Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette e l loro rppresentzione prmetri l situzione non è molto divers d quell vist per le rette dello spzio. Bisogn solo fmilirizzre on il ftto he poihè simo nello spzio bbimo bisogno di tre oordinte (x, y, z) per individure i punti, m per il resto non è niente di nuovo: fissimo un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e un direzione (un vettore dello spzio) u. Esiste un sol rett he pss per P 0 e prllel u. Anhe in questo so i punti P dell rett r sono quei punti per ui il segmento P 0 P è prllelo l vettore u (ioè il vettore P 0 P è multiplo del vettore u), ossi r = {P R 3 : P 0 P = λu, per qulhe λ R}. u 1 x x 0 Se u = u 2, visto he il vettore P 0 P è ugule y y 0, l ondizione di u 3 z z 0 pprtenenz ll rett può essere sritt equivlentemente ome x = x 0 + λu 1 y = y 0 + λu 2 z = z 0 + λu 3 he rppresentno le equzioni prmetrihe dell rett pssnte per il punto P 0 e di direzione prllel l vettore u, nello spzio. Esempio 56 Determinimo l rett pssnte per il punto (1, 2, 3) e prllel l vettore 1 3. Anhe qui non è molto d fre, bst pplire l formul ppen vist e 5 ottenimo x = 1 t y = 2 + 3t z = 3 5t...ome spete ho un legger preferenz per il prmetro t piuttosto he λ. Oppure potremmo domndri: quli sono le equzioni prmetri dell rett sempre pssnte per il punto (1, 2, 3), m ortogonle l pino xy?... Qui bbimo il punto e i serve l direzione. Abbimo visto he dte due direzioni nello spzio bbimo uno strumento per determinre un direzione ortogonle d esse (il prodotto vettorile). Però in questo so è piuttosto file, si vede ohio: l direzione ortogonle l pino xy è quell dell sse z, ioè 0. Allor le equzioni prmetrihe dell rett in 0 1 63
Lezione 7 64 questione srnno x = 1 y = 2 z = 3 + t. Anhe in questo so non è nessun diffioltà determinre le equzioni prmetrihe dell rett pssnte per due punti, per esempio P 1 = (2, 0, 4) e P 2 = (1, 2, 3). Inftti i due punti i bstno per individure l direzione dell rett e poi possimo imporle di pssre per uno dei due. Allor l direzione srà prllel l vettore P 1 P 2 = x 2 x 1 y 2 y 1 = z 2 z 1 1 2 2 3 4 e quindi imponendo ll rett di pssre per P 1 bbimo x = 2 t y = 2t z = 4 7t. 1 = 2 7 Inutile dirlo, nhe in questo so non i possimo spettre un solo modo di rppresentre prmetrimente un rett dello spzio (qui vrei potuto segliere il punto P 2 d ui prtire piuttosto he P 1 e vrei ottenuto delle equzioni diverse). Adesso provimo prtire dlle equzioni prmetrihe dell rett he bbimo ppen trovto e, osì ome vevmo ftto per le rette del pino, provimo erre delle relzioni he oinvolgno solo x, y e z eliminndo il prmetro t. Possimo espliitre il prmetro nell prim equzione e sostituirlo lle ltre equzioni t = 2 x y = 2t z = 4 7t t = 2 x y = 4 + 2x z = 3 + 7x = { y 2x + 4 = 0 7x z 3 = 0. Che os rppresentno le ultime due equzioni trovte? Per esempio, he insieme è l insieme dei punti dello spzio he verifino y 2x + 4 = 0? Se quest fosse un equzione nel pino, srebbe un rett y x Figur 47: L insieme dei punti (x, y, 0) he soddisfno y 2x + 4 = 0 m noi stimo erndo i punti dello spzio (x, y, z) he verifino l equzione e il ftto he non ompi l vribile z nell equzione i die solo he non stimo imponendo
Lezione 7 65 Figur 48: È un pino! lun vinolo su z. Cioè se prendo un punto (x 0, y 0, 0) he st sull rett del pino xy ppen disegnt (per ui y 0 2x 0 + 4 = 0), qulunque ltr tern (x 0, y 0, z) ontinu verifire l equzione e osì, quindi, tutti i punti dell rett ortogonle l pino xy he pss per il punto (x 0, y 0, 0) Esttmente! Ottenimo il pino ortogonle l pino xy he interse il pino xy nell rett he bbimo disegnto nell Figur 47. Anlogmente per iò he rigurd l equzione 7x z 3 = 0, è l equzione di un pino ortogonle l pino xz. In onlusione per desrivere un rett nello spzio senz fr uso di un prmetro devo neessrimente usre due equzioni rtesine e metterle sistem, in ltre prole devo ottenere l rett ome intersezione di due pini. Attenzione! Anhe se in un equzione non i sono espliitmente tutte le vribili, per poterl interpretre geometrimente, bisogn sempre tener onto di qul è l mbiente in ui simo (rett, pino, spzio,...). Più è grnde il nostro mbiente più libertà di movimento bbimo.
Lezione 7 66 Esempio 57 L equzione x = 3 può essere interprett in diversi modi: 1. In R è un punto Figur 49: È un punto! 2. In R 2 è un rett Figur 50: È un rett! 3. In R 3 è un pino Figur 51: È un pino! Teorem 58 Al vrire di,b, e d in R, on l ondizione he, b e non sino tutti nulli, le equzioni rppresentno tutti i pini di R 3. x + by + z + d = 0 (3)
Lezione 7 67 0 Inftti fissimo,b, e d in R, on b 0, e prendimo un punto P 0 = 0 (x 0, y 0, z 0 ) he verifi l equzione (3). Abbimo già potuto osservre he un equzione linere di un sol inognit h un sol soluzione, mentre non ppen le inognite sono più di un è molto file trovre molte soluzioni, nzi infinite. In questo so he i sono 3 inognite, bst dre due vlori rbitrri due di esse e si trov di onseguenz l terz in modo he l equzione si verifit. Allor, visto he P 0 è soluzione, questo signifi he x 0 + by 0 + z 0 + d = 0 d = (x 0 + by 0 + z 0 ). Se quindi sostituimo d nell equzione si h equivlentemente x x 0 x+by+z+d = 0 (x x 0 )+b(y y 0 )+(z z 0 ) = 0 b, y y 0 = 0. z z 0 In onlusione l equzione (3) è sempliemente l ondizione he il vettore P 0 P si ortogonle l vettore b. Ossi non è ltro he l equzione rtesin del pino pssnte per il punto P 0 e ortogonle l vettore Allor sppimo determinre l equzione rtesin di un pino ogni volt he onosimo un vettore d esso ortogonle e un punto per ui deve pssre. Esempio 59 Determinimo l equzione rtesin del pino pssnte per il punto 2 P 0 = (0, 1, 0) e ortogonle l vettore 5. Le omponenti del vettore ortogonle 1 i determinno i oeffiienti di x, y e z e poi gli imponimo di pssre per il punto P 0 : b. 2x 5(y 1) + z = 0 2x 5y + z + 5 = 0. Attenzione: L uni direzione he determin univomente un pino è quell d esso ortogonle. Mentre, ovvimente, se prendimo un direzione prllel un pino e fissimo un punto di questo pino, i sono infiniti ltri pini he pssno per questo punto e prlleli quest direzione, tutti i pini he hnno in omune un rett. Per l stess rgione è nhe hiro he se devo dire qul è l ngolo tr due pini, l os più semplie è quell di gurdre l ngolo tr i due vettori d essi ortogonli. Domnd: Come fio stbilire se due pino sono prlleli?...m è hiro, bst he bbino l stess direzione ortogonle. Essenzilmente bst he i oeffiienti delle vribili x, y e z nelle due equzioni sino proporzionli. Per esempio i pini di equzioni rtesine 2x y+z+1 = 0 e 6x+3y 3z+5 = 0 sono pini prlleli. M sono solo prlleli o sono ddirittur oinidenti?... È file vedere he sono prlleli (ossi hnno l stess direzione ortogonle), m non sono oinidenti! Per esempio il punto (0, 1, 0) pprtiene l primo pino, m non l seondo. Allor? Come dovrebbero essere i termini noti perhé le due equzioni i dino lo stesso pino?...i due termini noti devono essere proporzionli on l stess ostnte di
Lezione 7 68 proporzionlità he è tr i oeffiienti! Per esempio le due equzioni 2x y+z+1 = 0 e 6x + 3y 3z 3 = 0 rppresentno lo stesso pino ( 6x + 3y 3z 3 = 3(2x y + z + 1) = 0). Not: Così ome per l equzione rtesin di un rett nel pino, nhe nel so dei pini dello spzio, l equzione rtesin è uni meno di un fttore di proporzionlità. Eserizio 60 Dto il pino π di equzione rtesin x y + 3 = 0 determinre il vlore del prmetro α in modo he il pino π di equzione rtesin si ortogonle π. αx + 2y + 10z = 0 Chirmente il modo più effiiente di imporre l ortogonlità tr π e π è quello di imporl sulle rispettive direzioni ortogonli. 1 α V bene, quindi bst imporre he i vettori 1 e 2 sino ortogonli e 0 10 questo, ovvimente, lo fimo imponendo he si zero il loro prodotto slre: 1 α 1, 2 = α 2 = 0 0 10 d ui segue he α deve essere 2. E se io vi domndssi se è un vlore di α per ui il pino di equzione rtesin è ortogonle l pino x + 2y + αz + 3 = 0 (4) x y + 3 = 0? L rispost è NO! Inftti il prodotto slre tr i due vettori ortogonli i pini 1 1 ( 2 e 1 ) è ugule 1 qulunque si α, quindi non è lun vlore di α per α 0 ui i due vettori ortogonli i pini sino tr di loro ortogonli e quindi i due pini non sono mi ortogonli qulunque si l selt di α he fimo. Eserizio 61 Determinre le equzione prmetrihe dell rett r pssnte per i punti P 1 = (1, 2, 5) e P 2 = (2, 3, 4). Quindi determinre il punto di intersezione tr l rett e il pino π di equzione x + y + 3z 2 = 0. Quest domnd in termini meno formli vrei potuto frl nhe nel seguente modo: se nel punto P 1 è un fretto e nel punto P 2 è un oggetto, determintemi il punto in ui questo proiett l ombr sul pino π. Comunque: dobbimo determinre le equzioni prmetrihe dell rett per P 1 e P 2, e questo lo sppimo fre. L direzione dell rett srà 2 1 1 P 1 P 2 = 3 2 = 1 4 5 1
Lezione 7 69 e quindi le equzioni prmetrihe srnno x = 1 + t y = 2 + t z = 5 t. Quindi rimne solo d intersere l rett on il pino. Le equzioni prmetrihe dell rett i diono he, qulsisi si il vlore del prmetro t, le terne (1 + t, 2 + t, 5 t) pprtengono ll rett, quindi dobbimo vedere se è, e qul è, un tern osì he pprtiene nhe l pino. L sostituimo x, y e z nell equzione del pino e bbimo (1 + t) + (2 + t) + 3(5 t) 2 = 0 t = 16, ioè solo in orrispondenz di tle vlore l rett to il pino e il punto di intersezione lo trovimo erndo il punto dell rett orrispondente l vlore del prmetro ugule 16, ossi il punto (17, 19, 11) ottenuto sostituendo t = 16 nelle equzioni dell rett. Il seguente eserizio è un buon pplizione del prodotto vettorile ll geometri nliti. Eserizio 62 Determinre l equzione rtesin del pino pssnte per i punti P 1 = (2, 1, 0), P 2 = ( 3, 2, 1) e P 3 = (4, 6, 2). Svolgimento: Sppimo he per tre punti non llineti pss un solo pino. Quindi l domnd è post bene e srà possibile trovre l soluzione. Noi bbimo pito he è un metodo piuttosto rpido ed effiiente he i permette di dedurre l equzione rtesin di un pino un volt he onosimo il vettore d esso ortogonle e un punto per ui questo pss. L prim informzione in questo so non i viene dt espliitmente, quindi dovremo fre un pio di pssggi per dedurl. È presto ftto. Il vettore b ortogonle l pino srà ovvimente ortogolle tutte le direzioni prllele l pino. In prtiolre se onosimo un segmento sul pino questo strà su un direzione ortogonle b. M noi onosimo dei segmenti pprtenenti l pino: i segmenti he unisono i tre punti P 1, P 2 e P 3. Allor bst determinre, per esempio i due vettori P 1 P 2 e P 1 P 3 e erre un vettore d essi ortogonle. Riordimoi he dti due punti (dello spzio) possimo determinre il vettore prllelo l segmento he li unise sempliemente fendo l differenz delle oordinte dei due punti In questo so prtiolre bbimo P 1 P 2 = 3 2 2 1 1 0 = P 1 P 2 = 5 1 1 x 2 x 1 y 2 y 1. z 2 z 1 4 2 2 P 1 P 3 = 6 1 = 5. 2 0 2 Come dievmo questi due vettori sono prlleli l pino. Non rimne he pplire il prodotto vettorile per ottenere un vettore he si ortogonle entrmbi, d segliere
Lezione 7 70 quindi ome vettore b. P 1 P 2 P 1 P 3 = 5 1 1 2 2 + 5 7 5 = 2 + 10 = 8. 2 25 2 27 A questo punto l direzione ortogonle l pino è trovt e bst usrl imponendo nhe il pssggio per uno dei tre punti (per esempio P 1 ) 7(x 2) + 8(y 1) 27z = 0 7x + 8y 27z 22 = 0 quest è l equzione del pino he stvmo erndo!