2 Geometia del piano Test di accetamento dei peequisiti i seguito sono poposte alcune domande di vaie tipologie, pe stabilie la capacità pesonale di affontae gli agomenti svolti in questo capitolo. gni tipologia ha un punteggio associato, pe un totale massimo di 80 punti, se si ottiene un punteggio infeioe a 48 vuol die che non si è aggiunta la sufficienza. Le isposte esatte sono ipotate a fine capitolo. Quesiti a scelta multipla con più isposte esatte (1 punto pe ogni isposta esatta, 1 punto di penalità pe ogni isposta eata, 5 punti se si foniscono solo tutte le isposte esatte) Pe ogni quesito tacciae un segno nell apposito quadatino sulle scelte coette. 1 2 3 Quali dei seguenti numei sono divisibili pe 165? 1.122.334.455 1.232.315 165.651.561 35 38 apitolo 2 165.165.165 E 20.370.370.185 Se è falsa l affemazione lmeno un cittadino italiano è biondo, quali fa le seguenti affemazioni sono vee? Tutti gli italiani sono buni lcuni italiani non sono biondi E Nessun italiano è biondo Non tutti gli italiani sono biondi Filippo non è biondo Quali fa i seguenti enti geometici appesentano cetamente figue convesse? Gli angoli I tiangoli I quadilatei E Le poligonali I ettangoli Quesiti a scelta multipla con una sola isposta esatta (5 punti pe ogni isposta esatta) Pe ogni quesito tacciae un segno nell apposito quadatino sull unica scelta coetta. 4 l numeatoe e al denominatoe di 7/3 aggiungiamo uno stesso numeo e otteniamo 7/8. Qual è il numeo?
5 6 35 5 E Non esistono numei eali che veificano la ichiesta Nessuno dei pecedenti? Test di accetamento dei peequisiti Siano dati gli insiemi X = {1, 3, 5, 7} e Y = {1, 2, 3}, quale delle seguenti uguaglianze è vea? X Y = { 1, 1, 2, 3, 5, 7} X \ Y = {1, 5, 7} E X Δ Y = {1, 2, 5, 7} X Y = {1, 3} Nessuna delle pecedenti Qual è il isultato della divisione 5 : 0? 5 0 Quesiti a isposta numeica (Punti 10 pe ogni isposta esatta) Rispondee con un numeo alle seguenti domande. 7 8 1 E Nessuno dei pecedenti La divisione è piva di significato Scivee in foma decimale il ecipoco del numeo 5... Ho compato dei pantaloni duante i saldi di fine stagione, con uno sconto del 20% sul pezzo iniziale, ma mi è stato concesso un ulteioe sconto del 10% sul pezzo già scontato. Qual è l effettivo sconto ispetto al pezzo oiginale?... 9 Iei ho compato azioni a 100 e. ggi hanno peso il 20%. Se domani guadagneanno il 20%, quale saà il loo valoe in euo?... 10 Quanti dei multipli di 3 minoi di 100 sono anche multipli di 5?... 11 Quanto vale mcm 220,2 18,2 22,3 0 ( )?... Geometia del piano 39
Questo capitolo, vista la vastità delle infomazioni in esso contenute, saà quasi esclusivamente un elencazione di nozioni e isultati, con alcuni esempi, ma senza dimostazioni. 2.1. Enti fondamentali della geometia del piano 2.1.1. Rette e loo pozioni ato che non è possibile definie ogni oggetto, in ogni teoia matematica dobbiamo consideae alcuni elementi in modo intuitivo, associando loo solo un nome. Questi oggetti saanno chiamati enti pimitivi. Pe la geometia del piano sono enti pimitivi il punto, la etta e il piano. llo stesso modo, poiché non è possibile dimostae ogni cosa, consideiamo delle poposizioni base che non dimostiamo e che chiamiamo postulati o assiomi. onsideiamo i seguenti pe cominciae. PSTULT 1 Su ogni etta del piano possiamo stabilie un odinamento. PSTULT 2 gni etta è fomata solo da punti e fa due punti qualsiasi di essa ci sono sempe alti punti. PSTULT 3 Qualsiasi punto scegliamo sul piano pe esso passano infinite ette. PSTULT 4 omunque scegliamo due punti distinti nel piano, vi è un unica etta che li contiene entambi. Quindi la etta è un insieme odinato e continuo. Essa veifica la seguente popietà, che fa sì che di ette ne esistano infinite. TEREM 1 Esistono almeno te punti del piano non appatenenti alla stessa etta. Una etta divide il piano in due pati. Nella figua seguente la etta divide il piano a in due pati: a 40 apitolo 2
iascuno degli insiemi disgiunti deteminati da una etta nel piano si chiama semipiano. ue o più punti appatenenti a una stessa etta si dicono allineati o collineai. iciamo che una figua è stata sottoposta a un movimento igido se alla fine del movimento la figua non ha vaiato alcuna delle popie popietà geometiche. iciamo che due figue geometiche sono fa loo isometiche, se esiste un movimento igido che le fa sovappoe. Su una etta possiamo scegliee un punto deteminando un nuovo oggetto. Fissato un punto P su una etta odinata, l insieme fomato da P e da tutti i punti che lo pecedono o lo seguono si chiama semietta. Il punto P si chiama oigine della semietta. Vale la seguente popietà. In figua la semietta di oigine P: P PSTULT 5 Tutte le semiette sono isometiche. Su una etta possiamo fissae anche più di un punto, ottenendo alti oggetti. Fissati due punti distinti e su una etta odinata, con che pecede, diciamo segmento deteminato da e, l insieme fomato da, e da tutti i punti di che seguono e pecedono. I punti che deteminano il segmento si chiamano estemi del segmento. In figua il segmento di estemi e : ue segmenti che hanno: 0 punti comuni si dicono fa loo esteni; 1 punto comune si dicono fa loo incidenti; più di un punto in comune si dicono sovapposti, se hanno poi tutti i punti comuni si dicono coincidenti. Geometia del piano 41
I segmenti in figua sono esteni 42 apitolo 2 I segmenti in figua sono incidenti I segmenti e in figua sono sovapposti, in cui il segmento è loo pate comune. Se poi coincidesse con e con i segmenti saebbeo coincidenti. Fa i segmenti incidenti possiamo distinguee una paticolae classe. iciamo consecutivi due segmenti non sovapposti che hanno un estemo in comune. nche all inteno dei segmenti consecutivi possiamo distinguee un alto caso paticolae. iciamo adiacenti due segmenti consecutivi appatenenti a una stessa etta. I segmenti in figua sono consecutivi = E I segmenti in figua sono adiacenti
Possiamo consideae più di una etta. In questo caso abbiamo qualche semplice isultato. TEREM 2 ue ette distinte o non hanno punti in comune o hanno un solo punto in comune. Possiamo quindi poe le seguenti definizioni. ue ette si dicono: paallele se non hanno punti in comune; incidenti se hanno un solo punto in comune; coincidenti se hanno più di un punto in comune. 2.1.2. Gli angoli Pe indicae che due ette e s sono fa di loo paallele sciveemo // s. ue ette che si incontano dividono il piano in quatto pati. gnuna delle quatto pati in cui un piano è diviso da due ette e s incidenti in si chiama angolo di lati le semiette e s di oigine comune. Pe indicae un angolo di vetice, si scelgono un punto e un punto su ciascuno dei due lati, quindi sciviamo ˆ oppue ˆ, a seconda che nel veso antioaio di lettua inconteemo pima e poi o vicevesa. In figua abbiamo tacciato i 4 angoli deteminati dalle due ette, in paticolae l angolo indicato con ˆ è quello più in alto. Fa i quatto angoli consideiamo due paticolai coppie. Geometia del piano 43
ue angoli aventi il vetice in comune e i lati disposti in modo tale che i polungamenti dei lati dell uno isultino lati dell alto si dicono opposti al vetice. Pe questi angoli vale il seguente teoema. TEREM 3 ngoli opposti al vetice sono isometici. Gli angoli segnati sono opposti al vetice e quindi isometici. 44 apitolo 2 lcuni angoli isultano più impotanti di alti e quindi meitano una paticolae teminologia. iciamo angolo gio l inteo piano; angolo piatto un semipiano; angolo etto la metà di un angolo piatto; angolo acuto un angolo minoe di un angolo etto; angolo ottuso un angolo maggioe di un angolo etto. Ecco un angolo piatto: un angolo etto:
un angolo acuto: un angolo ottuso: Vale la seguente popietà. TEREM 4 Se due ette incidenti fomano un angolo etto, tutti e quatto gli angoli fomati sono etti. In conseguenza di ciò poniamo le seguenti definizioni. ue ette si dicono fa loo pependicolai o anche otogonali se incontandosi fomano quatto angoli etti. iciamo distanza di un punto da una etta il segmento condotto pependicolamente dal punto alla etta. La etta pependicolae a un dato segmento e passante pe il suo punto medio si chiama asse del segmento. esempi 1. ue ette pependicolai: Pe indicae che due ette sono fa di loo pependicolai usiamo il simbolo. Geometia del piano 45
2. La distanza di un punto da una etta è il segmento minoe che possa condusi dal punto alla etta. P La egola seguente caatteizza l asse di un segmento come luogo geometico. Regola I punti dell asse di un segmento sono equidistanti dagli estemi dello stesso segmento. efiniamo un alto impotante luogo geometico. La semietta che divide un angolo in due pati di uguale misua si chiama bisettice dell angolo. La egola seguente caatteizza la bisettice di un angolo. Regola I punti della bisettice di un angolo sono equidistanti dai lati dello stesso angolo. In figua abbiamo un angolo e la sua bisettice: I segmenti tacciati sono le distanze di punti della bisettice dai lati dell angolo, e quelli ugualmente segnati sono fa loo isometici. Vediamo alcune paticolai coppie di angoli. 46 apitolo 2
ue angoli dati sono ta loo: complementai se la loo somma è un angolo etto; supplementai se la loo somma è un angolo piatto; esplementai se la loo somma è un angolo gio. Gli angoli in figua sono complementai: Gli angoli in figua sono supplementai: Gli angoli in figua sono esplementai: onsideiamo adesso te ette che si incontano. ate due ette, una teza etta che le inconta entambe in punti divesi si chiama etta tasvesale ispetto alle pecedenti. ate due ette e s, tagliate da una tasvesale t, chiamiamo: angoli alteni inteni quelli che sono contenuti fa e s e si tovano da pati opposte ispetto a t; angoli alteni esteni quelli che sono contenuti al di fuoi della stiscia limitata da e s e si tovano da pati opposte ispetto a t; angoli coniugati inteni quelli che sono contenuti fa e s e si tovano dalla stessa pate ispetto a t; angoli coniugati esteni quelli che sono al di fuoi di e s e si tovano dalla stessa pate ispetto a t; angoli coispondenti quelli che sono uno inteno e uno esteno ispetto alla stiscia limitata da e s e si tovano dalla stessa pate ispetto a t. Geometia del piano 47
Gli angoli ugualmente segnati sono fa loo alteni inteni: s 48 apitolo 2 s Gli angoli ugualmente segnati sono fa loo alteni esteni: t s Gli angoli ugualmente segnati sono fa loo coniugati inteni: t s Gli angoli ugualmente segnati sono fa loo coniugati esteni: t s Gli angoli ugualmente segnati sono fa loo coispondenti: t t