5. Fluido isotropo ad un componente

5. Fluido isotropo ad un componente Sistema all equilibrio: ariabili intensie indipendenti T, ρ, (elocità) I principio: E = q+ w e la densità (per unità di massa) dell energia e E/ M specificata come 2 2 e= /2 + ψ + u = /2+ ψ + u doe ψ =energia potenziale (per unità di massa) delle forze esterne (ad esempio graità) supposta dipendente solo dalla posizione Differenziale fondamentale (per il sistema chiuso): p du = Tds pd = Tds + d ρ 2 ρ Sistema in condizioni di non equilibrio descritto da tre campi dipendenti dal tempo T(,), r t (,), r t (,) r t ρ Identificazione microscopica per un elemento di olume con molecole numerate secondo l indice i = 1, 2,3, ρ = M / V = Nm/ V = = ( i)/ N m T m m = T = = i N 2 2 3 3 2 B 2 2 3 () / i B B i V N

Postulato della trasferibilità delle funzioni di stato (quasi-equilibrio locale): la densità a A/ M della proprietà estensia A in condizioni di equilibrio determinata dalla funzione di stato a= a ( eq T, ρ, ), in condizioni di non equilibrio è descritta dal campo a(,) r t alutato come a(,) r t a ( T,, ) ρ ρ = eq ρ T = T ( r, t ), = ( r, t ), = ( r, t ) Come applicare il differenziale fondamentale? A causa del moto conettio ( ), un dato elemento di olume a posizione fissata, nel tempo iene a contenere campioni diersi del fluido. La deriata parziale descrie quindi la ariazione nel tempo della densità 0 r a(,) r t a(, r t+ t) a(,) r t lim t t 0 t a di un sistema aperto. Deriata materiale (o baricentrica): ariazione nel tempo seguendo lo spostamento dell elemento di olume secondo la sua elocità D a( r+ t, t+ t) a( r, t) a(,) r t lim Dt t 0 t t r + t r

D a( r+ tt, + t) a( r+ tt, ) a( r+ tt, ) a( r, t) a(,) r t = lim + lim = Dt t 0 t t 0 t a(, r t+ t) a(,) r t = lim + a( r, t) = a( r, t) + a( r, t) t 0 t r t r D a (,) r t = ( / t + / r )(,) a r t Dt Deriata materiale = combinazione lineare di deriate parziali: stesse regole delle deriate ordinarie D D D [ ca 1 1(,) r t + c2a2(,)] r t = c1 a1(,) r t + c2 a2(,) r t Dt Dt Dt D D D a1(,) r t a2(,) r t = a1(,) r t a2(,) r t + a2(,) r t a1(,) r t Dt Dt Dt D df( a) D f( a( r, t)) = a( r, t) Dt da Dt Differenziale fondamentale in condizioni di non equilibrio (la dipendenza spazio-temporale dei campi nel seguito è lasciata implicita!) p du Tds dρ ρ = + = + 2 2 Du Ds p Dρ T Dt Dt ρ Dt

Quali equazioni per l eoluzione temporale dei campi indipendenti? Vincoli derianti dai bilanci di 1) massa 2) momento lineare 3) momento angolare 4) energia (I principio) 5) entropia (II principio)

1) Bilancio di massa. Massa della materia inclusa in un dominio Ω M () t = dv ρ(,) r t Ω Ω Attraerso un elemento di superficie ds nel tempo dt passa la quantità di materia dm = ρds dt = ρds dt che integrata sul bordo Ω di Ω determina la ariazione temporale della massa dm Ω() t ρ(,) r t = dv ds (,) t ρ(,) t dt = Ω t r r Ω ρ(,) r t Applicando il teorema di Gauss dv = dv (,) t ρ(,) t Ω t r r Ω r e tenuto conto che l uguaglianza è soddisfatta per ogni scelta del dominio Ω, si ottiene l equazione di continuità (bilancio di massa) ρ = ρ t r o utilizzando la deriata materiale D D ρ = ρ + ρ = ρ + ρ ρ = ρ Dt t r r r Dt r Nota: per il fluido incompressibile ( ρ =costante) la diergenza della elocità è nulla / r = 0

Forma generale del bilancio: grandezza estensia A con densità a A/ M da () t A A A () t dv ρ Ω a dv a dv ds dt t ρ σ Ω = = = Ω Ω Ω Ω Le proprietà particolari di A consentono di determinare: A σ (,) r t = elocità di produzione (per unità di olume) della grandezza A (,) r t = flusso di A Applicando il teorema di Gauss dv a dv ( / r ) a t ρ σ t ρ σ = = Ω Ω r A A A A Deriata materiale utilizzando l equazione di continuità D D D A A a = a a = a + a + a = + a Dt Dt Dt t r r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ σ ρ D ρ a Dt A = σ r A, bar Abar, (,) r t = flusso baricentrico: flusso di A osserato nel baricentro (flusso depurato dal moto conettio) Abar, A ρa A

2) Bilancio del momento lineare: momento lineare lungo la direzione A = P = M a= Dalla legge di Newton, dm ( )/ ( )/ : dt= Mψ r D ρ = ρ ψ P, Dt r r P, bar P, P σ ρ ψ = P = ρ = tensore di stress (flusso di impulso baricentrico) Flusso di impulso douto a i) urti contro la parete: associato alla pressione, del fluido, ii) perdita di impulso douto all attrito tra due superfici: per P r p P Data una porzione di fluido considerata come un sistema chiuso, compresa nel dominio Ω() t, le forze di superficie determinano un flusso di laoro meccanico wbar, nella misura in cui () si sposta. Ω t Per un dato elemento di superficie ds : P, ds bar P, = ds = df : forza esercitata dal fluido lungo sulla superficie dt : spostamento dell elemento di superficie nel tempo dt laoro fatto sull elemento di superficie nel tempo dt : = f =, flusso di laoro: = P w, bar,, dw d dt ds P dt

3) Bilancio del momento angolare. Per semplicità consideriamo un fluido atomico, costituito cioè da particelle puntuali con posizioni r () i e elocità () i per i = 1, 2,. Secondo la meccanica classica, il momento angolare definito come L r() i m() i () i si eole secondo l equazione, essendo la forza agente sulla -esima particella F() i dl () i () i i dt = r F Momento angolare del campione nel dominio l = r doe è la densità di momento angolare (per unità di massa) Scrittura alternatia: mi m i doe è il tensore di Lei-Ciita ε mi l i Ω L () t = dvρ r = dvρ l = ε Ω ε = ε = ε = 1 r ε = ε = ε = 1 ε xyz yzx zxy xzy yxz zyx mi = 0 se due indici sono uguali Ω Ω i

Equazione di bilancio per L ( r / r) L σ = ρ ψ = ε L, bar mirp m i ( r df), ds L bar = ( r df) = ε r df = ε r ds P Il flusso è ottenuto dal contributo deriante dalle forze di superficie: mi m i mi m i ρ D l Dt ρ ψ = ε In conclusione: ( r / r) r P mi m i r Deriazione alternatia dalla deriata materiale di poiché l = ε mirmi D D D D l = εmii rm + εmirm i = εmirm i Dt Dt Dt Dt D r m = r m + r m = m Dt t r D D ψ ρ l = εmirmρ i = εmirm ρ + Pi = Dt Dt ri r = ρ( r ψ / r) ε mirp m i + εmipmi r Per confronto con il precedente risultato: 0, e dal bilancio del momento lineare ε P = P = P mi mi mi im

Conclusione: il bilancio del momento angolare per fluidi atomici implica che il tensore di stress sia simmetrico: P i = P i Fluidi molecolari: bisogna includere il contributo della rotazione molecolare al momento angolare. Stesso risultato ipotizzando che il rilassamento della elocità angolare aenga su scale dei tempi molto più brei di quelle dei campi macroscopici,, T ρ

4) Bilancio dell energia E con densità / /2 e E M = + ψ + u σ = 0 = + = + P E E, bar q, bar w, bar q, bar, D D D D ρ u = ρ e ρ + ψ = + P ρ + ψ Dt Dt Dt r Dt D ρ ψ = ρ ψ + ρ ψ = ρ ψ Dt t r r qbar, ( /2 ) (, ) ( /2 ) D D ψ ρ /2= ρ = ρ P Dt Dt r r, D ρ u = P Dt r r qbar,,

S s S/ M = / T, D ρ s = σ Dt r T 5) Bilancio dell entropia con densità S, bar q, bar S Esplicitiamo la produzione di entropia utilizzando i precedenti bilanci ed il differenziale fondamentale qbar = + s = + u = r T Dt r T T Dt Tρ Dt q, bar q, bar S D ρ D p D σ ρ ρ P p = + r T T r T r T r qbar, 1 q, bar Π P pδ ed introducendo il tensore iscoso di stress (il tensore di stress priato della componente di pressione) σ 1 Π = S q, bar,, rt T r Essendo il tensor di stress simmetrico σ 1 = Π / T S q, bar s, rt Π =Π + : tensore gradiente della elocità s,, s, =, : parte simmetrica del tensore 2

Tensore di rango zero: Tensore di primo rango: Tensore di secondo rango: σ (0) T = scalare (1) Catalogazione dei flussi secondo il rango T = ettore (2) (2) T = matrice a traccia nulla ( T = 0) (0) (1) qbar, (2) =Π ii = =Π δ Πii /3 (1) 1/ T (2) (0) (2) (2) (2) (2) = / T /3 T = δ ii /3 r S s s s Identificazione delle forze 1/ T F = /3 T F = F = / T (0) (1) (2) s r S (0) (0) (1) (1) (1) (1) σ = F + F + F Proporzionalità tra flussi e forze: 45 coefficienti? Principio di Curie: accoppiamento scalare solo tra flussi e forze dello stesso rango (in sistemi isotropi) solo 3 coefficienti! = 9 η T F η =iscosità di olume (bul iscosity) (0) (0) = λt F λ = coefficiente di conduttiità termica (1) 2 (1) = 2ηT F η = iscosità di taglio (shear iscosity) (2) (2)

Principio di Curie deriabile imponendo l inarianza rotazionale all espansione al (0) (1) (2) secondo ordine di σ ( F, F, F ) S σ implica η 0, λ 0, η 0 0 ˆ S > > > ρ( r, t), ( r, t), Equazioni (della termo-fluidodinamica)per i tre campi indipendenti T(,) r t specificando i flussi nei bilanci di massa, di momento lineare e di energia D ρ = ρ Dt r D ψ p ρ = ρ + η + ( η + η/ 3) : eq. di Naier-Stoes Dt r r r r 2 D u (2) (2) = T p + + 2 i i ρ λ η η Dt r r da risolersi note le equazioni di stato u ( T, ρ), p ( T, ρ) r ( / ) 2 : operatore di Laplace eq eq

Caso limite: densità costante e elocità nulla ρ u = λ T : eq. di diffusione termica t Semplificazione: densità costante / r = 0 D ψ p ρ = ρ + η Dt r r D s ρ u = λ T + 2η i Dt s i Se la dipendenza di pt ( ) è trascurabile, allora (,) t indipendente da ia soluzione di D ψ p ρ = ρ + η Dt r r r T(,) r t Risolta l equazione per r (,) t, allora si deria T(,) r t come soluzione di D s ρ u = λ T + 2η i Dt s i

Esempio: esperimento di Couette in condizioni stazionarie (e =costante) z L x = L ψ 0 = 0 x Superfici infinite realizzabili con una corona cilindrica di piccolo spessore. Per simmetria, i campi engono a dipendere solo dalla coordinata elocità ha solo la componente lungo : = = x y z 0 z, e la Dalla deriata materiale di z : dp( z) / dz = 0 pressione costante D 2 2 ρ x = 0 = η d x/ dz x( z ) = L z / L Dt (0) (0) Π = = 9η TF = 3η = 0 ii Π = = 2 ηtf = η( / r + / r ) (2) (2) Π Π xz =Π zx = η / L Elementi non nulli di :

Forza esercitata dal fluido sulla superficie superiore df = ds P = ds P = ds ( Π + pδ ) = ds [ ( η / L) δ + pδ ] z z z z z z L x z df / ds = p df / ds = η / L z z x z L Per mantenere la condizione stazionaria, sulla superficie superiore bisogna esercitare una pressione ortogonale uguale a quella di equilibrio, ed una forza tangenziale ( S =Superficie) η F L F / S =η( / L) L Viscosità = rapporto fra pressione tangenziale e gradiente della elocità (unità di misura: g/m s oppure poise=p=g/cm s η L Viscosità (di olume) ha un ruolo secondario perché entra solo nei processi che modificano la densità Effetto termico nell ipotesi che le due superfici siano adiabatiche ρ D dt s s u = c 2 ii ( L/ L) Dt ρ = dt η = η Laoro meccanico della forza tangenziale dissipato come energia termica: nel tempo : dt dw/ dt dw/ dt FLL 2 dw = FLLdt = = =η( L/ L) V SL SL 2

Viscosità dell acqua

Condizione stazionaria interpretata come equilibrio tra forza esterna e forza di attrito esercitata dal fluido sulla superficie ξ F attr. = coefficiente di attrito F. = ξ ξ = ( S/ L) η attr L F L Relazione di Stoes: forza di attrito su una sfera di raggio R con elocità F attr. = = 6 ξ ξ πrη Esercizio: risolere il problema di Couette dipendente dal tempo 1) t 0: sistema immobile 2) t > 0: sulla superficie superiore iene applicata una pressione tangenziale F costante. L / S Calcolare, per analogia con l eq. di diffusione, il campo di elocità (,) x z t e la elocità della superficie superiore () L t come funzione del tempo. Utilizzando la funzione errore, si può deriare una soluzione analitica di forma asintotica? Esercizio: risolere il problema di Poiseille per il flusso di un fluido all interno di un cilindro (infinito)