Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it I erminnti. Il prodotto vettorile. 11 Gennio 2016 Indice 1 Determinnti di mtrici 2 2 2 1.1 Clcolo del erminnte. Interpretzione geometric del metodo di eliminzione di Guss.............................................. 2 2 Determinnti di mtrici 3 3. 3 2.1 Clcolo del erminnte................................... 4 2.2 Proprietà del erminnte................................. 5 2.3 Clcolo del erminnte con l regol di Lplce..................... 5 3 Il prodotto vettorile in R 3 5 3.1 Componenti del prodotto vettorile............................. 6 3.2 Clcolo del prodotto vettorile con il erminnte formle............... 8 3.3 Proprietà del prodotto vettorile.............................. 8 4 Esercizi e complementi 8 Pg. 1
In quest lezione, dimo un rpid introduzione i erminnti di mtrici 2 2 e 3 3, che interpretimo, rispettivmente, come ree orientte di prllelogrmmi in R 2 e volumi orientti di prllelepipedi in R 3. Defineremo nche il prodotto vettorile, un operzione che si definisce solo in R 3. 1 Determinnti di mtrici 2 2 Dti due vettori = ( 1, 2 ) e = ( 1, 2 ) in R 2, voglimo trovre l re del prllelogrmm Pr(, ) generto d,. 1.1 Clcolo del erminnte. Interpretzione geometric del metodo di eliminzione di Guss. Metodo di Eliminzione di Guss (1809). Scrivimo i vettori = ( 1, 2 ) e = ( 1, 2 ) come righe di un mtrice: 1 2 1 2 (1.1) Or, supponendo 1 0, sommimo ll second rig un multiplo dell prim, in modo tle che il primo elemento dell second rig si nnulli. A questo scopo, st moltiplicre l prim rig per 1 / 1 e sommrl ll second. Si ottiene così: 1 2 0 2 2 1 1 (1.2) Operndo sulle righe in questo modo, le ree dei prllelogrmmi non cmino; cioè, il prllelogrmm generto dlle righe dell mtrice (1.2) h l stess re di quello generto dll mtrice inizile (1.1). Inftti, il prllelogrmm Pr(, + λ) si ottiene dl prllelogrmm Pr(, ) fcendo scorrere un lto di quest ultimo prllelmente l lto opposto, trsformzione quest che, come en noto, conserv le ree. + λ Figure 1: Invrinz per scorrimento: Sommre un vettore un multiplo dell ltro, signific fre scorrere un lto prllelmente l lto opposto. L re non cmi. Or il prllelogrmm generto dlle righe di (1.2) h un se lung ( meno del segno) 2 1 2 1 e l ltezz reltiv tle se lung (sempre meno del segno) 1. Quindi l su re (non negtiv, nel senso dell geometri elementre) è dt dl vlore ssoluto di ( ) 1 1 2 2 = 1 2 2 1 (1.3) 1 Pg. 2
1 1 = (0, 2 1 1 ) = ( 1, 2 ) = ( 1, 2 ) 1 1 Figure 2: Intepretzione geometric del clcolo del erminnte con il metodo di eliminzione di Guss. Definimo il erminnte dell mtrice A = 1 2 1 2 nel modo seguente: 1 2 1 2 = 1 2 2 1 (1.4) Intrucimo or il concetto di re orientt: L re orientt del prllelogrmm Pr(, ), individuto di vettori, (presi in questo ordine) è il erminnte dell mtrice le cui righe (o le cui colonne) sono costituite dlle componenti dei vettori, Are orientt di Pr(, ) = 1 2 1 2 = 1 2 2 1 (1.5) Osservzione. Aimo qui un concetto nuovo, che rricchisce quello di re: il concetto di re orientt. In R 2, si dice che un coppi ordint di vettori = ( 1, 2 ), = ( 1, 2 ) costituisce un se positivmente orientt se 1 2 1 2 > 0. Si dice invece che costituisce un se negtivmente orientt se 1 2 1 2 < 0. (Se invece il erminnte è nullo, i vettori, non costituiscono un se di R 2 ). Ad esempio, l se e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) è positivmente orientt, mentre l se e 2, e 1 è negtivmente orientt. Dunque, l re del prllelogrmm Pr(, ), individuto di vettori,, presi in questo ordine, è positiv o negtiv, second che l se (, ) si positivmente o negtivmente orientt. 2 Determinnti di mtrici 3 3. Dti tre vettori = ( 1, 2, 3 ), = ( 1, 2, 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ) in R 3, voglimo trovre il volume del prllelepipedo Pr(,, c), definito d,, c. Pg. 3
O c Figure 3: Prllelepipedo generto d,, c. Come insieme di punti, è costituito d tutti i punti del tipo: O + s + t + uc, s, t, u [0, 1]. 2.1 Clcolo del erminnte Scrivimo i tre vettori,, c come righe di un mtrice: 1 2 3 1 2 3 c 1 c 2 c 3 (2.1) Applicndo ncor il metodo di eliminzione di Guss. Supponendo 1 0, sommimo ll second rig l prim moltiplict per 1 / 1 e ll terz rig l prim moltiplict per c 1 / 1, in modo tle che l second e l terz rig comincino con zero: 1 2 3 0 2 1 1 2 0 c 2 c1 1 2 3 1 1 3 c 3 c1 1 3 = 1 2 3 0 α β 0 γ δ dove, per semplificre l spetto dell mtrice, imo rinominto 2 1 1 2 = α, 3 1 1 3 = β, c 2 c1 1 2 = γ, c 3 c1 1 3 = δ. Or iterimo il metodo di eliminzione di Guss. Precismente, pplichimo il metodo ll mtrice α β γ δ in sso destr. Ottenimo 1 2 3 0 α β 0 0 δ γ α β Per l proprietà di invrinz dei volumi per scorrimento, il volume dei prllelepipedi costruiti sulle righe delle mtrici (2.1), (2.2) e (2.3) rimne sempre lo stesso. L ultimo prllelepipedo (2.3) h un se l cui re è ( meno del segno) 1 α, mentre l ltezz reltv è (sempre meno del segno) δ γ αβ. Quindi il suo volume ( meno del segno) è dto dl prodotto dei termini sull digonle: 1 α(δ γ αβ). Or, sostituendo i vlori di α, β, γ, δ e fcendo i conti, si trov ll fine che il volume è dto dl seguente numero, l qule si dà il nome di erminnte: 1 2 3 1 2 3 c 1 c 2 c 3 (2.2) (2.3) = 1 2 c 3 + 2 3 c 1 + 3 1 c 2 1 3 c 2 2 1 c 3 3 2 c 1 (2.4) Anche in R 3 imo il concetto di si positivmente o negtivmente orientte. Precismente, Pg. 4
dicimo che un tern ordint di vettori,, c costituisce un se positivmente orientt se risult c > 0 Invece, l tern ordint,, c costituisce un se negtivmente orientt se c < 0 (Se il erminnte è nullo, l tern,, c non è un se di R 3 ). 2.2 Proprietà del erminnte Teorem 2.1 (Proprietà del erminnte) Per il erminnte di un qulunque mtrice qudrt 2 2, o 3 3 (in generle, n n), vlgono le seguenti proprietà. 1. Se si somm un rig un multiplo di un ltr rig, il erminnte non cmi (Proprietà di invrinz per scorrimento). 2. Se si moltiplic un rig per un numero λ, nche il erminnte risult moltiplicto per λ. 3. Se si scmino tr loro due righe, il erminnte cmi segno (Proprietà di lternnz). Vlgono nche le seguenti due proprietà, che seguono fcilmente d quelle elencte sopr: Se due righe sono uguli, il erminnte è nullo; Se un rig è costituit tutt d zeri, llor il erminnte è nullo. 2.3 Clcolo del erminnte con l regol di Lplce Il clcolo del erminnte di un mtrice 3 3 si può effetture con l cosidt regol di Lplce, riconducendolo l clcolo di erminnti di mtrici 2 2. L regol di Lplce per sviluppre un erminnte rispetto ll prim rig, è l seguente: 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3 c 1 c 2 c 3 c 2 c 3 2 1 3 c 1 c 3 + 3 1 2 c 1 c 2 (2.5) Inftti, sviluppndo il secondo memro di (2.5) si ottiene come risultto il erminnte, definito dl secondo memro di (2.4). Sviluppi del tutto nloghi vlgono per ogni ltr rig (o colonn). 3 Il prodotto vettorile in R 3 Nello spzio R 3 si definisce un operzione t prodotto vettorile (inglese: cross product) che ogni coppi di vettori, ssoci un vettore, denotto. Definizione 3.1 In R 3, dt un coppi ordint di vettori,, il prodotto vettorile (si legge: vettore ) è il vettore definito dlle proprietà seguenti: Pg. 5
1. è ortogonle si l vettore si l vettore. 2. L lunghezz di è ugule ll re (in vlore ssoluto) del prllelogrmm generto d e, vle dire = sin ϑ (3.1) dove ϑ, compreso tr 0 e π, è l ngolo tr i vettori,. 3. Qundo non è nullo, l tern ordint,, è un se positivmente orientt di R 3, cioè > 0 Si noti che se uno dei due vettori, è multiplo dell ltro, e solo in questo cso, il loro prodotto vettorile è nullo. 0 ϑ Figure 4: Il prodotto vettore in R 3. 3.1 Componenti del prodotto vettorile Teorem 3.2 Il prodotto vettorile di due vettori = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ) in R 3 è il vettore di componenti: = ( ) 2 3 2 3, 3 1 3 1, 1 2 1 2 = ( 2 3 3 2, 3 1 1 3, 1 2 2 1 ) Dimostrzione. Ponimo w = ( 2 3 3 2, 3 1 1 3, 1 2 2 1 ) (3.2) Dimostrimo che w =. A tle scopo, doimo dimostrre che w soddisf tutte le proprietà che definiscono il prodotto vettorile. Supporremo e non prlleli, ltrimenti l nostr tesi è ovvi, perché in questo cso si w si sono entrmi uguli l vettore nullo. ) Dimostrimo che w è ortogonle si si. L dimostrzione consiste in un semplice conto: w = ( 2 3 3 2 ) 1 + ( 3 1 1 3 ) 2 + ( 1 2 2 1 ) 3 = 0 w = ( 2 3 3 2 ) 1 + ( 3 1 1 3 ) 2 + ( 1 2 2 1 ) 3 = 0 Dunque w, essendo nch esso (come ) ortogonle si si, è un multiplo di. Pg. 6
) Dimostrimo che l norm w è ugule, ossi è ugule ll re del prllelogrmm generto d,. A questo scopo, comincimo osservre che, per ogni vettore c in R 3, vle l uguglinz: 1 2 3 w c = 1 2 3 c 1 c 2 c 3 Inftti: w c = ( 2 3 3 2 )c 1 + ( 3 1 1 3 )c 2 + ( 1 2 2 1 )c 3 = + 2 3 c 1 + 3 1 c 2 1 3 c 2 2 1 c 3 3 2 c 1 1 2 3 = 1 2 3 c 1 c 2 c 3 Il vlore ssoluto V di quest ultimo erminnte è volume (non orientto) del prllelepipedo generto d,, c. Tle volume è nche dto dll re di se moltiplict per l reltiv ltezz h = c cos γ : V = w c cos γ = c cos γ Di qui ricvimo (dividendo 1 per c cos γ) che w e hnno l stess lunghezz, w = Allor, poiché w e sono sull stess rett e hnno l stess lunghezz, si deve vere w = oppure w =. (3.3) ltezz h = c cos γ c γ Figure 5: Il volume V del prllelepipedo,, c è ugule l vlore ssoluto di (re di se) moltiplict per l ltezz h = c cos γ. c) Rest llor d studire l questione dell orientmento. Eene, dll uguglinz (3.3), vlid per ogni c, segue in prticolre, per c = w, segue w = w w = w 2 > 0 Dunque l tern,, w è positivmente orientt, e quindi concludimo che w =. 1 Qui supponimo c cos γ 0. Se invece c cos γ = 0, c pprtiene l pino di e, e quindi l uguglinz d dimostrre (3.3) è ver, perché entrmi i memri sono nulli. Pg. 7
3.2 Clcolo del prodotto vettorile con il erminnte formle Aimo visto che il prodotto vettorile di = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ) è il vettore = ( ) 2 3 2 3, 3 1 3 1, 1 2 1 2 = ( 2 3 3 2, 3 1 1 3, 1 2 2 1 ) Un modo per clcolre consiste nello sviluppre, lungo l prim rig, il erminnte formle e 1 e 2 e 3 1 2 3 (3.4) 1 2 3 Inftti, sviluppndo con l regol di Lplce: e 1 e 2 e 3 1 2 3 = e 1 2 3 1 2 3 2 3 e 2 1 3 1 3 + e 3 1 2 1 2 = (1, 0, 0) 2 3 2 3 (0, 1, 0) 1 3 1 3 + (0, 0, 1) 1 2 1 2 ( = ) 2 3 2 3, 3 1 3 1, 1 2 1 2 3.3 Proprietà del prodotto vettorile Teorem 3.3 (Proprietà del prodotto vettorile) 2 Il prodotto vettorile in R 3 h le seguenti proprietà. 1. Il prodotto vettorile ( ) è ilinere: ( 1 + 2 ) = 1 + 2 (h ) = h ( ) (h R) ( 1 + 2 ) = 1 + 2 (h ) = h ( ) (h R) 2. Il prodotto vettorile è lternnte: = (3.5) 4 Esercizi e complementi Esercizio 4.1 Dti tre punti A = ( 1, 2 ), B = ( 1, 2 ), C = (c 1, c 2 ) in R 2, trovre l re (senz segno) del tringolo d essi erminto. 2 Teorem non dimostrto lezione. Non ne è richiest l dimostrzione Pg. 8
Soluzione. Un modo di risolvere il prolem è il seguente. L re del tringolo ABC è l metà dell re del prllelogrmm generto di vettori B A e C A: ( ) 1 2 1 1 2 2 c 1 1 c 2 2 L re del tringolo ABC è nche dt d 1 2 1 2 1 1 2 1 c 1 c 2 1 Dre un interpretzione geometric di quest ultim formul. Esercizio 4.2 Dti due punti distinti A = ( 1, 2 ), B = ( 1, 2 ) R 2, l rett che li contiene h equzione x y 1 1 2 1 1 2 1 = 0 (4.1) Spiegre perché. Soluzione. L equzione 4.3 è di primo grdo in x, y (perché?) e quindi rppresent un rett. Ovvimente tle rett pss per A = ( 1, 2 ) e per B = ( 1, 2 ) (perché?). Dunque tle rett è proprio l rett AB. Esercizio 4.3 Dti due punti distinti A = ( 1, 2 ), B = ( 1, 2 ) R 2, l rett che li contiene h equzione x 1 y 2 1 1 2 2 = 0 (4.2) Spiegre perché. (Interpretzione geometric?). (Suggerimento: Il punto X = (x, y) pprtiene ll rett pssnte per A e B se e solo se il prllelogrmm X A, B A h re null). Esercizio 4.4 Dti, nello spzio R 3, tre punti non llineti A = ( 1, 2, 3 ), B = ( 1, 2, 3 ), C = (c 1, c 2, c 3 ), il pino che li contiene h equzione x 1 y 2 z 3 1 1 2 2 3 3 c 1 1 c 2 2 c 3 3 = 0 (4.3) Spiegre perché. (Interpretzione geometric?). (Suggerimento: L nnullrsi del erminnte primo memro equivle l ftto che il prllelepipedo X A, B A, C A h volume nullo). Esercizio 4.5 Dti tre punti A = ( 1, 2, 3 ), B = ( 1, 2, 3 ), C = (c 1, c 2, c 3 ) R 3 trovre l re (in vlore ssoluto) del tringolo di vertici A, B, C. Pg. 9
(Suggerimento: Interpretre geometricmente l lunghezz di (B A) (C A) ). Esercizio 4.6 Il volume (in vlore ssoluto) del tetredro di vertici A, B, C, D R 3 è il vlore ssoluto di 1 (B A) (C A) (D A) 6 (4.4) Spiegre perché. Esercizio 4.7 Sino v, w R 3 due vettori linermente indipendenti. ) Trovre un vettore z che si ortogonle si v che w. ) Scrivere equzioni prmetriche per l rett r pssnte per un dto punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e ortogonle l pino generto d v e w. Soluzione. ) Un vettore ortogonle si v che w è il prodotto vettore v w. ) Si v w = (l, m, n). Equzioni prmetriche per l rett r sono: x = x 0 + lt y = y 0 + mt, t R z = z 0 + nt Esercizio 4.8 Dti due vettori v, w R 3 linermente indipendenti, scrivere un equzione crtesin del pino d essi generto. Soluzione. Per risolvere il prolem, st trovre un vettore (,, c) R 3 ortogonle si v che w. Un equzione crtesin del pino generto d v, w srà x + y + cz = 0 Poiché il prodotto vettore v w è ortogonle si v che w, st scegliere (,, c) = v w. Esercizio 4.9 Dti due vettori, R 3, trovre l re del prllelogrmm d essi individuto. Soluzione. In R 3 - o, più in generle, in uno spzio vettorile euclideo orientto V di dimensione tre - l re (in vlore ssoluto) del prllelogrmm individuto d, è dt dll lunghezz del loro prodotto vettore: re del prllelogrmm = (4.5) Un ltr formul per l re non orientt del prllelogrmm individuto d due vettori, (cioè l re nel senso dell geometri elementre) è re del prllelogrmm = sin ϑ (4.6) dove = e = sono le lunghezze dei lti e ϑ, 0 ϑ π, è l ngolo compreso tr e : Pg. 10
ϑ sin ϑ Figure 6: L re del prllelogrmm è sin ϑ, perché è l se e sin ϑ è l ltezz. Si noti che sin ϑ è un numero non negtivo. Inftti, sin ϑ 0 (perché 0 ϑ π). L formul 4.5, che coinvolge il prodotto vettore, vle in uno spzio di dimensione 3, dove tle prodotto è definito. Invece, l formul 4.6 è più intrinsec e vle in uno spzio di ritrri dimensione n 2. Esercizio 4.10 Nello spzio R 3, sino P e P due pini non prlleli, di equzioni P : x + y + cz + d = 0, P : x + y + c z + d = 0 Trovre un vettore di direzione dell rett r = P P. Soluzione. Considerimo i due pini P 0 : x + y + cz = 0, P 0 : x + y + c z = 0 prlleli rispettivmente P e P e pssnti per l origine. Denotimo con r 0 = P 0 P 0 l rett prllel r e pssnte per l origine. Il vettore v = (,, c) è ortogonle ogni vettore (x, y, z) P 0, e v = (,, c ) è ortogonle ogni vettore (x, y, z) P 0. Dunque, si v = (,, c) che v = (,, c ) sono ortogonli ll rett r 0. Ne segue che un vettore di direzione dell rett r 0 (e quindi di r) è dto dl prodotto vettore v v. Esercizio 4.11 Trovre un equzione crtesin del pino in R 3 pssnte per i tre punti non llineti A = ( 1, 2, 3 ), B = ( 1, 2, 3 ), C = (c 1, c 2, c 3 ). Soluzione. I due vettori B A e C A sono prlleli l pino. Pertnto un vettore ortogonle l pino è il prodotto vettore (B A) (C A). Ponimo (B A) (C A) = (α, β, γ) Il pino pssnte per A, B, C è dunque il pino pssnte per A e ortogonle (α, β, γ). equzione crtesin è α(x 1 ) + β(y 2 ) + γ(z 3 ) = 0 Un su Esercizio 4.12 Sino, c V due vettori linermente indipendenti. Dimostrre che il vettore ( c) pprtiene l pino generto d e c (ossi è cominzione linere di e c). Precismente, vle l uguglinz ( c) = ( c) ( )c (4.7) Pg. 11
Soluzione. Per definizione, il vettore ( c) è ortogonle c. Anche i vettori e c sono ortogonli c. Dunque i tre vettori ( c), e c, essendo ortogonli llo stesso vettore c, pprtengono l pino pssnte per l origine e ortogonle c. Quindi sono complnri. c 0 c ( c) Figure 7: Il vettore ( c) è ortogonle c, come lo sono e c. Dunque i tre vettori ( c), e c sono complnri. Dunque, il vettore d = ( c) è cominzione linere di e c, cioè si scrive come d = ( c) = m + nc per opportuni numeri m, n R. Si trtt or di erminri tli coefficienti. Osservimo che d = ( c) è ortogonle nche l vettore, e quindi D quest ultim uguglinz, ricvimo per un opportuno h R. Quindi si h d = m( ) + n( c) = 0 m = h( c), n = h( ) ( c) = d = h [ ( c) ( )c ] (4.8) Dimostrimo desso che h = 1, e con questo l nostr identità 4.7 srà dimostrt. Per erminre il coefficiente di proporzionlità h, fissimo un se e confrontimo le componenti, rispetto tle se, del primo e del secondo memro dell uguglinz 4.8. Per semplificre i conti, conviene scegliere un qulunque se ortonormle u 1, u 2, u 3 tle che u 1 i l direzione e il verso di. (Escludimo il cso = 0, in cui l tesi 4.7 è nlmente ver). Con un tle scelt dell se, le coordinte di sono ( 1, 2, 3 ) = (, 0, 0), dove = è il modulo di. Sino ( 1, 2, 3 ), (c 1, c 2, c 3 ) le coordinte di e c. Fcendo i conti, vedimo che l uguglinz 4.8 si scrive, in componenti, nel modo seguente: (0, ( 1 c 2 2 c 1 ), ( 3 c 1 1 c 3 )) = h(0, ( 1 c 2 2 c 1 ), ( 3 c 1 1 c 3 )) (4.9) Se (0, ( 1 c 2 2 c 1 ), ( 3 c 1 1 c 3 )) = 0, dll 4.9 segue che i vettori ( c) e [ ( c) ( )c ] sono entrmi nulli, e quindi l uguglinz 4.7 è soddisftt. Se invece (0, ( 1 c 2 2 c 1 ), ( 3 c 1 1 c 3 )) 0, dll 4.8 si ricv h = 1, e quindi dll 4.8 segue l tesi. Esercizio 4.13 Si V uno spzio vettorile euclideo tridimensionle orientto. Dimostrre, per ogni,, c V, vle l uguglinz: ( ) c = ( c) ( c) (4.10) Pg. 12
Le due identità 4.7 e 4.10 mostrno chirmente che il prodotto vettore non è ssocitivo. Soluzione. Per l proprietà nticommuttiv del prodotto vettore e l 4.7, si h: ( ) c = c ( ) = [ ( c) ( c) ] = ( c) ( c) Esercizio 4.14 (Identità di Lgrnge.) In uno spzio vettorile euclideo V tridimensionle, orientto, vle l uguglinz ( ) (c d) = ( c)( d) ( c)( d) (4.11) In prticolre (se c = e d = ), ( ) ( ) = ( )( ) ( ) 2 (4.12) Soluzione. Dll identità del prodotto misto (x y) z = x (y z) (4.13) segue: ( ) (c d) = (( ) c) d = [ ( c) ( c) ] d = ( c)( d) ( c)( d) Esercizio 4.15 (Decomposizione di un vettore.) Si V uno spzio vettorile euclideo tridimensionle orientto. Si un vettore diverso d zero. Allor un qulunque vettore si scrive, in modo unico, come somm = +, dove è prllelo d e 2 ortogonle d. Precismente: =, ( ) = (4.14) Prim soluzione. Se nell identità 4.7 ponimo c =, ottenimo d cui si ricv Ovvimente è prllelo d, mentre è ortogonle d. ( ) = ( ) ( ) (4.15) = ( ) + = = ( ) (4.16) Second soluzione. Senz ledere l generlità, possimo ovvimente ssumere che il vettore = u i lunghezz unitri ( = 1). Si trtt llor di dimostrre che ogni vettore si scrive come = ( u)u, = u ( u) (4.17) Ovvimente, = ( u)u è prllelo u (è un multiplo di u). Pg. 13
Esercizio 4.16 (Identità di Jcoi) Si V uno spzio vettorile euclideo tridimensionle orientto. Dimostrre l identità di Jcoi: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0 (4.18) Soluzione. Sviluppre il primo memro usndo l uguglinz 4.7 e semplificre. Prolem 4.17 Si V uno spzio vettorile euclideo orientto di dimensione tre. Sino, vettori fissti in V, 0. Risolvere l equzione y = (4.19) Soluzione. Il vettore y è ortogonle l vettore (qule che si y). Dunque, supponimo d or in poi che si ortogonle d, ltrimenti l equzione 4.19 non h soluzioni. L equzione y = è linere (non omogene, se 0). In termini più precisi, l opertore V ( ) V, y y (4.20) è linere in y. Quindi, per un en noto teorem, lo spzio delle soluzioni dell equzione non omogene 4.19 è l somm dello spzio delle soluzioni dell equzione omogene y = 0 (il nucleo dell opertore 4.20) e di un (qulsisi) soluzione prticolre dell equzione non omogene y =. L equzione omogene y = 0 h come soluzioni tutti i vettori prlleli l vettore (i multipli di ), ed essi soltnto: Soluzioni dell equzione omogene y = 0: t, t R (4.21) Rest llor d trovre un qulunque soluzione prticolre y 0 dell equzione non omogene y =. Poiché l componente di y 0 prllel non dà lcun contriuto l prodotto y 0, possimo ssumere y 0 ortogonle l vettore. Del resto, se richiedimo y 0 =, il vettore y 0 deve essere ortogonle. Dunque, l situzione è l seguente: dti due vettori,, ortogonli tr loro, trovre un vettore y 0, ortogonle si che, per il qule vlg y 0 = (4.22) Poiché, y 0 e = y 0 sono due due ortogonli tr loro, si h = hy 0, per un opportuno numero positivo h: = hy 0 (4.23) = y 0 y 0 Figure 8: Se y 0 =, con, y 0 e due due ortogonli, llor = hy 0, per un opportuno numero positivo h. Per erminre il vlore di h, si noti che d 4.22 segue y 0 =, mentre d 4.23 si ricv = h y 0. Dunque, h = 2 e pertnto imo: Pg. 14
Un soluzione prticolre di y = : y 0 = 2 (4.24) In conclusione, lo spzio delle soluzioni di y = (qundo è ortogonle d ) è l rett ffine X(t) = 2 + t, t R 2 + t 2 Figure 9: Le soluzioni di y = sono i vettori 2 + t, t R (rett trtteggit). Prolem 4.18 (Distnz tr due rette sgheme) Nello spzio R 3, sino r : X(t) = P + tu, t R e s : X(t) = Q + uv, u R due rette sgheme. Trovre un formul che di l distnz tr di esse. Soluzione. L distnz è dt d (P Q) (u v) u v Si rgioni sull figur. (4.25) Q K v s r P u v u v H v u Figure 10: L distnz tr r e s è l lunghezz del segmento HK, intercettto d r e s sull unic rett incidente e ortogonle entrme. Il vettore unitrio u v è diretto come HK e (P Q) (u v) u v u v = HK. Pg. 15