Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1 <. Una funzione f è decrescente (non crescente) in un intervallo I se f ( 1 ) > f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1 <. Crescente Decrescente Crescente
Estremi di una funzione Una funzione f definita su un intervallo I ha un massimo in = c in I, chiamato ma f, se f f c per ogni in I. Una funzione f definita su un intervallo I ha un minimo in = d in I, chiamato min f, se ma f f f c per ogni in I. a b c d min f
Funzioni monotone Definizione: Una funzione f si dice monotona crescente se è sempre crescente. Una funzione f si dice monotona non decrescente se è sempre non decrescente. Definizione: Una funzione f si dice monotona decrescente se è sempre decrescente. Una funzione f si dice monotona non crescente se è sempre non crescente.
Esempio: la funzione lineare e monotona (strettamente) crescente o decrescente y Monotona decrescente y = 5 3 In generale una retta ha equazione: y = m + q dove m è il coefficiente angolare e q è intercetta. + 10 3 ( 1, 5) (, 0)
Esempio: funzione costante y = c, c R Ad esempio () = 3. Trovare il dominio, l immagine. E invertibile? y Soluzione: Il dominio è (, ). L immagine è { 3}. La funzione costante non è invertibile. Retta orizzontale (, 3)
Esempio. Retta verticale = c, c R = 3 (si intende l insieme ( 3, y) con y non vincolato). E una funzione? Trovare il dominio, il codominio. y Il dominio di questa relazione, che non è una funzione, è { 3}. Il codominio è (, ). Retta verticale ( 3, y) 3
Funzioni Limitate Una funzione f: A R R si dice superiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R superiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice inferiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R inferiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice limitata se lo è superiormente e inferiormente.
Immagine? [0, ) È monotona? No. È decrescente per 0 e crescente per 0. In = 0 c è un minimo È invertibile? No. È limitata? inferiormente Funzione quadratica o parabola: y =, dominio (, )
Immagine? (, 0] È monotona? No. E crescente per 0 e decrescente per 0. In = 0 c è un massimo È invertibile? No. È limitata? superiormente Caso simmetrico: y =, dominio (, )
Caso generale: Se a, b e c sono numeri reali con a 0 la funzione f = a + b + c è chiamata funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola. Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse chiamato asse di simmetria. y Il punto di intersezione tra la parabola e l asse di simmetria è chiamato vertice della parabola. f () = a + b + c vertice Asse di simmetria Copyright by Houghton Mifflin Company, Inc. All rights reserved. 11
f() = a + b + c a > 0 concavità verso l alto y Il vertice è il minimo Il vertice è il massimo y f() = a + b + c a < 0 concavità verso il basso
Funzioni pari e dispari Definizione: Una funzione f: R R si dice pari se f = f, R. Es. f = 4 3 = 4 3 = f( ) Definizione: Una funzione f: R R si dice dispari se f = f, R. Es. f = 3 + = 3 + = f( )
Esempio. Funzione potenza y = a n, a > 0 (a < 0), n naturale pari E una funzione pari f = f( ) Cresce per 0 e decresce for 0 f(-) f() -
Funzione potenza y = a n, a > 0 (a < 0), con n naturale dispari E una funzione dispari Cresce per ogni f = f( ) - f() f(-)
Funzione potenza y = a p, a > 0 (a < 0), p > 0 un numero reale y = 7 y = 5 y = 3 = 3 Dominio: { 0} E invertibile? sì y = 1 = y = 1 3 = 3
Iperbole y = 1 Dominio R 0 Il punto è singolare
Altri esempi di funzioni potenza
Funzioni periodiche Definizione: Una funzione f: A R R si dice periodica se esiste T > 0 tale che, per ogni A, si ha: + T A ed inoltre f + T = f. Il più piccolo T per cui vale la relazione sopra è detto periodo della funzione.
Esempio. Funzione seno. Per tracciare il grafico della funzione seno y = sen, R localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle sen 0 0 1 0 3-1 0 Un singolo ciclo è chiamato periodo π
Esempio. Funzione coseno. Per tracciare il grafico della funzione coseno y = cos localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle cos 0 1 0-1 3 0 1 In rosso è tracciato il periodo π.
Esempio. Funzione tangente. La funzione tangente y = tan è definita tan = sin cos Nei valori in cui cos = 0, la funzione tangente non è definita. Proprietà di y = tan y 1. dominio: tutti i reali π + kπ (k Z). immagine: (, +) 3. periodo: È invertibile? no È monotona? no È limitata? no 3 periodo: 3
Esempio. Funzione cotangente. La funzione cotangente y = cot è definita cot = Proprietà di y = cot 1. dominio: tutti i reali kπ (k Z). immagine: (, +) 3. periodo: 3 y 3 cos sin Nei valori in cui sen = 0, la funzione cotangente non è definita.. y cot È invertibile? no È monotona? no È limitata? no 0 periodo:
Funzione inversa del seno. Affinchè una funzione ammetta inversa, deve essere una funzione biettiva. f = sin non verifica il test della linea orizzontale sul dominio,. Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo considerare una sua restrizione.
Restrizione di una funzione Definizione: Dati una funzione f: A R Re un sottoinsieme B A, si dice restrizione di f a B una funzione g B R R tale che g = f, B. Esempio. sin: π, π [ 1,1] è invertibile.
La funzione inversa del seno, detta arcoseno, è definita da y = arcsen se e solo se sin y =. Angolo il cui seno è Il dominio di y = arcsen è [ 1, 1]. Il codominio di y = arcsen è [ /, /]. Esempio: a) arcsen = π 4 sen π 4 = b) sen 1 3 = π sen π = 3 3 3 Questo è un altro modo di scrivere arcsen.
Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto alla bisettrice del I quadrante. 1,,1 a 3, 3 3, 3 a 4,, 4 a y y = arcsin() y = sin() arcsen o sen 1 in blue
Grafici di sen ed arcsen
Funzione inversa del coseno. f = cos deve essere ristretta in modo che ammetta funzione inversa. cos: 0, π [ 1,1] è invertibile
La funzione inversa del coseno, detta arcocoseno, è definita da y = arccos se e solo se cos y =. Angolo il cui coseno è Il dominio di y = arccos è [ 1, 1]. Il codominio di y = arccos è [0, ]. Esempio: a.) arccos 1 b.) cos 3 1 3 5 6 cos 5 3 6 Questo è un altro modo di scrivere arccos.
Funzione inversa del coseno. Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta funzione inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro rosso sotto. In questo modo il dominio della funzione inversa diventa [-1,1], mentre l immagine [0, π] Grafico di arccos = cos 1 y = arccos() y 5/6 /3 / /3 /6
Funzione inversa della tangente. f = tan deve essere ristretta affinchè ammetta inversa. y y = tan 3 3 tan ammette funzione inversa su questo intervallo.
La funzione inversa della funzione tangente, detta arcotangente, è definita da y = arctan se e solo se tan y = Angolo la cui tangente è Il dominio di y = arctan è (, ). L immagine di y = arctan è π, π Esempio: 3 a.) arctan 3 1 b.) tan 3 3 6 tan 3 3 Questo è un altro modo di scrivere arctan.
Funzione inversa della tangente. Come per la funzione seno il dominio che genera la funzione inversa è π, π y=tan() y 4 / y y=arctan() 3 /4 / /4 /4 / 4 4 6 /4 D 3 / 4 D, e Cod,, e Cod,
arcsen() arcos() arctan() Dominio 1 1 1 1 Codominio 0
Altre funzioni speciali: Funzioni esponenziali f = a, a > 0, a 0 È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? inferiormente y Immagine: (0, ) (0, 1) Dominio: (, ) Il grafico di f() = a, a > 1
Il grafico di f() = a, 0 < a <1 y È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? inferiormente (0, 1) Immagine: (0, ) Dominio: (, )
Il grafico di f() = e y f() 6-0.14-1 0.38 4 0 1 1.7 7.39 Il numero e =.7188 è il numero di Nepero (anche numero di Euler)
Funzione logaritmo Per 0 e 0 a 1, y = log a se e solo se = a y. La funzione definita da f() = log a è chiamata funzione logaritmo con base a. Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente equazione esponenziale: y = log a se e solo se = a y Il logaritmo è un esponente! La funzione logaritmo è l inversa della funzione esponenziale.
Funzione logaritmo Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta y =. 1 0 1 3 1 4 1 1 4 8 y y = (1, 0) y = y = log Inters. con È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? no
Logaritmo naturale Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale e si scrive ln = log e
Grafici della funzione logaritmo a > 1 0 < a < 1 Es. f ( ) log3 f ( ) log 1/ 3 y 3 y y 1 3 y (0, 1) (0, 1) (1,0) (1,0) y log 3 y log 1/ 3
Esercizi 1. Trovare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: f = sen ; [ kπ, π + kπ, k = 0, ±1, ±, ] f = arcsen 1 4 ; [[ 1, 1]] 3 f = log 4 + ; [ > ] f = log 4 9 f = e 4 ; [ 0] ; [ 3 < < 0 o > 3]
Soluzione 1. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione: f = sen sen 0 0, π + kπ, k Z kπ, π + kπ, k Z.
Soluzione. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione: f = arcsen 1 4 3 1 4 3 1,1 1 1 4 1 3 Risolvendo le due disequazione si trova la soluzione.
. Trovare l immagine e l inversa della funzione f = arcsen 1 4 3 Una trasformazione lineare m + q dilata (0 < m < 1), restringe (m > 1) e traslata una data funzione di q. Per m < 0 c è in più una riflessione rispetto all asse delle y. Per trovare l immagine basta calcolare gli estremi f 1, f 1. L immagine è data da π, π. L inversa si trova così y = arcsen 1 3seny 4 1 4 3 sen y = 1 4 3 =, quindi f 1 y = 1 3seny 4.
3. Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: f = + 1 [pari] f = + ; [pari] 4 f = 3 ; [dispari ] f = + ; [dispari] f = + ; [né pari né dispari] cosh() = e +e ; senh() = e e le ultime due funzioni si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico.
Soluzione 1 4 ) f = log 4 9 Il dominio è dato dalla condizione 9 > 0. Visto che 9 = 3 + 3 = 0, i punti critici del numeratore sono = 3, = 3. Il denominatore ha solo = 0 come punto critico. -3 0 3 Num. + 0 - - - 0 + Den. - - - 0 + + + Frazione - 0 + n.d. - 0 + Il dominio della funzione è dato da 3,0 3,.