INFORMATICA 3 LEZIONE FONDAMENTI DI MATEMATICA Isem e relzo Iseme: collezo d membr o elemet dstt d u tpo d bse. U membro può essere u elemeto prmtvo d u tpo d bse oppure u seme. U seme o cotee elemet duplct. S vedo l otzoe tpcmete utlzzt per gl sem ed prcpl opertor el lbro d rfermeto. Iseme delle prt d u seme S: seme d tutt possbl sottosem d S. Esempo: S{,b,c} R{,{},{b},{c},{,b},{b,c},{,c},{,b,c}} Bg o seme multvlore: collezoe d elemet o ordt co elemet co vlore duplcto. Esempo: [,b,c,b,c] Sequez (o tupl o vettore): collezoe d elemet ordt; può coteere elemet co vlor duplct. Esempo: <,b,c,b> Relzoe R su u seme S: seme d coppe ordte su S. Esempo: S{,b,c} R{<,c>,<b,c>,<c,b>} Propretà delle relzo: R è rflessv se R per og S R è smmetrc se qudo Rb s h br per og,b S R è tsmmetrc se qudo Rb e br s h b per og,b S R è trstv se quto Rb e brc, s h Rc per og,b,c S R è u relzoe d equvlez su S se R è rflessv, smmetrc e trstv. U relzoe d equvlez può essere utlzzt per prtzore u seme clss d equvlez. U prtzoe d u seme S è u collezoe d sem dsgut l cu uoe dà S. Ordmeto przle: relzoe br tsmmetrc e trstv. Iseme przlmete ordto: seme su cu è defto l'ordmeto przle.
Ordmeto totle o lere: og copp d elemet dstt u ordmeto przle è comprble, ovvero, dt x e y vle o xry o yrx. Altre ozo Permutzoe d u sequez: membr dell sequez orgzzt secodo u orde. Itero ferore d u vlore rele x deotto co x : tero pù grde <x Itero superore d u vlore rele x deotto co x : tero pù pccolo >x Logrtm Logrtmo del vlore y co bse b: potez cu deve essere elevto b per otteere y Notzoe: b y x Propretà de rtm: m m /m - m r r b / b Rcorsoe U lgortmo è rcorsvo se chm se stesso per svolgere prte del lvoro. L chmt se stesso deve essere ftt per u problem "pù pccolo" d quello d prtez. I geerle, u lgortmo rcorsvo è costtuto d due prt: cso bse: trtt u sgolo put e può essere rsolto sez u chmt rcorsv prte rcorsv: l'lgortmo rchm se stesso (per rsolvere u problem che s vvc sempre pù l cso bse) Esempo: clcolo del fttorle ftt(t ) { // co < ffchè l rsultto poss essere d tpo Assert(( > ) && ( < ), "Vlore mmesso o vldo"); f ( < ) retur ; // cso bse else retur * ftt(-); // chmt rcorsv se > } Sommtore e rcorreze Le sommtore rppreseto l somm d u fuzoe su u tervllo d vlor d u prmetro e utlzzo u otzoe del tpo:
f ) ( Verro utlzzte seguto per lzzre cost del tempo d esecuzoe e progrmm che rchedoo l terzoe d u seme d struzo, cu occorre sommre l costo d og sgol terzoe. Molte sommtore ho u soluzoe form chus, rppresett come u equzoe che clcol drettmete l sommtor. Successvmete utlzzeremo le seguet sommtore e soluzo form chus: ) ( 6 3 3 per << per H (sere rmoc) H e e < < U relzoe d rcorrez defsce u fuzoe per mezzo d u espressoe che clude u o pù stze (pù pccole) d se stess. S utlzz per clcolre temp d esecuzoe d u lgortmo rcorsvo. Es. d relzoe d rcorrez che defsce l fuzoe fttorle:! (-)! per >;!! Es. d relzoe d rcorrez che defsce l sequez d Fbocc: Fb()Fb(-)Fb(-) per >; Fb()Fb()
Dmostrzo mtemtche Dmostrzoe per ssurdo Approcco: S ssume che l teorem s flso S trov u cotrddzoe c che derv d quest'ssuzoe: se l c ust per trovre l cotrddzoe è corrett llor l'uco modo per rsolvere l cotrddzoe è rcooscere che l'ssuzoe che l teorem è flso o è corrett e che qud l teorem deve essere vero. Esempo: Teorem: No esstoo ter pù grd. Dmostrzoe: Assuzoe per ssurdo: B è l'tero pù grde. S cosder CB. C è u tero quto somm d due ter. M C>B, per cu B o è l'tero pù grde l teorem è vero Dmostrzoe per duzoe Approcco: S T u teorem, espresso term d u prmetro tero postvo Allor T è vero per og vlore d (> c, c costte) se vlgoo le seguet codzo:. cso bse: T è vero per c. psso duttvo: se T è vero per - llor è vero che per S prov l cso bse (d es. per ) S prov l psso duttvo: s sfrutt l'potes che l teorem vlg el cso geerco co - e s dmostr che se s cremet d questo vlore l teorem è vldo Codzoe d duzoe forte:. se T vle per tutt k t.c. c < k < llor vle che per S ot l relzoe tr l dmostrzoe per duzoe e l rcorsoe. Esempo: Teorem: S()()/, dove S() è l somm de prm umer postv ter. Dmostrzoe: cso bse: per S()()/ - corretto Ipotes d duzoe: S(-)..(-) (-)()/ è vero S dmostr che che S() è vero:.. )..(-) (-)()/ ( - )/ ()/ - corretto l teorem è vero Stm Processo che cost de seguet pss:. Determre prcpl prmetr che fluscoo sul problem. Dervre u'equzoe che mette relzoe tl prmetr co l problem
3. Selezore de vlor per prmetr e pplcre l'equzoe per otteere u stm dell soluzoe Esempo: Qut scffl servoo per mmgzzre lbr che cotegoo mloe d pge? S può stmre che u lbro d 5 pge occup,5 cm per mloe d pge occorroo 5 cm. Se uo scffle msur u metro occorroo 5 scffl.