmpione per x x 0. Se x 0 = ±, si dice che f è un infinitesimo di ordine α, se è dello stesso ordine di 1/ x α. L funzione 1/ x è l infinitesimo cmpione per x ±. Qulche esempio (tnto per grdire): sin x x 0 x x ± x 0 x ± = 1 sin x è infinitesimo di ordine 1 per x 0 1/(1 + x 2 ) 1 = 1 è infinitesimo di ordine 2 per x ± 1/x 2 1 + x2 1 cos x = 1 1 cos x è infinitesimo di ordine 2 per x 0 x 2 2 ( ) rctn(1/x) 1 = 1 rctn è infinitesimo di ordine 1 per x ± 1/x x