SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A. Se A, B sono insiemi, diremo che A è un sottoinsieme di B e scriveremo A B se ogni elemento di A è un elemento di B. Fr i sottoinsiemi di B ci sono in prticolre B stesso e l insieme vuoto che viene denotto con. Due insiemi A e B si dicono uguli, A =B,se hnno gli stessi elementi cioè se: A B e B A A = B. Diremo che un sottoinsieme A di B è proprio, se A B e scriveremo A B; Se A è un insieme, denoteremo con P(A) l insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A; P(A) si dice l insieme delle prti di A. Se A, B sono insiemi, diremo unione di A e B l insieme costituito dgli elementi che stnno in A oppure in B, A B = {x : x A o x B}, diremo intersezione di A e B l insieme costituito dgli elementi comuni d A e B, A B = {x : x A e x B}, mentre diremo differenz di A e B l insieme degli elementi di A che non sono elementi di B, A B = A \ B = {x : x A x B}. Due insiemi si dicono disgiunti se l loro intersezione è l insieme vuoto. Se A è sottoinsieme di B diremo complementre (o complemento) di A in B l insieme B A e lo denoteremo con CBA. Se B è l insieme mbiente il complementre di A in B verrà semplicemente denotto con CA. Se A, B sono insiemi, definimo prodotto crtesino di A e B e lo denoteremo con A B, l insieme i cui elementi sono le coppie ordinte (,b) con A e b B. - Sugli insiemi - 1
Proprietà: 1) A A = A, A A = A ) A B = B A, A B = B A (proprietà commuttiv) 3) A =, A = A 4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (proprietà ssocitiv) 5) A (B C) = (A B) (A C) (proprietà distributive dell intersezione rispetto A (B C) = (A B) (A C) ll unione e dell unione rispetto ll intersezione). Gli insiemi N, Z, Q, R N denot l insieme dei numeri nturli, N = { 0, 1,, }, in esso sono definite le operzioni di somm e di prodotto nonché un ordinmento < per cui 0 < 1 < < 3 I numeri nturli si presentno sotto due forme: - crdinle, se risponde ll domnd: qunti? ( es. qunti sono gli elementi di un dto insieme? ) - ordinle, se risponde ll domnd: qule? ( es. qul è il posto di un fissto elemento in un dto insieme? ). In N non tutte le equzioni del tipo +x = b hnno soluzione, inftti, se b <, non esiste lcun numero nturle x che soddisf l equzione. Z denot l insieme dei numeri interi, Z = { -3, -, -1, 0, 1,, 3 }, in esso sono definite le operzioni di somm e di prodotto e un ordinmento. In Z le equzioni + x = b hnno sempre soluzioni, mentre le equzioni x = c, con 0, hnno soluzione solo se c è un multiplo di. Con Q indichimo l insieme dei numeri rzionli, ossi l insieme delle frzioni m/n con m, n Z e n 0, Q = { m/n: m, n Z, n 0 }. con l convenzione che le frzioni m/n e p/q rppresentno due modi diversi di scrivere lo stesso numero se mq = np. In form decimle i numeri rzionli si scrivono nell form, b1bb3 dove indic l prte inter e le cifre dopo l virgol possono essere in numero finito (ossi seguite d tutti zeri - Sugli insiemi -
prtire d un certo punto in poi ) o in numero illimitto periodico, nel senso che prtire d un certo punto in poi le cifre si ripetono. In Q sono definite le operzioni di somm e di prodotto e un ordinmento; in tle insieme le equzioni del tipo + x = b e x = b (in quest ultimo cso 0 ) hnno soluzione, mentre l equzione x - = 0 non h soluzioni. R denot l insieme dei numeri reli, ossi l insieme dei numeri che nell form decimle sono del tipo, b1bb3 dove il numero delle cifre dopo l virgol è illimitto non necessrimente periodico, con l convenzione di considerre due scritture del tipo 3,5000 e 3,4999 come diverse scritture dello stesso numero. Se l sequenz b1b bn è periodic il numero è rzionle se non lo è il numero dicesi irrzionle. In R sono definite le operzioni di somm e di prodotto, nonché un ordinmento che gode delle due seguenti proprietà: 1) se x > 0, y > 0 => x + y > 0 e x y > 0; ) x є R vle un e un sol delle seguenti relzioni: x > 0, x = 0, -x > 0. Le equzioni del tipo + x = b, x = c (con 0 ) e x - = 0 hnno soluzione in R, mentre l equzione x + 1 = 0 non h soluzioni. Chirmente è N Z Q R. Gli insiemi N, Z, Q, R privti dello 0 verrnno indicti rispettivmente con N*, Z*, Q*, R* 3. Vlore ssoluto di un numero rele. Si definisce vlore ssoluto di un numero rele x, e si indic con x, lo stesso numero x se esso è mggiore o ugule 0, il suo opposto se esso è negtivo, cioè: x se x 0 x = -x se x < 0 - Sugli insiemi - 3
Vlgono le seguenti proprietà: 1) x = x 0 ) se x, m є R e m > 0, x < m -m < x < m, mentre x > m x < -m oppure x > m 3) x + y x + y x, y R 4) xy = x y x, y R 5) x = x x R 6) x y x y x, y R Esempi: -7 =7; 3 =3; 0 =0; x+5 7-7 x+5 7 ossi 1 x ; x+4 >6 x+4 > 6 oppure x+4 < -6 ossi x > oppure x < -10; 3x <5-5 < 3x < 5 ossi 5/3 < x < 5/3. 4. Intervlli Tr gli insiemi numerici prticolrmente importnti sono i cosiddetti intervlli (limitti e non limitti o illimitti) Se, b sono numeri reli con < b si definiscono i seguenti tipi di intervlli limitti di estremi e b: Aperto ], b [ = { x R: < x < b } b Chiuso sinistr e perto destr [,b [ = { x R: x < b } b Aperto sinistr e chiuso destr ],b ] = { x R: < x b } b Chiuso [, b ] = { x R: x b } b - Sugli insiemi - 4
Se R si definiscono i seguenti tipi di intervlli non limitti: Aperto sinistr e non limitto superiormente ], + [ = { x R: x > } Chiuso sinistr e non limitto superiormente [, + [ = { x R: x } Aperto destr e non limitto inferiormente ] -, [ = { x R: x < } Chiuso destr e non limitto inferiormente ] -, ] = { x R: x } Se x0 R, per intorno di x0, I(x0), si intende un qulsisi intervllo perto ], b [ che conteng x0; e se r R + per intorno circolre di x0 di rggio r, I(x0, r), si intende l intervllo perto ]x0 r, x0 + r[. Un insieme del tipo ] ; + [ ( ] -, [ ) e detto intorno di + (- ). Si h che: l intersezione di un numero finito di intorni di x0 e ncor un intorno di x0, mentre l intersezione di infiniti intorni di x0 non e necessrimente un suo intorno. Si B e un sottoinsieme non vuoto di R, B e B R. Si dice che: x0 R e un punto di ccumulzione di B se in ogni intorno di x0 vi sono infiniti elementi di B. x0 B e un punto isolto di B se esiste un suo intorno che bbi in comune con B soltnto il punto x0. x0 B e interno B se esiste un suo intorno I(x0) tutto contenuto in B. x0 B e esterno B se esiste un suo intorno I(x0) non contenente lcun punto di B. - Sugli insiemi - 5
x0 (x0 B o x0 B) si dice punto di frontier di B se non e ne interno ne esterno B, cioe in ogni suo intorno vi sono elementi di B ed elementi non pprtenenti B. Esempio Si B = { x R: {1,3} [5,8[ } 1 3 5 8 Ogni x R: 5 x 8 e punto di ccumulzione per B (si noti che 5 B e 8 B), ogni x R che si x < 5 o x > 8 non e punto di ccumulzione per B. L elemento 1 e un punto isolto di B perche esiste I(1): I(1) B = {1} nlogmente lo e l elemento 3. Ogni x R: 5 < x < 8 e interno B. Ogni x R che verifichi un delle propriet x < 1, 1 < x < 3, 3 < x < 5, x > 8 e un punto esterno B. Gli elementi 1, 3, 5, 8 sono punti di frontier per B non essendo ne punti interni, ne esterni B. 5 - Estremi d' insiemi numerici Si B un sottoinsieme non vuoto dei numeri reli, Si dice che: B e B R. L R è mggiornte di B se per ogni elemento x B si h x L L R è mssimo di B, L = mx B, se: 1) L è mggiornte di B, ) L B L R è estremo superiore di B, L = sup B, se: 1) L è mggiornte di B, ) per ogni y mggiornte di B è L y. In ltre prole L = sup B L è il più piccolo dei mggiornti di B. B è limitto superiormente se mmette mggiornti. Se B non è limitto superiormente si dice sup B = + In modo nlogo si dice che: l R è minornte di B se per ogni elemento x B si h l x l R è minimo di B, l = min B, se 1) l è minornte di B, ) l B - Sugli insiemi - 6
l R è estremo inferiore di B, l = inf B, se 1) l è minornte di B, ) per ogni y minornte di B si h y l. In ltre prole l = inf B è il più grnde dei minornti. B è limitto inferiormente se mmette minornti. Se B non è limitto inferiormente si dice che inf B = -. B è limitto se è limitto si superiormente che inferiormente. Si dimostrno le seguenti proprietà: ) Se B h estremo superiore (inferiore), esso è unico. b) Se B h mssimo (minimo), esso è unico. c) Se L(l) è il mssimo (minimo) di B llor L(l) è l estremo superiore (inferiore) di B. d) Se B è limitto superiormente (inferiormente) llor esiste finito l estremo superiore (inferiore) di B. e) (crtterizzzione dell estremo superiore). Se B è limitto superiormente si h L = sup B 1) L è mggiornte di B ( x B x L), ) comunque si fissi ε > 0 esiste sempre lmeno un X B tle che X > L - ε f) (crtterizzzione dell estremo inferiore). Se B è limitto inferiormente si h l = inf B 1) l è minornte di B ( x B l x), ) comunque si fissi ε > 0 esiste lmeno un X B tle che X < l + ε Esempi 1) B = { x R : x 5} si h che 5 è mggiornte di B e 5 B, pertnto 5 è il mssimo di B e risult nche Sup B =5, Inf B = - ) = { x R : x > } B si h Sup B = +, non esiste il min B, non esiste il mx B, Inf B= 3) = { 4 < x 8} B si h Inf B = 4, Sup B = 8, non esiste min B, esiste mx B = 8. - Sugli insiemi - 7
6.Esercizi proposti Trovre gli estremi inferiore e superiore e, se esistono, il mssimo e il minimo degli insiemi A B, A B, A B, B A essendo: ) A = { x R : x x 0} e B = { x R : x < 1} b) A { x R : x domlog( 3x x )} c) = { x R : 5 x x 0} = e B = { x R : x dom x x } A e B = { x R : x( x + 1) < 0} d) = { x R : x 1 0} A e B = { x R : x domlog(4 x )} e) = { x R : x 3} A e B = { x R : x dom log( x ) } f) A = { x R : x 3x 0} e B = { x R : x domlog( x x) } g) A = { x R : x x 0} e B = { x R : ( x 1)(3 x) < 0} h) A { x R : x dom x 5x} = e B = { x R : x > 4} - Sugli insiemi - 8