FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

Funzioni Di Traferimento La difficoltà maggiore nel trattare i modelli matematici di itemi dinamici lineari è dovuta al fatto che le equazioni delle leggi fiiche che decrivono la dinamica del itema dipendono non olo dalle variabili di ingreo u(t) ed ucita y(t) ma anche dalle loro derivate temporali Eempio di modello dinamico di un itema lineare d y ( t ) ( ) ( ) ( ) dy t d u t du t a a a y( t) b b b u( t) CONVIENE PASSARE NEL DOMINIO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE f () t F

La traformata di Laplace Si conideri una funzione del tempo f(t) nulla per t<. La traformata di Laplace di f(t) è definita come: t F f t f t e Se tale integrale eite (converge) per = +jw, allora eite anche per tutti i valori di con Re()>.. Il valore Minimo di è detta acia di convergenza In generale il primo etremo dell integrale deve intenderi pari a - nel eno che eventuali impuli applicati a t= devono eere coniderati nell integrazione. Im Regione di eitenza della LT Re

f t F Laplace Traformata della Derivata Prima df t F f ( ) Laplace Traformata della Derivata econda d f F( ) f ( ) f ( )

FDT di Derivatore ed Integratore f t df t F F f t F df t F f t F f t F f t F

.9.8.7.6.5.4.3.. u( t) ( t) 9 8 7 6 5 4 3 u( t) t ( t) 45 4 35 3 5 5 5 u t t t ( ) ( ) - 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9

Eempio d y ( t ) ( ) ( ) ( ) dy t d u t du t a a a y( t) b b b u( t) y( t) Y( ) u( t) U( ) dyt Y y( ) Facendo l ipotei c.i. nulle i ha: a Y ( ) a Y ( ) a Y ( ) b U ( ) b U ( ) b U ( ) a a a Y( ) ( b b b ) U ( )

a a a Y( ) ( b b b ) U ( ) b b b Y ( ) U ( ) a a a FUNZIONE DI TRASFERIMENTO TRA INGRESSO E USCITA W () a a b b b a Y( ) W) ( U( )

Funzione di traferimento e rappreentazione a blocchi Nel cao i conideri l evoluzione forzata ( quando i lavora con la L.T. i uppongono tacitamente nulle le condizioni iniziali), il comportamento ingreoucita è decritto in modo completo dalla F.D.T. X() Y () W() W () a a b b b a Quindi una FDT è un rapporto tra due polinomi in S W ( ) N ( ) D( )

Riaumendo Per trattare più emplicemente le equazioni DIFFERENZIALI che decrivono i itemi dinamici è molto utile fare riferimento alla Traformate di Laplace Bata fare la emplice otituzione: x( t) X ( ) dx() t X ( ) x( ) d x() t X ( ) x( ) x( )

ESEMPIO DI CALCOLO DI F.D.T. PER SISTEMI LINEARI

Regolazione automatica della velocità di una vettura (moto rettilineo) Come è fatto il modello matematico del itema? Si coniderano le leggi fiiche che decrivono il itema f inerzia Fi m a() t f mozatore f diturbo F Equilibrio delle forze direzione x f f f f eterna inerzia attrito diturbo

f f f f eterna inerzia attrito diturbo d x() t f m a() t m inerzia dx() t f c v() t c attrito d x( t) dx( t) f m c f et dit

Nel Problema in Studio Nel cao di condizioni iniziali nulle: x( t) X ( ) v( t) X ( ) V ( ) X ( ) a( t) X ( ) X ( ) V ( ) Facendo uo di uno chema a blocchi V() X() A () V() X()

Calcolo della LT d x( t) dx( t) f m c f et dit F( ) m X ( ) c X ( ) F( ) dit m X ( ) c X ( ) F( ) F( ) dit X ( ) m c F( ) F( ) dit

X ( ) m c F( ) F( ) dit X F( ) F( ) () dit m X ( ) F( ) F( ) m c m c dit c La relazione tra il egnale di Ingreo F() ed il egnale di ucita X() i chiama Funzione di Traferimento tra ingreo ed ucita. La relazione tra il egnale di Ingreo F di () ed il egnale di ucita X() i chiama Funzione di Traferimento tra diturbo ed ucita.

X ( ) F( ) F( ) m c m c dit W() W d () m c m c m Fdi c () F () m c _ X()

Come riponde il itema? F () m c V() X ( ) F( ) m c X() Parametri di imulazione m= c=.5 3 4 5 6 7 8 9.6.4. Forza di Ingreo X(t) Velocità V(t) 3 4 5 6 7 8 9 Poizione X(t) 3 4 5 6 7 8 9

Come riponde il itema e cambia il coefficiente di attrito? m= c=4.5 Forza di Ingreo F(t) 3 4 5 6 7 8 9.4. 3 4 5 6 7 8 9 3 c= c=4 Velocità V(t) Spotamento X(t) 3 4 5 6 7 8 9

Modello di riempimento del Serbatoio qt () A ht () h(t)= livello liquido nel erbatoio di ezione cotante A q(t)=portata volumetrica liquido in ingreo R q () u t q u (t)= Portata volumetrica liquido in ucita attravero una reitenza idraulica R tale che: q ( ) ( ) u t h t R Equazione di bilanciamento delle mae nel erbatoio Variazione Volume Serbatoio = Variazione Volume ingreo Variazione volume in ucita

qt () A h() t ht () q ( ) ( ) u t h t R q () u t Equazione di bilanciamento volumi V V V in out V Ah h A h V T in R La Velocità di variazione di volume arà (portata volumetria) A h V h T in T T R T

h V h T A in T T R T Per valori di T molto piccoli A dh q() t h() t R Paando alle LT: h( t) H( ) H() A H ( ) Q( ) R H ( ) A Q( ) R ( ) H A / ( R Q ) W() A / R

RISPOSTA DEL SERBATOIO AD INGRESSO A GRADINO Q () H () A / R Portata Volumetrica in ingreo m 3 /.8.6 Parametri di imulazione A= m q(t) = m 3 / R=, 4 /m.4..4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Livello liqudo nel erbatoio [m] R= R=4 3 4 5 6 7 8 9

RISPOSTA DEL SERBATOIO AD INGRESSO A RETTANGOLO Q () H () A / R Portata Volumetrica in ingreo m 3 / Parametri di imulazione A= m q(t) = m 3 / R=, 4 /m.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 Livello liqudo nel erbatoio [m].4 R=.3 R=4.. 3 4 5 6 7 8 9

t v ( t) Ri( t) i( t) i C C i( ) vi ( ) RC Circuito RC erie legge di Kirchoff alla maglia v ( t) v ( t) v ( t) v ( t) Ri( t) R i R c vc( ) vi( ) RC( / RC) t vc ( t) i( t) C v ( ) Ri( ) i( ) i C i( ) vi ( ) vc () C RC

C K feterna finerzia fmolla fmozatore Ingreo =forza applicata= F(t) x Sitema Meccanico M d x( t) dx( t) F( t) M Kx( t) C F Ucita = potamento maa=x(t) F( ) M x( ) Kx( ) C x( ) x( ) F( ) M CK Equilibrio delle forze direzione x f inerzia f mozatore f molla F( t) Mx( t) Kx( t) Cx( t) M F

Amplitude Ripota del itema ad un gradino della forza in ingreo al variare del coefficiente di morzamento vicoo.8 Step Repone.6.4..8.6 M C.;;3 K.4. 5 5 Time (ec)