Le equzioni di seondo grdo Appunti delle lezioni di Armndo Pisni A.S. 3- Lieo Clssio Dnte Alighieri (GO)
Not Questi ppunti sono d intendere ome guid llo studio e ome rissunto di qunto illustrto durnte le lezioni in lsse. In nessun so sono sostitutivi del liro di testo he rimne uno strumento indispensile llo studio. A. Pisni
Indie Introduzione: stori delle equzioni di II gr. L form generle dell equzione, le forme pur e spuri Legme tr i oeffiienti e le soluzioni Costruire l equzione prtire dlle soluzioni Somposizione del trinomio di seondo grdo
Stori delle equzioni di seondo grdo...
LE ORIGINI DELL ALGEBRA Il Ppiro di Ahmes (o di Rhind) 83.C. Titolo: Modello di lolo per penetrre le ose, onosere tutto iò he è, (ogni) osurità, ogni diffioltà. Contenuto: eserizi vri di ritmeti, omprese le frzioni, equzioni di primo grdo e vrie osservzioni su questioni di geometri: ree e volumi.
L ALGEBRA IN GRECIA Diofnto (5 d.c.): Arithmeti Dl VI l IV seolo.c. i Grei sono in grdo di usre le equzioni di seondo grdo per risolvere prolemi geometrii. Diofnto è oggi ritenuto il pdre dell lger. L su oper onsiste in un rolt di prolemi risolviili on equzioni di primo e seondo grdo. Fu il primo d introdurre delle revizioni simolihe nelle espressioni lgerihe.
L ALGEBRA IN INDIA Tr il VII ed il XII se. Dll Indi provengono notevoli ontriuti ll lger ed in prtiolre lle equzioni di seondo grdo in ui vengono onsiderte le soluzioni negtive e il prolem dell divisione per zero. Tuttvi è il mondo ro dri il primo trttto di lger he può onsiderrsi moderno. L ALGEBRA DEGLI ARABI Tr l fine del VIII e l inizio del IX se. Il mtemtio e stronomo l-khuwrizmi srisse un oper in ui present in modo qusi didttio i metodi di risoluzione delle equzioni, speilmente di seondo grdo.
IL MEDIOEVO Durnte il Medioevo, in Europ vengono trdotte le due prinipli opere rigurdnti l lger e le equzioni di seondo grdo he sono quell di Diofnto e quell di l-khuwrizmi. Dll trduzione di quest ultim deriv proprio il nome lger. Verso il 5 si oupno di lger soprttutto mtemtii itlini e tedeshi: inizino omprire opere in ui si utilizzno lettere invee di ifre e simoli per indire le operzioni. A tle dt le equzioni di seondo grdo sono ompletmente note e gli interessi degli lgeristi si spostno verso ltri rgomenti.
L form generle dell equzione e le forme pur e spuri
Form generle L form generle dell equzione di seondo grdo è: Con l ondizione he ltrimenti l eq. divent di primo gr. Se: Equzione pur Se: Equzione spuri
Risoluzione dell equzione pur L equzione pur di seondo grdo è: Quest equzione è risoluile seondo lo shem seguente: Quindi: ±, NOTA BENE: queste soluzioni esistono solo se i oeffiienti e sono di segno diverso
Risoluzione dell equzione spuri L equzione spuri di seondo grdo è: Quest equzione è risoluile somponendo in fttori seondo lo shem seguente: Quindi: ( ) NOTA BENE: queste soluzioni esistono qulunque Si il vlore di, posto he non Si zero
Risoluzione dell eq. generle Voglimo risolvere l equzione generle di seondo grdo: L ide ll se del proedimento risolutivo è srivere il trinomio sinistr dell ugule ome se fosse un qudrto perfetto. Per prim os dividimo per il oeffiiente (he non è zero per ipotesi): Or il primo termine è un qudrto, srivimo il seondo ome un doppio prodotto: Quindi il seondo termine è il doppio prodotto dei due termini:
Per ompletre il qudrto ggiungimo e toglimo il qudrto di Così i primi tre termini sono il qudrto di un inomio: # $ % & ' Risrivimo l equzione ome: # $ % & ' # $ % & '
Prendimo l rdie qudrt di entrmi i memri: ± ± Eo l formul risolutiv finle:, ± Dt l presenz dell rdie qudrt, le soluzioni esistono se: #
RIASSUMENDO: > < Due soluzioni reli distinte Due soluzioni reli oinidenti Nessun soluzione rele
Soluzioni: > <,
Eserizio Risolvete l seguente equzione di seondo grdo omplet: 5 6 Confronto l equzione on l form generle: Rionoso il vlore dei tre oeffiienti dell equzione: 5 6 Clolo il delt: # ( 5) 6 5
Dto he: > L equzione h due soluzioni distinte:, ± Sostituendo i vlori dei prmetri ottengo: 6 5) ( 5) (, ± Quindi: 5 5, ± ± 3 6 5 5 -
Il legme tr i oeffiienti e le soluzioni
Legme tr i oeffiienti e le soluzioni Se l equzione h soluzioni, ovvero: Allor: E quindi: Infine:
Inoltre, se l equzione h soluzioni, ovvero: Allor il prodotto delle soluzioni è: # # ) )( ( # ) ( ) ( ) ( # Infine:
Rissumendo:
Come ostruire l equzione prtire dlle soluzioni
L equzione prtire dlle soluzioni Supponimo di voler ostruire un equzione he i le soluzioni Possimo lolre l somm ed il prodotto delle soluzioni: s p M imo ppen visto he, in generle l equzione: Se vle: llor:
Quindi se imo: Dividimo per : Invertimo le relzioni he dnno l somm ed il prodotto: ) ( s p Possimo quindi srivere s p l equzione ert ome:
Eserizio Trovte un equzione di seondo grdo vente le soluzioni: 3 s Clolimo l somm ed il prodotto delle soluzioni: 3 5 p 3 6 l equzione he erhimo è quindi: s p # 5 6 5, Inftti: 6 5 ± 3
Eserizio Trovte due numeri venti somm s e prodotto p seguenti: s 6 p 8 L equzione he erhimo è quindi: s p 6 8 Quindi: # 36 8, 6 ± Inftti: 6 8
Eserizio Trovte due numeri venti somm s e prodotto p seguenti: s p L equzione he erhimo è quindi: s p Quindi: #, In questo so il prolem non h soluzioni reli Non esistono due numeri (reli) he ino somm e prodotto.
Somposizione del trinomio di seondo grdo in fttori
L somposizione in fttori Aimo visto he, in generle l equzione: Se vle: llor: ( ) Se nel trinomio di grdo roglimo il oeffiiente : quindi: & $ % # [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ]... [ ( ) ( )]... [( )( )]... Quindi, se il delt è non-negtivo, llor vle l somposizione: ( )( )
Eserizio Somponete in fttori il seguente trinomio di seondo grdo: 5 6 Ponimo ugule zero il trinomio e ottenimo: 5 6 Confronto l equzione on l form generle: Rionoso il vlore dei tre oeffiienti dell equzione: 5 6 Clolo il delt: # ( 5) 6 5
Dto he: > L equzione h due soluzioni distinte: Quindi imo determinto i vlori di he nnullno il trinomio. Possimo quindi pplire l relzione: 5 5, ± ± 3 6 5 5 ( )( ) Ottenimo: ( )( ) 3 6 5
Eserizio Somponete in fttori il seguente trinomio di seondo grdo: 3 Ponimo ugule zero il trinomio e ottenimo: 3 Confronto l equzione on l form generle: Rionoso il vlore dei tre oeffiienti dell equzione: 3 Clolo il delt: # ( ) 3 8 Il trinomio dto NON E SCOMPONIBILE IN FATTORI