Mauro Vettorello V veneto come Calcolare la Rata d un Fnanzamento o d un Leasng senza calcolatrce STUDIO VETTORELLO
V veneto come Calcolare la Rata d un Fnanzamento o d un Leasng senza calcolatrce Mauro Vettorello 2 a edzone 1/2015 Copyrght 2015 Mauro Vettorello pubblcato su nternet www.vettorello.t L'opera, comprese tutte le sue part, è tutelata dalla legge su drtt d'autore. È vetata, se non espressamente autorzzata, la rproduzone n ogn modo e forma, comprese le fotocope, la scansone e la memorzzazone elettronca. Ogn volazone sarà perseguble ne mod e ne termn stablt dalla legge.
a Slva per l allegra che m regala ogn gorno a Leonardo e Sofa quando la goa non conosce confn
Indce Indce 3
V veneto Premessa 1. Modaltà d Utlzzo 2. Prm esemp 3. Osservazon 4. Domande e Rsposte 5. Concluson 6. L autore A1. La scoperta A2. Campo d Applcazone A3. Il v-veneto A4. Formule matematche A5. Il rscatto d un leasng A6. Il tasso zero A7. R 2, l Costo Bancaro A8. Genealoga Postfazone 5 8 20 34 41 45 47 49 52 57 63 67 70 72 75 88 4
Premessa Premessa 5
V veneto Ch d Vo sa calcolare la crconferenza d un cercho, conoscendone l raggo? Penso che graze al p greco () tutt ogg sappano quando msura la crconferenza, par a 2r, così pure l area d un cercho, r 2. Forse qualche mllenno fa la rsposta non era così scontata, ma ogg anche un bambno alle elementar conosce tal concett. Penso che nessuno metta n dubbo l utltà d tale formula, anche se non c capta d utlzzare tale formula ogn gorno. [crconferenza = 2r ] [area = r 2 ] Durante la ma attvtà m capta d frequente d calcolare la rata d un fnanzamento, d un mutuo o un leasng. In tal crcostanze m sono mbattuto n una costante che aveva dverse analoge con l p-greco. La curostà m ha portato a trarre delle consderazon emprche che ora vorre condvdere con vo. 6
Premessa In questa seconda edzone del lbro v-veneto vorre sconvolgere e rovescare l esposzone precedente, seguendo lo sprto del motto tutt usano l elettrctà, anche se non tutt sanno come funzona. Vorre rendere dsponble questo v-veneto anche al bambno d terza elementare, tanto semplce rsulta la sua applcazone. Per questo motvo, lascerò le formule nella seconda parte del lbro, nell appendce, solo per pù audac. Insomma se arrvate alla fne del captolo 5 posso consderare la mssone computa! 7
V veneto 1. Modaltà d utlzzo. 8
1 Lo scopo d questo breve trattato è d rendere dsponbl a tutt delle formule che nella loro applcazone teorca non sono così facl e comprensbl a non-addett a lavor. Se v presentass la formula uffcale per l calcolo della Rata d un fnanzamento, temo che molt d vo preferscano rnuncare all dea d calcolare da sol l mporto della rata e preferscano affdars a programm gà pront per l uso o formule present n molt fogl elettronc, tpo excel. Questa è la formula uffcale: (1 ) R C (1 ) r 1 (1 ) 1 Questa è la formula semplfcata: R R 1 R2 R3 9
V veneto Cosa sgnfca la formula semplfcata? 1. fnanzamento a tasso zero 2. costo bancaro 3. nteress sul rscatto Andamo subto al sodo con un pao d esemp. A) Acqusto un bene per 170.000 euro (Captale), verso subto un antcpo d 50.000 euro (Antcpo), tra 50 mes verserò 20.000 euro e l rmanente lo verso n 50 rate. Il tutto a tasso zero. Quanto sarà la rata? Beh, se degl orgnar 170.000 euro, 50.000 l verso subto e 20.000 alla fne, sgnfca che la somma rmanente (chamamolo Dlazonato ) è 100.000. In 50 mes a tasso zero, dre che sono 2.000 euro al mese! Bene, questo è R 1, la rata a tasso zero, par alla somma Dlazonata, dvso n numero d rate. D R1 10
1 [ esempo d fnanzamento a tasso zero ] B) Adesso prendamo una somma d 100.000 euro, che resttusco n un unca soluzone dopo 7 ann, pagando gl nteress del 3,60% ogn anno. Quant è la rata annua da pagare? Dre che è abbastanza ntutvo che è par a 3.600 euro, coè l 3,60% d 100.000 euro. Se la rata fosse mensle, sarebbe d 300 euro, coè 3.600 euro annu d prma, dvso 12. 11
V veneto Come s vede, l fatto che la durata del fnanzamento sa d 7 ann è nnfluente, potrebbe essere 5, 10, 30 o anche un solo anno, l rsultato non camberebbe. Quanto appena toccato con mano è R 3, gl nteress sul rscatto, par all mporto del rscatto ( r ) per gl nteress del perodo (mese, bmestre, trmestre, semestre, anno) R 3 r 12
1 I prm due esemp mettono n luce un altro concetto, l Dlazonato, che s vuole presentare n modo semplce e dretto con l auto delle mmagn sopra rportate. Dal momento che l antcpo vene pagato subto e l rscatto verrà pagato tutto alla fne del pano d rmborso, la rata a tasso zero R 1 dpende dal Dlazonato, par al captale al netto dell antcpo, a cu abbamo sottratto l rscatto. Gl nteress per tale dlazone vengono calcolat propro sulla somma dlazonata. Vedamo un altro esempo. C) Prendamo un fnanzamento d 100.000 euro n 5 ann al tasso del 4%, con rate annual. Il prmo anno s pagano gl nteress sull ntera somma, par a 4.000 euro, po però l debto resduo dmnusce fno a che al qunto anno s pagano gl nteress su una somma che è poco maggore d un qunto del debto orgnaro. Il totale degl nteress non sono 20.000, coè 4.000 del prmo anno moltplcat per 5, ma poco pù d metà, coè 12.313, par a 20.000 per un coeffcente. Da qu parte l concetto del v-veneto. 13
V veneto anno Rata Quota Interess Debto Resduo 100.000,00 1 22.462,71 4.000,00 81.537,29 2 22.462,71 3.261,49 62.336,07 3 22.462,71 2.493,44 42.366,80 4 22.462,71 1.694,67 21.598,76 5 22.462,71 863,95 0,00 12.313,56 E così v ho presentato velocemente anche l v-veneto, che c rsulta utle per R 2. Infatt R 2 è par al Dlazonato per l tasso d nteresse del perodo (qund se le rate sono mensl, l tasso dvso 12) per vveneto ( 0,533 ). R2 ( D v) n = 0,533 Così la formula semplfcata vsta poco fa dventa: 14
1 D R R1 R2 R3 ( ) ( D v) ( r ) Per utlzzare la formula semplfcata è suffcente: calcolare la rata a tasso zero (R 1 ), aggungere gl nteress sulla somma Dlazonata (R 2 ) par al Dlazonato, per l tasso del perodo, per v-veneto, aggungere gl ntess sul rscatto (R 3 ), par al rscatto per l tasso del perodo. Bene, adesso possamo rtenere concluso la modaltà d utlzzo del v-veneto per l calcolo d una rata d un fnanzamento, d un mutuo o d un leasng. Un pao d note, che saranno trattate n modo pù approfondto pù avant: l valore del v-veneto par a 0,533 è un valore medo che mnmzza l errore n un opportuno ntervallo d frequente utlzzo; d seguto s rporta la tabella del valore esatto del v-veneto per ogn combnazone d (tasso perodco) e (numero d rate) per ch vuole calcolare la rata esatta senza error; 15
V veneto d seguto s rporta la tabella dell errore rspetto alla rata esatta che s determna con la rata calcolata con l v-veneto, utle per capre l enttà d tale approssmazone. Funzone v-veneto n (, ) Rate/anno 12 tasso annuo: 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% ann rate tasso perodco ( ): Y 0,042% 0,083% 0,125% 0,167% 0,208% 0,250% 0,292% 0,333% 0,375% 0,417% 0,458% 0,500% 0,5 6 0,584 0,584 0,584 0,584 0,584 0,585 0,585 0,585 0,585 0,585 0,586 0,586 1 12 0,542 0,542 0,543 0,543 0,544 0,544 0,545 0,545 0,545 0,546 0,546 0,547 1,5 18 0,528 0,529 0,530 0,530 0,531 0,532 0,532 0,533 0,533 0,534 0,535 0,535 2 24 0,522 0,522 0,523 0,524 0,525 0,526 0,527 0,527 0,528 0,529 0,530 0,531 2,5 30 0,518 0,519 0,520 0,521 0,522 0,523 0,524 0,525 0,526 0,527 0,528 0,529 3 36 0,515 0,516 0,518 0,519 0,520 0,521 0,523 0,524 0,525 0,526 0,528 0,529 4 48 0,512 0,514 0,515 0,517 0,519 0,520 0,522 0,524 0,525 0,527 0,529 0,530 5 60 0,510 0,512 0,515 0,517 0,519 0,521 0,523 0,525 0,527 0,529 0,531 0,533 6 72 0,509 0,512 0,514 0,517 0,519 0,522 0,524 0,527 0,529 0,532 0,534 0,537 7 84 0,509 0,512 0,515 0,518 0,521 0,523 0,526 0,529 0,532 0,535 0,538 0,541 8 96 0,509 0,512 0,515 0,519 0,522 0,525 0,528 0,532 0,535 0,538 0,542 0,545 9 108 0,508 0,512 0,516 0,520 0,523 0,527 0,531 0,535 0,538 0,542 0,546 0,549 10 120 0,508 0,512 0,517 0,521 0,525 0,529 0,533 0,537 0,541 0,546 0,550 0,554 11 132 0,508 0,513 0,518 0,522 0,527 0,531 0,536 0,540 0,545 0,549 0,554 0,558 12 144 0,508 0,513 0,518 0,523 0,528 0,533 0,538 0,543 0,548 0,553 0,558 0,563 13 156 0,509 0,514 0,519 0,525 0,530 0,536 0,541 0,546 0,552 0,557 0,562 0,567 14 168 0,509 0,515 0,520 0,526 0,532 0,538 0,544 0,549 0,555 0,561 0,566 0,572 15 180 0,509 0,515 0,521 0,528 0,534 0,540 0,546 0,552 0,559 0,565 0,571 0,577 16 192 0,509 0,516 0,523 0,529 0,536 0,542 0,549 0,555 0,562 0,568 0,575 0,581 17 204 0,510 0,517 0,524 0,531 0,538 0,545 0,552 0,559 0,565 0,572 0,579 0,586 18 216 0,510 0,517 0,525 0,532 0,540 0,547 0,554 0,562 0,569 0,576 0,583 0,590 19 228 0,510 0,518 0,526 0,534 0,542 0,549 0,557 0,565 0,572 0,580 0,588 0,595 20 240 0,510 0,519 0,527 0,535 0,544 0,552 0,560 0,568 0,576 0,584 0,592 0,600 21 252 0,511 0,519 0,528 0,537 0,545 0,554 0,563 0,571 0,579 0,588 0,596 0,604 22 264 0,511 0,520 0,529 0,538 0,547 0,556 0,565 0,574 0,583 0,592 0,600 0,609 23 276 0,511 0,521 0,530 0,540 0,549 0,559 0,568 0,577 0,586 0,595 0,604 0,613 24 288 0,512 0,522 0,532 0,542 0,551 0,561 0,571 0,580 0,590 0,599 0,608 0,618 25 300 0,512 0,522 0,533 0,543 0,553 0,564 0,574 0,584 0,593 0,603 0,613 0,622 30 360 0,514 0,526 0,539 0,551 0,563 0,575 0,587 0,599 0,610 0,622 0,633 0,644 35 420 0,516 0,530 0,545 0,559 0,573 0,587 0,601 0,614 0,627 0,640 0,652 0,664 40 480 0,518 0,534 0,551 0,567 0,583 0,599 0,614 0,629 0,643 0,657 0,671 0,684 45 540 0,520 0,538 0,557 0,575 0,593 0,610 0,627 0,643 0,659 0,674 0,688 0,702 50 600 0,522 0,542 0,563 0,583 0,602 0,621 0,640 0,657 0,674 0,690 0,705 0,719 16
1 Funzone v-veneto n (, ) Rate/anno 12 6,5% 7,0% 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% 9,5% 10,0% 10,5% 11,0% 11,5% 12,0% ann rate 0,542% 0,583% 0,625% 0,667% 0,708% 0,750% 0,792% 0,833% 0,875% 0,917% 0,958% 1,000% Y 0,586 0,586 0,586 0,587 0,587 0,587 0,587 0,587 0,588 0,588 0,588 0,588 0,5 6 0,547 0,547 0,548 0,548 0,549 0,549 0,549 0,550 0,550 0,551 0,551 0,552 1 12 0,536 0,536 0,537 0,538 0,538 0,539 0,540 0,540 0,541 0,541 0,542 0,543 1,5 18 0,532 0,532 0,533 0,534 0,535 0,536 0,537 0,537 0,538 0,539 0,540 0,541 2 24 0,530 0,531 0,532 0,533 0,534 0,535 0,536 0,537 0,538 0,539 0,540 0,541 2,5 30 0,530 0,531 0,533 0,534 0,535 0,536 0,537 0,539 0,540 0,541 0,542 0,544 3 36 0,532 0,534 0,535 0,537 0,539 0,540 0,542 0,544 0,545 0,547 0,548 0,550 4 48 0,535 0,537 0,539 0,541 0,544 0,546 0,548 0,550 0,552 0,554 0,556 0,558 5 60 0,539 0,542 0,544 0,547 0,549 0,552 0,554 0,556 0,559 0,561 0,564 0,566 6 72 0,544 0,547 0,549 0,552 0,555 0,558 0,561 0,564 0,566 0,569 0,572 0,575 7 84 0,548 0,551 0,555 0,558 0,561 0,564 0,568 0,571 0,574 0,577 0,580 0,584 8 96 0,553 0,557 0,560 0,564 0,568 0,571 0,575 0,578 0,582 0,585 0,589 0,592 9 108 0,558 0,562 0,566 0,570 0,574 0,578 0,582 0,586 0,590 0,594 0,598 0,601 10 120 0,563 0,567 0,572 0,576 0,580 0,585 0,589 0,593 0,598 0,602 0,606 0,610 11 132 0,568 0,572 0,577 0,582 0,587 0,591 0,596 0,601 0,605 0,610 0,614 0,619 12 144 0,573 0,578 0,583 0,588 0,593 0,598 0,603 0,608 0,613 0,618 0,623 0,628 13 156 0,578 0,583 0,589 0,594 0,600 0,605 0,610 0,616 0,621 0,626 0,631 0,636 14 168 0,583 0,588 0,594 0,600 0,606 0,612 0,617 0,623 0,628 0,634 0,639 0,645 15 180 0,588 0,594 0,600 0,606 0,612 0,618 0,624 0,630 0,636 0,642 0,647 0,653 16 192 0,592 0,599 0,606 0,612 0,618 0,625 0,631 0,637 0,643 0,649 0,655 0,661 17 204 0,597 0,604 0,611 0,618 0,625 0,631 0,638 0,644 0,651 0,657 0,663 0,669 18 216 0,602 0,610 0,617 0,624 0,631 0,638 0,645 0,651 0,658 0,664 0,671 0,677 19 228 0,607 0,615 0,622 0,630 0,637 0,644 0,651 0,658 0,665 0,671 0,678 0,684 20 240 0,612 0,620 0,628 0,635 0,643 0,650 0,658 0,665 0,672 0,679 0,685 0,692 21 252 0,617 0,625 0,633 0,641 0,649 0,657 0,664 0,671 0,679 0,686 0,692 0,699 22 264 0,622 0,630 0,639 0,647 0,655 0,663 0,670 0,678 0,685 0,692 0,699 0,706 23 276 0,626 0,635 0,644 0,652 0,661 0,669 0,676 0,684 0,692 0,699 0,706 0,713 24 288 0,631 0,640 0,649 0,658 0,666 0,674 0,683 0,690 0,698 0,706 0,713 0,720 25 300 0,654 0,664 0,674 0,684 0,693 0,702 0,711 0,720 0,728 0,736 0,743 0,751 30 360 0,676 0,687 0,698 0,708 0,718 0,728 0,737 0,746 0,754 0,762 0,770 0,777 35 420 0,696 0,708 0,720 0,730 0,741 0,751 0,760 0,769 0,777 0,785 0,793 0,800 40 480 0,715 0,728 0,740 0,751 0,761 0,771 0,780 0,789 0,797 0,805 0,813 0,819 45 540 0,733 0,746 0,758 0,769 0,779 0,789 0,798 0,807 0,815 0,822 0,829 0,836 50 600 17
V veneto Errore % rspetto alla rata esatta tasso annuo: 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% ann rate tasso perodco ( ): Y 0,042% 0,083% 0,125% 0,167% 0,208% 0,250% 0,292% 0,333% 0,375% 0,417% 0,458% 0,500% 0,5 6-0,01-0,03-0,04-0,05-0,06-0,08-0,09-0,10-0,12-0,13-0,14-0,16 1 12-0,00-0,01-0,01-0,02-0,03-0,03-0,04-0,05-0,05-0,06-0,07-0,08 1,5 18 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00-0,00-0,01-0,01-0,02 2 24 0,01 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,02 2,5 30 0,02 0,04 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,08 0,07 0,07 0,06 0,05 3 36 0,03 0,05 0,07 0,08 0,09 0,10 0,10 0,10 0,10 0,09 0,08 0,07 4 48 0,04 0,08 0,10 0,12 0,14 0,14 0,14 0,14 0,13 0,11 0,09 0,06 5 60 0,06 0,10 0,13 0,16 0,17 0,17 0,16 0,15 0,12 0,09 0,04-0,01 6 72 0,07 0,12 0,16 0,18 0,19 0,18 0,16 0,13 0,09 0,03-0,04-0,11 7 84 0,08 0,14 0,18 0,20 0,20 0,18 0,15 0,09 0,02-0,06-0,16-0,27 8 96 0,10 0,16 0,20 0,21 0,20 0,17 0,11 0,03-0,06-0,18-0,31-0,45 9 108 0,11 0,18 0,22 0,22 0,19 0,14 0,06-0,05-0,17-0,32-0,49-0,68 10 120 0,12 0,20 0,23 0,22 0,18 0,10-0,01-0,14-0,31-0,49-0,70-0,93 11 132 0,13 0,21 0,24 0,22 0,15 0,05-0,09-0,26-0,46-0,69-0,94-1,22 12 144 0,14 0,22 0,24 0,20 0,12-0,01-0,18-0,39-0,63-0,90-1,20-1,53 13 156 0,15 0,23 0,24 0,19 0,08-0,08-0,29-0,54-0,82-1,14-1,49-1,86 14 168 0,16 0,24 0,24 0,16 0,03-0,17-0,41-0,70-1,03-1,39-1,79-2,21 15 180 0,17 0,25 0,23 0,14-0,03-0,26-0,54-0,87-1,25-1,66-2,11-2,58 16 192 0,18 0,25 0,22 0,10-0,09-0,36-0,68-1,06-1,49-1,95-2,45-2,97 17 204 0,19 0,26 0,21 0,07-0,16-0,47-0,84-1,26-1,73-2,25-2,80-3,37 18 216 0,20 0,26 0,19 0,02-0,24-0,59-1,00-1,47-1,99-2,56-3,16-3,79 19 228 0,21 0,26 0,18-0,02-0,32-0,71-1,17-1,69-2,27-2,88-3,53-4,21 20 240 0,21 0,26 0,15-0,08-0,41-0,84-1,35-1,92-2,55-3,21-3,91-4,64 21 252 0,22 0,26 0,13-0,13-0,51-0,98-1,54-2,16-2,84-3,55-4,31-5,08 22 264 0,23 0,25 0,10-0,19-0,61-1,13-1,74-2,41-3,13-3,90-4,71-5,53 23 276 0,23 0,25 0,07-0,26-0,72-1,28-1,94-2,66-3,44-4,26-5,11-5,98 24 288 0,24 0,24 0,04-0,33-0,83-1,44-2,15-2,92-3,75-4,62-5,52-6,44 25 300 0,25 0,23 0,01-0,40-0,95-1,61-2,36-3,19-4,07-4,99-5,94-6,90 30 360 0,27 0,17-0,21-0,81-1,59-2,51-3,52-4,60-5,73-6,89-8,05-9,22 35 420 0,28 0,08-0,48-1,31-2,34-3,51-4,78-6,10-7,46-8,82-10,17-11,50 40 480 0,28-0,04-0,80-1,87-3,15-4,58-6,09-7,64-9,20-10,74-12,24-13,70 45 540 0,27-0,19-1,16-2,48-4,03-5,70-7,44-9,19-10,92-12,61-14,23-15,78 50 600 0,25-0,37-1,57-3,14-4,94-6,85-8,80-10,73-12,60-14,40-16,10-17,71 18
1 Errore % rspetto alla rata esatta 6,5% 7,0% 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% 9,5% 10,0% 10,5% 11,0% 11,5% 12,0% ann rate 0,542% 0,583% 0,625% 0,667% 0,708% 0,750% 0,792% 0,833% 0,875% 0,917% 0,958% 1,000% Y -0,17-0,18-0,20-0,21-0,22-0,24-0,25-0,26-0,28-0,29-0,31-0,32 0,5 6-0,09-0,10-0,11-0,12-0,13-0,14-0,15-0,16-0,17-0,18-0,20-0,21 1 12-0,03-0,03-0,04-0,05-0,06-0,07-0,09-0,10-0,11-0,13-0,14-0,16 1,5 18 0,02 0,01-0,00-0,02-0,03-0,05-0,06-0,08-0,10-0,12-0,14-0,16 2 24 0,04 0,03 0,01-0,00-0,02-0,05-0,07-0,10-0,12-0,15-0,19-0,22 2,5 30 0,05 0,03 0,01-0,02-0,05-0,08-0,11-0,15-0,19-0,23-0,27-0,32 3 36 0,02-0,02-0,06-0,11-0,16-0,22-0,28-0,35-0,42-0,49-0,57-0,65 4 48-0,06-0,13-0,20-0,28-0,36-0,45-0,55-0,65-0,76-0,87-0,99-1,11 5 60-0,20-0,30-0,40-0,52-0,64-0,77-0,91-1,05-1,21-1,36-1,53-1,69 6 72-0,39-0,52-0,67-0,82-0,99-1,16-1,34-1,53-1,73-1,94-2,15-2,37 7 84-0,62-0,79-0,98-1,18-1,39-1,61-1,84-2,08-2,33-2,58-2,85-3,11 8 96-0,88-1,10-1,34-1,58-1,84-2,11-2,39-2,68-2,98-3,29-3,60-3,92 9 108-1,18-1,45-1,73-2,03-2,34-2,66-2,99-3,33-3,68-4,04-4,40-4,77 10 120-1,51-1,83-2,16-2,51-2,87-3,24-3,62-4,01-4,41-4,82-5,23-5,65 11 132-1,87-2,24-2,62-3,02-3,43-3,85-4,28-4,72-5,17-5,63-6,08-6,55 12 144-2,26-2,67-3,11-3,55-4,02-4,49-4,97-5,46-5,95-6,45-6,96-7,46 13 156-2,66-3,13-3,61-4,11-4,62-5,14-5,67-6,21-6,75-7,29-7,84-8,38 14 168-3,08-3,60-4,13-4,68-5,24-5,81-6,39-6,97-7,55-8,13-8,72-9,30 15 180-3,52-4,09-4,67-5,27-5,88-6,49-7,11-7,74-8,36-8,98-9,60-10,21 16 192-3,97-4,59-5,22-5,87-6,52-7,18-7,84-8,50-9,16-9,82-10,47-11,12 17 204-4,44-5,10-5,79-6,48-7,17-7,87-8,57-9,27-9,97-10,66-11,34-12,01 18 216-4,91-5,63-6,35-7,09-7,83-8,57-9,30-10,04-10,76-11,48-12,19-12,89 19 228-5,39-6,15-6,93-7,70-8,48-9,26-10,03-10,80-11,55-12,30-13,03-13,75 20 240-5,88-6,69-7,50-8,32-9,14-9,95-10,75-11,55-12,33-13,10-13,85-14,59 21 252-6,37-7,23-8,08-8,94-9,79-10,63-11,47-12,29-13,09-13,88-14,66-15,41 22 264-6,87-7,77-8,66-9,55-10,44-11,31-12,17-13,02-13,85-14,65-15,44-16,21 23 276-7,37-8,31-9,24-10,17-11,08-11,98-12,87-13,73-14,58-15,41-16,21-16,99 24 288-7,87-8,85-9,82-10,77-11,72-12,64-13,55-14,44-15,30-16,14-16,96-17,74 25 300-10,38-11,51-12,63-13,72-14,77-15,80-16,78-17,73-18,65-19,53-20,37-21,18 30 360-12,80-14,06-15,28-16,45-17,57-18,64-19,66-20,64-21,56-22,44-23,28-24,07 35 420-15,10-16,44-17,72-18,93-20,08-21,17-22,19-23,16-24,07-24,93-25,73-26,49 40 480-17,24-18,63-19,94-21,16-22,31-23,39-24,39-25,33-26,21-27,03-27,80-28,51 45 540-19,22-20,63-21,94-23,15-24,28-25,33-26,30-27,20-28,04-28,82-29,54-30,21 50 600 19
V veneto 2. Prm esemp. 20
2 Passamo subto al concreto, per vedere la semplctà dell applcazone. 1. Per calcolare la rata d un Fnanzamento d 25.000 euro n 60 mes al tasso del 6%, procedamo così: calcolamo la rata a tasso zero (R 1 ) par a 25.000 / 60 = 416,67 ; calcolamo l costo bancaro (R 2 ) par al Dlazonato (25.000) per l tasso (6%), dvso 12, essendo rate mensl (par a 125,00) per v-veneto 0,533. Qund l costo bancaro è 66,62; R 3 è zero, non essendoc l rscatto e qund gl nteress sul rscatto; la Rata complessva è la somma d quanto rportato sopra, coè 416,67+66,62=483,29 Fnanzamento Rata Dlazonato 25.000,00 R 1 416,67 R 2 66,62 Captale 25.000,00 tasso 6,0% numero rate 60 Rata 483,32 483,29 21
V veneto Come s vede, rspetto alla Rata esatta, c è un errore d 0,03 par allo 0,01%. Per questo l calcolo della rata con l v-veneto è un metodo approssmatvo, non esatto, però dre con un margne d errore n molt cas accettable. Adesso v voglo presentare un altro esempo, per farv capre la semplctà della formula, che per talun potrebbe rsultare perfno banale dopo averla scoperta! Calcolamo la rata d un fnanzamento cosddetto bullet, coè con rentro n un unca soluzone. 2. Fnanzamento d 20.000 euro n un anno al tasso del 6%, con pagamento mensle degl nteress. Se l pagamento degl nteress fosse a fne anno, sarebbero 1.200 euro ( 20.000 6% ), ma essendo mensle, allora dvdamo per 12, dando come rsultato 100. Captale 20.000,00 tasso 6,0% numero rate 12 Rscatto 20.000,00 Rata 100,00 22
2 Fnanzamento Rata Antcpo 0,00 0,00 Dlazonato 0,00 R 1 0,00 R 2 0,00 Rscatto 20.000,00 R 3 100,00 20.000,00 100,00 In questo esempo, non c è alcuna dfferenza tra la formula uffcale e quella semplfcata. 3. Ora vedamo un esempo d un leasng: Captale: 100.000; Antcpo: 15.000; durata: 59 mes Rscatto: 1.000 al mese n. 59; tasso annuo 4,80%. Fnanzamento Rata Captale 100.000,00 Antcpo 15.000,00 Dlazonato 84.000,00 R 1 1.423,73 R 2 179,09 Rscatto 1.000,00 R 3 4,00 100.000,00 1.606,82 23
V veneto Rata esatta: 1.605,16 errore: 1,65 = 0,10%. 4. Per essere precs, nella prass quotdana, l leasng propone n rscatto un mese dopo l pagamento dell ultma rata; pertanto v sottopongo un altro esempo: Captale: 100.000; Antcpo: 15.000; durata: 59 mes Rscatto: 1.000 al mese n. 60; tasso annuo 4,80%. In questo caso, s prenda come rscatto al mese 59 esmo par a r 59 =r 60 /(1+) = 1.000/(1+4,80%/12)=996,02 Fnanzamento Rata Captale 100.000,00 Antcpo 15.000,00 Dlazonato 84.003,98 R 1 1.423,80 R 2 179,10 Rscatto 996,02 R 3 3,98 100.000,00 1.606,88 Rata esatta: 1.605,22 errore: 1,65 = 0,10%. 24
2 5. Vedamo un rscatto maggore, tpco de fnanzament delle autovetture propost attualmente. Captale 70.000,00 Antcpo 7.000,00 durata mes 48 rscatto 28.000,00 dopo 3 mes tasso 6,00% r 48 = r 51 / (1 + ) 3 = 28.000 / (1,05) 3 = 27.584,17 Fnanzamento Rata Dlazonato 35.415,83 R 1 737,83 R 2 94,38 Rscatto 27.584,17 R 3 137,92 63.000,00 970,13 Rata esatta 969,66 errore 0,47 0,05% A proposto, se qualcuno avesse fatto l calcolo con l rscatto non attualzzato, otteneva una rata d 961,98 con un errore d 7,68 (0,79%), ben maggore rspetto alla formula semplfcata! 25
V veneto Vedamo ora altr esemp n massma veloctà. 6. calcolare la Rata per un prestto Captale 10.000,00 Antcpo 0,00 durata mes 60 rscatto 0,00 tasso 4,50% 10.000 4,5% R 10.000 0,533 0 166,67 19,99 0 186,65 60 12 Fnanzamento Rata Dlazonato 10.000,00 R 1 166,67 R 2 19,99 Rscatto 0,00 R 3 0,00 10.000,00 186,65 Rata esatta 186,43 errore 0,22 0,12% 7. calcolare la Rata per un prestto Captale 10.000,00 Antcpo 0,00 durata mes 48 rscatto 0,00 tasso 4,50% 26
2 10.000 4,5% R 10.000 0,533 0 208,33 19,99 0 228,32 48 12 Fnanzamento Rata Dlazonato 10.000,00 R 1 208,33 R 2 19,99 Rscatto 0,00 R 3 0,00 10.000,00 228,32 Rata esatta 228,03 errore 0,29 0,13% 8. calcolare la Rata per un prestto Captale 10.000,00 Antcpo 0,00 durata trmestr 20 rscatto 0,00 tasso 4,50% 10.000 4,5% R 10.000 0,533 0 500,00 59,96 0 559,96 20 4 Fnanzamento Rata Dlazonato 10.000,00 R 1 500,00 R 2 59,96 Rscatto 0,00 R 3 0,00 10.000,00 559,96 27
V veneto Rata esatta 561,15 errore -1,19-0,21% 9. calcolare la Rata per un prestto Captale 10.000,00 Antcpo 0,00 durata semestr 8 rscatto 0,00 tasso 5,00% 10.000 5% R 10.000 0,533 0 1.250,00 133,25 0 1.383,25 8 2 Fnanzamento Rata Dlazonato 10.000,00 R 1 1.250,00 R 2 133,25 Rscatto 0,00 R 3 0,00 10.000,00 1.383,25 Rata esatta 1.394,67 errore -11,42-0,82% 28
2 10. avendo 200 dsponbl al mese, calcolare la durata per rmborsare un fnanzamento d 10.000 al tasso del 6,5%. Captale 10.000,00 durata mes? rscatto 0,00 tasso 6,50% Rata 200,00 Come prma cosa calcolamo l costo bancaro, che n un ntervallo delmtato è pressoché costante. 6,5% R 2 10.000 0,533 28,87 12 R 3 = 0 R = 200 = R 1 +R 2 +R 3 Qund R 1 sarà al massmo par a: R 1 = 200 R 2 = 200 28,87= 171,13 C C 10.000 R1 58, 4 = 59 R 171,13 Faccamo una verfca. 1 10.000 6,5% R 10.000 0,533 0 169,49 28,87 0 198,36 59 12 Rata esatta = 198,47 ; errore = -0,05% 29
V veneto 11. calcolare la Rata d un Leasng Captale 100.000,00 Antcpo 15.000,00 durata mes 59 rscatto 1.000,00 tasso 4,80% 84.000 4,8% 4,8% R 84.000 0,533 1.000 1.423,73 179,09 4,00 1.606,82 59 12 12 Fnanzamento Rata Dlazonato 84.000,00 R 1 1.423,73 R 2 179,09 Rscatto 1.000,00 R 3 4,00 85.000,00 1.606,82 Rata esatta 1.605,16 errore 1,65 0,10% 12. Mutuo trentennale Captale 200.000,00 Antcpo 0,00 durata mes 360 rscatto 0,00 tasso 3,20% 30
2 200.000 3,2% R 300.000 0,533 0 555,56 284,27 839,83 360 12 Fnanzamento Rata Dlazonato 200.000,00 R 1 555,56 R 2 284,27 Rscatto 0,00 R 3 0,00 200.000,00 839,83 Rata esatta 864,93 errore -25,10-2,90% L errore è eccessvo. Quando s superano 15 ann, prendamo l valore della funzone v-veneto dalla tabella ndcata alla fne del captolo 1. Per =360 e anno =3,0% : n= 0,575 Fnanzamento Rata Dlazonato 200.000,00 R 1 555,56 R 2 306,67 Rscatto 0,00 R 3 0,00 200.000,00 862,22 Rata esatta 864,93 errore -2,71-0,31% 31
V veneto 13. Pano d accumulo. Tra 5 ann vorre avere 50.000 euro con un pano d accumulo con rendmento atteso del 5,00%. Quanto devo versare ogn mese? Consderamo come un fnanzamento, dove l rscatto è negatvo: Captale 0,00 Antcpo 0,00 durata mes 60 rscatto -50.000,00 tasso 5,00% Fnanzamento Rata Dlazonato 50.000,00 R 1 833,33 R 2 111,04 Rscatto -50.000,00 R 3-208,33 0 736,04 Rata esatta 735,23 errore 0,81 0,11% 32
2 Qund basta usare un po questa formula e s scoprono numerose applcazon, dove senza dubbo l esempo numero 10 è quello che può spccare come semplctà rspetto a soluzon alternatve. 33
V veneto 3. Osservazon. 34
3 Vorre condvdere con vo alcune consderazon e osservazon che rtengo pù nteressant. Costo bancaro medo. l costo bancaro medo (R 2 ) non dpende dalla durata del fnanzamento; n pratca due fnanzament a 3 o 5 ann, allo stesso tasso ( con rscatto par a zero, r =0 per semplctà, ma l ragonamento è valdo ugualmente), hanno (all ncrca) la stessa meda mensle degl nteress pagat (la seconda tabella del captolo A8 a pag. 76-77). Ovvo che n un fnanzamento d 6 ann alla fne pago l doppo d nteress d uno a 3 ann. Per questo R 2 è stato etchettato come costo bancaro. Fnanzament con tasso dverso. due fnanzament della stessa durata, ma con tasso dverso, hanno due Rate la cu dfferenza è: o se r =0, R A -R B = D n ( A - B ) o altrment, R A -R B = (D n+ r ) *( A - B ) esempo: se stamo trattando un fnanzamento d 20.000 euro n 5 ann (o 3 o 7, è lo stesso), ad un tasso del 7% o dell 8%, stamo attent che 35
V veneto le spese accessore non sano superor al benefco d un buon tasso. Rapdamente calcolamo che tra l 7% e 8% la dfferenza è par a: R A -R B = D n ( A - B ) R A -R B = 20.000 0,533 1% / 12 = 8,88 Qund prestamo attenzone che nel trattare per un tasso mgloratvo d un punto percentuale, non c s rtrov po un conto corrente con spese d 9 euro al mese, o un costo per un asscurazone non necessara d 50-100 euro all anno, o parecch euro d spese d ncasso rata o avvso scadenza rata. Durata ottmale del fnanzamento. è possble rcavare la durata del fnanzamento partendo dall mporto della Rata e dall mporto orgnaro del fnanzamento (C, e D = C r ): o D D R D v r qund R D v r o D qund verrà arrotondato per R D v r eccesso. 36
3 Ved l esempo 10 del captolo 2. Per trovare la durata d un fnanzamento con la formula orgnale, dovre scomodare logartm o calcol per nterpolazone. Debto medo. n un pano d ammortamento tpco d un leasng, l Debto medo è par a D nr e serve per calcolare l costo medo dell operazone. Vedamo un esempo. Captale 150.000,00 Antcpo 50.000,00 durata mes 60 rscatto 50.000,00 tasso 5,00% 37
V veneto Fnanzamento Rata Dlazonato 100.000,00 R 1 1.666,67 R 2 222,08 Rscatto 50.000,00 R 3 208,33 150.000,00 2.097,08 Rata esatta 2.095,46 errore 1,63 0,08% Ora faccamo l procedmento nverso. Leasng Captale 150.000,00 Antcpo 0,00 durata mes 60 rscatto 50.000,00 mese: 60 Rata 2.095,46 tasso? Partendo da: D R R1 R2 R3 ( ) ( D v) ( r ) R D ( D v r) ( ) 38
3 R D D v r dove R D = totale nteress = I qund rsulta = A Y = tasso annuo numero d ann D n + r = D m = Debto medo A I D Y m Tale formula ndca che l tasso medo annuo ( A ) è par: alla somma degl nteress (e altr oner) pagat, coè la somma d tutte le rate meno l Dlazonato (R D), dvso l Debto medo, l quale è valorzzato come l Dlazonato per v-veneto pù l rscatto (D n + r), dvso l numero d ann ( per 59 rate mensl gl ann sono 59/12=4,916, per 19 rate trmestral gl ann sono 19/4=4,75) Y = / perod n un anno. el nostro esempo: I = 2.095,46 60 100.000 = 25.727,40 39
V veneto D m = 100.000 0,533 + 50.000 = 103.300,00 Y = 5,00 A 25.727,40 4,981% 103.300 5 40
4 4. Domande e Rsposte 41
V veneto Questa sezone vuole essere un area nterattva, che verrà aggornata d volta n volta con le Vostre rcheste, domande e suggerment. Potremmo defnrla la classca FAQ (Frequently Asked Queston, coè Domande Frequent) d un portale web. 1. Perché R 2 è stata defnta come Costo Bancaro? R: S sente dre spesso che n un fnanzamento all nzo s pagano pù nteress e alla fne del pano s paga pù captale e che n dec ann d mutuo ho pagato due volte la casa. Queste affermazon mostrano degl error grossolan dovut ad una lettura non gudata del pano d ammortamento. Per questo consglo d concentrars non sugl nteress pagat n termn assolut (perché altrment qualcuno potrebbe proporc un mutuo n 9 ann per pagare meno nteress), né su quant nteress ho pagato sulla prma rata, ma la meda degl nteress per rata (totale nteress dvso l numero d rate). Questo valore vene nfluenzato notevolmente n caso essta un rscatto (la cosddetta maxrata fnale), per questo l valore appena ottenuto va suddvso tra R 2 (nteress per pagare ratealmente un debto) e R 3 (nteress per pagare una parte del debto dopo le rate). 42
4 2. Se o uso gà programm standard per calcolarm la rata d n fnanzamento, che utltà m può dare questo v-veneto? R: egl esemp del Captolo 2 e nelle Osservazon del Captolo 3 abbamo gà ndcato le nnovazon che dventano dsponbl per tutt con l v-veneto. In partcolare: capre qual è la durata del fnanzamento ottmale partendo dalla ma capactà resttutva (mporto rata sostenble). Oltre a cò, partendo dal presupposto che l 6% è sempre mglore del 7%, ma quanto ncde sulla ma rata quel 1%? vale la pena lottare per 1%, per rsparmare poch euro, quando dopo le spese d ncasso rata, le spese d tenuta conto e d lqudazone trmestral vanno a ncdere molto d pù? Concentramoc dove l benefco è maggore! 3. Ma o non voglo usare approssmazon. R: Bene, nell appendce vene spegato che l v-veneto non è una costante ma una funzone, che dpende dal tasso perodco () e dal numero d rate (). Senza calcolars l valore d tale funzone ogn volta, s può usare la tabella ndcata alla fne del Captolo 1 a pag.16-17. Anch o facco così quando l mo computer è spento. 43
V veneto 4. Ma con excel posso calcolare la rata d un leasng? R: Sì, certo. Ma fa attenzone che n un leasng d 60 mes, l valore futuro non è l rscatto pagato al mese 61, ma l valore resduo al mese 60! Qund rcordat d ndcare come valore futuro = rscatto / ( 1+ tasso mensle). Ved esemp 4 e 5 del captolo 2. 5. Per rcavare l tasso mensle da quello annuo consder la captalzzazone semplce o composta? La dctura soltamente utlzzata ne contratt d mutuo o fnanzamento recta Gl nteress corrspettv sono calcolat per l numero de gorn effettvamente trascors e sulla base d un anno d trecentosessanta gorn. Quanto sopra porta a utlzzare la formula degl nteress semplc per passare dal tasso annuo a quello del perodo (detto unperodale). Pertanto un tasso del 6,00% comporterà l applcazone d nteress par allo 0,50% al mese (e non 0,4868%). Il tasso effettvo (composto) sarà pertanto del 6,168%, con un errore del 2,80% rspetto al tasso nomnale. Un errore ben maggore all approssmazone ntrodotta dal v-veneto (ved tabella pagg. 84-85). 44
5 5. Concluson. 45
V veneto L obettvo d questa dscussone è d dvulgare argoment utl a tutt ma con cu non è così facle avere una certa dmestchezza. D altra parte una relazone d due rghe avrebbe raggunto l obettvo, ma avrebbe fatto grdare allo scandalo matematc pù ncallt, pertanto l lbro prosegue con un appendce che rsulta alquanto corposa e parte ntegrante del trattato. Questa relazone derva dallo sprto che anma l Fsco e l Ingegnere: l Fsco osserva e cerca d comprendere, po l Ingegnere smonta l sstema, comprende l meccansmo e lo rmonta. Alla fne m pacerebbe vedere neoft affrontare quest d matematca fnanzara con una calcolatrce d carta, quella tpca calcolatrce con solo le quattro operazon fondamental. Come detto nella Premessa, ogg possamo dsporre d programm o funzon messe a dsposzone da excel, che sembrano fare tutto da sole. Rtengo che conoscere com è composta la rata d un fnanzamento, sa comunque una curostà da soddsfare. Graze per l attenzone Ing. Mauro Vettorello 46
6 6. L autore 47
V veneto Mauro Vettorello, Ingegnere Gestonale, è ttolare dello Studo Vettorello a Montagnana (Padova) e a Malo (Vcenza). S occupa d Panfcazone Fnanzara e Controllo d Gestone come Consulente per pccole e mede azende. ato e vssuto a Montagnana (Padova), consegue l dploma nel Lceo Scentfco d Este, partecpa alle Olmpad d Matematca, consegue anche l Dploma d Ragonere e s Laurea nel 2000 a 23 ann n Ingegnera Gestonale, presso l Unverstà degl Stud d Padova, sede d Vcenza. Dventa vcentno sposando la sua Slva. Vve n Veneto, dove ammra lo sprto mprendtorale e tenta d stmolarlo con l suo supporto. Deplora l dumpng socale e le speculazon fnanzare che stanno creando una svalorzzazone delle nostre mprese. Maggor nformazon su www.vettorello.t. 48
A1 A1. La scoperta. 49
V veneto L Appendce s pone l obettvo d convolgere l lettore nel percorso che ha portato alla luce questo fenomeno partcolare. Come gà detto, ch è arrvato alla fne del Captolo 5 può consderare l avventura computa con successo. E anche vero che sono certo e fducoso che molt s chederanno come m sono mbattuto n tale vveneto, se tale evento sa casuale o emprco, e come sa possble stmolare la curostà e lo sprto d rcercatore anche n altr ambt. Permettetem d consderare l v-veneto una scoperta, non tanto un nvenzone, come qualcuno ha voluto defnrla. Partendo da curose analoge che m s presentavano ogn volta che analzzavo alcun fnanzament agevolat, m sono chesto se c fossero de denomnator comun e, con ma sorpresa, m sono mbattuto n questa costante. Solo successvamente è nata questa grandezza matematca come rsultato d un anals e valutazon numerche. Da quel momento l v-veneto è stato per me un valdo alleato per veloczzare calcol, per trovare soluzon che prma m rchedevano procedment matematc compless. 50
A1 Per me l v-veneto è uguale a 0,533 (entro un opportuno ntervallo d applcazone). n = 0,533 Pù avant vedremo che n realtà l v-veneto è una funzone n due varabl, e, coè l tasso d nteresse e l numero d rate. Per rappresentare grafcamente l v-veneto, utlzzerò una v n corsvo, o la lettera n dell alfabeto greco, dsponble nel font symbol. Perché v-veneto? E facle nture che la scelta della lettera è da rcondurre all nzale del mo cognome, che è pure l logo del mo Studo. Veneto perché questa scoperta vuole essere un ulterore conferma che la creatvtà e lo sprto Veneto possono dare de frutt straordnar, basta coltvarl! 51
V veneto A2. Campo d applcazone. 52
A2 Il v-veneto vuole essere uno strumento per semplfcare contegg ne calcol d matematca fnanzara, n partcolare per l calcolo d una rata d un fnanzamento o d un leasng. Un mutuo o un fnanzamento, con ammortamento alla francese, è un pano fnanzaro che ha lo scopo d rmborsare un debto nzale tramte l pagamento d un numero d rate d uguale mporto, con uguale perodctà: esempo 60 rate mensl da 1.000 euro cascuna per rmborsare un debto d 50.000 euro al tasso del 7,42%. 53
V veneto Captale 50.000,00 tasso 7,42% numero rate 60 Rata 1.000,00 Un Leasng Fnanzaro è molto smle al fnanzamento, eccetto per l fatto che d solto prevede anche: una prma rata (chamata Antcpo) un rscatto ( pagata con l ultma rata o l mese successvo) Prendamo per esempo un leasng: mporto 50.000 antcpo 10.000 durata 60 mes rscatto 15.000 al mese 60 Per essere pratc, V dco subto che nell esempo sopra rportato, l Antcpo ( 10.000) non nflusce sulla Rata, perché l gorno stesso dell erogazone del Captale (es. 50.000), l Debto s è gà decurtato della rata nzale ( es. 50.000-10.000 = 40.000 ). Il rscatto nvece nflusce sulla rata da pagare, n quanto è un Debto che l debtore s mpegna a pagare alla fne del pagamento d tutte le 54
A2 altre rate ( es. dopo aver pagato 60 rate da 559,39 euro, corrsponde un saldo d 15.000 per chudere defntvamente l debto). Con l occasone ntroduco subto un termne (che non troverete su altr test): Dlazonato, par al Captale meno l Antcpo meno l Rscatto. Dlazonato 25.000 (nell esempo) Questo è appunto la somma dlazonata nel perodo d rmborso del fnanzamento, appunto perché l Antcpo vene pagato all nzo e l Rscatto alla fne. Qund nelle 60 rate dell esempo, sto resttuendo propro 25.000 euro dlazonat. Captale 50.000,00 Antcpo 10.000,00 Dlazonato 40.000,00 tasso 6,0% numero rate 60 Rata 559,39 Rscatto 15.000,00 55
V veneto ell esempo sopra ndcato, la Rata vene determnata dall mporto della somma Dlazonata e del Rscatto, ovvamente n correlazone con l tasso d nteresse applcato. Fnanzamento Rata Antcpo 10.000,00 Ø Dlazonato 25.000,00 R 1 416,67 R 2 67,72 Rscatto 15.000,00 R 3 75,00 50.000,00 559,39 56
A3 A3. Il v-veneto. 57
V veneto Questa è la formula uffcale per l calcolo della Rata d un fnanzamento o d un leasng. Molt d vo l hanno gà vsta, qualcuno forse se la rcorda, molt preferscono non applcarla drettamente, ma puttosto s prefersce avvalers d formule o programm che faccano da nterfacca. (1 ) R C (1 ) r 1 (1 ) 1 E possble rdurla ad una struttura pù semplce, come nella formula semplfcata vsta n precedenza? D R R1 R2 R3 ( ) ( D v) ( r ) Cosa sgnfca la formula semplfcata? 1. fnanzamento a tasso zero 2. costo bancaro 58
A3 3. nteress sul rscatto Questo l suo sgnfcato. La Rata ( R ) d un fnanzamento è par alla somma d: R 1 ) rata a tasso zero, mporto da pagare (Dlazonato, D) dvso l umero d rate (), dove D = Captale orgnaro (C) meno rscatto fnale (r, da corrspondere alla fne ) 59
V veneto R 2 ) costo bancaro, mporto Dlazonato, per tasso d nteresse del perodo ( ), per v-veneto (n) R 3 ) nteress sul rscatto, par al rscatto ( r ), per l tasso d nteresse del perodo Il sgnfcato de smbol utlzzat è: R: Rata del fnanzamento o del leasng : numero d rate C: Captale orgnaro, ossa l debto nzale (al netto dell eventuale rata antcpata corrsposta al momento dell erogazone del fnanzamento) r: rscatto fnale, ossa l mporto da corrspondere dopo le rate D: Dlazonato (termne conato per l occasone), par al captale che vene rmborsato nelle rate; è par al Captale orgnaro (C) meno rscatto fnale ( r ) : tasso d nteresse del perodo. Se le rate sono mensl, sarà l tasso annuo dvso 12; se le rate sono trmestral è un quarto del tasso annuale; ecc. n: v-veneto, possamo pensarlo come un valore costante (esempo par a 0,533 n realtà vedremo pù avant che è una funzone, ma per non complcarc la vta possamo dre che è un valore trovato nella tabella del captolo A8 a pag.78-79 ) 60
A3 Alcune osservazon: n un fnanzamento senza rscatto fnale ( r = 0), D = C (Captale orgnaro); n un fnanzamento con rata unca dopo mes (cosddetto bullet), dove D=0, coè pago tutto l captale alla fne, R 1 e R 2 = 0, qund R= r, coè pago solo gl nteress mensl (o trmestral, o annual); se c sono rate, l rscatto è nteso da pagars n corrspondenza alla rata numero ; se nvece l rscatto vene pagato dopo X perod, allora n rscatto da nserre nelle nostre formule (come pure n quella uffcale) è par a r = r X /(1+) X come gà mostrato n due esemp nel captolo 2. tutt gl esemp e formule rportate s rferscono a rate postcpate, coè da pagars alla fne del perodo d rfermento. In caso s vogla trattare un fnanzamento a rate antcpate, bast consderare che la prma rata non comprende nteress, pertanto la s può trattare come un antcpo e l fnanzamento dventa un fnanzamento a rate postcpate con una rata n meno. 61
V veneto 62
A4 A4. Formule matematche. 63
V veneto Questo captolo è stato aggunto n un secondo momento, per soddsfare le esgenze e possbl dubb de cultor della matematca. S vuole rasscurare che, seppur tale grandezza matematca è nata con un procedmento emprco, tuttava l v-veneto è una grandezza matematcamente valda e sostenble. Per passare subto alle concluson, s può affermare che l v-veneto è una funzone che dpende da due varabl: (tasso perodco, es. tasso mensle) (umero d rate). Il valore assunto da tale funzone è dsponble alla fne d questo captolo, ma cò che ha maggor mportanza e valenza è che utlzzando come l valore medo n= 0,533 l errore commesso è nferore al 2%, per operazon mensl fno a 10 ann e fno all 8%. 64
A4 65 La formula matematca che s vuole ntrodurre è molto pù semplce d quella uffcale, che è: 1 ) (1 1 ) (1 ) (1 r C R Questa è la formula ntrodotta dal v-veneto: ) ( ) ( ) ( r v D D R uguaglando le due equazon s ottene 1 ) (1 1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( r C r v D D R da cu rsulta la funzone che esprme l v-veneto: v 1 1 ) (1 1 1 Pertanto la formula orgnale può essere scrtta come
V veneto D R ( ) ( Dv) ( r ) dove n (, ) è una funzone nelle varabl tasso e numero d rate. Questa formula sembra tanto complessa come quella uffcale della Rata, ma allora qual è l vantaggo d conoscere questa funzone? L ndubbo vantaggo è d poter stampare questa funzone: nfatt essendo una funzone che dpende da due sole varabl, è possble stampare una tabella che ndca l valore del v-veneto per valor d e d nostro nteresse. Ved la tabella alla fne del captolo 1 a pag. 16-17. 66
A5 A5. Il rscatto d un leasng. 67
V veneto La formula matematca per l calcolo della Rata (R) per rmborsare l Captale (C) orgnaro erogato, con un rscatto fnale ( r ), è: (1 ) R C (1 ) r 1 (1 ) 1 Quanto ncde l rscatto? E dmostrable che l ncdenza del rscatto sulla Rata è par a r, analogamente a quanto accade n un fnanzamento bullet, dove l ntero captale vene pagato alla fne, e perodcamente (ogn mese o ogn trmestre) s pagano sol nteress. S consder un fnanzamento standard, come sopra, e un secondo dove l rscatto vene versato subto, qund con r B =0 e C B =C A -r A (coè l Captale del secondo fnanzamento è nferore al Captale del prmo propro per l mporto del rscatto del prmo fnanzamento). 68
A5 69 La seconda rata (R B ) rsulterà essere nferore alla prma (R A ). Infatt con le condzon sopra ndcate, la dfferenza dventa: 1 ) (1 ) (1 ) ( 1 ) (1 1 ) (1 ) (1 A A A A B A r C r C R R 1 ) (1 ) (1 1 ) (1 ) (1 1 ) 1 ( A A A B A r r r R R r r R R A A B A 1 ) (1 1 ) (1 Quanto sopra ndca che se con l secondo fnanzamento pago subto una somma (r A ) che nel prmo fnanzamento avre pagato alla fne, l rsultato è d avere una rata nferore solo gl nteress calcolat sul rscatto ( r A ). Con questo abbamo dmostrato come ncde l rscatto, qund per comodtà nella maggor parte degl esemp prendamo rscatto zero (r=0).
V veneto A6. Il Tasso zero 70
A6 Domanda: come camba la rata se anzché l tasso A, ho un tasso B par a zero? Partamo trovando la rata d un fnanzamento a tasso zero, consderando l rscatto par a zero, per le consderazon del captolo precedente. Sappamo tutt che n un fnanzamento a tasso zero, la rata è par al captale da rmborsare dvso n numero d rate (con B =0 R B =C/), ma qu dobbamo dmostrarlo. Calcolo l lmte per che tende a zero: (1 B ) B 10 lm B 0 C C (1 ) 1 11 B 0 0 Essendo ndefnto, calcolo la dervata prma delle due funzon. f '( x) lm g' ( x) B 0 (1 B ) (1 ) C (1 1 B 1 B ) B 1 0 C 1 C C R 71
V veneto A7. R 2 l Costo Bancaro. 72
A7 Domanda: come camba la rata se anzché l tasso A, ho un tasso B = ( A -1%)? In altre parole, rspetto a una rata a tasso zero, come ncdono gl nteress? E possble trovare una rappresentazone tale che gl nteress, per rata, sano proporzonal al Captale e al tasso stesso? R A R B (1 C (1 A A ) ) A (1 C 1 (1 B B ) ) B 1 Sappamo tutt che con B =0 R B =C/, e l abbamo dmostrato nel captolo precedente. Pertanto l equazone precedente dventa R A R B (1 A) C (1 ) A A 1 C Ma volendo esprmere la Rata come una Rata a tasso zero pù un qualcosa proporzonale al tasso e al Captale ( C n ), la dfferenza tra le due rate è propro par al prmo addendo. 73
74 V veneto v C C C R R B A 1 ) (1 ) (1 da cu 1 ) (1 ) (1 C C v C qund v 1 1 ) (1 ) (1 Da cu s rcava la funzone matematca del v-veneto: v 1 1 ) (1 1 1
A8 A8. Genealoga. 75
V veneto D seguto s vuole rpercorre passo dopo passo le fas che hanno portato a sceglere l valore attrbuto al v-veneto, n modo da poter essere utle per consderazon e mglorament. Rata per 100 d fnanzamento calcolata con metodo matematco tasso annuo: 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% ann rate tasso perodco ( ): Y 0,042% 0,083% 0,125% 0,167% 0,208% 0,250% 0,292% 0,333% 0,375% 0,417% 0,458% 0,500% 0,5 6 16,691 16,715 16,740 16,764 16,788 16,813 16,837 16,862 16,886 16,911 16,935 16,960 1 12 8,356 8,379 8,401 8,424 8,447 8,469 8,492 8,515 8,538 8,561 8,584 8,607 1,5 18 5,578 5,600 5,622 5,644 5,666 5,688 5,711 5,733 5,756 5,778 5,801 5,823 2 24 4,188 4,210 4,232 4,254 4,276 4,298 4,320 4,342 4,365 4,387 4,410 4,432 2,5 30 3,355 3,377 3,398 3,420 3,442 3,464 3,486 3,508 3,531 3,553 3,575 3,598 3 36 2,799 2,821 2,842 2,864 2,886 2,908 2,930 2,952 2,975 2,997 3,020 3,042 4 48 2,105 2,126 2,148 2,170 2,191 2,213 2,236 2,258 2,280 2,303 2,326 2,349 5 60 1,688 1,709 1,731 1,753 1,775 1,797 1,819 1,842 1,864 1,887 1,910 1,933 6 72 1,410 1,432 1,453 1,475 1,497 1,519 1,542 1,565 1,587 1,610 1,634 1,657 7 84 1,212 1,233 1,255 1,277 1,299 1,321 1,344 1,367 1,390 1,413 1,437 1,461 8 96 1,063 1,084 1,106 1,128 1,150 1,173 1,196 1,219 1,242 1,266 1,290 1,314 9 108 0,947 0,969 0,990 1,013 1,035 1,058 1,081 1,104 1,128 1,152 1,176 1,201 10 120 0,855 0,876 0,898 0,920 0,943 0,966 0,989 1,012 1,036 1,061 1,085 1,110 11 132 0,779 0,800 0,822 0,845 0,867 0,890 0,914 0,938 0,962 0,986 1,011 1,037 12 144 0,716 0,737 0,759 0,782 0,805 0,828 0,851 0,876 0,900 0,925 0,950 0,976 13 156 0,662 0,684 0,706 0,728 0,751 0,775 0,799 0,823 0,848 0,873 0,899 0,925 14 168 0,616 0,638 0,660 0,683 0,706 0,730 0,754 0,778 0,803 0,829 0,855 0,881 15 180 0,577 0,598 0,621 0,644 0,667 0,691 0,715 0,740 0,765 0,791 0,817 0,844 16 192 0,542 0,564 0,586 0,609 0,632 0,656 0,681 0,706 0,732 0,758 0,784 0,811 17 204 0,511 0,533 0,556 0,579 0,602 0,626 0,651 0,676 0,702 0,729 0,756 0,783 18 216 0,484 0,506 0,529 0,552 0,575 0,600 0,625 0,650 0,676 0,703 0,730 0,758 19 228 0,460 0,482 0,504 0,528 0,551 0,576 0,601 0,627 0,653 0,680 0,708 0,736 20 240 0,438 0,460 0,483 0,506 0,530 0,555 0,580 0,606 0,633 0,660 0,688 0,716 21 252 0,418 0,440 0,463 0,486 0,510 0,535 0,561 0,587 0,614 0,642 0,670 0,699 22 264 0,400 0,422 0,445 0,469 0,493 0,518 0,544 0,570 0,597 0,625 0,654 0,683 23 276 0,384 0,406 0,429 0,452 0,477 0,502 0,528 0,555 0,582 0,610 0,639 0,669 24 288 0,369 0,391 0,414 0,437 0,462 0,488 0,514 0,541 0,568 0,597 0,626 0,656 25 300 0,355 0,377 0,400 0,424 0,449 0,474 0,501 0,528 0,556 0,585 0,614 0,644 30 360 0,299 0,322 0,345 0,370 0,395 0,422 0,449 0,477 0,507 0,537 0,568 0,600 35 420 0,260 0,282 0,306 0,331 0,357 0,385 0,413 0,443 0,473 0,505 0,537 0,570 40 480 0,230 0,253 0,277 0,303 0,330 0,358 0,387 0,418 0,450 0,482 0,516 0,550 45 540 0,207 0,230 0,255 0,281 0,309 0,338 0,368 0,400 0,432 0,466 0,501 0,536 50 600 0,188 0,212 0,237 0,264 0,292 0,322 0,353 0,386 0,419 0,454 0,490 0,526 76
A8 Dapprma s è voluto stampare una tabella con la rata d un fnanzamento, calcolato con l metodo matematco, per 100 euro d captale orgnaro, con rate mensl, per un ntervallo d durata da 1 a 50 ann, e tasso annuo da 0,5% a 12%. Rata per 100 d fnanzamento calcolata con metodo matematco 6,5% 7,0% 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% 9,5% 10,0% 10,5% 11,0% 11,5% 12,0% ann rate 0,542% 0,583% 0,625% 0,667% 0,708% 0,750% 0,792% 0,833% 0,875% 0,917% 0,958% 1,000% Y 16,984 17,009 17,033 17,058 17,082 17,107 17,132 17,156 17,181 17,205 17,230 17,255 0,5 6 8,630 8,653 8,676 8,699 8,722 8,745 8,768 8,792 8,815 8,838 8,862 8,885 1 12 5,846 5,868 5,891 5,914 5,937 5,960 5,983 6,006 6,029 6,052 6,075 6,098 1,5 18 4,455 4,477 4,500 4,523 4,546 4,568 4,591 4,614 4,638 4,661 4,684 4,707 2 24 3,620 3,643 3,666 3,689 3,712 3,735 3,758 3,781 3,804 3,828 3,851 3,875 2,5 30 3,065 3,088 3,111 3,134 3,157 3,180 3,203 3,227 3,250 3,274 3,298 3,321 3 36 2,371 2,395 2,418 2,441 2,465 2,489 2,512 2,536 2,560 2,585 2,609 2,633 4 48 1,957 1,980 2,004 2,028 2,052 2,076 2,100 2,125 2,149 2,174 2,199 2,224 5 60 1,681 1,705 1,729 1,753 1,778 1,803 1,827 1,853 1,878 1,903 1,929 1,955 6 72 1,485 1,509 1,534 1,559 1,584 1,609 1,634 1,660 1,686 1,712 1,739 1,765 7 84 1,339 1,363 1,388 1,414 1,439 1,465 1,491 1,517 1,544 1,571 1,598 1,625 8 96 1,225 1,251 1,276 1,302 1,328 1,354 1,381 1,408 1,435 1,463 1,490 1,518 9 108 1,135 1,161 1,187 1,213 1,240 1,267 1,294 1,322 1,349 1,378 1,406 1,435 10 120 1,062 1,088 1,115 1,142 1,169 1,196 1,224 1,252 1,280 1,309 1,338 1,368 11 132 1,002 1,028 1,055 1,082 1,110 1,138 1,166 1,195 1,224 1,254 1,283 1,313 12 144 0,951 0,978 1,005 1,033 1,061 1,090 1,119 1,148 1,178 1,208 1,238 1,269 13 156 0,908 0,935 0,963 0,991 1,020 1,049 1,078 1,108 1,138 1,169 1,200 1,231 14 168 0,871 0,899 0,927 0,956 0,985 1,014 1,044 1,075 1,105 1,137 1,168 1,200 15 180 0,839 0,867 0,896 0,925 0,954 0,985 1,015 1,046 1,077 1,109 1,141 1,174 16 192 0,811 0,840 0,869 0,898 0,928 0,959 0,990 1,021 1,053 1,085 1,118 1,151 17 204 0,787 0,816 0,845 0,875 0,905 0,936 0,968 1,000 1,032 1,065 1,098 1,132 18 216 0,765 0,794 0,824 0,855 0,885 0,917 0,949 0,981 1,014 1,047 1,081 1,115 19 228 0,746 0,775 0,806 0,836 0,868 0,900 0,932 0,965 0,998 1,032 1,066 1,101 20 240 0,728 0,758 0,789 0,820 0,852 0,885 0,917 0,951 0,985 1,019 1,054 1,089 21 252 0,713 0,743 0,775 0,806 0,838 0,871 0,904 0,938 0,973 1,007 1,042 1,078 22 264 0,699 0,730 0,761 0,793 0,826 0,859 0,893 0,927 0,962 0,997 1,033 1,069 23 276 0,687 0,718 0,750 0,782 0,815 0,849 0,883 0,917 0,952 0,988 1,024 1,060 24 288 0,675 0,707 0,739 0,772 0,805 0,839 0,874 0,909 0,944 0,980 1,016 1,053 25 300 0,632 0,665 0,699 0,734 0,769 0,805 0,841 0,878 0,915 0,952 0,990 1,029 30 360 0,604 0,639 0,674 0,710 0,747 0,784 0,822 0,860 0,898 0,937 0,976 1,016 35 420 0,585 0,621 0,658 0,695 0,733 0,771 0,810 0,849 0,889 0,928 0,968 1,008 40 480 0,573 0,610 0,647 0,686 0,724 0,764 0,803 0,843 0,883 0,923 0,964 1,005 45 540 0,564 0,602 0,640 0,679 0,719 0,759 0,799 0,839 0,880 0,921 0,961 1,003 50 600 77
V veneto Quanto sopra non è molto sgnfcatvo. Ma provamo ora a dvdere tale rata per l numero d ann, ottenendo l Totale nteress all anno per 100 euro d fnanzamento. Totale nteress /anno per 100 d fnanzamento tasso annuo: 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% ann rate tasso perodco ( ): Y 0,042% 0,083% 0,125% 0,167% 0,208% 0,250% 0,292% 0,333% 0,375% 0,417% 0,458% 0,500% 0,5 6 0,292 0,584 0,876 1,168 1,461 1,754 2,047 2,340 2,633 2,927 3,221 3,515 1 12 0,271 0,542 0,814 1,087 1,359 1,632 1,906 2,180 2,454 2,729 3,004 3,280 1,5 18 0,264 0,529 0,794 1,061 1,327 1,595 1,862 2,131 2,400 2,670 2,940 3,211 2 24 0,261 0,522 0,785 1,048 1,312 1,577 1,843 2,110 2,377 2,646 2,915 3,185 2,5 30 0,259 0,519 0,780 1,042 1,305 1,569 1,834 2,100 2,367 2,635 2,904 3,175 3 36 0,258 0,516 0,776 1,038 1,300 1,564 1,829 2,095 2,363 2,632 2,902 3,173 4 48 0,256 0,514 0,773 1,034 1,297 1,561 1,827 2,095 2,364 2,635 2,908 3,182 5 60 0,255 0,512 0,772 1,033 1,297 1,562 1,830 2,100 2,372 2,645 2,921 3,199 6 72 0,255 0,512 0,772 1,034 1,299 1,566 1,835 2,108 2,382 2,659 2,939 3,221 7 84 0,254 0,512 0,772 1,035 1,301 1,570 1,842 2,117 2,394 2,675 2,958 3,245 8 96 0,254 0,512 0,773 1,037 1,305 1,575 1,850 2,127 2,408 2,692 2,979 3,270 9 108 0,254 0,512 0,774 1,039 1,308 1,581 1,858 2,138 2,422 2,710 3,001 3,296 10 120 0,254 0,512 0,775 1,042 1,312 1,587 1,866 2,149 2,437 2,728 3,023 3,322 11 132 0,254 0,513 0,776 1,044 1,317 1,594 1,875 2,161 2,452 2,746 3,046 3,350 12 144 0,254 0,513 0,778 1,047 1,321 1,600 1,884 2,173 2,467 2,765 3,069 3,377 13 156 0,254 0,514 0,779 1,050 1,326 1,607 1,893 2,185 2,482 2,784 3,092 3,404 14 168 0,254 0,515 0,781 1,053 1,330 1,613 1,903 2,197 2,498 2,804 3,115 3,432 15 180 0,255 0,515 0,782 1,055 1,335 1,620 1,912 2,210 2,513 2,823 3,138 3,460 16 192 0,255 0,516 0,784 1,058 1,340 1,627 1,921 2,222 2,529 2,842 3,162 3,487 17 204 0,255 0,517 0,785 1,061 1,344 1,634 1,931 2,234 2,545 2,862 3,185 3,515 18 216 0,255 0,517 0,787 1,064 1,349 1,641 1,940 2,247 2,560 2,881 3,208 3,542 19 228 0,255 0,518 0,789 1,068 1,354 1,648 1,950 2,259 2,576 2,900 3,231 3,570 20 240 0,255 0,519 0,791 1,071 1,359 1,655 1,960 2,272 2,592 2,919 3,255 3,597 21 252 0,255 0,519 0,792 1,074 1,364 1,662 1,969 2,284 2,607 2,939 3,278 3,624 22 264 0,256 0,520 0,794 1,077 1,369 1,669 1,979 2,297 2,623 2,958 3,301 3,651 23 276 0,256 0,521 0,796 1,080 1,374 1,676 1,988 2,309 2,639 2,977 3,324 3,678 24 288 0,256 0,522 0,797 1,083 1,378 1,683 1,998 2,322 2,654 2,996 3,346 3,705 25 300 0,256 0,522 0,799 1,086 1,383 1,691 2,007 2,334 2,670 3,015 3,369 3,732 30 360 0,257 0,526 0,808 1,102 1,408 1,726 2,055 2,396 2,747 3,109 3,480 3,861 35 420 0,258 0,530 0,817 1,118 1,433 1,761 2,102 2,456 2,822 3,199 3,587 3,985 40 480 0,259 0,534 0,826 1,134 1,457 1,796 2,149 2,515 2,895 3,286 3,689 4,103 45 540 0,260 0,538 0,835 1,150 1,482 1,830 2,194 2,573 2,965 3,370 3,786 4,213 50 600 0,261 0,542 0,844 1,165 1,506 1,864 2,238 2,628 3,033 3,450 3,878 4,317 78