MODELLI DI OLIGOOLIO di Christin Grvgli e Alessndro Grffi MODELLO DI COURNOT. IOTESI. SUL MERCATO OERANO DUE IMRESE: l impres e l impres DUOOLIO. RODUCONO LO STESSO IDENTICO BENE BENE OMOGENEO. LE IMRESE COMETONO NELLE UANTITA, OSSIA DECIDONO LA UANTITA DA RODURRE AL FINE DI MAX IL RORIO ROFITTO. OGNI IMRESA SUONE CHE LA UANTITA RODOTTA DALLA RIVALE RIMANGA COSTANTE, OSSIA NON CONSIDERA CHE LE SUE SCELTE DI RODUZIONE OSSANO INFLUENZARE LE DECISIONI DELLA RIVALE. 5. IN ALTRE AROLE, LE IMRESE DECIDONO CONTEMORANEAMENTE LA UANTITA DA RODURRE IN UN IOTETICO GIOCO SIMULTANEO, IL CUI EUILIBRIO, SE ESISTE, E UN EUILIBRIO DI NASH. STRUTTURA DEL MODELLO CURVA DI DOMANDA DI MERCATO è definit dll funzione di domnd invers di merto he è in generle indit ome: - dove l output totle: e quindi: - - dove è l quntità prodott dll impres e quell prodott dll impres. LA FUNZIONE DI COSTO TOTALE DI OGNI IMRESA è definit supponendo he ess sosteng un osto mrginle ostnte e positivo i, on, in generle, CT e CT LA FUNZIONE DI ROFITTO DI OGNI IMRESA è pertnto dt d π - - - - π - -
C. COME SI CALCOLA L EUILIBRIO DEL MODELLO DI COURNOT? roedimo on ordine seguendo questi pssi:. doimo trovre l FUNZIONE DI REAZIONE per isun delle due imprese onsiderte, ossi l equzione he individui l selt di output ottim ioè he mx profitto per un impres per ogni possiile livello di output ossi in funzione di selto dll ltr. Come si f derivre nlitimente le Funzioni di Rezione???. remesso he l regol per l mx del profitto d prte dell impres è sempre quell di segliere il livello di output in orrispondenz del qule RICAVO MARGINALE MR COSTO MARGINALE MC in questo so, supponendo dt e ostnte l quntità prodott dll rivle, nlizzimo il prolem di selt dell impres. L impres h di fronte sè l urv di domnd di merto: - dove output totle e quindi: nell qule onsider ostnte l quntità prodott dll impres indit on, ossi, risrivimo: - Ottenimo osì l urv di domnd per l impres he è definit in modo residule urv di domnd RESIDUALE dell impres perhé è dt dll differenz tr l domnd di merto e le unità offerte dll impres. Inftti si h: uindi: - - / - interett vertile inlinzione Come sppimo il rivo mrginle MR nel so di funzione di domnd linere h l stess interett vertile dell funzione di domnd invers del merto, ed inlinzione doppi. uindi per l impres si vrà he: MR
Dt l funzione dei osti delle imprese, rivimo ome l solito i osti mrginli. Nell esempio si h: MC MC Le Funzioni di Rezione di e si trovno utilizzndo l solit regol per determinre l selt ottim delle imprese, dt dll uguglinz tr rivo mrginle e osto mrginle, quindi per l impres srà: MR MC ossi d ui risolvendo per, l output dell impres, ottenimo l FUNZIONE DI REAZIONE di dell impres [ - ] / Anlogmente ottenimo l FUNZIONE DI REAZIONE di dell impres [ - ] / Trovre l equilirio nel modello di Cournot signifi individure l situzione in ui entrme le imprese dottno l propri selt ottim, ossi stnno entrme sull propri urv di rezione, DATA LA SCELTA OTTIMA DELL AVVERSARIO. Si trtt dunque di individure l equilirio di Nsh del gioo simultneo di Cournot. Grfimente, l equilirio è pertnto rppresentto dl punto d intersezione tr le due urve di rezione.
R ournot R ournot Anlitimente, per trovre l EUILIBRIO st risolvere il sistem omposto dlle due Funzioni di Rezione ossi lolre qule è il punto di intersezione tr le due Funzioni di Rezione: [ - ] / [ - ] / Risolvimo il sistem: sostituendo d esempio ll interno dell espressione di e, risolvendo, trovimo il punto di intersezione: ; he rppresent l EUILIBRIO DI COURNOT. iù preismente tli vlori sono dti d:
5 simmetrimente e d notre he se ossi, se, se, se ossi, nell ompetizione à l Cournot, l impres on osti mrginli minori produe un livello di output mggiore. L quntità totle prodott ed offert sul merto è:, ossi Il rezzo di equilirio si trov sostituendo nell funzione di domnd DI MERCATO: Il profitto dell impres srà dto d 9 e simmetrimente per l impres
6 9 MODELLO DI BERTRAND.IOTESI. SUL MERCATO OERANO DUE IMRESE: l impres e l impres DUOOLIO. RODUCONO LO STESSO IDENTICO BENE BENE OMOGENEO. LE IMRESE COMETONO NEI REZZI, OSSIA DECIDONO IL REZZO A CUI VENDERE IL RORIO RODOTTO AL FINE DI MAX IL RORIO ROFITTO. OGNI IMRESA SUONE CHE IL REZZO FISSATO DALLA RIVALE RIMANGA COSTANTE, OSSIA NON CONSIDERA CHE LE SUE SCELTE DI REZZO OSSANO INFLUENZARE LE DECISIONI DELLA RIVALE. 5. IN ALTRE AROLE, LE IMRESE DECIDONO CONTEMORANEAMENTE UALE REZZO FISSARE IN UN IOTETICO GIOCO SIMULTANEO, IL CUI EUILIBRIO, SE ESISTE, è UN EUILIBRIO DI NASH. COME SI CALCOLA L EUILIBRIO NEL MODELLO DI BERTRAND? Dt l CURVA DI DOMANDA DI MERCATO definit dll funzione di domnd invers di merto he è in generle ssunt essere linere - dove output totle, nell ompetizione à l Bertrnd distinguimo si: I Nel CASO in ui le imprese onsiderte ino gli STESSI osti mrginli MC ostnti MC MC, l ondizione di EUILIBRIO è sempliemente dt d: MC D tle ondizione, nlitimente si ottiene: e, sostituendo nell funzione di domnd di merto, ottenimo:
on le due imprese he si sprtisono equmente il merto e relizzno profitti nulli. Notte ene he è l stess situzione he si verifi in ondizioni di CONCORRENZA ERFETTA! II Nel CASO in ui le imprese onsiderte ino DIVERSI osti mrginli, on d esempio MC, e MC on MC < MC, l ondizione di EUILIBRIO è dt d: l impres on osti mrginli minori l può ggiudirsi l inter domnd del merto. er fre iò è suffiiente he prtihi un prezzo di poo indihimo questo poo on ε inferiore l osto mrginle dell ltr impres ioè, in modo tle he l ltr impres tle prezzo non i inentivo produrre poihé ne otterree profitti negtivi. Il prezzo di equilirio srà quindi: MC - - ε ε l impres non produrrà 0, mentre l impres si pproprierà dell intero merto, relizzndo profitti positivi. [Tutto iò vle se M > -ε vedi nhe il ommento sotto] Ovvimente, qulor il prezzo di monopolio M risulti essere inferiore l impres potrà pproprirsi dell intero merto e omportrsi d monopolist [questo de onsiderndo he l situzione di monopolio è quell mggiormente desiderile d un impres, in qunto mssimizz i profitti. uindi, se M < llor l impres he rest sul merto potree mssimizzre i proprio profitti omportndosi d monopolist, prtindo un prezzo M, restndo siur he omunque l ltr impres non rientrerà nel merto in qunto free profitti negtivi, dto he vle: M <. Se invee l impres si omportsse d monopolist prtindo un prezzo M nell ondizione preedente, in ui si vev M > -ε, llor l impres eslus potree rientrre nel merto e fre profitti positivi dto he il prezzo vigente, M, sree mggiore dei suoi osti mrginli]. 7
MODELLO DI STACKELBERG. IOTESI. SUL MERCATO OERANO DUE IMRESE: l impres e l impres DUOOLIO. RODUCONO LO STESSO IDENTICO BENE BENE OMOGENEO. LE IMRESE COMETONO NELLE UANTITA, OSSIA DECIDONO LA UANTITA DA RODURRE AL FINE DI MAX IL RORIO ROFITTO. L IMRESA FOLLOWER CONTINUA A COMORTARSI COME UN INGENUO DUOOLISTA ALLA COURNOT E SUONE CHE LA UANTITA RODOTTA DALLA RIVALE RIMANGA COSTANTE, OSSIA NON CONSIDERA CHE LE SUE SCELTE DI RODUZIONE OSSANO INFLUENZARE LE DECISIONI DELLA RIVALE 5. L IMRESA LEADER SA CHE LA SUA RIVALE SI COMORTA COME UN INGENUO DUOOLISTA ALLA COURNOT E UINDI è IN GRADO DI CONSIDERARE CHE LE SUE SCELTE DI RODUZIONE INFLUENZANO LE DECISIONI DELLA RIVALE; SA E NE TIENE CONTO CHE LA RIVALE REAGISCE ALLE SUE DECISIONI DI RODUZIONE SECONDO LA SUA FUNZIONE DI REAZIONE R 6. IN ALTRE AROLE, L IMRESA SCEGLIE ER RIMA IN UN IOTETICO GIOCO SEUENZIALE, IL CUI EUILIBRIO, SE ESISTE, è UN EUILIBRIO NASH ERFETTO.. STRUTTURA DEL MODELLO L struttur del modello è identi quell del modello di Cournot: Aimo un urv di domnd di merto definit medinte un funzione di domnd invers LINEARE, rppresentt dll equzione - dove output totle e quindi - - dove è l quntità prodott dll impres e quell prodott dll impres LA FUNZIONE DI COSTO TOTALE DI OGNI IMRESA è definit supponendo he ess sosteng un osto mrginle ostnte e positivo i, on, in generle, CT e CT LA FUNZIONE DI ROFITTO DI OGNI IMRESA è pertnto dt d 8
π - - - R - π - - poihé per l impres l output dell rivle è un ostnte, mentre per l impres l output dell rivle è determinto dll su funzione di rezione R. C. COME SI CALCOLA L EUILIBRIO DEL MODELLO DI STACKELBERG? Come detto in preedenz il modello di Stkelerg può essere interpretto ome un gioo sequenzile in ui il leder segli per primo e, pertnto, il suo equilirio può essere determinto risolvendo il gioo on il metodo dell induzione ll indietro. er prim os doimo quindi risolvere il prolem di selt ottim dell impres Follower, he si omport à l Cournot supponendo ostnte l quntità prodott dll impres, e rivre l su funzione di rezione. Dt l domnd residule dell impres - e l reltiv urv di rivo mrginle MR l Funzione di Rezione dell impres Follower si trov utilizzndo l solit regol per determinre l selt ottim delle imprese, dt dll uguglinz tr rivo mrginle e osto mrginle. uindi per l impres srà: MR MC ossi d ui risolvendo per, l output dell impres, ottenimo l FUNZIONE DI REAZIONE di dell impres L impres leder onose l funzione di rezione dell impres Follower perhè s he ess regise lle sue deisioni di produzione seondo quest relzione. L sostituise quindi nell equzione he definise l domnd di merto ed ottiene osì l espressione per l propri domnd residule 9
0 e l reltiv urv di rivo mrginle MR ed eguglindo rivo mrginle e osto mrginle riv il proprio livello ottimle di output L output prodotto dll impres srà llor R L quntità totle prodott ed offert sul merto è: Il rezzo di equilirio si trov sostituendo nell funzione di domnd DI MERCATO:
Il profitto dell impres leder srà dto d COURNOT 9 8 8 > Π e per l impres follower COURNOT 9 6 6 < Π Notte he i risultti dimostrti in lsse e presenti sul liro di testo possono essere ottenuti ome so prtiolre ponendo 0 in queste formule generli. Grfimente l equilirio di Stkelerg srà R R follower Curv di isoprofitto più ss possiile dell impres è quell tngente ll urv di rezione dell impres LEADER
LA COLLUSIONE: COME SI TROVA L OUTUT OTTIMALE? Nell ollusione, si ess il risultto di un ordo espliito tr le imprese rtello o di un ordo tito, le imprese si omportno ongiuntmente ome se fossero un monopolist. Dt l urv di domnd di merto definit medinte un funzione di domnd invers LINEARE, rppresentt dll equzione - dove output totle possimo distinguere si:. Nel CASO in ui le imprese onsiderte ino osti mrginli MC IDENTICI e COSTANTI MC MC, l ondizione di EUILIBRIO si trov sempliemente onsiderndo le due imprese ome un UNICA impres he si omport ome un MONOOLISTA. Risolvimo, quindi, il prolem ome nel so di monopolio, trovndo he srà ugule dll ondizione MR MC - e quindi -/ he verrà diviso in prti uguli tr le due imprese mentre / -/. Nel CASO in ui le imprese onsiderte ino osti mrginli COSTANTI, m DIVERSI oppure VARIABILI, trovimo Π π π in funzione di e l funzione dei profitti totli. Clolimo le derivte przili di Π rispetto e rispetto d, e le ponimo uguli zero stimo trovndo il punto di mssimo dell funzione dei profitti totli. L ondizione di EUILIBRIO si trov risolvendo il sistem omposto dlle due ondizioni trovte:
Π Π 0 0 E importnte riordre esiste un prolem di sosteniilità dell ordo ollusivo perhè l ollusione può essere modellt ome un gioo tipo dilemm del prigioniero, nel qule non rispettre l ordo defezionre è l strtegi dominnte per entrme le imprese e ondue equiliri di Nsh non effiienti nel senso di reto se il gioo non è ripetuto un numero infinito di volte. Esempio: Si 0- l domnd di merto e MC MC 8. Allor dll ondizione MR MC ottenimo he 0-8 e quindi 6, / e. Ne onsegue he -8 8 A questo punto se l impres non rispett l ordo rggiunto defezion o devi dll ordo ed ss il prezzo, si pproprierà dell inter domnd di merto. Con si h 0 7 e 0, d ui si riv -87 5 e 0. Lo stesso identio inentivo devire dll ordo esiste, ovvimente, per l impres. Se entrme quindi non rispettno l ordo e prtino lo stesso prezzo, vremo he 0 7 e /, 5. Ne onsegue he -8,5 7,5. ossimo llor ostruire l mtrie dei pyoffs o form normle del nostro gioo ollusivo Coll Dev Coll 8, 8 0,5 Dev 5, 0 7,5;7,5 ui l strtegi dominte è per entrme devire dll ordo e ondue d un equilirio di Nsh he non è effiiente, ome nel dilemm del prigioniero.