Uivesità degli Studi di Temo Foltà di Sieze Politihe Coso di Lue i Sttisti Lezioi del Coso di Mtemti u di D. Todii.. 00/004
CAPITOLO I GLI INTEGRALI. GENERALITÀ Defiizioe di itegle defiito pe u fuzioe di u viile (seodo Cuhyy f,. Si suddivid Riem). Si = u fuzioe defiit ell'itevllo hiuso [ ] tle itevllo i u umeo quluque di itevlli pzili medite gli puti,,..., o < < <... < < 0 Si idihi o f ell'itevllo f uo quluque dei vloi ssuti dll fuzioe pzile [ ] pe =,,...,. Posto:, si ostuis l somm: Si osidei o il seguete limite: dove θ è il mssimo degli h. = h hf = 0 lim hf θ = Se tle limite esiste ed è fiito llo si die he l [, ]. Il limite osideto ppeset popio l'itegle defiito dell f ( ) i [, ] lo si idi o il simolo: () f d f è itegile ell'itevllo e Gli estemi e dell'itevllo soo detti ispettivmete estemo ifeioe ed estemo supeioe dell'itegle defiito; l fuzioe f ( ) è dett fuzioe itegd ed ppeset l viile di itegzioe. Ossevzioe. L fuzioe f ( ) o è itegile i [, ] se il pedetto limite o esiste oppue se è ifiito (ugule ± ). Ossevzioe. L viile di itegzioe può essee sostituit d u qulsisi lt lette, d esempio t, u, v, et. ptto he il simolo () veg sostituito ispettivmete d:
f ( t) dt, f ( u) du, f v dv, et. Codizioe eessi pe l'itegilità. Codizioe eessi (o suffiiete), si ivi itegile è he l ffihé u fuzioe f ( ) defiit i u itevllo [ ] f ( ) si limitt i [, ]. I lte pole se l fuzioe f ( ) o è limitt i [, ] ess o è itegile i [, ] ; se, ivee, è limitt llo ess può essee itegile i [, ]. ESEMPI L fuzioe di Diihlet defiit d: pe ziole f = 0 pe iziole o 0, o è limitt e o è itegile seodo Riem. Alogmete l fuzioe defiit d: 0 f = 5 = 0 o è é limitt é itegile seodo Riem. Codizioe eessi e suffiiete di itegilità. Codizioe eessi e suffiiete, si ivi itegile è ffihé u fuzioe f ( ) defiit e limitt i u itevllo [ ] he, fissto d itio u umeo ε > 0 si poss detemie i oispodez u umeo θ > 0 tle he, quluque si l deomposizioe di ε [, ] i itevlli pzili [, ], o =,,..., ed < < <... < < (tutti di lughezz mioe di 0 θ ) e deotti o e ed E ispettivmete l'estemo ifeioe e l'estemo supeioe dell ε f ( ) i [, ], isulti: ovveo: = h Ω < ε lim hω = 0 θ = ε 0 ove h =, Ω = E e, pe o =,,...,., llo è itegile i ogi Ossevzioe. Se l fuzioe f ( ) è itegile i [ ] itevllo [, d ] oteuto i [, ].
Dll odizioe di itegilità di Riem disedoo i segueti Teoemi., llo è ivi itegile seodo Riem Teoem. Se l f ( ) è otiu i [ ] (odizioe suffiiete e o eessi di itegilità)., ed ivi peset u umeo fiito di puti di Teoem. Se l f ( ) è limitt i [ ] disotiuità llo è itegile seodo Riem (odizioe suffiiete e o eessi di itegilità)., llo è ivi itegile seodo Riem Teoem. Se l f ( ) è mooto i [ ] (odizioe suffiiete e o eessi di itegilità).. PROPRIETÀ DELL'INTEGRALE DEFINITO Si f ( ) u fuzioe itegile i [, ] f () ( d ) = 0 () f ( d ) f = 0 0 () = (4) f d f d d = (5) d= d = ( ). Allo: o ostte (6) f d= f d= ( ) o ostte (7) = + f d f d f d o < < (8) Se f ( ) è itegile i [, ] llo tle isult he l fuzioe isult: f e 4
f d f d (9) Se f, f,..., f ( ) soo fuzioi itegili i [, ] fuzioe: F = f + f +... + f è itegile i [, ] e isult: llo he l + +... + = + +... + f f f d f d f d f d (0) Se f ( ) e g( ) soo fuzioi itegili i [, ] F = f g è itegile i [, ]. llo he l fuzioe: Ossevzioe. No esiste u egol log quell dell somm he oset di lole immeditmete l'itegle di u podotto. I tl so, iftti, ooeà ioee d lue fomule di itegzioe he veo lizzte el seguito., llo he l fuzioe: () Se f ( ) e g( ) soo fuzioi itegili i [ ] f F =, g 0 g è itegile i [, ]. ESEMPI ) ) + d = = = 0 0 d = 0 4 4 g) d quluque sio gli estemi e dell'itevllo di ptez 4 5 = = = 6 = 4 = 4 4 4 4 4 4 4 5
Smido gli estemi d'itegzioe si h: d) d') e) 4 4 4 5 d= = = 6= 4= 4 4 4 4 4 4 4 d = = = d = = + = d= = = 4= 4 = = = = = = z) d d = ( ) ( 8) ( 7) h) 5 5 5 5 5 5 5 5 d= d+ d = + = + 4 = 4 4 5 5 = 4 + 4 = + = = 8 8 8 Si potev peveie llo stesso isultto poededo più sempliemete ome segue: 4 d = = = q) 4 4 d = d = = = 5 5 5 5 5 4 4 d= d = = = 5 5 5 5 5 6
Ossevzioe. Si oti he può essee itegile f ( ) e o l f ( ), ome de pe l fuzioe: o. f i) pe ziole = pe iziole + d= d+ d+ d= + = 8 7 7 = ( ) + = + = = k) Poimo: Ne segue he: 0 0 f = e g 4 f g d d d = 0 = = = = 4 0 = 4 4 0 0 0 0 8 6 f d g d = d d = = = I geele, quidi, l'itegle del podotto è diveso dl podotto degli itegli. k') Alogmete, se poimo: f g = llo si h: = e f ( d ) d f 0 0 d d d g 0 0 0 0 8 8 = = = = = = = = 6 g d ovveo l'itegle del quoziete di due fuzioi è diveso dl quoziete degli itegli. 0 d Sussistoo, iolte, pe gli itegli defiiti i segueti Teoemi. Teoem dell medi. Se f ( ) è u fuzioe itegile i [, ] () f ( d ) = µ ( ) llo isult: 7
essedo µ u oppotuo vloe ompeso t l'estemo ifeioe e e l'estemo supeioe E,. dell f ( ) i [ ] Il peedete Teoem può essee he geelizzto ome segue: g soo due fuzioi itegili i Teoem dell medi geelizzto. Se f ( ) e [, ] ed è g 0 oppue g 0, llo isult: () = µ f g d g d essedo µ u oppotuo vloe ompeso t l'estemo ifeioe e e l'estemo supeioe E,. dell f ( ) i [ ] Ossevzioe. Se ell () si poe g( ) = si ottiee popio l (). Coollio. Se f ( ) è u fuzioe itegile i [, ] llo isult: f d 0 ed è ivi positiv (egtiv), Coollio. Se f ( ) e g( ) soo due fuzioi itegili i [, ] ed è f g llo: f d g d Defiizioe. Si y= f u fuzioe itegile ell'itevllo [, ] itegile i ogi itevllo [, ], essedo u geeio puto di [, ] fuzioe: F è dett fuzioe itegle dell f ( ) i [, ] = f t dt eltiv l puto., ovveo. Allo l Ossevzioe. I luogo dell'estemo è possiile osidee u lto puto quluque 0 di [, ]. Teoem. Se l fuzioe f ( ) è itegile i [, ] llo l [, ]. F isult otiu i 8
Teoem fodmetle del lolo itegle. L fuzioe F( ) è deivile i ogi puto dove l f ( ) è otiu ed i tli puti isult: F' = f Ossevzioe. Se l f ( ) è otiu llo l F' ( ) esiste sempe.. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DEFINITO Si y= f u fuzioe defiit ell'itevllo [, ] ed ivi otiu e o egtiv. Si iolte Γ l su ppesetzioe gfi i u ifeimeto tesio otogole Oy: y A'' A ''' A' A '' A '' A'' A'' A' A' A' A' G O A 0 = A A T A A L uv Γ, le ett =, = ed il segmeto dell'sse delimito u pte di pio T he, pe l su fom, si him tpezoide o ettgoloide., i u umeo Ci popoimo o di detemie l'e di T. Dividedo l'itevllo [ ] quluque di itevlli pzili di ugule lughezz medite i puti,,..., o < < <... < < =. Ossevimo, i pimo luogo, he l lughezz di 0 isu itevllo pzile è ugule. 9
Posto = h e deotti o m ed ssoluto dell f ( ) ell'itevllo [ ] (,,..., ) somme:, M ispettivmete il miimo ed il mssimo S = mh+ mh+... + mh = mh = =, osideimo le segueti ' '' ' ' ' ' (somm delle ee dei ettgoli AAAA, AAAA,..., A A AA ' = + +... + = = S Mh Mh M h Mh ) '' ''' '' '' '' '' (somm delle ee dei ettgoli AAAA, AAAA,..., A A AA ) Si idihi iolte o T il pluittgolo isitto i T e o T quello iositto T. Ossevto he T è oteuto i T e he T otiee T isult tule osidee, ' quluque si, S ed S ome vloi ppossimti ispettivmete pe difetto e pe eesso dell'e A di T, ioè: ' S A S pe ui poimo, pe defiizioe: Se, ivee, l f ( ), defiit i [, ] () A = f d, è ivi otiu e o positiv llo: () A = f d y O A' B' A T G B 0
Se, poi, l f ( ), defiit i [, ], è ivi otiu ed iolte è o egtiv i [, ] positiv i [, ] ( < < ), llo: () A = f d f d e o y A G T A' T C B' O T Se f ( ) e g( ) soo due fuzioi defiite i [, ] ed ivi otiue e se [, ] isult f g, llo: (4) A = = y f d g d f g d B D A T O G G C vedo idito o Γ e y= g. B Γ ispettivmete le uve di equzioe y f = ed
Se, iolte, f ( ) e g( ) soo fuzioi defiite e otiue i [, ] e se f g [, ], ed f g, [, ] ( < < ), llo: A = f g d+ g f d, y A G O B C D G E 4. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE: INTEGRALE INDEFINITO Si y= f u fuzioe defiit ell'itevllo [, ]. Defiizioe. U fuzioe Φ ( ), defiit i [, ] e tle he Φ ' = f, [, ] si die pimitiv dell f ( ) i [, ]. Ossevzioe. Se Φ ( ) è u pimitiv di f ( ), llo lo è he u ostte iti; vieves, u qulsisi pimitiv Φ di eessimete del tipo Φ + (l deivt di Φ Φ è ull [, ] tle diffeez è ostte i tutto [, ] ). Ossevzioe. Se y= f è otiu, llo: ) l fuzioe itegle F( ) he, pe defiizioe esiste sempe, è itegile; ) l fuzioe pimitiv Φ ( ) esiste (si ossevi he qulo l otiu o è detto he l pimitiv esiste); ' Φ ' soo uguli meo di u ostte ) F ( ) e, Φ +, dove è f è pe ui f o si
Ossevzioe. Alle volte si poe l seguete: Defiizioe. Se l fuzioe f ( ) è dott di pimitiv Φ ( ) i [, ] delle fuzioi Φ +, o ostte iti, pimitive dell f ( ) i [, ] ppeset popio l'itegle idefiito dell f ( ) e lo si idi o il simolo: Pe defiizioe isult, quidi: f d () Φ f d= +, llo l'isieme, Petto se f ( ) è otiu oppue è dott di pimitiv ed è itegile i [, ], il simolo () è esttmete quello di ui i simo oupti fio d o; se, ivee, f ( ) è dott di pimitiv m o è itegile i [, ], llo l () o è lto he l'isieme Φ +. 5. TABELLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI () 0 d = () d = + () d (4) + + d = + = + (5) sid = os + (6) osd= si + d (7) tg os = + o = ostte o
d (8) tg si = + (9) d si + = os + d tg+ (0) = + tg + d () log = + () () ed = e + d= + log 6. PRINCIPALI REGOLE DI INTEGRAZIONE (4) = k f d k f d + f f d= f + + o (5) ' (6) f ' d = f ( ) + f (7) si ' os f f d= f + (8) os ' si (9) (0) os si f f d= f + f ' f ' f f d = tgf + d= tgf + 4
() () () (4) (5) f ' f si f + d = os f + f ' tgf + d = + f tgf + ' f d = log f ( ) + f f f e f ' d= e + f f f ' d= + log ESEMPI () (4) ) ) + 4 d= + = + + 4 + 5 d= d = d= d= + = + = 5 + 5 5 = + = + = + 5 5 5 7 + d = d= d= d = g) ) ) 7 + 0 0 = + = + = + = + 7 0 0 0 + d= d= + = + 4 4 4 isultdo f = k = ed 4 d= 4 d= 4 + = 8 + essedo 4 k = ed f = 5
(5) (6) 4 4 + d = + + = + 5 + 4+ 5 + ) ( ) ( ) ( ) =, f = + ed essedo 4 f ' = + d = + d = + + = + + = + = ( + ) + = ( + ) + + ) + g) =, f = + ed essedo si os si d = + =, f = si ed ' essedo f ' = f = os 4 4 4+ 5 si osd= si osd= si + = si + 4+ 5 d) =, f = si ed ' essedo 4 f = os + os sid= os sid= os + = os + + e) ) ) (7) + (8) =, f = os ed ' essedo f = si d= d = d = + = = + f = ossevdo he isult, meo del fttoe, l deivt di d= d = + = + ossevdo he ) si( ) 4 os( ) isult, meo del fttoe, l deivt di f = d = + dove f = ed f ' = 4 6
) g) d) (9) + (0) os osd= d= osd = si+ dove f = ed f ' = 4 4 4 os 4 4 osd= d= 4 osd= si + 4 4 4 4 dove f = ed f ' = 4 4 4 4 si 4 4 sid= d= 4 sid= os + 4 4 4 4 dove f = ed f ' = 4 ) tg os d = + essedo f = ed f ' = tg os d = = = os os + ) ossevdo he isult, meo del fttoe, l deivt di = f g) () + () ) ) = = = + = d d d si ( ) si ( ) si ( ) tg =tg ( ) + ossevdo he isult, meo del fttoe, l deivt di f = si d= d= d = + 4 essedo, meo del fttoe, l deivt di f = d si( ) ( ) d = d= d = + + = = + essedo f = ed f ' = 7
g) d) () ) ) g) d) (4) + (5) ) 5 = d= tg5 + 5 + ( 5) 5 5 d = d= d = + 5 + ( 5) 5 + ( 5) essedo, meo del fttoe 5, l deivt di = 5 f 9+ 99 ( ) 99+ 9 9 9 d = d= d= d = + + = d= tg + + essedo f ( ) = ed f ' ( ) = log d = d = d= + + + + + o f = + ed f ' = ( ppeset, meo del fttoe, l deivt, di f ( ) ) d = d= log log + log log o f = log ed f ' = si si si tgd= d= d= d = logos + os os os o f = os ed ' f = si + e ( e + 4) + + + e e e log + + + 4 d= d = d = e + + + 4 e + 4 o f e + = + 4 ed f ' = e + + + e d= e + essedo f = + ed f ' = 8
) g) d) + + e + + e d= d= e d= e + essedo, meo del fttoe, l deivt di f + 5 + 5 d= log e+ essedo =, f = + 5 ed f ' = = + si + os si + si + os d = d= os d = + si log = e+ essedo =, f si = + ed ' f = os 7. INTEGRALE INDEFINITO ED INTEGRALE DEFINITO Si f ( ) u fuzioe otiu ell'itevllo [, ] F = f t dt e si: l fuzioe itegle. Pe il Teoem Fodmetle del lolo itegle, quidi, isult: F = f Idihimo, iolte, o ed i ptiole osideimo, pe 0 ' Φ + l'itegle idefiito, ioè poimo: Φ f d= + =, l pimitiv Φ ( ) di f. I vitù dell'ossevzioe. ) ipott i 4. l deivt dell fuzioe itegle è ugule quell dell fuzioe pimitiv, ovveo: F' = Φ ' d ui si h: = Φ + F Pe =, quidi: F Φ Φ = F = f t dt = + Φ = F = Φ = 9
essedo: Petto si può sivee: Φ d ui segue, i ptiole: f t dt = 0 = f ( t ) dt+ Φ Φ Φ = () Φ Φ = f t dt f tdt he ppeset popio l: Fomul fodmetle del lolo itegle. L'itegle defiito di u fuzioe otiu, f ssume f ( ) i [ ] è ugule ll diffeez dei vloi he u pimitiv dell ispettivmete ell'estemo supeioe e ell'estemo ifeioe dell'itegle. I simoli si h: = Φ = Φ Φ f t dt Ossevzioe. L () esiste he se l f ( ) è dott di pimitiv ed è itegile i [, ]. ESEMPI ) ( + ) 0 d I pimo luogo ooe lole l'itegle idefiito: + d= d+ d= + + Ne segue, quidi, he: 0 0 0 = 0 + d= d+ d = + = 0 + + = + = = 0 0
) d Essedo: d = log + isult: = d = ( log ) = log log= log log= log 0= log = g) ( + ) Poihé: e e d e + e d = ed+ e d = e e + segue he: ( e ) e e + e d = e e = e e e e = e = = e e e