Considerazioni sui parametri di Stokes e sulla sfera di Poincarrè

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1 Considerazioni sui parametri di Stokes e sulla sfera di Poincarrè 1 giugno 014 Sommario In questi brevi appunti si cercheranno di eettuare alcune considerazioni riguardanti la rappresentazione dello stato di polarizzazione di un campo tramite i parametri di Stokes ed il signicato sico della sfera di Poincarrè e delle traiettorie su di essa. In particolar modo si introdurranno i parametri di Stokes e si vedrà come essi possano essere messi in relazione con i vettori di Jones e la loro rappresentazione della polarizzazione di un campo. Si introdurrà, dunque, la sfera di Poincarrè che descrive tutti i possibili stati di polarizzazione totale (punti della supercie sferica) o parziale (punti interni). Ci si soermerà, quindi, sullo studio di alcune possibili traiettorie lungo tale supercie sferica e si metterà ciò in relazione con le eettive variazioni del campo che esse rappresentano. Indice 1 I parametri di Stokes 1.1 Denizione Relazione con il campo elettrico E Radiazione totalmente o parzialmente polarizzata La sfera di Poincarrè 5.1 Luoghi geometrici notevoli Traiettoria lungo i paralleli Traiettoria lungo i meridiani Lamina λ/ Variazione della fase relativa

2 1 I parametri di Stokes In primo luogo è bene eettuare alcune considerazioni riguardo le basi nello spazio dei vettori di Jones con cui è possibile descrivere una generica polarizzazione (totale). E' immediato vericare come, per un generico vettore E (E x, E y ), valgano le seguenti formule. A) Base H, V: E EH ( 1 0 ) + E V ( 0 1 ) Formula 1 In cui si sono indicati: E H E x E V E y B) Base +45, -45 rispetto H: ( ) E E + E ( ) Formula In cui si sono indicati: E +45 E x + E y E 45 E x E y C) Base polarizzazione circolare Sinistra, Destra: ( ) E S 1 E + E ( ) D 1 Formula 3 i i In cui si sono indicati: E S E x ie y E D E x + ie y Tali formule possono essere facilmente ricavate utilizzando le matrici di cambiamento di base oppure, in alterniva, imponendo le uguaglianze vettoriali e risolvendo il sistema nei coecienti incogniti. In ogni caso tali relazioni saranno molto utili per comprendere quanto seguirà. 1.1 Denizione Possiamo dunque procedere nel denire i parametri di Stokes. Si ha: 4.1) S 0 I 0 4.) S 1 I 1 I 0 Formula 4 4.3) S I I 0 4.4) S 3 I 3 I 0

3 I 0 intensità della radiazione luminosa in esame, senza che subisca alcuna alterazione. I 1 intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale) H (oppure V, la scelta è convenzionale). Nel nostro caso si denirà come la componente H. I intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale) a 45 (o -45 ) rispetto ad H o V. Nel nostro caso si sceglierà la componente a 45 rispetto ad H. I 3 intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale) che lasci passare solamente la componente polarizzata circolarmente sinistra (o destra). Nel nostro caso sarà la componente S. Tali intensità I k (k1...3) sono denite proiettando il vettore E in una particolare base (H,V / +45,-45 / S,D) e selezionando solamente una delle due componenti (la prima componente, coerentemente con quanto denito). I parametri S 1, S, S 3 ci danno dunque un'indicazione di quanto il tipo di polarizzazione che rappresentano contribuisca alla polarizzazione totale. Alla luce di quanto detto nel paragrafo precedente, allora, diviene facile mettere in relazione tali parametri di Stokes con le componenti del campo. 1. Relazione con il campo elettrico E Consideriamo le componenti E x,e y del campo E. Possiamo scrivere: E x Re[E xo e i( k r ωt+φ x) ] E y Re[E yo e i( k r ωt+φ y) ] In cui poniamo E xo, E yo costanti, in quanto tali dipendenze temporali non risultano particolarmente signicative nelle considerazioni successive. Ad ogni modo, a partire da tali relazioni, possiamo procedere nel calcolare i parametri di Stokes deniti in precedenza. In primo luogo si ricordi che una generica intensità è denita come I < E >, dove la media è eettuata su un tempo di misura molto più lungo (a meno di casi particolari) del periodo di oscillazione del campo. A partire dalle formule 1,,3 e dalle denizioni in formula 4 possiamo allora scrivere: 5.1) I 0 < E > < E xo > + < E yo > E xo + E yo 5.) I 1 < E H > E xo 5.3) I < E 45 > 1 (E xo + E yo) + < E xo E yo cos(φ) > 5.4) I 3 < E S > 1 (E xo + E yo) + < E xo E yo sin(φ) > Formula 5 Nelle quali si è usato il fatto che i vettori di base sono stati deniti normalizzati e in cui si è indicato φ φ y φ x, fase relativa. 3

4 Dimostriamo in particolar modo le formule 5.3 e 5.4: 5.3) < E 45 > < E x + E y > < (E x + E y ) (E x + E y ) > < (E xo e i( k r ωt+φx) + E yo e i( k r ωt+φ y) ) (E xo e i( k r ωt+φ x) + E yo e i( k r ωt+φ y) ) > < E xo + E yo + E xo E yo e i(φy φx) + E xo E yo e i(φy φx) > (E xo + Eyo) + < E xo E yo cos(φ) > 5.4) < E S > < E x ie y > < (E x ie y ) (E x + ie y ) > < (E xo e i( k r ωt+φx) ie yo e i( k r ωt+φ y) ) (E xo e i( k r ωt+φ x) + ie yo e i( k r ωt+φ y) ) > < E xo + E yo ie xo E yo e i(φy φx) + ie xo E yo e i(φy φx) > < E xo + E yo > + < E xoe yo e i(φy φx) E xo E yo e i(φy φx) > i (Exo + Eyo) + < E xo E yo sin(φ) > A questo punto, a partire dalle relazioni in formula 5, è immediato vericare (tramite la formula 4) la validità delle seguenti uguaglianze: 6.1) S 0 I 0 E xo + E yo 6.) S 1 I 1 I 0 E xo E yo 6.3) S I I 0 < E xo E yo cos(φ) > 6.4) S 3 I 3 I 0 < E xo E yo sin(φ) > Formula 6 4

5 1.3 Radiazione totalmente o parzialmente polarizzata Possiamo, ora, sviluppare alcune considerazioni a partire dalle espressioni in formula 6. In particolar modo sottolineiamo come la fase relativa sia, in linea generale, una funzione del tempo φ(t). L'integrazione di media temporale avviene su un tempo T di osservazione molto maggiore del periodo di oscillazione del campo. Al limite si considera matematicamente T. Consideriamo ora il caso in cui tra le due componenti del campo vi sia un tempo di coerenza τ pari o superiore al tempo T (dunque, al limite, una radiazione ideale che abbia un τ ). Ciò vuol dire che la fase relativa φ rimane costante nell'integrazione temporale e quindi si ha: S 1 + S + S 3 S 0 Formula 7 in quanto cos φ + sin φ 1. Questi casi sono detti di radiazione totalmente polarizzata. Nel caso, invece, in cui la radiazione sia reale, e quindi il tempo di coerenza τ << si avrà che solo i brevi intervalli di integrazione in cui i campi sono in fase contribuiranno costruttivamente all'integrale, mentre gli altri avranno alla ne media nulla. Pertanto si avrà: S 1 + S + S 3 < S 0 Formula 8 in quanto (< cos φ + sin φ >) < 1. Questi casi sono detti di radiazione parzialmente polarizzata. La sfera di Poincarrè A questo punto è utile ricordare le formule che descrivevano una generica polarizzazione in funzione dei parametri ψ ed ɛ, rispettivamente inclinazione e larghezza dell'ellisse descritta dal vettore E in un periodo di oscillazione (si veda la gura 1). Si ha: Figura 1: Parametri dell'ellisse 5

6 9.1) a + b E xo + E yo 9.) ± ab E xo E yo sin(φ) 9.3) tg(ψ) E xoe yo Exo Eyo cos(φ) Formula 9 9.4) sin(ɛ) E xoe yo Exo + Eyo sin(φ) A partire dalle relazioni in formula 9 è possibile riscrivere i parametri di Stokes in funzione di ψ e ɛ. In particolar modo è possibile ricavare le uguaglianze in formula 10: 10.1) S 1 S 0 cos(ɛ)cos(ψ) 10.) S S 0 cos(ɛ)sin(ψ) 10.3) S 3 S 0 sin(ɛ) Formula 10 Tali equazioni di fatto deniscono un trivettore di componenti (S 1, S, S 3 ) espresso in coordinate polari. Si faccia attenzione al fatto che i termini cos(ɛ) e sin(ɛ) sono di fatto invertiti rispetto ad una normale rappresentazione in coordinate polari. Ciò in quanto ɛ 90 β con β angolo denito tra il vettore (S 1, S, S 3 ) e l'asse S 3. Una rappresentazione di tale vettore è mostrata in gura. Figura : Sfera di Poincarrè 6

7 Per dimostrare le relazioni in formula 10 utilizzeremo le seguenti uguaglianze trigonometriche: 11.1) sin(α) tg(α) 1 + tg (α) 11.) cos(α) tg (α) 11.3) cos(α) 1 sin (α) Formula 11 Dimostrazione formula 10: (Si prendano in considerazione le formule ) 10.1) S 0 cos(ɛ)cos(ψ) (Exo + Eyo) 1 sin 1 (ɛ) 1 + tg (ψ) (E xo + E yo) 1 ( E xoe yo sinφ Exo + Eyo ) ( E xoe yo Exo Eyo cos(φ)) E 4 (Exo+E yo) xo + Eyo 4 + ExoE yo 4ExoE yosin φ Exo + Eyo Exo Eyo Exo 4 + Eyo 4 ExoE yo + 4ExoE yocos φ Exo 4 + Eyo 4 + ExoE yo(1 sin φ) Exo 4 + Eyo 4 + ExoE yo( 1 + cos φ) (E xo Eyo) Exo Eyo S 1 Poichè: 1 sin φ 1 + cos φ 10.) S 0 cos(ɛ)sin(ψ) (Exo + Eyo) 1 sin tg(ψ) (ɛ) 1 + tg (ψ) (E xo + E yo) 1 ( E xoe yo sinφ E xo + E yo ) E xo E yo Exo Eyo cos(φ) 1 + ( E xoe yo Exo Eyo cos(φ)) E xoe yo Exo Eyo cos(φ)(exo Eyo) E xo E yo cos(φ) S 10.3) S 0 sin(ɛ) (E xo + E yo) E xo E yo Exo + Eyo sin(φ) E xo E yo sin(φ) S 3 Si sottolinea allora il fatto che un qualsiasi stato di polarizzazione può essere descritto tramite un vettore (S 1, S, S 3 ). Per quanto detto nella sezione 1., 7

8 tutti i punti sulla sfera di raggio S 0 descrivono stati di polarizzazione totale, mentre i punti interni descrivono gli stati di polarizzazione parziale (formule 7-8). Tale sfera viene denita sfera di Poincarrè. Generalmente i parametri S i (i1...3) vengono normalizzati a S 0 e lo stato di polarizzazione viene descritto tramite il quadrivettore in formula 1: S 0 /S 0 S 1 /S 0 S /S 0 S 3 /S 0 1 S 1 /S 0 S /S 0 S 3 /S 0 Formula 1.1 Luoghi geometrici notevoli Ci porremo (ora e per le considerazioni successive) nel caso di polarizzazione totale, ossia lungo la sfera di Poincarrè. Analizziamo ora alcuni luoghi geometrici, lungo la sfera, di paricolare interesse. In primo luogo abbiamo i punti (gura 3): Figura 3: Luoghi geometrici notevoli (1,±1,0,0) (blu in gura 3): deniscono quegli stati di polarizzazione in cui il campo risulta polarizzato H (+) oppure V (-). (1,0,±1,0) (verde in gura 3): campo polarizzato a +45 (+) oppure -45 (-). (1,0,0,±1) (rosso in gura 3): campo polarizzato S (+) oppure D (-). Si vogliono, inoltre, sottolineare i seguenti luoghi geometrici: Equatore: (1, a, b, 0) con a + b 1 ɛ 0: in riferimento alla gura 1 si comprende immediatamente come essi deniscano gli stati di polarizzazione lineare. L'angolo di polarizzazione è denito da ψ. Meridiano sul piano S, S 3 : (1, 0, a, b) con a + b 1 ψ 90 ψ 45 : generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile 8

9 (ɛ) ma orientate a 45 rispetto all'asse x (gura 1). Meridiano sul piano S 1, S 3 : (1, a, 0, b) con a + b 1 ψ 0 : generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile (ɛ) ma orientate parallelamente all'asse x. Paralleli: ɛ cost generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse ssata ma orientazione variabile. Meridiani: ψ cost generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile ed angolo di orientazione ssato.. Traiettoria lungo i paralleli Come osservato nel paragrafo precedente, i paralleli rappresentano quegli stati di polarizzazione che hanno in comune la stessa larghezza dell'ellisse di polarizzazione (ɛ), ma orientati ad angoli ψ dierenti. Vogliamo ora trovare un modo sperimentale che ci permetta di variare la polarizzazione in modo tale da muoverci lungo un parallelo con continuità. Ciò è facilmente ottenibile per mezzo di una lamina λ/ orientata ad un angolo θ (che va variato con continuità) rispetto all'orientazione del campo. Si ha infatti che la matrice di Jones di una lamina λ/ ad angolo θ risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) cosθ sinθ 1 0 cosθ sinθ cosθ sinθ T λ/,θ sinθ cosθ 0 1 sinθ cosθ sinθ cosθ che corrisponde proprio alla rotazione di un angolo θ. Variando con continuità l'orientazione di tale lamina è quindi possibile variare ψ mantenendo ɛ costante, ossia muoversi lungo un parallelo..3 Traiettoria lungo i meridiani Possiamo ora analizzare un caso più particolare, quello di una traiettoria lungo un generico meridiano..3.1 Lamina λ/4 In primo luogo ci si potrebbe chiedere se sia possibile ottenere tale risultato variando con continuità l'orientazione di una lamina λ/4, in analogia con quanto visto nel paragrafo precedente. La risposta però è negativa, come si proverà ora ad analizzare. In primo luogo la matrice di Jones per una lamina λ/4 ad angolo θ risulta: ( ) ( ) ( ) cosθ sinθ 1 0 cosθ sinθ T λ/4,θ sinθ cosθ 0 i sinθ cosθ ( ) 1 + (i 1)sin θ sinθcosθ(i 1) sinθcosθ(i 1) 1 + (i 1)cos θ Partiamo allora dal punto della sfera di Poincarrè (1,0,1,0) ossia una polarizzazione a +45 (1,1). Applicando tale matrice si ottiene: 9

10 ( 1 + (i 1)sin θ sinθcosθ(i 1) sinθcosθ(i 1) 1 + (i 1)cos θ) ( 1 1 ( ) 1 sin θ sinθcosθ + i(sin θ + sinθcosθ) 1 cos θ sinθcosθ + i(cos θ + sinθcosθ) ( ) cos θ sinθcosθ + i(sin θ + sinθcosθ) sin θ sinθcosθ + i(cos θ + sinθcosθ) ( ) cosθ(cosθ sinθ) + isinθ(sinθ + cosθ) sinθ(cosθ sinθ) + icosθ(sinθ + cosθ) ) ( 1 + (i 1)sin θ + sinθcosθ(i 1) sinθcosθ(i 1) (i 1)cos θ ) Calcoliamo allora: A) E xo [cosθ(cosθ sinθ)] + [sinθ(sinθ + cosθ)] cos θ(cos θ + sin θ cosθsinθ) + sin θ(cos θ + sin θ + cosθsinθ) cos 4 θ + cos θsin θ cos 3 θsinθ + sin 4 θ + cos θsin θ + cosθsin 3 θ cos θ(cos θ + sin θ) + sin θ(cos θ + sin θ) cosθsinθ(cos θ sin θ) 1 sin(4θ) B) E yo [sinθ(cosθ sinθ)] + [cosθ(sinθ + cosθ)] 1 + sin(4θ) (analogamente) C) φ φ y φ x cosθ(sinθ + cosθ) sinθ(sinθ + cosθ) sinθ(sinθ cosθ) cosθ(sinθ cosθ) (sinθ + cosθ) (sinθ cosθ)(sinθcosθ) A questo punto possiamo riprendere la formula 9.3. Anchè si abbia una traiettoria lungo un meridiano (ruotando con continuità la lamina λ/4) si dovrebbe avere che ψ rimanga costante al variare di θ, mentre vari ɛ. Da quanto appena visto si ha invece: tg(ψ) E xoe yo Exo Eyo cos(φ) 1 sin (4θ) 4 (sinθ + cosθ) cos( (sinθ cosθ)(sinθcosθ) ) Da cui, ovviamente, ψ θ 0. Dunque il moto così ottenuto varia al contempo ɛ e ψ con una dipendenza da θ, peraltro, molto complessa. Si ottiene quindi un moto ondulato lungo la sfera di Poincarrè ben dierente dal semplice moto lungo un meridiano. 10

11 .3. Variazione della fase relativa E' possibile, a questo punto, studiare una dierente modalità per ottenere una traiettoria lungo un meridiano. L'idea è quella di variare con continuità la fase relativa φ tra le due componenti del campo, al ne di ottenere una variazione di ɛ mantenedo ψ costante. Sperimentalmente ciò è ottenibile in diversi modi, grazie ad apparati che introducono una dierenza di cammino ottico (e dunque di fase) tra E x ed E y, oppure materiali che variano φ in maniera proporzionale ad un voltaggio applicato. In ogni caso, come vedremo, per alcune traiettorie tale metodo darà buoni risultati, mentre in altre situazioni non si otterrà il risultato sperato. 1) In primo luogo ci poniamo nel punto (1,0,±1,0), corrispondente ad una polarizzazione ±45. Il fattore fondamentale, come si vedrà a breve, è che per questo tipo di polarizzazione vale la condizione E xo E yo. Riprendiamo, allora, le formule 9.3 e 9.4. Dalla 9.4: sin(ɛ) E xoe yo Exo + Eyo sin(φ) sin(φ), nel caso in questione. Dalla 9.3: tg(ψ) E xoe yo Exo Eyo cos(φ) φ E xo E yo Dunque si osserva immediatamente come, partendo dal punto (1,0, ±1,0) e spostandosi lungo la sfera di Poincarrè grazie all'introduzione di una dierenza di fase φ si eettua un salto in un altro punto dello stesso meridiano, ossia ɛ varia ma ψ ±45 cost. ) Procediamo ora lungo la traiettoria. Introduciamo una dierenza di fase innitesima δφ e ci spostiamo così dal punto (1,0,±1,0) di partenza, lungo il meridiano. Vogliamo ora eettuare un altro salto innitesimo a partire però da questo nuovo stato di polarizzazione. In linea generale non è detto a priori che la proprietà osservata in precedenza (ψ cost nello spostamento) si mantenga anche in questo caso. Osserviamo però che il primo salto innitesimo ha lasciato ψ ±45 cost. Ciò vuol dire che la condizione E xo E yo è ancora valida per lo stato di polarizzazione ottenuto dopo il primo piccolo spostamento. Pertanto quanto detto in precedenza resta valido anche ora, e da qui per ogni nuovo salto innitesimo. Dunque tale traiettoria resterà vincolata al meridiano di partenza, quello passante per S. Facendo tendere δφ 0 si ottiene proprio il moto continuo lungo il meridiano, come desiderato. 3) Alla luce di quanto detto risulta evidente come, partendo da un qualsiasi punto (1, 0, a, b) con a + b 1 e variando φ con continuità, si otterrà la traiettoria voluta. 4) Tale risultato, ad ogni modo, non vale per un meridiano qualsiasi. Prendiamo in analisi, ad esempio, i punti (1, ±1, 0, 0) come punto di partenza. Ciò che si sta facendo, nel nostro caso, è variare la fase relativa φ tra le componenti E x ed E y del campo. Questi due punti corrispondono a polarizzazioni H o V ossia (1, 0) oppure (0, 1). Si intuisce immediatamente come la variazione di φ non cambi minimamente la polarizzazione, in quanto gli stati di partenza possiedono solo 11

12 una delle due componenti. In questo caso, dunque, tale metodo non permette neanche di spostarsi dal punto di partenza. 5) Nel caso in cui si parta da un qualsiasi altro punto della sfera di Poincarrè dierente da quelli già analizzati si osserva immediatamente dalle formule 9.3 e 9.4 che una variazione di φ produrrà, necessariamente, una variazione sia di ɛ che di ψ. Si otterrà dunque, analogamente al caso della lamina λ/4, un moto ondulato lungo la sfera che dipenderà in maniera complicata dal valore di φ. 6) Si vogliono inne analizzare le traiettorie ottenute partendo da uno dei due poli. tali punti risultano critici dal punto di vista matematico, in quanto il valore di ψ non è denito. Si ha infatti che φ π cosφ 0 ma, al tempo stesso, E xo E yo. Pertanto si avrà una forma indeterminata nella formula 9.3. Ad ogni modo, sicamente, tale fattore non è un problema. Se infatti si prende della luce polarizzata destra o sinistra e si applica ad essa una variazione di fase φ si otterrà una radiazione per la quale la condizione E xo E yo continua a valere, mentre, essendo ora cosφ 0, ψ ha acquisito un preciso valore, pari proprio a ±45 con il segno stabilito dalla variazione di φ. In conclusione si vuole sottolineare come il tempo di coerenza di una radiazione reale, per quanto possa essere lungo, non sarà mai innito. Aumentare la dierenza di fase φ dunque introdurrà una certa incoerenza che farà si che ci si sposti anche verso l'interno della sfera di Poincarrè. Ad ogni modo se il ritardo, introdotto dalla variazione di φ, tra le due componenti del campo si mantiene trascurabile rispetto al tempo di coerenza si può considerare che la traiettoria si mantiene praticamente tutta sulla stessa supercie sferica. 1