Effetto Zeeman in atomi idrogenoidi

Transcript

1 Università degi Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennae in Fisica Corso di Effetto Zeean in atoi idrogenoidi Effetto Zeean per capi agnetici generici L haitoniana iperturbata di un atoo idrogenoide è data da H 0 = T + V, T = p, V r = Ze r Si possono poi considerare e correzioni di struttura fine, reativistica e di spin orbita, H re = T c, H s.o. = Ze c r 3 L S, e se atoo è inserito in un capo agnetico unifore e costante si deve tenere conto anche dea haitoniana Zeean H Zeean = e L + gs c B in odo che aa si può aggiungere una perturbazione data da H p = H re + H s.o. + H Zeean Consideriao eeento di atrice di H p nj H p n j 3 nea base nj = ϕ n rψ j, θ, ϕ 4 degi autostati de insiee copeto di osservabii utuaente coutanti H 0, L, J, J z. Questi autostati sono egati a quei dea base de insiee H 0, L, L z, S z da { Ψ j=+/, = C + Y / χ + + C Y +/ χ Ψ j=/, = C Y / χ + + C + Y +/ 5 χ C + = + + +, C = + + sono i coefficienti di Cebsh-Gordan. L autovaore de haitoniana iperturbata su questi autostati è H 0 nj = E n nj, E n = c Zα n L eeento di atrice dea correzione reativistica nea 3 è dato da nj H re n j = c nj H 0 V H 0 H 0 V + V n j = c { E n δ jj δ δ E n nj V n j + nj V n j } = R n δ jj δ δ - - 6

2 Effetto Zeean per capi agnetici generici R n = c Zα 4 n 3 + / 3 4n L eeento di atrice dea correzione di spin-orbita nea 3 è dato da nj H spinorbita n j = nj g Ze c r 3 J L S n j = g Ze c j j nj 4 r 3 n j = g Ze c jj r 3 δ jj δ δ n = SO n δ jj δ δ 7 SO n = g c Zα 4 n 3 + per j = + / + 8 per j = / Soando 6 e 7 si ottiene a struttura fine per atoo idrogenoide. nj H re + H spinorbita n j = G nj δ jj δ δ 9 G nj = R n + SO n g = = c Zα 4 n 3 j + / n L eeento di atrice de haitoniana Zeean in questa base è dato da nj H Zeean n j = eb c nj J z + g S z n j = eb [ δjj δ δ + g nj S z n j ] c Per cacoare eeento di atrice di S z sugi stati dea base 4, è conveniente invertire e 5 { / Y χ + = C + Ψ j=+/, C Ψ j=/, Y +/ χ = C Ψ j=+/, + C + Ψ j=/, per /. Quando = + /, C + =, C = 0, si ha Quando = /, C + = 0, C =, si ha Y χ + = Ψ +/ j=+/, Y χ = Ψ / j=+/, - -

3 Effetto Zeean per capi agnetici generici Si può ora cacoare azione di S z sugi stati dea base 4 S z n,, j = +, = ϕ nr = ϕ nr C + Y / [C + C + Ψ +/, C Ψ /, = [ C ϕ nr + C Ψ +/, C + C Ψ /, [ + / = ϕ n r + Ψ +/, + [ = + n,, j = + + /, + χ + C Y +/ χ ] C C Ψ +/, + C + Ψ /, ] Ψ /, ] n,, j =, ] 3 S z n,, j =, = ϕ nr [C C Y / = ϕ nr C + Ψ +/, C Ψ /, = [ ϕ nr C + C Ψ +/, C+ C ] Ψ /, [ + / = + χ + C + Y +/ χ C + C Ψ +/, + C + Ψ /, n,, j = +, + n,, j =, ] ] 4 Aora: nj S z n,, +, [ = + nj n,, + ], + / nj n,, +, [ ] + / = + δ j,+/δ δ δ + j,/ δ δ 5 Anaogaente: nj S z n,,, [ ] = + / nj n,, + +, + nj n,,, [ ] + / = δ + j,+/ δ δ + δ j,/δ δ 6 Daa teoria dee perturbazioni per iveo degenere si ha i sistea: [ ] nj H p n j E n δ δ jj δ α j = 0 7 j e autofunzione di ordine zero è: ψ 0 n = j α n j n,, j, 8-3 -

4 Effetto Zeean per capi agnetici generici Poiché a atrice dea perturbazione è diagonae rispetto ai nueri quantici, si ha: [ ] nj H p nj E n δ jj α j = 0 9 Definendo con µ 0 = e c C E j j = + H p j = + j = + H p j = = µ 0 B = G n,j=+ E j = H p j = + = µ 0 B D j = H p j = G nj è stata definita in 0, i sistea 9 diventa: Annuando i deterinante si ha da cui: Ora: e quindi C E n E E D E n + µ 0 B / + + / + = G n,j= + µ 0 B + E n C + DE n + CD E = 0 αj=+ = 0 0 α j= E n,± = C + D ± C D + 4E C + D = G + + µ 0 B, G ± = G n,j=+ ± G n,j= C D = G + µ 0B + G > 0 C D + 4E = G + 4G µ 0 B + µ + 0B La forua è vaida per. Per = ± necessariaente j = + e Ψ ±+ ± = Y j=+, χ ±. Inotre S z n,, j = +, = ± + = ± n,, j = +, = ± + Quindi: n,, j = +, = ± + H p n,, j = +, = ± + = C = G n,j= µ 0B + = G n,j=+ ± µ 0 B + = E n, = ±

5 Effetto Zeean per capi agnetici generici. Capi Deboi Per capi deboi µ 0 B c Zα 4 : C D + 4E G + µ 0B + = C D, e quindi effetto Zeean anoao E n,+ C = G n,+ + µ 0 B + +, E n, D = G n, + µ 0 B +, j = + j = 4 5 si noti che, posto: si ha: g j = + jj /4 jj + = j g j=+, = +, g j=, = +. Capi Forti Per capi forti µ 0 B c Zα 4 : C D + 4E µ 0 B + G + e quindi E n,+ = µ 0B + + G+ + G +, E n, = µ 0B + G+ G +, j = +, j = j = +, = 6 G ± sono definiti in e sono dati da:.3 Stati s = 0 G + = c Zα 4 n n, G = c Zα 4 n 3 + Per stati s si considera, invece de haitoniana di spin-orbita che è zero, i terine di Darwin H Darwin = πze c δ3 r per cui a soa dea correzione reativistica e di Darwin per stati s è data da n, = 0, j =, H re + H Darwin n, = 0, j =, = G n,j= = c Zα 4 n 3 3 4n 7-5 -

6 Effetto Zeean per capi agnetici generici Per a correzione Zeean su stati s: n, = 0, j =, H Zeean n, = 0, j =, = eb c n, = 0, j =, J z + S z n, = 0, j =, = ±µ 0 B, = ± 8 Per stati s quindi si ha E n = G n,j=+ = ± µ 0 B, = ± che è un caso particoare = 0 dea forua 3, vaida per = ±..4 Autofunzioni iperturbate Deteriniao ora i coefficienti α ± α j=± corrispondenti a E n,±..4. Autofunzione corrispondente a E n,+ de sistea 0. Denotiao con α ± e souzioni E n,+ può essere scritto così E n,+ C = C D + C D + 4E F + F + E R F F = C D, R = F + E 9 con queste definizioni e equazioni 0 per i coefficienti α diventano R F α E α+ = 0 da cui Noraizzando: α + + α + α + + F/R + = F = C D = = E R + F R F = R F + b G + µ 0 Ba, α + ξ = µ 0B, a = G + E = µ 0B + / + = 4 µ 0B a = = b G + ξa G ξ a 30 3 R = F + E = G + ξa + ξ a = G + ξa + ξ b = F R = + ξa + ξa + ξ - 6 -

7 Soario.4. Autofunzione corrispondente a E n, E n, può essere scritto così E n, C = C D C D + 4E F F + E F R Le equazioni per i coefficienti α 0 diventano da cui Noraizzando: α + α R + F α + + E α = 0 = E R F b R + F = R + F = + b α + = b, α = + b 3 Soario Riassuendo per gi autovaori abbiao : E n,± = G+ + G ξ ± + ξa + ξ e e autofunzioni corrispondenti sono u + = ϕ n r α + + Ψ,j=+/ + α+ Ψ,j=/ + b b = ϕ n r Ψ,j=+/ Ψ,j=/ = ϕ / n + c Y c Y +/, segno superiore se a > b o inferiore se a < b 34 E n u = ϕ n r α b = ϕ n r = ϕ n + Ψ,j=+/ + α Ψ,j=/ 33 + b Ψ,j=+/ + Ψ,j=/ ± c Y / +/, segno superiore se a > b o inferiore se a < b 35 + c Y ξ = µ 0B, a = G + + ξa b =, c = ξ + a + ξa + ξ + ξa + ξ G + = c Zα 4 n n, G = c Zα 4 n 3 + Per confrontare con Bethe e Sapeter [], pag, bisogna tener conto che nea forua 46.5 E = G+ e che E = G Per a derivazione de coefficiente c si veda appendice A

8 Liiti 3 Liiti 3. Liite per capi agnetici deboi In questo caso ξ 0 e fino a terini de prio ordine in ξ abbiao: + ξa + ξ + ξa E n,± = G+ + G ξ ± + ξa = G + ± G + µ 0B ± a + +, = G n,j=± + µ 0 B +, j = + j = 37 in accordo con 4 e 5, rispettivaente. Inotre si ha, a eno di terini di ordine in ξ, b = ; quindi u + ϕ n r Ψ,j=+/, u ϕ n r Ψ,j=/ cioè e funzioni di ordine zero usate per trovare effetto Zeean anoao prendendo i vaori edi direttaente, coe nea teoria dee perturbazioni per iveo non degenere. 3. Liite per capi agnetici forti In questo caso ξ ɛ 0. Quindi, a eno di terini di ordine ɛ + ξa + ξ = ξ + ɛa + ɛ ξ + ɛa = ξ + a Aora E n,± = G+ + G ξ ± a + ξ = G+ ± G + + µ 0B ± 38 in accordo con 6. Inotre, a eno di terini di ordine in ɛ, si ha c = e quindi: u + ϕ n r Y / χ +, u ϕ n r Y +/ Quindi, in capi forti, si potevano usare queste coe autofunzioni di ordine zero e cacoare i vaori edi coe nea teoria dee perturbazioni per iveo non degenere. Si noti che si ha a corrispondenza j = +, = =, s = j =, j = +, = = = +, s = χ - 8 -

9 Derivazione de coefficiente c Con questa corrispondenza e notando che: G+ = c Zα 4 + / n = R n + c Zα 4 4n n 3 = R n c Zα 4 / n 3 + / + + / + / + e che: abbiao ± + G = ± c Zα 4 n 3 + / + E n,± = R n + c Zα 4 ± n 3 + / + + µ 0B ± = R n + c Zα 4 n 3 s + / + + µ 0B + s 39 che si ottiene prendendo i vaore edio, con e funzioni ϕ n r Y χ s, dea perturbazione H p = H re + H s.o. + H Zeean e notando che L S = s.,, s A Derivazione de coefficiente c Per trovare c si noti che Ψ,j=+/ = / + a Y +/ a Y quindi quadrando, Ψ,j=/ = a Y / +/ + a Y + c + b + a b a = + c + b a b + a = + c = [ + b + a + b a + a 4 ] b = [ + ab + a ] b c = [ + b a + b + a a 4 ] b = [ ab a ] b Soando si ottiene ai due ebri, sottraendo: c = ab + a b Notiao che: b = ξ a + ξa + ξ quindi c = a + ξa + ξ a + ξa + ξ = a + ξ + ξa + ξ, c.v.d

10 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Riferienti bibiografici [] H. A. Bethe and E. E. Sapeter, Quantu echanics of one- and two-eectron atos. Berin, Springer; New York, Acadeic Press,