ESERCIZIO E.1: Il circuito mostrato in figura 1 opera in regime sinusoidale. Nell ipotesi in cui l operazionale sia ideale, si desidera: a)

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1 EE E.: l cicuio mosao in figua opa in gim sinusoidal. ll iposi in cui l opazional sia idal, si dsida: a dmina la funzion di H fa i fasoi dlla con dlla nsion dl gnao idal ; b dmina, nll iposi in cui, la lazion ch dv sussis fa i valoi di componni induanza, capacià sisnza affinché il numao dlla funzion di H, già calcolaa al puno a sia cosiuio dal numo al, qualunqu sia la pulsazion angola > ; c giusifica i valoi di H p. ª Pova in in 8 luglio figua figua a l cicuio di figua può ss idisgnao scondo lo schma mosao in figua a col qual si innd chiaamn vidnzia ch l amplificao opazional, ami il blocco cosiuio dal collgamno in paalllo dlla sisnza dl condnsao, si ova azionao ngaivamn isula connsso, poi, nlla ipica configuazion diffnzial. ndicaa con P l impdnza quivaln dl collgamno paalllo di cui sopa si è faa mnzion si pvin alla sgun sciua: P P n conclusion si oin la lazion: P, inol è: l ichiamo a quano è sabilio dalla lazion cosiuiva affn l opazional connsso nlla configuazion di amplificao diffnzial, consn di laziona com di sguio vin spliciao: v P P v P P osiundo all impdnza quivaln paalllo P la su spssion, si oin: v o svolgimno di ncssai passaggi algbici dll dovu smplificazioni ndono splici l sguni lazioni: [ ]

2 applicazion dlla lgg di hm alla sisnza in ifimno ai vsi coodinai di figua consn di dfini la posizion sgun: Aso quano pmsso, in ossquio alla dfinizion cosiuiva di unzion di si laziona com di sguio spliciao: H H l calcolo analiico di valoi ch la unzion di H, dfinia dalla lazion, assum in coispondnza di valoi smi dlla pulsazion laivi all invallo < ipico dlla isposa in fqunza di una lina, si ffua con l lazioni ch di sguio si ipoano: s ad s ad H / / lim lim H ll iposi in cui isuli, la lazion ch dv sussis fa i valoi di componni nduanza, apacià sisnza affinché il numao dlla funzion di H sia cosiuio dal numo al, qualunqu sia la pulsazion angola > con la sisnza di azion >, si dmina mdian la pocdua ch di sguio si ipoa: H da cui: m, da cui:, ovvo, anch:

3 a funzion di H #, in al cicosanza, assum la foma: H # H Al fin di ompa alla ichisa spssa nlla accia di giusifica i valoi ch la unzion di H assum in coispondnza di valoi smi dlla pulsazion laivi all invallo < ipico dlla isposa in fqunza di una lina, è ncssaio samina l du i quivalni ch si ongono dal cicuio di figua considando gli ffi dovui, ispivamn, a ad/sc. figua b ad/sc figua c a p ad/s, com chiaamn vidnziao in figua b, il condnsao off ni iguadi dlla sogn sinusoidal v una aanza capaciiva X [/] può, pano, ss modllao con il bipolo cicuio apo mn l induo manifsa una aanza induiva X Ω ch consn di modllalo con il bipolo coo cicuio. n ossquio al pincipio di aslazion dl ponzial, assicuao dalla azion ngaiva opaa dalla sisnza sull opazional, si spliciano l sguni lazioni: / A. Pano, l applicazion dlla lgg di hm alla sisnza consn di laziona com di sguio indicao: H Ω b p, com chiaamn vidnziao in figua c, il condnsao off ni iguadi dlla sogn sinusoidal v una aanza capaciiva X [/] Ω può, pano, ss modllao con il bipolo coo cicuio mn l induo manifsa una aanza induiva X ch consn di modllalo con il bipolo cicuio apo. n ossquio al pincipio di aslazion dl ponzial, assicuao dalla azion ngaiva opaa sull opazional dal paalllo dlla sisnza con il bipolo coo cicuio modllan la già ciaa aanza capaciiva X, si spliciano l sguni lazioni: / / A. Pano, l applicazion dlla lgg di hm alla sisnza consn di laziona com di sguio ipoao: H Ω

4 EE E.: a lina mosaa in figua opa in gim sinusoidal. apndo ch i cos [A], si vuol dmina: a il faso dlla nsion v ai capi dl gnao la sua spssion mpoal; b la ponza aiva P aiva Q ogaa dal gnao idal di con i; c il faso dlla nsion v ai mosi dll induo la sua spssion nl dominio mpoal. ono assgnai: Ω; µ; µh. ª Pova in in 8 luglio oa Bn: com modulo dl faso si assuma il valo di picco o ampizza dlla sinusoid i aa di una lina opan in gim sinusoidal, alimnaa da un gnao idal di con di pulsazion, o fqunza angola, ad/sc. l dominio di fasoi la immagin coispondn è qulla ipoaa in figua a in cui si sono vidnzia l aanz di bipoli aivi condnsao induo. n paicola si considano l sciu: Dall analisi dlla di collgamni fa i figua a divsi bipoli si vinc quano sgu: l impdnza puamn induiva è posa in paalllo con l impdnza puamn ohmica ; sia l impdnza quivaln paalllo; l impdnza puamn capaciiva [/] è connssa in paalllo con l impdnza puamn ohmica ; sia l impdnza quivaln paalllo l impdnz quivalni // // di blocchi posi in paalllo sono fa loo connss in si; sia l quivaln impdnza si. Pano, con ifimno alla figua b, si splicia quano sgu: / v figua / v i / / figua c figua b osiundo i valoi fonii dalla accia ai disposiivi di spcifico inss si oin:

5 on ifimno alla figua c si posiziona quano sgu: i consaa il vificasi, alla pulsazion ad/sc imposa dal gnao idal di con, dl fnomno dlla isonanza si ch si spim mdian la naua puamn sisiva dlla impdnza quivaln si. Aso quano pmsso, l ammnza quivaln G snia dal gnao idal di con è dfinia dal paalllo dll impdnz, ; icodando ch l ammnza quivaln di più ammnz connss fa loo in paalllo è daa dalla somma dll ammnz, si oin: G P la dminazion dl faso associao alla sinusoid con dl gnao idal indipndn di con i cos [A], con ad/sc, basa consida la lazion cosiuiva ch di sguio si splicia: ] [ ] sin [cos cos i, ovvo: ] [ ] [ cos i, con: Dall applicazion dlla lgg dual di hm all ammnza quivaln oal G snia dalla sogn idal di con si oin la sgun lazion: G G osiundo i valoi numici finoa dminai, si oin quano sgu: G Pano, la foma pola dl faso associao alla sinusoid nsion ai capi dll ammnza G è: / ; ]; [ π ϑ acag v spssion nl dominio dl mpo dlla nsion v associaa al faso è, pano: cos cos ] [ ] [ π π v a ponza Aiva P la ponza aiva Q oga dal gnao idal di con i sono dmina dalla sgun lazion: A Q W P A * Dalla figua b si vinc, poi, ch il calcolo dl faso dlla nsion ai capi dll impdnza si splicia nll applicazion dlla lgg dl paio sisivo di nsion; si oin infai: cos v om vifica dlla cozza di isulai consguii, si ossvi ch: π Dunqu, sa popio vificao quano già icavao, cioè: π figua d G

6 EE E.: inuo è apo da lungo mpo nll isan o scondi vin chiuso. i dsida dmina: a l spssion analiica dlla con i, dll nsioni v v accian i laivi gafici colai p > µs; b l ngia accumulaa nll induo all isan s in. ono assgnai: ma; Ω; m Ω; mh. i ichid di dmina l andamno mpoal dlla nsion v, dlla con i ai mosi dll induanza, cioè il ansioio caaisico dlla lina, mosaa nlla figua, laivo alla commuazion dallo sao di apo allo sao di chiuso dll inuo. a con i ch cicola nll induanza è una vaiabil di sao, pano è una funzion mpoalmn coninua dfinia dalla lazion cosiuiva di sguio spliciaa: τ [ ] i i i i in cui sono psni l gandzz i, i τ, il cui significao fisico di sguio si ichiama: i è il valo dlla con i nll induanza all isan inizial dl ansioio, noo anch com valo inizial o valo dlla con di pcaica dll induo; i è il valo di gim consguio dalla con a ansioio sauio, ovvo quando alla induanza può ss sosiuio l quivaln bipolo coo cicuio; τ è la cosan di mpo dfinia dalla lazion cosiuiva τ / TH, in cui TH dfinisc la sisnza quivaln di Thvnin snia dalla induanza ai suoi mosi. a conoscnza di paami sopa ichiamai consn di dfini compiuamn il ansioio. a valida p, ovvo µs < < s. Poiché l inuo è apo da lungo mpo, quindi da un mpo camn maggio dl mpo di asssamno T A τ, si dv lciamn in ch l induanza si sia complamn v i X i X - v - m i X figua m i X - i v v - i - figua a valida a scaicaa ami la sisnza ; quindi, com si vinc dalla figua a, sono giusifica l posizioni di sguio indica, anch p ispzion dia: i A; v ; ix Applicando la lgg di ichhoff dll nsioni alla maglia ch coinvolg sia il gnao idal di con, sia il gnao piloao di nsion comandao dalla con ix, si pvin alla sciua nlla v i i, da cui si ha: v m ix v m m osiundo i dai fonii dalla accia si dsum quano sgu: v m [ ] A b valida p. All isan s l inuo si poa nlla posizion laiva allo sao chiuso d ivi pman indfiniamn; consgu ch dopo un invallo di mpo maggio dl mpo di asssamno T A τ, asa la sabilià dlla mosaa in figua b, l induanza avà consguio un nuovo sao di gim poà, quindi, ss modllaa col bipolo quivaln coo cicuio, com chiaamn mosao nlla ciaa figua b. P ispzion dia, inol, si vincono l condizioni ch di sguio si spliciano: v ; v v ; i v A applicazion dlla lgg di ichhoff dll nsioni alla maglia cnal fonisc la sciua: i i i i A m X X m X X m X X

7 on l applicazion dlla lgg di ichhoff dll coni al supnodo Σ si pvin alla lazion ch di sguio si ipoa: ix i i Tnndo in considazion quano già sabilio p l coni i X i, la pcdn lazion al supnodo Σ assum la foma: i i ma Ai fini dl acciamno di gafici ichisi p l gandzz lich di inss è uil sinizza i isulai consguii: i A i A i ma X c Dminazion dlla sisnza quivaln TH. a ch bisogna samina p il calcolo dlla sisnza quivaln di Thvnin TH snia dall induanza è ipoaa in figua c dalla α i qual si vinc lo sao di chiusua dll inuo nonché l annullamno dl gnao indipndn di con. applicazion dlla lgg di hm alla sisnza consn di laziona com sgu: i TX /. on l applicazion dlla lgg di ichhoff dll nsioni alla maglia cosiuia dal gnao dipndn di nsion m i X piloao dalla con i X, dalla sisnza da ulimo dall gnao s TX, si pvin alla sgun sciua: TX mi X ix TX m ix TX figua c ix m valida p TH applicazion dlla lgg di ichhoff dll coni al nodo α consn di splicia la lazion sgun: TX TX TX ix i TX TX TX m m volgndo i ncssai dovui passaggi algbici si conclud con l sciu di sguio splicia: m m m TX TX TX TX TX TX m m m n ossquio alla dfinizion cosiuiva di sisnza quivaln di Thvnin TH si oin: TX m TX m TH TX A m TX m osiundo i dai fonii dalla accia si dmina il valo di TH; si ha, infai: m [ ] TH Ω m oa la sisnza quivaln TH sa dminaa la cosan di mpo τ spcifica dl ansioio; si lazion, infai, com sgu: τ TH µ s voluzion mpoal caaisica dl ansioio dlla con dlla nsion dll induanza è dminaa dall lazioni cosiuiv di sguio splicia, in cui si è già considao s: i i X i i X v [ i m i X i ] v i figua b valida a m i X TX TX i τ [ma]

8 v TH [ i i ] τ [ ] om chiaamn vidnziao dalla figua b, p ogni < <, si vifica ch v v ; p cui si conclud con la lazion sgun: v v [ ] lla figua d sono ipoai i gafici di inss, ichisi dalla accia; la con i è spssa in ma, mn l nsioni v v sono spss in. figua d cuv caaisich dl ansioio Andamno mpoal dlla con i nll induanza p µs < < Andamno mpoal dlla nsion v ai mosi dll induanza p µs < < Andamno mpoal dlla nsion v ai mosi dl gnao p µs < <

9 EE E.: ll iposi ch il valo dlla pmabilià magnica µ µ dl maial fomagnico sia da insi, in paica, com infinia ni confoni dl afo, si dmini la maic di cofficini di auo di muua induanza di du avvolgimni. i dmini, inol, l induanza dl bipolo ch si oin collgando in si i du avvolgimni. 8 luglio iposi dl valo di pmabilià magnica µ µ dl maial fomagnico giusifica il fao di in ascuabil la iluanza dl cicuio magnico di figua ni confoni dlla iluanza di afi psni nl già ciao cicuio magnico. si dfinisc con la iluanza dl afo avn spsso δ, isulano alloa vidni l sguni posizioni: δ δ µ µ figua δ δ µ µ quivaln cicuio lico al qual fa ifimno p l analisi dlla suua magnica di figua è ipoaa in figua a, in cui si fa coispond, ispivamn alla foza magnica i i un gnao idal di nsion pai a i i alla iluanza una sisnza lica dllo ssso valo ; nl cicuio di ifimno, inol, al flusso si fa coispond la con. figua a / / figua b ı ı P la dminazion di du flussi bn si psa l uilizzo dl Pincipio di ovapposizion dgli Effi, di cui di sguio si splicia l applicazion. a Agisc con Asp. l cicuio quivaln di ifimno da samina vin ipoao in figua b in cui si vinc lo spgnimno dlla nsion magnica l du componni di inss di flussi magnici, in paicola giova pcisa ch: è il conibuo al flusso dovuo alla nsion ; è il conibuo al flusso dovuo alla nsion. applicazion dlla lgg hm ai capi dlla iluanza quivaln ni confoni dl gnao consn di laziona com sgu: Da cui, svolgndo i ncssai passaggi algbici si oin: nol l applicazion dlla lgg dl paio sisivo di con fonisc la sciua ch di sguio si ipoa: b Agisc con Asp. l cicuio quivaln di ifimno da samina è ipoao in

10 figua c in cui si vinc lo spgnimno dlla nsion magnica l indicazion dll du componni di inss di flussi magnici, in paicola si indica ch: è il conibuo al flusso dovuo alla nsion ; è il conibuo al flusso dovuo alla nsion. applicazion dlla lgg hm ai capi dlla iluanza quivaln ni confoni dl gnao consn di laziona com sgu: Da cui, svolgndo i ncssai passaggi algbici si oin: nol l applicazion dlla lgg dl paio sisivo di con fonisc la sciua di sguio ipoaa: n ossquio dlla supposa condizion di linaià posa dai valoi dlla induzion magnica p il maial fomagnico dl cicuio in sam, il Pincipio dlla ovapposizion dgli Effi, consn di splicia l sguni lazioni in mini sia di flusso, sia di flusso concanao : a maic di cofficini di auo di muua induanza caaisici dl doppio bipolo cosiuio dai du avvolgimni di, ispivamn, spi assum la foma di sguio spliciaa: M M Da quano pmsso, consgu la validià dll sguni posizioni: M Quando i du avvolgimni vngono connssi in si con collgamno al ch si oin un unico bipolo a cui sa associao il flusso concanao T dminao dalla sciua: T induanza dl bipolo è dfinia dalla lazion ch di sguio si splicia: T / figua c