Applicazioni del metodo delle immagini
|
|
- Gloria Franco
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Applicazioni del metodo delle immagini Alexis Pompili Esercitazioni Fisica II Laurea Triennale in Fisica Anno Accademico A.P.1
2 Applicazioni del metodo delle immagini Il metodo delle immagini e stato introdotto per trattare la situazione di una carica puntiforme di fronte ad un piano conduttore (indefinito) e messo a terra. Adesso andiamo a studiare ulteriori applicazioni di notevole interesse: a) Sfera conduttrice messa a terra nel campo di una carica puntiforme; b) Sfera conduttrice nel campo di una carica puntiforme; c) Sfera conduttrice immersa in un campo elettrico uniforme. A.P. 2
3 Configurazione (a) [carica puntiforme positiva] q > 0 q " < 0 + q # > 0 V = cost 0 Laboratorio Induzione elettrostatica non completa: q <q elettroni salgono a neutralizzare la carica q sulla superficie del conduttore! Volendo discutere del perche questo avvenga, possiamo immaginare che nel transitorio degli elettroni vengono indotti sulle pareti del laboratorio ma essendovi il collegamento fra conduttore e pareti (stesso potenz.) non puo aversi un campo elettrico fra di essi; le cariche pertanto si neutralizzano. A.P. 3
4 Configurazione (a) alternativa [carica puntiforme negativa] + q < 0 q " > q # < 0 + V = cost 0 Laboratorio Induzione elettrostatica non completa: q < q elettroni dalla superf. del conduttore scendono verso le pareti del lab.! Una descrizione immaginaria del fenomeno puo essere data in modo analogo alla precedente configurazione; stavolta gli elettroni migrano dalla superf. del conduttore verso terra per neutralizzare la carica positiva indotta transitoriamente sulle pareti del laboratorio. A.P. 4
5 Applicazioni del metodo delle immagini: a) Sfera conduttrice messa a terra nel campo di una carica puntiforme A.P. 5
6 A.P. 6 Problema: calcolare potenziale e campo elettrico nei vari punti circostanti il conduttore. q > 0 h " q < 0 V 0 Difficolta del problema: la carica q indotta sulla sfera non e nota (induzione elettrostatica non completa: q <q); ne conosciamo solo il segno (opposto a quello della carica inducente). Inoltre la distribuzione superficiale di q non e uniforme (a causa della diversa distanza dalla carica puntiforme inducenti dei vari elementi di superficie).
7 A.P. 6 Problema: calcolare potenziale e campo elettrico nei vari punti circostanti il conduttore. q > 0 h " q < 0 V 0 Difficolta del problema: la carica q indotta sulla sfera non e nota (induzione elettrostatica non completa: q <q); ne conosciamo solo il segno (opposto a quello della carica inducente). Inoltre la distribuzione superficiale di q non e uniforme (a causa della diversa distanza dalla carica puntiforme inducenti dei vari elementi di superficie). Per determinare V(x,y,z) nei punti dello spazio vuoto (per poi ricavare il campo) non e dunque possibile utilizzare direttamente il principio di sovrapposizione! Tuttavia il potenziale deve soddisfare l equazione di Laplace nei punti dello spazio vuoto ( 2 V = 0) con le seguenti condizioni al contorno: V = 0 V = (sulla supericie sferica del conduttore) q (su superfici sferiche di raggio r<<h centrate sulla carica puntiforme) 4πε o r V 0
8 Soluzione: si ricorre al metodo delle immagini. q > 0 Considero un sistema di riferimento cartesiano centrato sulla carica puntiforme q. L asse x passi per q ed il centro C. h " q < 0 C V 0 A.P. 7
9 Soluzione: si ricorre al metodo delle immagini. q > 0 Considero un sistema di riferimento cartesiano centrato sulla carica puntiforme q. L asse x passi per q ed il centro C. h " q < 0 C V 0 Si va a considerare una carica immagine q anch essa negativa (come la carica indotta sulla sfera) da porre : 1) sull asse x : unica direzione privilegiata in uno spazio altrimenti isotropo; 2) dentro la sfera: non puo essere posta nella regione vuota (dove calcolo V) h O q > 0 h R C x " q < 0 A.P. 7
10 A.P. 8 Il potenziale V(x,y,z) associato alle 2 cariche puntiformi puo essere ottenuto per sovrapposizione: dove V (x, y,z) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r " 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ (1) (2) (x, y,z) r " r d b C
11 A.P. 8 Il potenziale V(x,y,z) associato alle 2 cariche puntiformi puo essere ottenuto per sovrapposizione: dove V (x, y,z) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r " 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ (1) (2) Il luogo dei punti per i quali V(x,y,z)=0 e quello per cui si ha: (x, y,z) r " r d q r = q # r # b C
12 A.P. 8 Il potenziale V(x,y,z) associato alle 2 cariche puntiformi puo essere ottenuto per sovrapposizione: dove V (x, y,z) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r " 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ Il luogo dei punti per i quali V(x,y,z)=0 e quello per cui si ha: q " = q r " r " r 2 = # q "& % ( $ q ' 2 r 2 (x, y,z) r " r d q r = q # r # Tale condizione implica: 1) (essendo q > 0 si trova correttamente q " < 0) 2) (1) (2) b C
13 A.P. 8 Il potenziale V(x,y,z) associato alle 2 cariche puntiformi puo essere ottenuto per sovrapposizione: dove V (x, y,z) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r " 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ Il luogo dei punti per i quali V(x,y,z)=0 e quello per cui si ha: q " = q r " r " r 2 = # q "& % ( $ q ' 2 (x, y,z) r " r d q r = q # r # Tale condizione implica: 1) (essendo q > 0 si trova correttamente q " < 0) 2) (1) (2) (1) $ r 2 (x d) 2 + y 2 + z 2 = & (2) % b q #' ) q ( C 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) [ 1 ( q # q) 2 ](x 2 + y 2 + z 2 ) 2xd + d 2 = 0 d (x 2 + y 2 + z 2 ) 2x 1 ( q # q) 2 1 ( q # q) 2 [ ] + d d [ ] = 0
14 A.P. 9 Bisogna trovare le condizioni per le quali la superficie sferica (per V=0) d (x 2 + y 2 + z 2 ) 2x [ 1 ( q # q) 2 ] + d d 1 ( q # q) 2 [ ] = 0 possa coincidere con la superficie sferica (reale) di centro C e raggio R d equazione: (x h) 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 2xh + (h 2 R 2 ) = 0
15 A.P. 9 Bisogna trovare le condizioni per le quali la superficie sferica (per V=0) d (x 2 + y 2 + z 2 ) 2x [ 1 ( q # q) 2 ] + d d 1 ( q # q) 2 possa coincidere con la superficie sferica (reale) di centro C e raggio R d equazione: (x h) 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 [ ] = 0 x 2 + y 2 + z 2 2xh + (h 2 R 2 ) = 0 Per confronto: h = d 1 ( q # q) 2 [ ] h 2 R 2 = d 2 [ 1 ( q # q) 2 ] h h( q # q) 2 = d h 2 R 2 = hd h d = h( q # q) 2 R 2 = h(h d) b h d b = h( q " q) 2 R 2 = hb
16 A.P. 10 Ricapitolando: Il potenziale associato alle 2 cariche puntiformi q e q e nullo sulla superficie sferica di centro C e raggio R (coincidente con la superficie del conduttore) se la carica q si trova a distanza d dalla carica q ed alla distanza b = h( q " q) 2 = R 2 h dal centro. Il valore della carica puntiforme immagine deve essere: " q = q b h = q R2 h 2 = q R h +q (x, y,z) r " r d h " q C V(x,y,z)=0 b = h( q " q) 2 R h b = R 2 h R [<1] < R N.B.: implica che q sia comunque entro la sfera (come ci si aspettava: la carica immagine non puo stare nella regione in cui calcolo V!)
17 A.P. 10 Ricapitolando: Il potenziale associato alle 2 cariche puntiformi q e q e nullo sulla superficie sferica di centro C e raggio R (coincidente con la superficie del conduttore) se la carica q si trova a distanza d dalla carica q ed alla distanza b = h( q " q) 2 = R 2 h dal centro. Il valore della carica puntiforme immagine deve essere: " q = q b h = q R2 h 2 = q R h (x, y,z) r V (x, y,z) = 1 % q 4πε 0 r + q $ ( Nei punti esterni alla sfera il campo e derivabile dal potenziale: ' * & r $ ) Il campo elettrico sara normale rispetto alla superficie del conduttore. +q " r d h " q C V(x,y,z)=0 b = h( q " q) 2 b cost h Quando q si allontana dalla sfera (h aumenta) q si avvicina al centro ( ). Se h >> R si ha b 0 e q puo essere posta con buona approx.nel centro C; in tale condizione limite la carica indotta puo essere considerata distribuita uniformemente. Inoltre implica. h >> R q " << q
18 Applicazioni del metodo delle immagini: b) Sfera conduttrice nel campo elettrico di una carica puntiforme A.P. 11
19 Nel caso la sfera conduttrice non sia collegata a terra bensi inizialmente isolata, deve aversi su di essa della carica indotta di entrambi i segni e stesso valore (la carica totale deve essere nulla). q > 0 " q < V 0 q # > 0 V = cost 0 A.P. 12
20 Nel caso la sfera conduttrice non sia collegata a terra bensi inizialmente isolata, deve aversi su di essa della carica indotta di entrambi i segni e stesso valore (la carica totale deve essere nulla). q > 0 " q < V 0 q # > 0 V = cost 0 La superficie della sfera conduttrice sara ancora equipotenziale, con V non piu nullo! Per soddisfare tale condizione bisogna introdurre una ulteriore carica immagine q che rappresenti l ulteriore carica presente sulla sfera conduttrice. Per evidenti ragioni di simmetria, dovendo garantire V=cost sulla superficie sferica, questa seconda carica immagine puntiforme non puo che essere posta sul centro C! q > q > 0 q " < 0 q # > 0 q " < 0 q # > 0 A.P. 12
21 Il potenziale in un punto generico esterno alla sfera si ottiene per sovrapposizione dei contributi associati a ciascuna delle tre cariche puntiforme (una reale, 2 immagine): (x, y,z) q # > 0 q > 0 r " r " " r V (x, y,z) = h " q < 0 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ + ( q $ ) 4πε o r $ = 1 4πε 0 & q r + q $ r $ q $ ) ( + ' r $ * q r = q # r # A.P. 13
22 Il potenziale in un punto generico esterno alla sfera si ottiene per sovrapposizione dei contributi associati a ciascuna delle tre cariche puntiforme (una reale, 2 immagine): (x, y,z) q # > 0 q > 0 r " r " " r V (x, y,z) = h " q < 0 q 4πε 0 r + q $ 4πε 0 r $ + ( q $ ) 4πε o r $ = 1 4πε 0 & q r + q $ r $ q $ ) ( + ' r $ * q r = q # r # Pertanto sulla sfera (di centro C e raggio R): V SF = V ( " " r R) = " q 4πε o R = q 4πε o h " q = q R h Il potenziale sui punti della sfera e pari 1) al potenziale generato da q nel punto che corrisponde al centro della sfera o equivalentemente 2) a quello associato alla sfera conduttrice supposta avente carica q nel punto occupato dalla carica q medesima. A.P. 13
23 Applicazioni del metodo delle immagini: c) Sfera conduttrice immersa in un campo elettrico uniforme A.P. 14
24 q Il campo uniforme e considerabile come quello prodotto da una carica puntiforme infinita ( ) posta a distanza infinita ( ): = 1 4πε o q z h ˆ 2 q " = q R Poiche vale ancora:, h b = R2 h q h = 4πε E 2 o o si avra ( h q " b = q R h R2 h = q h 2 R3 = 4πε o R 3 = cost uniforme quindi costante): A.P. 15
25 q Il campo uniforme e considerabile come quello prodotto da una carica puntiforme infinita ( ) posta a distanza infinita ( ): = 1 4πε o q z h ˆ 2 q " = q R h Poiche vale ancora:, h b 0 q " b = R2 h q h = 4πε E 2 o o si avra ( h q " b = q R h R2 h = q h 2 R3 = 4πε o R 3 = cost Per si ha: ; cioe la carica immagine si avvicina indefinitamente al centro! q q " Si noti che non implica perche anche! uniforme quindi costante): h Essendo la sfera isolata c e una 2 a carica indotta q # > 0 posta approx. nel suo centro. A.P. 15
26 q " q # b 0 Complessivamente: le cariche immagine e sono ( ) vicinissime e praticamente sul centro della sfera e rappresentano la carica superficiale presente sulla sfera ed indotta dal campo uniforme: ˆ z q " q # C ˆ z E " Il controcampo prodotto dalla distribuzione superficiale di carica indotta sulla sfera e equivalente a quello prodotto da 2 cariche puntiformi q " e q # (cariche immagine) poste nel centro della sfera e vicinissime fra loro. Questo sistema di 2 cariche elettriche puntiformi opposte e vicinissime fra loro costituisce il cosidetto dipolo elettrico che verra studiato in dettaglio piu avanti. A.P. 16
27 La quantita (costante) che caratterizza il dipolo elettrico e il p = q " momento di dipolo elettrico : con che punta da a A.P. 17 b b q "(< 0) q #(> 0) q " q # p C ˆ z
28 La quantita (costante) che caratterizza il dipolo elettrico e il p = q " b b q "(< 0) q #(> 0) momento di dipolo elettrico : con che punta da a A.P. 17 q " q # p C ˆ z Si noti che: p = q " b = 4πε o R % 3 = 4 ( ' & 3 πr3 * 3ε ) o = 3ε o V SF p = cost p = p z ˆ = cost z ˆ p E o Dunque: (e ) nonche Si vedra (piu avanti) che il potenziale associato ad un dipolo elettrico gode di simmetria azimuthale ( ϕ, essendo ϕ l angolo di rotazione Intorno z ˆ ): V dip (r,ϑ ) pcosϑ 4πε o r 2 ˆ z ϑ r ϕ
29 Il controcampo, cioe il campo elettrico del dipolo, e deducibile dal potenziale: E " = E dip = & V dip = i V x + j V y + k ( V ' z Passando a coordinate polari e facendo le derivate parziali (cfr. Appendice): E " = E dip = ) V dip (r,ϑ ) = V r, 1 r V ϑ, 1 rsinϑ V, ) +. 2pcosϑ * ϕ 4πε o r, psinϑ 3 4πε o r,0, +. * 3 ) + * A.P. 18 Dunque: p E dip 4πε o r (2cosϑ r ˆ + sinϑ ϑ ˆ ) 3
30 A.P. 18 Il controcampo, cioe il campo elettrico del dipolo, e deducibile dal potenziale: E! = Edip = V $ dip = i V x + j V y + k & V % z ' ) ( Passando a coordinate polari e facendo le derivate parziali (cfr. Appendice): E! = Edip = V % dip (r,ϑ ) = V r, 1 r V ϑ, 1 rsinϑ V ( % ' * 2 pcosϑ & ϕ ) 4πε o r, psinϑ 3 4πε o r, 0 ( ' * & 3 ) Dunque: p E dip 4πε o r (2cosϑ r ˆ + sinϑ ϑ ˆ ) 3 Operiamo la seguente manipolazione: 2pcosϑ r ˆ + psinϑ ϑ ˆ = 2cosϑ r ˆ + psinϑ ϑ ˆ p + p = 2pcosϑ r ˆ + psinϑ ϑ ˆ p + ( pcosϑ r ˆ psinϑ ϑ ˆ ) Pertanto: = 2pcosϑ r ˆ p + pcosϑ r ˆ = 3pcosϑ r ˆ p p E dip 4πε o r (3cosϑ r ˆ z ˆ ) 3 π 2 ϑ ˆ ϑ p r p ˆ ϑ = pcos(90 o ϑ ) = psinϑ ˆ z
31 Il campo totale (esterno + controcampo) e : Poiche p = 3ε o V SF si ha: Per punti sulla sfera (r = R) deve aversi: E Tot (r = R) = ˆ z + E Tot = E o + E " E Tot ˆ z + 3ε ov SF (3cosϑ r ˆ z ˆ ) = ˆ z + 4πε o R 3 V SF 4 3πr 3 (3cosϑ ˆ r ˆ z ) V SF 4 3πR E (3cosϑ ˆ 3 o r z ˆ ) = ˆ z + 3 cosϑ r ˆ ˆ z = 3 cosϑ r ˆ ϑ ˆ z Per punti sulla sfera il campo e normale alla superficie (come ci si aspetta)! A.P. 19
32 Il campo totale (esterno + controcampo) e : Poiche p = 3ε o V SF si ha: Per punti sulla sfera (r = R) deve aversi: E Tot (r = R) = ˆ z + E Tot = E o + E " E Tot ˆ z + 3ε ov SF (3cosϑ r ˆ z ˆ ) = ˆ z + 4πε o R 3 V SF 4 3πr 3 (3cosϑ ˆ r ˆ z ) V SF 4 3πR E (3cosϑ ˆ 3 o r z ˆ ) = ˆ z + 3 cosϑ r ˆ ˆ z = 3 cosϑ r ˆ ϑ ˆ z Per punti sulla sfera il campo e normale alla superficie (come ci si aspetta)! Confrontando con la solita espressione sulla superficie n ˆ = r ˆ σ ε o = 3 cosϑ σ = 3ε o cosϑ E (r = R) = σ ε o ˆ n si ricava: A.P. 19
33 Pertanto la distribuzione della carica indotta sulla superficie sferica (r = R) non e uniforme e dipende solo da : ϑ σ = 3ε o cosϑ σ(ϑ = 0) = σ MAX = 3ε o σ(ϑ = π 2,3π 2) = 0 σ(ϑ = π) = σ MIN = 3ε o e massima per decresce proporz. a si annulla per e minima per ϑ = 0 cosϑ ϑ = π 2 ϑ = π + ϑ ˆ z A.P. 20
34 Pertanto la distribuzione della carica indotta sulla superficie sferica (r = R) non e uniforme e dipende solo da : ϑ σ = 3ε o cosϑ σ(ϑ = 0) = σ MAX = 3ε o σ(ϑ = π 2,3π 2) = 0 σ(ϑ = π) = σ MIN = 3ε o e massima per decresce proporz. a si annulla per e minima per ϑ = 0 cosϑ ϑ = π 2 ϑ = π + ϑ ˆ z L integrale della densita superf. di carica indotta e nullo (come ci si deve aspettare): π σds = 3ε 0 E 0 cosϑ 2πR 2 sinϑdϑ = 6πR 2 ε 0 E 0 cosϑ[ d(cosϑ )] = 6πR 2 ε 0 E 0 cosϑd(cosϑ ) = 0 SFERA A.P. 20
35 Conclusione: in base al metodo delle cariche immagini la soluzione del nostro problema (per punti esterni alla superficie della sfera) si ottiene sovrapponendo, al campo uniforme, il campo di un dipolo posto nel centro della sfera di momento (con R raggio della sfera) [controcampo]: E Tot = E o + E " p = 4πε o R 3 σ = 3ε o cosϑ Sulla superficie sferica (r = R) la densita della carica indotta e ed il campo totale (esterno+controcampo) per punti immediatamente esterni e Ext perpendicolare alla sfera e vale = σ ε o = 3 cosϑ E Tot Int E Tot + ϑ + + = Ext E Tot ˆ z " La distorsione del campo uniforme dovuto alla carica indotta sulla sfera che genera il controcampo E (che garantisce campo interno nullo) e apprezzabile solo nei pressi della superficie sferica poiche E " = E dip 1 r 3! A.P. 21
36 Appendice: passaggio a coordinate sferiche Vogliamo esprimere l operatore gradiente in coordinate curvilinee sferiche: $ = i ˆ + ˆ j + ˆ ' & k ) = ([?]ˆ % x y z ( r + [? ] ϑ ˆ + [?] ϕ ˆ ) Definiamo le coordinate sferiche: ˆ i z x ϕ ˆ k ϑ ϑ ϕ r ˆ r y ˆ ϕ ˆ ϑ rsinϑ Invertendo π /2 + ϑ x = rsinϑ cosϕ y = rsinϑ sinϕ z = rcosϑ si ha: Versori delle coordinate sferiche in funzione dei versori delle coordinate cartesiane : ˆ j r = x 2 + y 2 + z 2 # z & ϑ = arccos % $ x 2 + y 2 + z 2 ( ' # ϕ = arctg y & % ( $ x ' i ˆ = (sinϑ cosϕ)ˆ r + (cosϑ cosϕ) ϑ ˆ + ( sinϕ) ϕ ˆ ˆ j = (sinϑ sinϕ)ˆ r + (cosϑ sinϕ) ϑ ˆ + (cosϕ) ϕ ˆ k ˆ = (cosϑ )ˆ r + ( sinϑ ) ϑ ˆ A.P. 22
37 f (r,ϑ,ϕ) = f i ˆ + f x y Appendice: passaggio a coordinate sferiche 2 Le derivate parziali nelle coordinate cartesiane vanno riespresse in coordinate sferiche: r x = x ˆ j + f z k ˆ & = ( f ' r ( x 2 + y 2 + z ) 2 = x x 2 + y 2 + z 2 r y = y r x + f ϑ ϑ x + f ϕ ( x 2 + y 2 + z ) 2 = y x 2 + y 2 + z 2 r z = z ϕ ) + ˆ & i + ( f x * ' r rcosϕ sinϑ = = cosϕ sinϑ r rsinϕ sinϑ = = sinϕ sinϑ r ( x 2 + y 2 + z ) 2 = z x 2 + y 2 + z 2 r y + f ϑ ϑ y + f ϕ = rcosϑ r = cosϑ ϕ ) + ˆ & j + ( f y * ' r r z + f ϑ ϑ z + f ϕ [A] [B] [C] ϕ ) + k ˆ z * ϕ z = $ z arctg y ' & ) = 0 % x ( ϕ x = $ x arctg y ' y & ) = x 2 % x ( 1+ y 2 x 2 = y rsinϑ sinϕ = x y r 2 sin 2 ϑ = sinϕ rsinϑ 1 ϕ y = $ y arctg y ' & ) = x % x ( 1+ y 2 x 2 = x rsinϑ cosϕ = x y r 2 sin 2 ϑ = cosϕ rsinϑ A.P. 23
38 Appendice: passaggio a coordinate sferiche 3 Un utile trasformazione di coordinate: µ z % x 2 + y 2 + z ϑ = arccos z ( 2 ' & x 2 + y 2 + z 2 * = arccosµ ) Pertanto: µ x = x z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/ 2 ϑ µ = ( µ arccosµ ) = 1 1 µ = 1 2 ( ) = 1 2 z(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 2x = µ y = y z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/ 2 ( ) = 1 2 z(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 2y = µ z = z z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/ 2 ( ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/ 2 z 1 2 z 2 1 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 = r rsinϑ = 1 sinϑ xz (x 2 + y 2 + z 2 ) = r2 cosϑ sinϑ cosϕ cosϑ sinϑ cosϕ = 3 / 2 r 3 r yz (x 2 + y 2 + z 2 ) = r2 cosϑ sinϑ sinϕ cosϑ sinϑ sinϕ = 3 / 2 r 3 r 2z (x 2 + y 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 z 2 3 / 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) = r2 sin 2 ϑ = sin2 ϑ 3 / 2 r 3 r [A] [B] [C] ϑ x = ϑ µ µ x = 1 cosϑ sinϑ cosϕ cosϑ cosϕ = sinϑ r r ϑ y = ϑ µ µ y = 1 cosϑ sinϑ sinϕ cosϑ sinϕ = sinϑ r r ϑ z = ϑ µ µ z = 1 sin 2 ϑ = sinϑ sinϑ r r A.P. 24
39 Appendice: passaggio a coordinate sferiche 4 f (r,ϑ,ϕ) = f i ˆ + f x y & = ( f ' r % + ' f & r % + ' f & r ˆ j + f z k ˆ & = ( f ' r r x + f ϑ ϑ x + f ϕ f cosϕ cosϑ cosϕ sinϑ + f ϑ r ϕ sinϕ sinϑ + f ϑ cosϑ f ϑ ϕ ) + ˆ & i + ( f x * ' r r y + f ϑ ϑ y + f ϕ ϕ ) + ˆ & j + ( f y * ' r sinϕ ) + r rsinϑ * ˆ sinϑ cosϕ + ϑ ˆ cosϑ cosϕ ϕ ˆ sinϕ [ ] + cosϑ sinϕ + f cosϕ ( * r r ϕ rsinϑ ) ˆ sinϕ sinϑ + ϑ ˆ cosϑ sinϕ + ϕ ˆ cosϕ [ ] = sinϑ ( * r ˆ cosϑ ϑ ˆ sinϑ r ) ( ) + ˆ = r ˆ f r sin2 ϑ cos 2 ϕ + sin 2 ϑ sin 2 ϕ + cos 2 ϑ + ˆ ϕ 1 r [ ] + ϑ 1 r r z + f ϑ ϑ z + f ϕ f ϑ cos2 ϑ cos 2 ϕ + cos 2 ϑ sin 2 ϕ sin 2 ϑ f % sin 2 ϕ ϕ sinϑ + cos2 ϕ ( ' * + [somma di termini che si elidono a coppie] & sinϑ ) = r ˆ f r + ϑ ˆ 1 f r ϑ + 1 f ϕ ˆ rsinϑ ϕ 1/sinϑ 1 1 ( ) + ϕ ) + k ˆ z * A.P. 25
40 Esercizio 1 TRACCIA : R =1cm Una sfera conduttrice, isolata e scarica, di raggio, viene immersa in un campo elettrico uniforme di modulo E ; il potenziale vale V o =10 4 o =10 4 V /m V nel punto coincidente con il centro della sfera quando questa non c e. a) Calcolare il potenziale della sfera, la densita di carica indotta ed il campo elettrico sulla superficie. Ripetere il calcolo nei due casi : b) in cui la sfera pur restando isolata possieda una carica c) in cui la sfera sia a potenziale zero. Q =10 8 C A.P. 26
41 Esercizio 2 RISOLUZIONE (a) : In base al metodo delle immagini la soluzione del nostro problema per i punti esterni alla superficie della sfera si ottiene sovrapponendo al campo esterno il campo di un dipolo elettrico, posto nel centro della sfera, di momento p = 4πε o R 3 E o (se R e il raggio della sfera). Il campo elettrico sulla superficie della sfera vale: Ext E Tot = 3 cosϑ = cosϑ V m La densita di carica indotta sulla superficie della sfera vale: Ext σ(ϑ ) = ε o E Tot = 3ε o cosϑ = cosϑ C m 2 Il potenziale assunto dalla sfera e proprio V o =10 4 V Nota: il campo totale dentro la sfera deve essere nullo quindi le cariche indotte generano un controcampo uguale ed opposto ad A.P. 27
42 Esercizio 3 RISOLUZIONE (b) : Nel caso in cui la sfera isolata possieda gia una carica Q, agli effetti gia visti bisogna aggiungere quelli della carica Q (per il principio di sovrapposizione): Il campo elettrico sulla superficie della sfera (r=r) vale: Ext E Tot = Q 4πε o R cosϑ = ( cosϑ ) V m La densita di carica indotta sulla superficie della sfera vale: Ext σ(ϑ ) = ε o E Tot = Q 4πR 2 + 3ε o cosϑ ( cosϑ ) C m 2 Il potenziale sulla superficie della sfera vale: V = Q 4πε o R + V o V A.P. 28
43 Esercizio 4 RISOLUZIONE (c) : Si noti che una carica darebbe potenziale nullo sulla sfera: Q = 4πε o RV o C V = Q 4πε o R + V o = V o + V o = 0 Questo vuol dire che una sfera conduttrice tenuta a massa e posta in un campo elettrico uniforme in un punto in cui il potenziale vale V o (in sua assenza) deve presentare sulla sua superficie una carica pari a Q = 4πε o RV o. Tale carica sara distribuita con densita superficiale variabile: σ (ϑ ) = Q 4πR + 3ε E cosϑ = ε V o 2 o o o R + 3ε E cosϑ ( 88.5 o o cosϑ ) C m 2 Il campo elettrico sulla superficie della sfera vale: Ext E Tot = Q 4πε o R cosϑ = V o R + 3 cosϑ = ( cosϑ ) V m N.B.: tutti i risultati visti presuppongono implicitamente che la presenza di cariche sulla superficie della sfera non alteri la distribuzione delle cariche ( lontane ) che generano. A.P. 29
Fig. 1: rotore e statore di una dinamo
La dinamo La dinamo è una macchina elettrica rotante per la trasformazione di lavoro meccanico in energia elettrica, sotto forma di corrente continua. Costruttivamente è costituita da un sistema induttore
UNIVERSITA DI BOLOGNA - CDL IN INGEGNERIA GESTIONALE Supporto al Corso di Fisica per Ingegneria. Riccardo Di Sipio
UNIVERSITA DI BOLOGNA - CDL IN INGEGNERIA GESTIONALE Supporto al Corso di Fisica per Ingegneria Riccardo Di Sipio Supporto al Corso di Fisica per Ingegneria Riccardo Di Sipio, Università di Bologna e INFN
Il Principio dei lavori virtuali
Il Principio dei lavori virtuali Il P..V. rientra nella classe di quei principi energetici che indicano che i sistemi evolvono nel senso di minimizzare l energia associata ad ogni stato di possibile configurazione.
Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli
Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando
13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica
Potenziale Elettrico Q V 4pe 0 R Q 4pe 0 r C R R R r r B q B r A A independenza dal cammino Superfici Equipotenziali Due modi per analizzare i problemi Con le forze o i campi (vettori) per determinare
x log(x) + 3. f(x) =
Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d
IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)
IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:
Esercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3d
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3d Soluioni di problemi elettrostatici I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle cariche elettriche fisse. I principi dei campi elettrostatici
LAVORO. L= F x S L= F. S L= F. S cos ϑ. L= F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso. L= -F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso opposto
LAVORO L= F x S L= F. S L= F. S cos ϑ CASI PARTICOLARI L= F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso L= -F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso opposto L= 0 Se F ed S sono perpendicolari L >0
Il potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare V sx dovuto alla carica a sinistra:
1. Esercizio Calcolare il potenziale elettrico nel punto A sull asse di simmetria della distribuzione di cariche in figura. Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 µc dall infinito al
1.11.3 Distribuzione di carica piana ed uniforme... 32
Indice 1 Campo elettrico nel vuoto 1 1.1 Forza elettromagnetica............ 2 1.2 Carica elettrica................ 3 1.3 Fenomeni elettrostatici............ 6 1.4 Legge di Coulomb.............. 9 1.5 Campo
CAMPI E LORO PROPRIETÀ
CMPI E LORO PROPRIETÀ 1.1 Introduzione ia una regione nello spazio in cui, in ogni suo punto, sia definita una grandezza g. La regione si dice allora soggetta ad un campo. Un campo può essere scalare,
Università del Salento Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Industriale Appello di FISICA GENERALE 2 del 27/01/15
Università del Salento Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Industriale Appello di FISICA GENERALE 2 del 27/01/15 Esercizio 1 (9 punti): Una distribuzione di carica è costituita da un guscio sferico
MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO
Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA
λ = neπa 2 (1) 1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza,
1 Esercizio 1 - Protoni con carica elettrica e viaggiano con velocità v ( non relativistica) nel verso dell'asse costituendo un lungo fascio a sezione circolare di raggio a. Il numero di protoni presenti
Esistono alcune sostanze che manifestano la capacità di attirare la limatura di ferro, in particolare, la magnetite
59 Esistono alcune sostanze che manifestano la capacità di attirare la limatura di ferro, in particolare, la magnetite Questa proprietà non è uniforme su tutto il materiale, ma si localizza prevelentemente
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21
Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli.
Prova intercorso di Fisica 2 dott. Esposito 27/11/2009
Prova intercorso di Fisica 2 dott. Esposito 27/11/2009 Anno di corso: 1) Una carica puntiforme q=-8.5 10-6 C è posta a distanza R=12 cm da un piano uniformemente carico condensità di carica superficiale
Introduzione alle onde Elettromagnetiche (EM)
Introduzione alle onde Elettromagnetiche (EM) Proprieta fondamentali L energia EM e il mezzo tramite il quale puo essere trasmessa informazione tra un oggetto ed un sensore (e.g. radar) o tra sensori/stazioni
ITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)
1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo
SESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE
SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTRODINAMICA + Correnti + Campi Magnetici + Induzione e Induttanza + Equazioni di Maxwell
Il magnetismo magnetismo magnetite
Magnetismo Il magnetismo Fenomeno noto fin dall antichità. Il termine magnetismo deriva da Magnesia città dell Asia Minore dove si era notato che un minerale, la magnetite, attirava a sé i corpi ferrosi.
Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Calcolo integrale in più variabili
ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTRODINAMICA + Correnti + Campi Magnetici + Induzione e Induttanza + Equazioni di Maxwell
Elettrostatica. pag. 1. Elettrostatica
Carica elettrica Legge di Coulomb Campo elettrico Principio di sovrapposizione Energia potenziale del campo elettrico Moto di una carica in un campo elettrico statico Teorema di Gauss Campo elettrico e
GEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI VERTICALI
2.13 ASINTOTI 44 Un "asintoto", per una funzione y = f( ), è una retta alla quale il grafico della funzione "si avvicina indefinitamente", "si avvicina di tanto quanto noi vogliamo", nel senso precisato
7 Esercizi e complementi di Elettrotecnica per allievi non elettrici. Circuiti elementari
7 Esercizi e complementi di Elettrotecnica per allievi non elettrici Circuiti elementari Gli esercizi proposti in questa sezione hanno lo scopo di introdurre l allievo ad alcune tecniche, semplici e fondamentali,
Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni
Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni Docente:Alessandra Cutrì Richiamo:Zeri di Funzioni olomorfe (o analitiche) Sia f : A C C A aperto connesso,
MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA
ALLEGATO N.8_b MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA DESTINATARI gli studenti delle classi: terze e quarte nuovo ordinamento RISULTATI DI APPRENDIMENTO DELL OBBLIGO D ISTRUZIONE, CHIAVE EUROPEA Padroneggiare
LA FORZA DI COULOMB. = 0.01 C si trova nel punto con ascissa (A) 1.721 m (B) 0.387 m (C) 0.500 m (D) 0.613 m (E) 2.721 m
Fisica generale II, a.a. 01/013 L FORZ DI OULOM.1. Date le due cariche fisse della figura dove q 1 = 0. e q = 0.5 la posizione di equilibrio lungo l'asse di una terza carica mobile q 3 = 0.01 si trova
2 R = mgr + 1 2 mv2 0 = E f
Esercizio 1 Un corpo puntiforme di massa m scivola lungo la pista liscia di raggio R partendo da fermo da un altezza h rispetto al fondo della pista come rappresentato in figura. Calcolare: a) Il valore
METODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE
Ing. ENRICO BIAGI Docente di Tecnologie elettrice, Disegno, Progettazione ITIS A. Volta - Perugia ETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAPO AGNETICO ROTANTE Viene illustrato un metodo analitico-grafico per descrivere
Esercizi sui Circuiti RC
Esercizi sui Circuiti RC Problema 1 Due condensatori di capacità C = 6 µf, due resistenze R = 2.2 kω ed una batteria da 12 V sono collegati in serie come in Figura 1a. I condensatori sono inizialmente
Definizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A
Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,
Energia potenziale elettrica e potenziale. In queste pagine R indicherà una regione in cui è presente un campo elettrostatico.
Energia potenziale elettrica e potenziale 0. Premessa In queste pagine R indicherà una regione in cui è presente un campo elettrostatico. 1. La forza elettrostatica è conservativa Una o più cariche ferme
CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI
CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI Tutti i materiali da costruzione rimangono in campo elastico sino ad una certa entità delle sollecitazioni su di essi agenti. Successivamente, all incrementare dei carichi,
Il campo magnetico. 1. Fenomeni magnetici 2. Calcolo del campo magnetico 3. Forze su conduttori percorsi da corrente 4. La forza di Lorentz
Il capo agnetico 1. Fenoeni agnetici 2. Calcolo del capo agnetico 3. Forze su conduttori percorsi da corrente 4. La forza di Lorentz Prof. Giovanni Ianne 1/21 Fenoeni agnetici La agnetite è un inerale
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ
Campo elettrico per una carica puntiforme
Campo elettrico per una carica puntiforme 1 Linee di Campo elettrico A. Pastore Fisica con Elementi di Matematica (O-Z) 2 Esercizio Siano date tre cariche puntiformi positive uguali, fisse nei vertici
Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.
Principi di ingegneria elettrica. Lezione 15 a. Sistemi trifase
rincipi di ingegneria elettrica Lezione 15 a Sistemi trifase Teorema di Boucherot La potenza attiva assorbita da un bipolo è uguale alla somma aritmetica delle potenze attive assorbite dagli elementi che
Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria
Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui
Energia potenziale elettrica
Energia potenziale elettrica La dipendenza dalle coordinate spaziali della forza elettrica è analoga a quella gravitazionale Il lavoro per andare da un punto all'altro è indipendente dal percorso fatto
Dalla radiazione elettromagnetica alle celle fotovoltaiche TECHNOTOU R
Dalla radiazione elettromagnetica alle celle fotovoltaiche TECHNOTOU R Elettromagnetismo: storia http://it.wikipedia.org http://it.wikipedia.org http://it.wikipedia.org http://www.destudiishumanitatis.it
I ESERCITAZIONE. Soluzione
I ESERCITAZIONE 1. Moto rettilineo uniforme Un bagnino B è sulla spiaggia a distanza d B = 50 m dalla riva e deve soccorrere un bagnante H che è in acqua a d H = 100 m dalla riva. La distanza tra il punto
CdL Professioni Sanitarie A.A. 2012/2013. Unità 7: Forze elettriche e magnetiche
L. Zampieri Fisica per CdL Professioni Sanitarie A.A. 12/13 CdL Professioni Sanitarie A.A. 2012/2013 Unità 7: Forze elettriche e magnetiche Forza elettrica e corrente Carica elettrica e legge di Coulomb
Appunti di Fisica Generale anno accademico 2005/06 parte nuova di Elettromagnetismo - da completare!
Appunti di Fisica Generale anno accademico 2005/06 parte nuova di Elettromagnetismo - da completare! Francesco Fuso 1 Dipartimento di Fisica, Università di Pisa Largo Pontecorvo 3 (già Via Buonarroti 2),
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P
Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.
Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2
SOLUZIONE DEL PROBLEMA CORSO DI ORDINAMENTO. Studiamo la funzione f(x) = x R). Notiamo che f( x) = 4 + x, con dominio R (infatti x + 4 per ogni 4 + ( x) = 4 + x = f(x), cioè la funzione è pari e il grafico
Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse
Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...
Consideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche
Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 075-585 2708 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia
Unità di misura di lunghezza usate in astronomia
Unità di misura di lunghezza usate in astronomia In astronomia si usano unità di lunghezza un po diverse da quelle che abbiamo finora utilizzato; ciò è dovuto alle enormi distanze che separano gli oggetti
Esercizi su elettrostatica, magnetismo, circuiti elettrici, interferenza e diffrazione
Esercizi su elettrostatica, magnetismo, circuiti elettrici, interferenza e diffrazione 1. L elettrone ha una massa di 9.1 10-31 kg ed una carica elettrica di -1.6 10-19 C. Ricordando che la forza gravitazionale
I appello - 24 Marzo 2006
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,
Magnetismo. limatura di ferro. Fenomeno noto fin dall antichità. Da Magnesia città dell Asia Minore - Magnetite
Magnetismo Alcuni minerali (ossidi di ferro) attirano la limatura di ferro. Fenomeno noto fin dall antichità. Da Magnesia città dell Asia Minore - Magnetite Proprietà non uniforme. Se si ricava opportuno
Condensatore elettrico
Condensatore elettrico Sistema di conduttori che possiedono cariche uguali ma di segno opposto armature condensatore La presenza di cariche crea d.d.p. V (tensione) fra i due conduttori Condensatore piano
Appendice 1 MODI DI PROPAGAZIONE IN CAVI COASSIALI. b/a. Lunghezza d'onda critica in cavi coassiali per alcuni modi di propagazione ( e r =1 ).
Appendice 1 MODI DI PROPAGAZIONE IN CAVI COASSIALI I cavi coassiali oltre al modo di propagazione TEM consentono la propagazione anche con modi tipici delle guide d'onda. Due distinti gruppi di modi sono
DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[
Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari Osservazione: Se ( x, ) \{(0,0)} esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) [ 0,[ tale che x. imane in tal modo
Integrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
Piano di lavoro di Matematica
ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE Liceo Scientifico ALDO MORO Istituto to Tecnico Via Gallo Pecca n. 4/6-10086 Rivarolo Canavese Tel 0124 454511 - Fax 0124 454545 - Cod. Fiscale 85502120018 E-mail: segreteria@istitutomoro.it
MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1
MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v
Legge di Faraday. x x x x x x x x x x E B. x x x x x x x x x x R x x x x x x x x x x. x x x x x x x x x x. x x x x x x x x x x E B 1
B ds Legge di Faraday E x x x x x x x x x x E B x x x x x x x x x x R x x x x x x x x x x B 1 x x x x x x x x x x E x x x x x x x x x x E Schema Generale Elettrostatica moto di una carica q in un campo
MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A
MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i
4. Proiezioni del piano e dello spazio
4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,
funziona meglio con FIREFOX! FENOMENI ELETTROSTATICI mappa 1 mappa 2 mappa 3 mappa 4 http://cmap.ihmc.us/
mappa 1 mappa 2 mappa 3 mappa 4 http://cmap.ihmc.us/ funziona meglio con FIREFOX! FENOMENI ELETTROSTATICI Struttura dell'atomo (nucleo, protoni, neutroni, elettroni); cariche elettriche elementari (elettrone,
PRINCIPIO ESPLICATIVO DEL FUNZIONAMENTO DEI CILINDRI CROCIATI Prof. Luciano Pietropaolo
PRINCIPIO ESPLICATIVO DEL FUNZIONAMENTO DEI CILINDRI CROCIATI Prof. Luciano Pietropaolo Viene esposto il principio su cui si basa il funzionamento dei cilindri crociati, per l analisi dell astigmatismo
FISICA. isoterma T f. T c. Considera il ciclo di Stirling, in cui il fluido (=sistema) è considerato un gas ideale.
Serie 10: ermodinamica X FISICA II liceo Esercizio 1 Ciclo di Carnot Considera il ciclo di Carnot, in cui il fluido (=sistema) è considerato un gas ideale. Si considerano inoltre delle trasformazioni reversibili.
Guide d onda. Cerchiamo soluzioni caratterizzate da una propagazione lungo z
GUIDE D ONDA Guide d onda Cerchiamo soluzioni caratterizzate da una propagazione lungo z Onde progressive e regressive Sostituendo nell equazione d onda ( essendo Valido anche per le onde regressive Equazione
FISICA Corso di laurea in Informatica e Informatica applicata
FISICA Corso di laurea in Informatica e Informatica applicata I semestre AA 2004-2005 G. Carapella Generalita Programma di massima Testi di riferimento Halliday Resnick Walker CEA Resnick Halliday Krane
Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti
Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti Esercizio 1. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = 2x + 3y vincolati alla curva di equazione x 4 + y 4 = 1. Esercizio 2. Determinare
CONDUTTORI, CAPACITA' E DIELETTRICI
CONDUTTORI, CAPACITA' E DIELETTRICI Capacità di un conduttore isolato Se trasferiamo una carica elettrica su di un conduttore isolato questa si distribuisce sulla superficie in modo che il conduttore sia
LICEO STATALE A.VOLTA COLLE DI VAL D ELSA PROGRAMMA DI FISICA SVOLTO NELLA CLASSE VA ANNO SCOLASTICO 2014/2015
LICEO STATALE A.VOLTA COLLE DI VAL D ELSA PROGRAMMA DI FISICA SVOLTO NELLA CLASSE VA ANNO SCOLASTICO 2014/2015 Insegnante: LUCIA CERVELLI Testo in uso: Claudio Romeni FISICA E REALTA Zanichelli Su alcuni
Illustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
La trasformata Zeta. Marco Marcon
La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione
Dinamica del corpo rigido: Appunti.
Dinamica del corpo rigido: Appunti. I corpi rigidi sono sistemi di punti materiali, discreti o continui, che hanno come proprietà peculiare quella di conservare la loro forma, oltre che il loro volume,
Teoria del campo cristallino (CFT)
Teoria del campo cristallino (CFT) Interazione elettrostatica (non covalente) tra: - leganti anionici cariche elettriche puntiformi - leganti neutri dipoli elettrici con la parte negativa verso il centro
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica
ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTRODINAMICA + Correnti + Campi Magnetici + Induzione e Induttanza + Equazioni di Maxwell
Fisica Generale II Facoltà di Ingegneria. a.a. 2013/2014 Prof. Luigi Renna Programma dettagliato
1 Fisica Generale II Facoltà di Ingegneria. a.a. 2013/2014 Prof. Luigi Renna Programma dettagliato Libro di testo: P. Mazzoldi M. Nigro C. Voci: Elementi di FISICA Elettromagnetismo Onde II edizione (EdiSES,
Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che
Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.
Sorgenti di Campo Magnetico
Sorgenti di Campo Magnetico Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico! Quale? Prima legge elementare di Laplace: Dt Dato un tratto tt infinitesimo ifiit i difilo ds, percorso
ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare
Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare Si immagini un individuo che ha a disosizione un budget di 500 euro e deve decidere come allocare tale budget tra un bene, che ha un
Idraulica Filtrazione
Idraulica Filtrazione armando carravetta 07/06/2007 1 Definizione di falda acquifera Le falde acquifere sono costituite principalmente da strati di materiale a granulometria fine completamente saturi di
ESERCIZIO 1. (a) Quanta carica attraversa un punto del filo in 5,0 min?
ESECIZIO Un filo è percorso dalla corrente di 3,0 A. (a) Quanta carica attraversa un punto del filo in 5,0 min? (b) Se la corrente è dovuta a un flusso di elettroni, quanti elettroni passano per un punto
Induzione magnetica. Corrente indotta. Corrente indotta. Esempio. Definizione di flusso magnetico INDUZIONE MAGNETICA E ONDE ELETTROMAGNETICHE
Induzione magnetica INDUZIONE MAGNETICA E ONDE ELETTROMAGNETICHE Che cos è l induzione magnetica? Si parla di induzione magnetica quando si misura una intensità di corrente diversa da zero che attraversa
POLITECNICO DI MILANO CORSO DI LAUREA ON LINE IN INGEGNERIA INFORMATICA ESAME DI FISICA
1 POLITECNICO DI MILANO CORSO DI LAUREA ON LINE IN INGEGNERIA INFORMATICA ESAME DI FISICA Per ogni punto del programma d esame vengono qui di seguito indicate le pagine corrispondenti nel testo G. Tonzig,
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
6. IMPIANTO DI CLIMATIZZAZIONE CALCOLO PSICROMETRICO DEL SOGGIORNO-PRANZO
6. IMPIANTO DI CLIMATIZZAZIONE CALCOLO PSICROMETRICO DEL SOGGIORNO-PRANZO Regime estivo Dal calcolo dei carichi termici effettuato a regime variabile (includendo anche quelli apportati dagli utenti e dall
Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze
Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad
Argomenti delle lezioni del corso di Elettromagnetismo 2010-11
Argomenti delle lezioni del corso di Elettromagnetismo 2010-11 14 marzo (2 ore) Introduzione al corso, modalità del corso, libri di testo, esercitazioni. Il fenomeno dell elettricità. Elettrizzazione per