Analisi Matematica, tema A Compitino del 26 giugno 2015

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 04/05 Cognome e Nome: Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Informatica e TWM Analisi Matematica, tema A Compitino del 6 giugno 05 Matricola: Documento d identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo. La brutta copia non va consegnata. Sono vietati libri, appunti e calcolatori. Va riportato lo svolgimento degli esercizi.. Calcolare i seguenti iti, usando il teorema de dove si ritenga lecito e opportuno 8 / 8cos ++e + a e 0 cos cos 0 cos +sen cos 5 e 6sen e n! n+ n n+ b 0 4sen sen f n + n! +n n sen π c +arctan g + + e / +sencos e cos d 0 + +sen. Data la funzione f 4+, trovare a il dominio e il segno della f; b i iti +6+ agli estremi del dominio; c gli eventuali asintoti; d f e gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi di f; e f e gli intervalli di convessità/concavità e i flessi; f un grafico qualitativo di f.. Data la funzione g 8log , trovare a il dominio ed i iti agli estremi; bglieventualiasintoti; cg, lacrescenza/decrescenzaeipuntidimassimo/minimo di g; d mostrare che g si annulla in esattamente 4 punti; e g e gli intervalli di convessità/concavità e flessi si scompone facilmente; f un grafico di g. 4. Si mettano in ordine le successioni n+!/n n, n n, nlogn, +senn/n, n/logn, n!, + n n, in modo che la precedente sia o piccolo della successiva per n Calcolare primitive delle seguenti funzioni l ultima per parti: a , b senlog, c arcsen 6. Calcolare l integrale + +, d log +. d, per esempio con la sostituzione y +. Punti: 4 per ogni ite, 8, 0, 7, +++4, 6.

2 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 04/05 Cognome e Nome: Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Informatica e TWM Analisi Matematica, tema B Compitino del 6 giugno 05 Matricola: Documento d identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo. La brutta copia non va consegnata. Sono vietati libri, appunti e calcolatori. Va riportato lo svolgimento degli esercizi.. Calcolare i seguenti iti, usando il teorema de dove si ritenga lecito e opportuno / cos ++ e a e 0 cos cos 0 cos b 0 +sen cos e sen e sen 4sen f + e arctan c senπ 0 n! +n n g n + n! n+ n n+ + ++sencos+e cos d 0 +sen + 4. Data la funzione f, trovare a il dominio e il segno della f; b i 6+ iti agli estremi del dominio; c gli eventuali asintoti; d f e gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi di f; e f e gli intervalli di convessità/concavità; f un grafico qualitativo di f.. Data la funzione g 8log +5 +4, trovare a il dominio ed i iti agli estremi; bglieventualiasintoti; cg, lacrescenza/decrescenzaeipuntidimassimo/minimo di g; d mostrare che g si annulla in esattamente 4 punti; e g e gli intervalli di convessità/concavità e flessi si scompone facilmente; f un grafico di g. 4. Si mettano in ordine le funzioni n n, +senn/n, n/logn, nlogn, n!, n+!/n n, + n n, in modo che la precedente sia o piccolo della successiva per n Calcolare primitive delle seguenti funzioni l ultima per parti due volte: a + 6, b coslog, c arccos 6. Calcolare l integrale +, d +log +. d, per esempio con la sostituzione y. Punti: 4 per ogni ite, 8, 0, 7, +++4, 6.

3 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 04/05 Cognome e Nome: Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Informatica e TWM Analisi Matematica, tema C Compitino del 6 giugno 05 Matricola: Documento d identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo. La brutta copia non va consegnata. Sono vietati libri, appunti e calcolatori. Va riportato lo svolgimento degli esercizi.. Calcolare i seguenti iti, usando il teorema de dove si ritenga lecito e opportuno + a 0 sen+cos e sen e sen 4sen b 0 sen π +arctan cos + / + e c 0 cos cos ++sencos + 6e cos d 0 + +sen 5+. Data la funzione f e + e n! n+ n f n + n! n n n n g 0 cos 7, trovare a il dominio e il segno della f; b i ++ iti agli estremi del dominio; c gli eventuali asintoti; d f e gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi di f; e f e gli intervalli di convessità/concavità; f un grafico qualitativo di f.. Data la funzione g 4 5 8log +, trovare a il dominio ed i iti agli estremi; bglieventualiasintoti; cg, lacrescenza/decrescenzaeipuntidimassimo/minimo di g; d mostrare che g si annulla in esattamente 4 punti; e g e gli intervalli di convessità/concavità e flessi si scompone facilmente; f un grafico di g. 4. Si mettano in ordine le funzioni + senn/n, n!, n n, n/logn, nlogn, + n n, n+!/n n, in modo che la precedente sia o piccolo della successiva per n Calcolare primitive delle seguenti funzioni l ultima per parti due volte a + 6 +, b + arctan, ccoslog 6. Calcolare l integrale, d+log. d, per esempio con la sostituzione y. Punti: 4 per ogni ite, 8, 0, 7, +++4, 6.

4 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 04/05 Cognome e Nome: Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Informatica e TWM Analisi Matematica, tema D Compitino del 6 giugno 05 Matricola: Documento d identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo. La brutta copia non va consegnata. Sono vietati libri, appunti e calcolatori. Va riportato lo svolgimento degli esercizi.. Calcolare i seguenti iti, usando il teorema de dove si ritenga lecito e opportuno 4 sen+cos+ e +6sen e n! n n n n a 0 4sen sen e n + n! n+ n b 0 sen π arctan + + 8cos + 8+ / ++e c 0 cos cos ++sencos+5e cos d 0 +sen + 5. Data la funzione f f + g 0 e / cos 7, trovare a il dominio e il segno della f; b i + iti agli estremi del dominio; c gli eventuali asintoti; d f e gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi di f; e f e gli intervalli di convessità/concavità; f un grafico qualitativo di f.. Data la funzione g 8log 5 4, trovare a il dominio ed i iti agli estremi; b gli eventuali asintoti; c g, la crescenza/decrescenza e i punti di massimo/minimo di g; d mostrare che g si annulla in esattamente 4 punti; e g e gli intervalli di convessità/concavità e flessi si scompone facilmente; f un grafico di g.. 4. Si mettano in ordine le funzioni n!, n n, nlogn, + n n, n/logn, + senn/n, n+!/n n, in modo che la precedente sia o piccolo della successiva per n Calcolare primitive delle seguenti funzioni l ultima per parti due volte: a , b + +4arctan 6. Calcolare l integrale + senlog, c, d log. d, per esempio con la sostituzione y +. Punti: 4 per ogni ite, 8, 0, 7, +++4, 6.

5 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 04/05 Dipartimento di Scienze Matematiche, Informatiche e Fisiche Corso di Laurea in Informatica e TWM Analisi Matematica, tema A Compitino del 6 giugno 05 Svolgimento. a. Il ite 8 / 8cos ++e + 0 cos cos si presenta nella forma indeterminata. Si può tentare di semplificare il denominatore usando il ite notevole costt / per t 0: 8 / 8cos +++e 0 cos cos 8 / 8cos +++e 0 cos+ cos 8 / 8cos +++e 0 cos + cos 8 / 8cos +++e 0 cos } {{} /+/ + cos 4 8 / 8cos +++e 0. Non intravvedendo ulteriori semplificazioni, rimanendo una forma applichiamo quante volte serve: 8 / 8cos +++e 0 8/ / +8+sen +++e + +e e 0 / +8+sen +++e +6e +e 0 / / +8 sen ++8+ cos e e +6e +e +6e +e cos / - 8 cos + ++e cos-cos

6 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 b. Il ite +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sen si presenta nella forma. Il denominatore si può tentare di semplificare sfruttando il ite notevole sent/t per t 0: +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sen +sen cos 5 e 6sen e 0 4 sen sen +sen cos 5 e 6sen e 0 4 sen sen. 4 } {{ } 4 40 Semplificazione fallita. Proviamo a usare l identità trigonometrica sen sen cos : +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sen +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sen +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sencos +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen 4sen cos +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen cos +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen sen +sen cos 5 e 6sen e 0 4sen 4 +sen cos 5 e 6sen e sen 4 0 +sen cos 5 e 6sen e 4 4 Possiamo ora applicare la regola de quante volte occorre: +sen cos 5 e 6sen e sen cos+ +cos+sen 0e 5 e 6 e cos e 0 6 +sen cos+ +cos+sen 0+5 e +6e cos e 0 48 sen cos+ +cos+sen+ + +cos+sen+ + sen+cos sen 0+0e 0+5 e +6e cos e +6e e sen e

7 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno sen cos+4 +cos+sen e +6e cos e +6e sen e 0 6 sen cos+0 cos+sen cos+sen+4 + sen+cos 0+0e e +6e cos e +6e e sen e + +e sen e +6e e cos e. Il numeratore non è più infinitesimo: 0 6 sen cos+0 cos+sen cos+sen+4 + sen+cos 0+0e e +6e cos e +6e e sen e + +e sen e +6e e cos e Quindi il ite richiesto è della forma 48/0 ±. Dividiamo nei due casi 0 ± : 0 6 sen cos+0 cos+sen+ 0 ± cos+sen+4 + sen+cos 0+0e e +6e cos e +6e e sen e + +e sen e +6e e cos e 48 0 ± 96 0 ±. I due iti unilaterali sono diversi. Pertanto il ite iniziale non esiste sin-cos-6sin-e -5e 4 sin 40 -sin c. Nel ite -60 sen π +arctan il denominatore tende chiaramente a 0, mentre il numeratore richiede un trattamento speciale perché contiene la frazione / che diverge per 0. È noto che arctant ±π/ per t ±. Prendiamo i iti del numeratore a destra e a sinistra: sen π 0 + +arctan sen π 0 +0arctan π 0, sen π 0 +arctan sen π 0 +0arctan 0+0 π 0.

8 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 Quindi anche il numeratore tende a 0. Proviamo a semplificare il denominatore sfruttando il prodotto notevole a ba+ b a b: sen π +arctan sen π +arctan arctan sen π sen π +arctan 0. 0 sen π Vediamo se riusciamo a sfruttare il ite notevole sent/t per t 0: + {}}{ arctan + + sen π +arctan π 0 senπ/ π/ +arctan π 0 senπ/ π/ +arctan. 0 Per 0 + la forma non è più indeterminata: 0 + π senπ/ π/ +arctan π +arctan+ 0 + π ++π Per 0 proviamo ad applicare la regola de, riprendendo un espressione precedente, che sembra un poco più agevole: sen π +arctan π cosπ +arctan + +/ π cosπ +arctan + π 4 senπ + +/ π π sen I iti da sinistra e da destra sono diversi. Il ite di partenza non esiste sin π +tan d. Il ite sencos e cos 0 + +sen si presenta nella forma indeterminata. Si può tentare di semplificare il denominatore usando il prodotto notevole a b a+ b a b: +sencos e cos 0 + +sen 4

9 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno sencos e { cos }} { ++ +sen 0 + +sen ++ +sen +sencos e cos 0 + +sen 0 +sencos e cos. sen Applichiamo la regola de quante volte serve: +sencos e cos 0 0 cos 0 cos }{{ } / sen / +/ / sen cos e cos e sen / / sen cos e cos+sen 4 0 / / sen cos 4 0 e cos+sen / / / / sen cos cos sen e cos+sen e sen+cos / 0 4 / sen 4 cos+ sen e +sen / / 0 4 / 4 / 5/ cos 4cos 4 sen+4 sen+ cos e +sen e cos sin cos-e -40 -cos + - +sin 5

10 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 e. Il ite 0 cos si presenta nella forma ±. La quantità sotto radice cos è > 0 quando non è un multiplo di π, per cui il ite ha senso sia per 0 + che per 0. Nel ite da sinistra la forma non è indeterminata: 0 cos Per calcolare il ite da destra facciamo denominatore comune, trasformando la differenza in un rapporto, e poi cerchiamo di semplificare il denominatore sfruttando il ite notevole cost/t / per t 0: 0 + cos cos 0 + cos cos cos cos. cos }{{ } / 0 + cos cos cos Applicare all ultima espressione porta a complicazioni. Proviamo ad einare la radice anche al numeratore: cos cos cos cos+ cos 0 + cos + cos 0 + cos + + { cos }}{ 0 + cos cos sen I due iti unilaterali sono diversi. Concludiamo che il ite iniziale non esiste cos

11 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 f. Il ite n! n+ n n+ n + n! +n n si presenta nella forma /. Scomponiamo i numeratore e denominatore cercando degli appaiamenti: n! n+ n n+ n! +n n n+ fattori n+ fattori {}}{ n! n n n n nn n+ n! n+n+ n+ n+ fattori {}}{ {}}{ n n n n n n n n, nn n+ } {{ } n+n+ n+ n+ fattori {}}{ n n n n n n nn n+ n+ n {}}{ n n n n nn n+ n n n n n n n n n+ n n n n n+ } {{ } tutti fattori + n n. + n n n! n+ n n+ n n! +n n,00,7 4,56 4 7,99 5,9 6,6 7,50 8 5,6 9 78,40 0 7,77 75,0 58,96 80, , ,0 6 66, ,8 8 44, , ,58 L ultimo membro tende a + /e +. Per il teorema del confronto concludiamo che n! n+ n n+ n + n! +n n n n! n+ n n+ n!n+ n g. Il ite + + e / 7

12 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 si presenta nella forma indeterminata /. Riportiamola a un unico esponenziale e prepariamola per applicare : ep log + + e / eplog + e / ep log + + e / ep log + ep log + +. Dentro all ultimo esponenziale abbiamo una forma. Procediamo con : + + e / log + ep + ep log + ep + + ep ep + ++ ep ep ep ep ep e/ e. Provate per curiosità a calcolare cosa succederebbe se nell espressione e / del denominatore del ite di partenza trascurassimo l infinito di ordine inferiore /. Oppure se, dopo aver scritto + +, sostituissimo la sottoespressione + con il suo ite e. O entrambe le cose insieme. e + e a. La funzione f è definita dove il denominatore non si annulla. Il discriminante ridotto del denominatore è /4 < 0. Quindi il denominatore non si annulla mai, e il dominio di f è tutto R. Il segno di f si studia con lo schema seguente: valore di - segno di 4 + segno di segno e iti di f 8

13 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 b. Gli estremi del dominio sono ± e i relativi iti sono: f ± ± ± Il segno dei iti si deduce dallo studio del segno fatto poc anzi ±. c. Dai risultati precedenti deduciamo senza altri calcoli che c è un asintoto orizzontale all infinito, che è l asse. d. La derivata di f è f Il discriminante ridotto del numeratore 6 6 è / , e quindi f si annulla per { 4,7 +,. Lo studio del segno di f e della monotonia di f è nello schema seguente. valore di segno di segno di segno di f crescenza di f min loc ma loc e. Calcoliamo la derivata seconda, senza dimenticare di raccogliere e semplificare i fattori comuni prima di moltiplicare: f Lo studio del segno di f e della convessità/concavità di f è come segue: valore di -6-0 segno di segno di + segno di +6 segno di segno di f curvatura di f flesso flesso flesso 9

14 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 f. Il grafico di f ha l aspetto seguente. ma glob flessi min glob -.a. Nella formula della funzione g 8log l unica operazione che ha restrizioni è il logaritmo, il cui argomento deve essere > 0: + > 0 + > ± 4 R\{,} ± Gli estremi del dominio sono,,,+. I iti agli estremi si calcolano così: g 8log ± ± {}}{ 8log ± , g 0 + {}}{ 8log + log0 + valore finito, g 0 + {}}{ 8log + log0 + valore finito valore finito valore finito 0

15 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 b. Asintoti verticali sono le due rette,. Orizzontali niente. Vediamo se ce ne sono di obliqui: g m ± 8log ± ± log log log+log ± 8 log log+log ± log 0+0 log 0 {}}{ 6 log + log+ log ± Si è usato il ite notevole log / 0 per ±. Non ci sono asintoti obliqui. c. Calcoliamo la derivata, usando il fatto che la derivata di log è /: g D 8log D 8log + 8log Lo studio del segno della derivata è nello schema seguente: valore di segno di segno di 7-5 segno di segno di g crescenza di g d. Poiché la formula della funzione g mescola polinomi e logaritmi, non c è molta speranza di trovare delle formule simboliche esatte per gli zeri. Possiamo però usare il teorema dell esistenza degli zeri, i iti agli estremi e la monotonia già studiati per ricavare informazioni inoppugnabili sugli eventuali zeri. Cominciamo dall intervallo], [, su cui la funzione è continua e strettamente decrescente: all estremo sinistro il ite di g è +, all estremo destro è, per cui esiste uno zero di g in tale intervallo ed è unico. Su ],[ la funzione è continua, ma i iti di g agli estremi sono entrambi, dello stesso segno. Nel punto di massimo locale intermedio 7/5 la funzione ha un valore che non è facile valutare senza una calcolatrice. Però nel punto 0 il valore si calcola facilmente: flesso orizz. ma loc g0 8log log 0. Il punto 0 è pertanto uno zero esplicito esatto della funzione. Poiché la g è strettamente crescente su ],0] e su [0,7/5], non ci sono altri zeri su tali intervalli, e inoltre g7/5 > g0 0.

16 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 Sull intervallo [7/5, [ c è un unico zero della g, perché la funzione è continua, strettamente decrescente, e assume valori di segno opposto agli estremi. Sul rimanente intervallo ], + [ la funzione g ha un unico zero in quanto è continua, strettamente crescente e ha valori di segno opposto agli estremi. In totale abbiamo quattro zeri della g, dei quali uno è noto esattamente. + zeri della funzione + decrescente - crescente crescente decrescente 7 5 crescente - - e. Calcoliamo la derivata seconda: g D Il numeratore contiene un polinomio di terzo grado, di cui si trova sùbito la radice, e quindi si può scomporre con la regola di Ruffini: Quindi g Il discriminante di è , e quindi le due radici sono 5 ± 65/0, che sono circa,9 e,9. Lo studio del segno della derivata seconda è nello schema seguente: valore di segno di - segno di segno di segno di - segno di + segno di g curvatura di g flesso flesso flesso flesso

17 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 f. Un grafico di g con i punti notevoli: flessi ma loc -40 Nella figura il grafico attorno ai due flessi per 5 ± 65/0 è così rettilineo che i punto sono poco riconoscibili come flessi. Per capire la situazione bisogna allargare la visuale: lontano dall origine la g ha una curvatura che seguequelladellaparabolainrossoy 5 4, equindi in grande non è rettilinea. g Dobbiamo mettere successioni n+!/n n, n n, nlogn, +senn/n, n/logn, n!, + n n in ordine crescente, nel senso che la precedente sia o piccolo della successiva per n +. La prima cosa da fare è individuare i iti delle varie successioni, per metterli in ordine crescente. Dovremopoidistingueregliinfinitesimifraloroegliinfinitifraloro. Pern + lafunzionen n /n n tende evidentemente a 0, mentre n! tende a +. Due altri infiniti noti sono n/logn e nlogn, il primo leggermente minore di n e il secondo leggermente maggiore. Un altra funzione dal ite abbastanza facile è +senn/n, in quanto il numeratore +senn, sebbene sia oscillante, è sempre compresa fra e, mentre il denominatore tende all infinito, per cui la frazione tende a 0 per il teorema del confronto.

18 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 Rimangono due successioni con ite non ovvio. Una è n+!/n n, che è il rapporto fra due infiniti molto veloci. Proviamo ad espandere numeratore e denominatore e ad associare i fattori: n+ fattori {}}{ n+! n+nn n+nn n n n n n n+ {}}{ nn n+ n n n n n+ n n n > n+ n! +. {}}{ nn, tutti > {}}{ n n n+ n n+ n n! > Per il teorema del confronto, n+!/n n +. L ultima successione è + n n, il cui ite si può decidere per esempio passando ai logaritmi e usando il ite notevole log+t/t per t 0: + n n + n eplog + n ep n + n log n + ep nlogn + n + n ep n n + n log ep n + n log + n ep0 e 0. n + n n + n n Pertanto + n n è l unica delle successioni ad avere ite finito non nullo, e sarà quindi intermedia fra gli infinitesimi e gli infiniti. Confrontiamo i due infinitesimi n n e +senn/n facendo il rapporto: +senn/n n n +senn n n n nn +senn n n +. Per il teorema del confronto il rapporto tende a +, e quindi n n o + senn/n. La cosa era prevedibile se pensiamo che n n è il reciproco di n n, rinomato per essere un infinito molto veloce, mentre +senn/n va a zero non più velocemente di /n, che è un infinitesimo non veloce. Passiamo a confrontare gli infiniti. Abbiamo già osservato che n/logn è minore di nlogn, ma facciamo il conto del rapporto: n/logn nlogn log n + 0. Pertanto n/logn onlogn. Essendo nlogn poco più grande di n, ci aspettiamo che sia molto più piccolo di n!, che cresce molto veloce. Facciamo il conto, cercando di riportarci a iti noti: nlogn n! logn n! logn n n n n! È confermato che nlogn on!. Confrontiamo infine n+!/n n con n!, riciclando le disuguaglianze che abbiamo già trovato prima: n+!/n n n! > n+ n! n! n+ +. Quindi n! on+!/n n. Ricapitolando, le successioni nell ordine richiesto sono n n, +senn, n + n n, n logn, nlogn, n!, n+! n n. 4

19 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 L ordine risalta bene nel grafico in scala logaritmica: n+! 0 n n n! n logn n logn + n n +sinn n n -n n 5

20 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 5.a. La funzione razionale +/6 +5+ ha il numeratore di grado maggiore del denominatore. Facciamo la divisione di polinomi: Quindi abbiamo la decomposizione Il denominatore ha discriminante / , e quindi ha le due radici reali 5±/, cioè / e /. La funzione razionale che è rimasta si scompone i così , si può decomporre in somma di fratti più semplici imponendo A + + B + A++B+ ++ da cui, uguagliando i coefficienti dei numeratori al primo e all ultimo membro, A+B+A+B, ++ { A+B 7 A+B La decomposizione è complessivamente { A B 8. che si integra con le regole di base: , + 9 d log + log +. b. La funzione arcsen può essere riportata alla forma f / f : arcsen arcsen Darcsen arcsen f f D arcsenf. 6

21 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 Quindi d arcsenarcsen. arcsen c. La funzione si può scrivere nella forma f senf: senlog senlog senlog Dlog senlog 4 Dlog senlog 4 f senf. Quindi senlog d 4 cosf 4 coslog. d. Per calcolare una primitiva di log + proviamo per parti due volte, mirando ad abbassare di grado e poi einare il logaritmo: log +d D log +d log + D log + d log + log+ D log+ d log + log+ d + log + + log+d log log+d + log + + log+d + log + D +log+ log+d log + +log+ log log+ + d log log+ + log+ log ++ d log + log log+ D log+ d + log + log d+ + log + 7

22 Analisi Matematica, A Svolgimento 6 giugno 05 log + log log+ log log log++ log Nell integrale facciamo la sostituzione suggerita y + + d +. Esprimiamo in funzione di y 0: y + y + y y. Il differenziale d diventa Sostituiamo nell integrale: + + Torniamo alla variabile originaria : d D y y dy y y ydy y dy. d d + + y +y y dy y y +y y y dy y +y dy + +y +y dy log +y +y log +y +y. + d log y +y dy +. 8