In caso di derivati. Maria Elena De Giuli, Mario Alessandro Maggi, Umberto Magnani, Eduardo Rossi. 25 Febbraio 2002 (release der27.

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1 In caso di derivati Maria Elena De Giuli, Mario Alessandro Maggi, Umberto Magnani, Eduardo Rossi 25 Febbraio 2002 (release der27.tex)

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3 Indice Prefazione xi 1 Introduzione Storia brevissima degli ultimi 30 anni Unesercizio Il modello binomiale Ilmodellomono-periodale Ilmodello Portafogliearbitraggio Derivatielorovalutazione Unesercizio Ilmodellomulti-periodale Ilmodello Portafogliearbitraggio Derivatielorovalutazione Unesercizio Postilla Calcolo stocastico in pillole Introduzione Informazione IntegralediItô Martingale LaformuladiItô LaformuladiItôinformaintegrale LaformuladiItômulti-dimensionale Primavariante Seconda Eds e Edp Introduzione Motobrownianogeometrico iii

4 iv Indice 4.3 Eds eteoremadifeynman-kač Derivati a tempo continuo Portafogli auto-finanzianti Portafoglirelativi Derivatiearbitraggio Il modello B & S: le basi IlmodelloB&S IlmodelloB&Sgeneralizzato Problemi di completezza Completezza del mercato Completezza del modello b&s Valutazioneneutralerispettoalrischio BlackeScholesscendonodalpero Iconti Laformulapratica Programmi freeware Opzioni e effettoleva Il modello B & S: complementi Introduzione Principiodilinearitàdellevalutazioni Volatilità Volatilitàstorica Volatilitàimplicita Superficidivolatilità Volatilitàstocastica I greci Cosasono Delta- e gamma-hedging Relazione di parità put-call Copertura statica (buy and hold) edinamica Criticheedestensioni Attentiallescorciatoie! Copertura dinamica e costi di transazione Linearitàaddio? Sono tutti price-taker? Incertezzaneiparametri Volatilitàincerta Coperturastaticaottimale Unesercizio Wienernonbasta

5 Indice v Reti neurali artificiali Opzioni con dividendi, su valute e su merci Opzionicondividendi Dividendicontinui Dividendidiscreti Opzionisuvalute Opzionisumerci Alla fiera dei derivati Opzionibinarie Opzioni leaps e flex Portafoglidiopzionieuropee Portafogli spread Portafogli straddle e strangle Altrianimalidellozoo Warrant ebondconvertibili(rinvio) Opzioniamericane(inpillole) Call americana: meglio viva o morta? Quando uccidere una put americana e perché Opzioniesotiche Forward e futures (cenni) Forward Futures Opzione su un futures Derivati su più beni Introduzione Valutazione Copertura Mercati incompleti Un attivitàsottostantenontrattata Piùattivitàsottostantinontrattate Applicazioni di interesse aziendale Alcuniderivatisuitassi Introduzione Contratti cap, floor, collar Mutui a tasso variabile con opzione cap Swaption suitassi Contratti equity linked Applicazioni di Corporate Finance

6 vi Indice Avvertenze Valutazionediun impresa Warrant Bond convertibili Opzionireali Il valore dell impresa: un rompicapo? Pattinaggio sul ghiaccio sottile Misuraegestionedelrischio Il VaR: value at risk Il sistema RiskMetrics TM Il sistema CreditMetrics TM In caso di crash: laregola di platino CrashMetrics TM Modelli sui tassi di interesse Notazionieipotesidibase Lastrutturaaterminedeitassi Introduzione Inunmondoincerto Modellisulmercatodeibond Modellisultassoprivodirischio Modellidimartingalasultassoprivodirischio Introduzione Stimadeiparametri Strutture a termine affini Alcunimodellistandard Modellisultassoistantaneoforward LastrutturadiHeath-Jarrow-Morton Le condizioni sul drift nel modello a martingala Richiami assortiti (strumenti) Richiamidialgebralineare Confronti tra vettori Teoremidell alternativalineari Richiamidicalcolointegrale IntegralediRiemann-Stiltjes Teorema di derivazione sotto il segno di integrale Richiami sulle equazioni differenziali EDO EDP RichiamidiCalcolodelleProbabilità Teoriadegliinsiemieprobabilità Assiomi

7 Indice vii Misureequivalenti Variabilialeatorie Indicatori (valore atteso, quantili, momenti) Alcunev.a.notevoli Indipendenzastocastica Correlazione Probabilitàcondizionate Valore atteso condizionato Informazione e valore atteso condizionato Convergenze di successioni di v.a Legge forte dei grandi numeri Processistocastici Processimarkoviani IlprocessodiPoisson Martingale Richiami assortiti (applicazioni) Free lunch e asset pricing Portafoglidisuper-replica Tassiatermine Leggi di capitalizzazione ad una variabile Leggiapiùvariabili Leggi a 2 variabili Leggi a 3 variabili Tassi e intensità forward (atermine) Duration eimmunizzazione Immunizzazione La duration La convexity Immunizzazione locale e convexity Portafoglio di copertura (caso di una uscita) Portafoglio di copertura (caso di più uscite) Il caso di struttura dei tassi non piatta Varieedeventuali

8 .

9 afulvioericcardo Maria Elena alla mia nonna Mary Mario a Giugia, Macho e Ñello Umberto a Maddalena Eduardo

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11 Fortunately, we think, there is no contradiction in the field of investments between the pursuit of truth and the pursuit of money. (Z. Bodie, A. Kane, A.J. Marcus, Investments, Irwin, 1993, p. v) Prefazione Questo volume rielabora alcune dispense preparate per i corsi di Economia dei mercati monetari e finanziari, Matematica Finanziaria, Matematica per l Economia, Matematica per le decisioni della Finanza Aziendale e Modelli matematici per i mercati finanziari, che abbiamo tenuto negli ultimi anni. I principali testi di riferimento usati nei corsi sono i manuali di Björk [9] e di Wilmott [53] (ai quali dobbiamo davvero molto), integrati in alcune parti coi testi [7], [42], [52] e con altro materiale. Al pari di quella più ampia della Finanza Matematica, l area dei prodotti derivati ha assunto da tempo le caratteristiche tipiche di un area vulcanica che si sta espandendo. Abbiamo fatto del nostro meglio per renderne conto, sia pur restando entro dimensioni ragionevoli, ma dobbiamo riconoscere che questo volume presenta parecchie lacune: alcuni argomenti, anche oramai classici, sono trattati in modo superficiale e sbrigativo, altri addirittura mancano del tutto. In diversi punti traspare un nostro preconcetto, quello che ci vede convinti da un lato che la Matematica sia uno strumento formidabile per fornire una chiave di lettura insostituibile nell analisi dei derivati, ma dall altro che soltanto l integrazione con gli altri corsi della Facoltà possa fornire una visione un po più completa. Il livello della Matematica che qui usiamo è piuttosto basso e informale, al punto che spesso abbiamo preferito rinunciare a dimostrazioni vere e proprie, ripiegando sul cosiddetto approccio euristico, soffice oggetto mai definito con precisione ma dal nome rassicurante. Non potendo prevedere, a monte dei corsi indicati, la frequenza ad un corso di Calcolo delle Probabilità, abbiamo dovuto fare di necessità virtù. In altre parole, ci siamo dati da fare per rendere minimo il ricorso a nozioni non proprio terra-terra di teoria della misura. Il compromessocheneèuscitoèdavvero discutibile, tant è che ci stiamo già ripensando. I necessari richiami di Calcolo delle Probabilità sono raccolti nel capitolo 14, che è bene leggersi per primo e che contiene pure un paragrafo sui teoremi dell alternativa lineare e uno stringatissimo riferimento alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. AglielementidiCalcoloStocastico (sia pure in pillole ) è dedicato il capitolo 3. Il capitolo 15 gestisce alcune applicazioni di algebra lineare (teorema fondamentaledell assetpricingeportafoglidisuper-replica)erichiamacose xi

12 xii Prefazione standard di Matematica Finanziaria classica (leggi di capitalizzazione a più variabili, duration e immunizzazione classica). Occorre aggiungere qualcosa sulla notazione che abbiamo utilizzato. Purtroppo la letteratura sui derivati, quasi tutta in inglese, si è scelta molti termini e simboli tutti suoi. Anche se alcuni li giudicano qua e là demenziali e vagamente terroristici (una specie di barriera all entrata, antipatica proprio perché inutile), allontanarsene in modo radicale avrebbe rischiato di produrre un esito paradossale: quello di creare poi serie difficoltà allo Studente che questo è il nostro augurio si mette a leggere testi originali. Dunque anche sulla notazione e sui termini abbiamo dovuto adottare un compromesso, che comprende pure la non-traduzione in Italiano di alcuni termini standard. Anche se siamo in quattro, abbiamo preferito mettere sempre i verbi al singolare: questa forma ci è parsa più immediata, perciò preferibile dal punto di vista didattico. Siamo persone moderatamente intelligenti, dunque senz altro abbiamo infarcito il nostro prodotto con una infinità numerabile di errori di vario tipo 1. Pagheremo volentieri da bere a tutti coloro che vorranno segnalarcene qualcuno 2. Per risparmiare spazio abbiamo usato molte abbreviazioni, soprattutto quelle riassunte nella tabella che segue. Pavia, Febbraio 2002 (M.E. De Giuli, M.A. Maggi, U. Magnani, E. Rossi) Abbreviazioni più comuni arb.free arbitrage free b&s Black e Scholes cb coupon bond (titolo con cedole) E valor medio (o atteso) ed equazione differenziale edo ed ordinaria edp ed alle derivate parziali eds ed stocastica paf portafoglio auto-finanziante P probabilità p.s. processo stocastico v.a. variabile aleatoria zcb zero coupon bond., (virgola nei decimali) 1 IltestoèstatocompostodanoiconScientific WorkPlace Sono già creditori di una bevuta moltissimi Studenti dei corsi sopra indicati presso le Facoltà di Economia delle Università di Pavia e dell Insubria (sede di Varese), nonché di Scienze mfn, Corso di laurea in Matematica, Università del Piemonte Orientale (sede di Alessandria).

13 Unfortunately, as the mathematics of finance reaches higher levels so the level of common sense seems to drop. (P. Wilmott, [54], p. 1) Capitolo 1 Introduzione 1.1 Storia brevissima degli ultimi 30 anni I cosiddetti prodotti derivati sono particolari contratti finanziari i cui effetti alla scadenza finale dipendono dal valore, ignoto in partenza, che a quell istante avranno altri oggetti (attività finanziarie o beni di altra natura). Il derivato più classico è l opzione call: pagando subito il relativo prezzo di acquisto, essa conferisce il diritto (ma non il dovere) di acquistare ad una certa scadenza futura un bene, in quantità e qualità ben precise, ad un prezzo prefissato. I derivati più semplici sono vecchi come il Cucco 1. Il mercato dei derivati è letteralmente esploso a partire dagli anni 70, raggiungendo dimensioni paurose, tant è che le transazioni nel 2000 del mercato mondiale dei derivati sono state stimate sui miliardi di $ usa. Questa esplosione può essere vista anche come effetto dei grossi cambiamenti economici avvenuti proprio in quegli anni. Dal dopoguerra alla fine degli anni 60 gli investitori alla ricerca della sicurezza trovavano nei titoli a reddito fisso un vero e proprio impiego senza rischio: la stabilità dei tassi di interesse non provocava variazioni significative dei corsi di quei titoli. Invece, a partire dalla fine degli anni 60 e, peggio ancora, nei primi anni 70, le cose cambiarono. Senza perderci in dettagli, quegli anni furono caratterizzati da un aumento enorme dell incertezza sul futuro, anche a causa della delicata situazione politica internazionale. Il maggior rischio presente sui mercati, combinato con l aumento 1 Forse il caso più antico risale al 1700 circa a.c.. Nella Genesi si racconta di come Giacobbe acquistò un opzione che gli dava il diritto, ma non il dovere, di sposare Rachele, figlia di Labano. Gli costò l equivalente di circa 7 anni di lavoro. Ma le cose andarono storte e Giacobbe fu obbligato da Labano a sposare Lia, sorella maggiore di Rachele. Non contento, più tardi acquistò, allo stesso prezzo, un altra opzione (ma forse era un contratto forward), che gli consentì di sposare finalmente Rachele. Così si ritrovò con: due mogli, qualche tensione in famiglia, e 12 figli, che diventarono i patriarchi delle 12 tribù di Israele. Queste notizie escono da un saggio di Chance ([14]) sulla storia dei derivati. 1

14 2 Capitolo 1. Introduzione del ricorso di molti Stati al debito pubblico e con l inflazione galoppante 2,hanno prodotto, oltre che l aumento dei tassi di interesse, una grande instabilità generale. Le quotazioni dei titoli sono divenute estremamente volatili ed anche i titoli a reddito fisso hanno visto fluttuare i loro corsi, diventando anch essi investimenti in qualche modo rischiosi. Poiché gli investitori che odiano il rischio non erano invece scomparsi, si è generata una forte domanda sul mercato di strumenti in grado di eliminare o di meglio gestire il rischio dei portafogli, cioè i prodotti derivati. Proprio per questo sono nati e cresciuti veri e propri mercati di copertura organizzati e regolamentati. La prima Borsa specializzata in derivati fu aperta a Chicago nel 73 (la cboe: Chicago Board Options Exchange). Quest anno vide anche la pubblicazione del più noto saggio sui derivati. Si tratta di un articolo di F. Black e M. Scholes [11] apparso, con almeno 4 anni di ritardo e dopo vari rifiuti da parte di riviste specializzate, sul Journal of Political Economy, rivista di grosso prestigio ma forse un po eccentrica rispetto a quelle cose. Non molto meglio andò al saggio di R.C. Merton [36], anch esso di quell anno. I due saggi ponevano finalmente su basi razionali il problema della corretta valutazione del prezzo di un opzione assumendo, tra l altro, l ipotesi che non esistessero possibilità di arbitraggio, cioè in grado di garantire un profitto senza esporsi a qualche rischio. In particolare, il contributo di Black e Scholes, che è il più noto, definiva una precisa strategia per replicare l opzione, cioè per costruire un portafoglio che in ogni caso riproduceva perfettamente gli effetti dell opzione, quindi identificava il prezzo del derivato semplicemente nel costo necessario per formare questo portafoglio. Il problema veniva poi ricondotto alla soluzione di una edp (equazione alle derivate parziali), soluzione riassunta in una formula esplicita, di interesse pratico immediato perché di facile calcolo. Quei due saggi ebbero vita dura anche dopo la loro pubblicazione, poiché le regole pratiche di valutazione che essi proponevano erano in grave contrasto con la prassi corrente e con le credenze più popolari presso gli operatori. Tuttavia la portata di quei contributi fu poi riconosciuta e dalla metà degli anni 70, in parallelo con l esplosione del mercato dei derivati, è iniziata una vera e propria fioritura di studi matematici specializzati per la valutazione dei derivati e per il loro impiego nella copertura di rischi finanziari. Nel 97 fu conferito il premio Nobel a Scholes (Black era deceduto due anni prima) ed a Merton. Oggi quest area di studi ha persino nomi propri (Finanza Matematica, Ingegneria Finanziaria, ecc.) e da parecchi anni i suoi risultati fondamentali sono ormai diventati standard nella didattica di base di molte Facoltà di Economia e similari. Negli anni 80, mentre da un lato si è cercato di adattare il modello originale di Black, Scholes e Merton all analisi dei derivati non standard (come 2 I corsi di Economia Politica e di Politica Economica forniscono un analisi accurata di questi fattori, tra loro intimamente legati.

15 1.2. Un esercizio 3 quelli sui tassi di interesse), dall altro è emerso pian piano uno sforzo di seria revisione critica delle diverse ipotesi del modello. Negli anni 90 (è ovvio che questa temporizzazione è soltanto di comodo), accanto ad un crescente livello di sofisticazione nella modellistica, questo sforzo è diventato sistematico ed ha condotto a una revisione dei fondamenti stessi della disciplina. Sono infatti emerse alcune nuove proposte per gestire in modo più realistico l incertezza, specialmente quella che emerge nei periodi anomali di crollo dei mercati, mediante una modellistica più povera nelle ipotesi ma più realistica nelle raccomandazioni operative. A questo richiamo verso il realismo hanno contribuito anche alcune esperienze concrete di veri e propri crolli di Società per la gestione di derivati condotte con incredibile leggerezza: l ultimo grosso esempio è il crollo della americana ltcm (Long-Term Capital Management) nel Settembre 98. Si è anche fatto strada il sospetto che molti tra coloro che acquistano, vendono e gestiscono derivati non sappiano bene che cosa hanno in mano e preferiscano fidarsi di modelli elaborati che non capiscono: un esempio quasi perfetto di abuso e misuso della Matematica, della Statistica e del Calcolo delle Probabilità. Oggi come oggi, il futuro dei mercati finanziari è davvero incerto e pieno di pericoli e il ruolo di quelle discipline diventerà sempre più delicato. È bene associarsi all augurio di P. Wilmott ([54], p. 11): Il buon senso comune ritornerà, sostituendo la fiducia cieca nei modelli matematici. 1.2 Un esercizio Prima di introdurre qualche apparato teorico è utile mettere subito le mani in un problema che illustra l uso di strumenti derivati. Costruisco quindi un esempio, simile ad un altro proposto in [9]. Sono un impresa che all epoca futura T =3mesi da oggi dovrà pagare ad un fornitore estero $ usa, da comprare spendendo C (Euro), correndo così un rischio di cambio. Oggi il cambio è 0.90 $ per1 C. Hoqueste3 strade: Compro oggi $ spendendo /0.9 ' C, poi lascio questi $ in un conto bancario fruttifero. Vantaggi: via il dente, via il dolore. Svantaggi: congelo un sacco di soldi, di cui oggi magari non dispongo; inoltre rischio di mangiarmi le mani tra 3 mesi se il cambio salirà sopra la quotazione odierma Firmo un contratto forward per l acquisto di $ tra 3 mesi: è un contratto con consegna e pagamento differiti, col quale mi garantisco oggi di comprare tra 3 mesi quanto mi serve, a un prezzo pattuito fin d ora (prezzo forward). Vantaggi: metto le mani avanti senza avere oggi alcun esborso di denaro, né per acquistare valuta, né per sottoscrivere il forward, che infatti oggi non mi costa nulla. Svantaggi: è vero che non

16 4 Capitolo 1. Introduzione pago nulla oggi, però mi vincolo troppo e magari domani mi mangio le mani se il $ scende. Pagando oggi il relativo prezzo, detto premio, divento detentore (holder, titolare) di una opzione call: è un contratto nel quale si fissa oggi un prezzo K (prezzo di esercizio, strike price 3 ) al quale acquisterò dalla mia controparte $ tra T = 3 mesi (data di esercizio, expiration date, maturity), ma solo se mi converrà, cioè solo se a T la quotazione del $ sarà sopra K, mentre in caso contrario acquisterò quanto mi serve direttamente sul mercato e pagando a T il cosiddetto prezzo spot (prezzo apronti) che in quel momento troverò. Vantaggi: la call mi conferisce diritti ma non doveri (eserciterò l opzione se mi converrà, altrimenti la abbandonerò) e soprattutto mi assicura contro una quotazione futura del $superioreak; sesonosfortunato,lamiaperditasilimitaalpremio che oggi pago, mentre il mio profitto futuro è potenzialmente illimitato. Svantaggi: come tutte le cose utili, l opzione oggi mi costa, tanto più quanto più basso è K. La mia controparte nell opzione call che detengo è detta writer o sottoscrittore (difatti la firma, come fosse una cambiale). Esiste anche l opzione simmetrica alla call: è l opzione put, che conferisce il diritto, ma non il dovere, di vendere a T una prefissata quantità di un ben preciso bene ad un prezzo di esercizio K prefissato. Le opzioni call e put di cui parlo sono dette opzioni europee, perché si possono esercitare solo alla scadenza T,quelle americane invece si possono esercitare anche prima di T. Non è vero che le europee/americane si trattano solo in Europa/usa. Il bene (il dollaro usa nel mio esempio) al quale si riferisce l opzione call è detto bene sottostante (o principale, o sul quale è scritta l opzione). L opzione è un prodotto finanziario derivato, in breve: è un derivato, perché deriva il proprio valore, perciò il proprio prezzo, da quello del bene sottostante; in particolare, alla scadenza finale T il flusso di cassa T 0 (pay-off )prodottodal derivato dipende dal prezzo di mercato a T del sottostante 4. In questo senso si suole dire che il detentore di un opzione è titolare di un diritto futuro di tipo aleatorio (stochastic claim, contingent claim). Sui mercati sono trattate opzioni sui beni più vari ($ usa come nell esempio, ma anche fieno, petrolio, quarti di manzo, metalli, bottiglie di Brunello di Montalcino, azioni ibm, ecc.: ce n è per tutti i gusti), con diverse date di esercizio T econdiversiprezzidieserciziok. Naturalmente occorre che il bene abbia qualità tipizzate in modo ben preciso e ampio mercato. In più, le quantità, i prezzi di esercizio e le date di esercizio sono piuttosto standardizzate (la 3 Alcuni lo chiamano prezzo del contratto, ma questo termine è fuorviante. 4 Il grafico del pay-off finale al variare del prezzo finale S T del sottostante sta a pag. 14.

17 1.2. Un esercizio 5 cosiddetta serie delledatenecomprendepocheefisse, di solito 3, 6 e 9 mesi), soprattutto per favorire la compravendita delle opzioni, a prezzi che vengono giornalmente quotati nelle Borse specializzate. Presso ognuna di queste esiste anche una stanza di compensazione (clearing house) per registrare i contratti e sveltirne la gestione. In particolare esso gestisce il deposito fruttifero (margine) che chi lavora con certi derivati (ad esempio i futures) deve versare a garanzia dei propri obblighi futuri, margine che va tenuto aggiornato sorvegliando giornalmente l andamento del prezzo del sottostante 5. Ovviamente, il detentore di un opzione call spera in cuor suo che il sottostante registri un rialzo di prezzo (si dice che è un toro ovvero bull), mentre il sottoscrittore spera in un ribasso (è un orso, ovverobear ). Visto che il guadagno o la perdita su una opzione sono legati non tanto al prezzo corrente del sottostante, quanto invece alle sue variazioni future, emerge una sorta di effetto leva di tutto rispetto. Esistono molti altri tipi di derivati oltre alle opzioni e per alcuni beni il mercato del derivato assume dimensioni addirittura più ampie di quello del sottostante e/o il derivato è più liquido del sottostante. Sono tutti prodotti di ingegneria finanziaria, all inizio usati a scopo assicurativo (nell esempio, coprirsi contro il rischio di cambio; questo scopo spiega l uso del termine premio, tipico dei contratti di assicurazione), poi sempre più spesso trattati a scopo speculativo vero e proprio. Nei mercati finanziari esistono infatti diversi animali: uno di questi è lo hedger, che si muove per coprire un rischio di qualche tipo (di cambio, nell esempio); un altro è lo speculatore, che si muove nella speranza di vincere una scommessa che egli fa sul futuro comportamento di qualche prezzo; un altro ancora è l arbitraggista (in inglese e francese arbitrageur: si tratta di un operatore astuto e ben informato), che cerca di entrare in più transazioni simultanee che gli garantiscano un profitto certo immediato. Ciascuno di questi personaggi svolge un ruolo essenziale per il corretto funzionamento di questa specie di ecosistema (come la gazzella, il leone e la iena in una savana): lo hedger desidera cedere un rischio e trova nello speculatore la sua controparte che lo assume, mentre l arbitraggista concorre per ottenere un mercato più liquido e più efficiente. Devo anche sottolineare che molti, lasciandosi ingannare dalle apparenze, sbagliano nel giudicare il mercato dei derivati 5 In Italia il mercato ufficiale dei derivati (idem: Italian Derivatives Market) funzionadal Novembre 1994, è gestito dalla BorsaItalianaSpAe tratta soprattutto derivati sull indice mib30 e sui principali titoli azionari. Il documento Covered Warrant, preparato dalla Consob (www.consob.it),èsempliceebenfatto,perciòlasualetturaèdavveroraccomandabile, specialmente per i non-esperti.

18 6 Capitolo 1. Introduzione alla stregua di un colossale gioco a somma zero, nel quale i profitti di qualcuno sono le perdite degli altri. In realtà, per usare una frase presa da uno dei migliori manuali di Finanza Matematica ([34], pag. x), si può tranquillamente affermare che la proliferazione degli strumenti finanziari derivati è stata ed è tuttora un fattore davvero importante per migliorare l efficienza di un intero sistema economico. L opzione è anche, per così dire, uno dei mattoni fondamentali coi quali costruire altri prodotti derivati più complessi. Per fissare le idee mi occuperò anzi tutto di determinare in modo razionale il prezzo di una call europea. Il concetto di opzione, intesa non come contratto di Borsa, ma come possibilità che si ha il diritto (ma non l obbligo) di sfruttare in futuro, è rilevante anche in varie discipline, ad esempio nella Teoria delle Decisioni e nella Finanza ed Economia Aziendale. Per avere un esempio, basta pensare alla possibilità di decidere subito la costruzione di uno stabile su un area fabbricabile di cui si dispone, oppure di venderla, oppure di tenerla ancora libera: si tratta di decisioni che vanno prese (anche) in rapporto all andamento dei prezzi correnti e futuri delle aree e dei fabbricati; oppure alla possibilità di attivare un impianto addizionale per soddisfare la domanda in periodi di punta, salvo poi disattivarlo. Situazioni di questo tipo sono modellizzabili proprio come particolari opzioni (dette opzioni reali), dove il sottostante è, ad esempio, il valore di un progetto economico-finanziario. Ancora: i semplici schemi per la valutazione di opzioni classiche si prestano per valutare le stesse componenti del capitale di un impresa, nonché titoli convertibili, warrant ed un ampia varietà di strumenti e contratti finanziari (mutui a tasso variabile, assicurazioni, swap sui tassi di interesse, contratti cap e floor, ecc.): ne parlerò nel cap. 12.

19 Non c è niente di più pratico di una buona teoria. (frase, assai amata dagli autori, attribuita a L. Boltzmann) Capitolo 2 Il modello binomiale Lo scopo di questo capitolo è: introdurre, all interno di un modellino molto semplice,iprincìpifondamentaliperlavalutazionediderivati. Traimodelli per valutare derivati, quello binomiale è il più semplice, perciò ha un buon interesse didattico. Comincio con una sua versione mignon nel par. 2.1, mentre la versione più completa la vedo nel par Quest ultima viene talvolta usata anche nella pratica, almeno in alcune varianti che comprendono riformulazioni ed affinamenti sulla strada di un maggior realismo. In entrambi i casi il principio fondamentale del modello binomiale, così come di tutti i cosiddetti modelli di arbitraggio, sta tutto nella seguente Brillante pensata: costruisco un portafoglio a) privo di rischio e che b) in ogni caso produrrà gli stessi effetti futuri del derivato; poi sfrutto l ipotesi di assenza di arbitraggio e impongo che il prezzo del derivato eguagli il costo di questoportafogliocheneriproduceglieffetti. 2.1 Il modello mono-periodale Il modello Ho 2 scadenze: t =0(oggi), t = T =1(tra un anno, diciamo domani ), e 2 beni: un bond (titolo di puro sconto, cioè bot, certificato di credito, buono o altro zcb; l importante è che il titolo abbia un tasso di interesse prefissato e che sia default-free, cioè che non ci siano rischi di insolvenza); una azione (in inglese: stock), 7

20 8 Capitolo 2. Il modello binomiale i cui prezzi indico così: B t = prezzo a t di un bond, S t = prezzo a t di un azione, 1. I prezzi dei 2 beni sono descritti da 2 distinti processi di prezzo. Quellodel bond è deterministico: ( B0 =1, B 1 =1+r, con r>0. B 0 =1vuol dire che mi riferisco a una lira investita a 0 nel bond. Potrei scegliere diversamente B 0 (per esempio, B 0 =1milione), ma non cambierebbe granché. r>0 è il tasso di interesse periodale (per esempio, annuo), fisso e deterministico, perché il bond è privo di rischio. Il processo di prezzo dell azione è invece stocastico, cioè aleatorio: S 0 > 0 (che conosco a t =0), ( S0 u, con P = p u > 0, S 1 = con p u + p d =1, 0 <d<u, S 0 d, con P = p d > 0, essendo u (dall inglese up =su)ed (da down = giù) i fattori di rialzo e di ribasso nel valore dell azione 2. Posso anche scrivere ( u, con P = pu, S 1 = S 0 Z,conZ = d, con P = p d, (2.1.1) e indicare con P =(p u,p d ) la distribuzione della v.a. Z. p u e p d sono dette probabilità effettive, (vere, reali, oggettive), cioè che davvero competono alla Z; perciò P è detta misura di probabilità effettiva (vera, reale, oggettiva). Si parla di modello binomiale perché Z è v.a.a 2 soli valori. Riassumo: bond: 1 1+r azione: S 0 % & S 0 u S 0 d 1 Se B t sta per il prezzo del bond (buono), buon senso vorrebbe che il prezzo dell azione si indicasse con A t, visto che azione comincia con la a. Seguendo una convenzione alla quale è vano opporsi, scrivo invece S t : in inglese azione si dice stock, parola che inizia con la lettera s e dappertutto così si scrive. 2 Attenzione: (i) questo u non va confuso col binomio di capitalizzazione u =(1+i) con i tasso unitario di interesse; (ii) questo d non va confuso col tasso unitario di sconto, né col simbolo di differenziale.

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