ANALISI VETTORIALE COMPITO PER CASA DEL 28/11/2012. Esercizio 1 Calcolare la 24esima derivata del logaritmo nel punto 1. = a 24 24!

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1 ANALISI VETTOIALE COMPITO PE CASA EL 8// Esercizio Calcolare la 4esima derivata del logaritmo nel punto. isposta Si tratta di calcolare d 4 d 4 log( + ) a 4 4! dove a 4 è il termine di indice n 4 nello sviluppo di Maclaurin di log( + ), per cui log( + ) ( ) n+ n d 4 d 4 log(y) y (4!) 4!. n Esercizio Esprimere sotto forma di serie l integrale e d. isposta allo sviluppo in serie e n valido in tutto, in particolare dunque con convergenza uniforme nell intervallo [, ], ricaviamo la richiesta espressione dell integrale: n n n! n n! n n!, n d n n!(n + ). Questa identità non consente di ricavare esattamente il valore numerico dell integrale, ma pur tuttavia di approssimarlo coi valori delle ridotte della serie. Concludiamo osservando che la funzione n+ n!(n + ) n fornisce sotto forma di serie di potenze una primitiva della celeberrima funzione e. Esercizio Studiare la convergenza della serie di funzioni n ( ) n (n + ) n + log n ().

2 isposta La serie ha senso per > ; inoltre, ponendo y log(), ci riconduciamo allo studio della serie di potenze ( ) n (n + ) n y n. + Ora, siccome lim n n n an lim n n n + n +, il raggio di convergenza della serie è uguale ad. Quindi la serie converge assolutamente nell intervallo ], [ e uniformemente negli intervalli chiusi di ], [. Vediamo cosa succede agli estremi. Per y otteniamo la serie a termini positivi n che si comporta come la serie armonica n n n n + n +, ed è quindi divergente. Per y abbiamo la serie ( ) n (n + ) n + questa è una serie a segni alterni, che converge grazie al criterio di Leibniz. Tornando alla serie di funzioni iniziale, abbiamo che essa converge assolutamente per < log() <, ovvero nell intervallo (e, e), e totalmente, dunque uniformemente, in tutti gli intervalli chiusi contenuti in (e, e). Esercizio 4 opo aver studiato la convergenza della seguente serie di funzioni f() ne n, n si calcoli f() d. isposta Possiamo studiare questa serie ponendo y e e considerando la serie di potenze ny n. n Questa ha raggio di convergenza uguale ad, per cui fissato un qualsiasi intervallo compatto [a, b] (, ), abbiamo convergenza totale in tutti gli insiemi delle tali che e [a, b]. In particolare avremo convergenza totale in tutti gli insiemi del tipo [ɛ, + ) con ɛ >. Lo studio precedente ci assicura che in particolare la serie converge uniformemente nell intervallo [, ], per cui ne n n e n n e n e n n n n

3 e e e e. Esercizio 5 Si determini esplicitamente la funzione f() data dalla serie di potenze n nn. isposta Cerchiamo di ricondurci ad una serie di cui conosciamo la somma. Osserviamo comunque che la funzione f è definita nell insieme (, ) dove converge la serie di potenze data. Se poniamo y la serie diventa ny n y ny n. Sappiamo inoltre che n ( ny n d ) y n d ( ) dy dy y n ( y). Tornando alla nostra funzione iniziale e ricordando che y abbiamo f() ( ). Esercizio 6 Calcolare i seguenti integrali doppi su rettangoli: I sin( + y) d dy, [, π/] [, π]; I I I ( + 4y) ddy, [, ] [, ]; y ddy, [, ] [, ]; + ( y + y ) ddy, [, 4] [, ]; isposta Per il calcolo di tutti gli integrali doppi di questo esercizio, dal momento che i domini di integrazione sono rettangoli, si possono applicare le formule di riduzione sia procedendo prima in y e poi in che viceversa. Mostriamo entrambi i procedimenti soltanto per il primo integrale: I / d sin( + y)dy / [ ] cos( + y) yπ y d oppure I / dy [ cos( + π) + cos()] d / sin( + y)d [ cos(y + π/) + cos(y)] dy [ / cos()d ] cos( + y) π/ dy [ sin(y) + cos(y)] dy.

4 Passiamo agli altri integrali. I I I d d ( + 4y) dy + d ( y + y ) dy y dy [ log + log log ] 4 [y + y ] d [ log( + ) ] ] [ log y + y d [ y ( + ) d. ] 9 log. ( log + ) d 8 log log + 4 log log log Esercizio 7 isegnare l insieme piano e calcolare l integrale doppio S : 5, I S y d dy. y isposta L integrale doppio si calcola secondo la formula di riduzione 5 I d dy d y y dy 5 S / ( ) ( ) 4 d Il valore trovato è il volume del solido costruito su S e coperto dal grafico della funzione z /y. Esercizio 8 Siano f(, y) (y + ) cos( + y), {(, y) y, y }. Calcolare I f(, y) ddy. isposta è un dominio normale rispetto all asse y, per cui I dy y (y+) cos(+y) d (y+)[sin(+y) sin(y+y )] dy cos + sin. Esercizio 9 Sia { y + }: 4

5 (i) disegnare e calcolarne l area A(), (ii) calcolare le coordinate del baricentro G d dy, y G A() A() (iii) calcolare il momento d inerzia rispetto all asse y I d dy. y d dy, isposta Innanzitutto, A() y d dy d dy d dy d d + a qui seguono le coordinate del baricentro d + + dy dy y dy G, y G 4 5. ( )d 4 ( )d ( 4 + ) d 6 5. Infine I d dy d + dy ( )d 4 5. Esercizio Calcolare I y ddy dove è il dominio compreso tra le curve y e y + 6. isposta è normale rispetto a entrambi gli assi, ma scegliere l uno o l altro asse di riferimento incide abbastanza sulla facilità di calcolo di I. Infatti prendendo come dominio normale rispetto all asse y otteniamo: I y+ y dy d y y [ ] y+ y dy ] 4 [ y6 4 + y4 + y 4y 6. ) ( y y + y 8y dy Invece prendendo come dominio normale rispetto all asse dovremmo fare il calcolo, (ancora) più noioso, di d y dy + d y dy. +6 5

6 Esercizio Calcolare I dove T è il triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ). T sin y ddy isposta i nuovo abbiamo un dominio normale rispetto a entrambi gli assi. Stavolta, però, prenderlo normale rispetto all asse ci farebbe andare a sbattere sull integrale di una funzione che non è derivata di una funzione elementare: I d sin y dy. Prendendo invece normale rispetto all asse y otteniamo subito I y sin y dy dy y sin y dy ( cos ). 6