Morte di un gatto e splitting del Multiverso

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1 Monografia 001 February 04th, 2015 Morte di un gatto e splitting del Multiverso Marcello Colozzo Dedicato a un gatto che non c è più Sommario Keywords: many worlds interpretation,meccanica quantistica

2 1 Misura di una osservabile quantistica Consideriamo un sistema quanto-meccanico S q in regime non relativistico. Come è noto, lo stato del sistema è descritto da una funzione d onda ψ quale elemento di uno spazio di Hilbert separabile H [1]. Sia A una osservabile associata al sistema S q. Se  è il corrispondente operatore autoaggiunto, si ha: )  a k = a k a k, a k σ d ( )  a = a a, a σ c ( (1) Le (1) sono le equazioni agli autovalori per A, scritte nella notazione bra-ket di ) ) Dirac [2]. In tali formule, σ d ( e σ c ( sono rispettivamente lo spettro discreto e lo spettro continuo dell operatore autovalori non degeneri. Â. Per semplicità stiamo considerando il caso di Come è noto { a k } ak σ d(â) { a } a σ c(â) è un sistema ortonormale completo in H, onde il ket di stato ψ si scrive: ψ = N + I coefficienti della combinazione lineare (2) sono dati da: c k a k + (2) σ c(â)c(a) a, c k = a k ψ (3) c(a) = a ψ Senza perdita di generalità, supponiamo che lo spettro di  sia puramente discreto, ) onde σ c ( =. Quindi lo sviluppo del ket di stato negli autoket di  è: ψ = c k a k (4) L evoluzione temporale del sistema è descritta dall equazione di Schrödinger o, ciò che è lo stesso, dall applicazione dell operatore di evoluzione temporale U (t,t 0 ) = e i ħĥ(t t 0) al ket di stato (4), ottenendo lo stato del sistema a tutti i tempi: ψ(t) = c k (t) a k (5) 1

3 Per non appesantire la notazione poniamo ψ ψ(t ), c k c k (t ), essendo t l istante in cui viene eseguita la misura dell osservabile. Quindi: ψ = c k a k (6) ψ mis A a n In altri termini, in seguito alla misura di A, il sistema salta dallo stato ψ a un autostato a n, mentre la probabilità di trovare il il sistema nello stato a n (o, ciò che è lo stesso, di misurare il valore di a n ) è: 1 : P (A = a n,t ) = c n (t ) 2 (7) Sia E ak l autospazio corrispondente all autovalore a k, ovvero il sottospazio vettoriale di H i cui elementi sono gli autovettori appartenenti all autovalore a k : E ak = { } u H Â u = a k u Per un noto teorema, H si decompone nella somma diretta degli autospazi: (8) H = N E ak (9) Gli autospazi E ak sono ortogonali: a k a k = δ kk = E ak E ak k La (9) definisce N operatori (hermitiani) di proiezione ˆP ak Hom(H,E ak ): H = N } E ak = {ˆPak k N Hom(H,E ak ) ˆP ak : H E ak ψ c k a k (10) Qui è N = {1,2,...,N}. Cioè: ψ H, ˆPak ψ = c k a k (11) Gli operatori ˆPak verificano le seguenti proprietà ˆP ak ˆPak = δ kk ˆPak (12) ˆP ak = ˆ1 1 Se ψ è normalizzato: ψ 2 = ψ ψ = 1 2

4 Dalla prima delle (12) segue che ˆP a 2 k = ˆP ak, cioè gli operatori di proiezione sono idempotenti, e, per una nota proprietà σ(ˆpak = {0, 1}. È facile ricavare l espressione ) analitica di ˆPak : ˆP ak = a k a k (13) Infatti ˆP ak ˆPak = a k a k a k a k = δ kk a k a k (14) a k a k = ˆ1 Vediamo che l operazione di misura (6) altro che non è che il risultato dell applicazione dell operatore di proiezione ˆP an al ket di stato ψ : ˆP an ψ = c n a n (15) Riepilogando: all osservabile quantistica A resta associato un sistema ortogonale } completo di operatori di proiezione che simulano un operazione di misura. {ˆPak k N Le equazioni agli autovalori(1) possono essere scritte in termini di autofunzioni. Infatti, nella rappresentazione delle coordinate, le autofunzioni di A si scrivono: u k (x) = x a k (16) u(x) = x a, per cui: Âu k (x) = a k u k (x) (17) Âu a (x) = au a (x) La funzione d onda del sistema è ψ(x) = x ψ : ψ(x) = c k u k (x)+ a(x)da (18) σ c(â)c(a)u È facile ricavare a partire dalle(3) le espressioni analitiche dei coefficienti dello sviluppo (18): + c k = u k(x)ψ(x)dx (19) + c(a) = u a(x)ψ(x)dx 3

5 La (6) diventa: ψ(x,t) = c k (t)u k (x) ψ(x,t ) misa u n (x), con n {1,2,...,N} *** Osserviamo che la riduzione del vettore di stato in uno degli autostati dell osservabile A (eq. 6) pone seri problemi interpretativi che vanno sotto il nome di paradosso della misura [4]. Tale difficoltà è dovuta all esistenza di un dualismo all interno della formalismo della meccanica quantistica. Per essere più precisi, esistono due diverse modalità di evoluzione del vettore di stato. La prima è quella deterministica, attivata dall applicazione dell operatore di evoluzione temporale U (t,t 0 ) = e ħĥ(t t i 0) : U (t,t 0 ) ψ,t 0 = ψ,t, t t 0 che, come è noto, conduce all equazione di Schrödinger. La seconda modalità di evoluzione, invece, viene attivata quando si esegue una misura sul sistema quantistico in studio. Si tratta di un evoluzione probabilistica, poichè non conosciamo con certezza i risultati di una misura, ma solo una distribuzione di probabilità degli stessi. Inoltre, nell evoluzione probabilistica, il vettore di stato subisce una variazione discontinua data dalla (6). Tale discontinuità è denominata collasso della funzione d onda o riduzione del vettore di stato (appendice A). La riduzione del vettore di stato si verifica a scala macroscopica, ma resta indeterminato il livello in cui esso si realizza. Per rimuovere tale indeterminazione sono state formulate 3 interpretazioni: 1. Interpretazione di Copenaghen (Bohr). Il collasso della funzione d onda si verifica a livello dello strumento di misura. Quindi in tale interpretazione, il dominio di validità della meccanica quantistica è: D Bohr = {S q,s M } (20) dove S q rappresenta un sistema quantistico e S M un sistema macroscopico. Lo strumento di misura non appartiene a D Bohr. 4

6 2. Interpretazione di Von Neumann [3]. Questa interpretazione è nota come teoria della misurazione di Von Neumann. In essa, il dominio di validità della meccanica quantistica è: D VN = D Bohr {S mis } = {S q,s M,S mis } (21) Cioè, D VN include lo strumento di misura, ma esclude la coscienza dell osservatore. Ed è al livello della coscienza (interpretata alla stregua di un ente estraneo alla realtà fenomenica) che si realizza il processo di riduzione del vettore di stato. 3. Interpretazione di Everett. Questa interpretazione è nota come MWI, acronimo di Many Worlds Interpretation [5]. In essa, il dominio di validità della meccanica quantistica è: D MWI = D VN {Ω} = {S q,s M,S mis,ω} (22) Cioè D MWI include la coscienza dell osservatore Ω. In tal modo, la riduzione del vettore di stato non si verifica mai. Conseguentemente, in corrispondenza della misura di un osservabile, l universo si riproduce in un numero di copie pari al numero degli autovalori dell osservabile. Riferiamoci in particolare alla teoria della misurazione di Von Neumann, secondo cui il dominio di validità della meccanica quantistica è: {S q,s M,S mis } (23) In tale teoria la misura dell osservabile A è rappresentata simbolicamente da: S q S mis Ω (24) Il simbolo indica il processo di trasferimento della sovrapposizione degli stati. Più precisamente, se il sistema si trova nella sovrapposizione (5), essa viene trasferita all apparato di misura 2 S mis, che verrà pertanto a trovarsi in una sovrapposizione di stati. Quindi, per conoscere lo stato di S mis, avremo bisogno di un secondo strumento di misura S mis. Ma anche quest ultimo verrà a trovarsi in una sovrapposizione di stati (trasferimento a catena), per cui si avrà una successione: S mis, S mis, S mis,... 2 Ciò è una conseguenza della linearità dell equazione di Schrödinger (si veda la sezione successiva). 5

7 che possiamo simbolicamente rappresentare con { } S (k) mis k N N (25) L estremo superiore di tale successione sono gli organi sensoriali del soggetto percepiente, ovvero di un osservatore cosciente Ω, le cui capacità introspettive gli permettono di conoscere il proprio stato e quindi di eseguire la misura dell osservabile A. 2 Collasso della funzione d onda e atto di coscienza Nel 1994 l eminente fisico matematico Roger Penrose pubblico Shadows of the Minds, in cui ipotizzava un funzionamento del cervello quale sistema quantistico. Per inciso, Penrose non cercava gli effetti quantistici a livello di cellula nervosa (neuroni) che è chiaramente un oggetto classico, ma a livello dei cosiddetti microtubuli. Ed è il collasso della funzione d onda a determinare un atto di coscienza. Abbiamo, dunque, un processo di misura del tipo (6). In altri termini, un atto di coscienza è fisicamente equivalente al processo di misura di un osservabile quantistica. Consideriamo, allora, il seguente esperimento concettuale. Un essere senziente G (ad esempio, un gatto) percorrendo una strada si trova davanti a un bivio, onde dovrà decidere se andare a destra o a sinistra 3. In simboli: 1 : G va a sinistra (26) 2 : G va a destra Se ψ(ξ) = ξ ψ è la funzione d onda delle microtubuline del cervello di G, dove ψ è il vettore ket appartenente all appropriato spazio di Hilbert nella ξ rappresentazione (ξ è una conveniente variabile), ne consegue che ψ collassa verso uno dei due stati corrispondenti alla decisione di G. Ciò significa che a 1 e 2 delle (26) corrispondono due autostati di una qualche osservabile Â, la cui misura simula un atto di coscienza (e quindi, il collasso di ψ). In questo modo, lo spazio di Hilbert è C 2 e { 1, 2 } è una sua base ortonormale. Se t è l istante in cui si realizza l atto di coscienza, si ha: ψ(t) = c 1 (t) 1 +c 2 (t) 2 (27) 3 Esistono altre possibilità come, ad esempio, fermarsi o tornare indietro. Per i nostri scopi queste alternative sono delle complicazioni, per cui non ne terremo conto. 6

8 Per quanto precede, nell interpretazione di Copenaghen si verifica una delle due possibilità: ψ(t ) ψ(t ) 1 (28) atto di coscienza 2 atto di coscienza Aggiungiamo un ulteriore ingrediente: nella scelta 2 G viene investito e muore. Cioè se il gatto decide di andare a destra, verrà ucciso (accidentalmente o non). Allora lo sviluppo (27) del vettore di stato negli autostati di  si può scrivere: ψ(t) = c 1 (t) 1,G vivo +c 2 (t) 2,G morto Se poi denotiamo con Ω k l insieme degli osservatori che percepiscono un gatto nello stato k =vivo,morto, si ha: ψ(t) = c 1 (t) 1,G vivo,ω 1 +c 2 (t) 2,G morto,ω 2 Nell interpretazione di Copenaghen si ha: Ω 1 Ω 2 =, (29) e viceversa Ω 2 Ω 1 = (30) Ciò implica: ψ(t ) 1,G vivo,ω 1 = c 2 (t ) = 0 atto di coscienza Nella MWI non c è collasso della funzione d onda(27), per cui si realizzano entrambe le alternative 1,G vivo,ω 1, 2,G morto,ω 2, violando le (29)-(29). Per essere più precisi, le componenti c 1 (t) 1,G vivo,ω 1 e c (t) 2,G morto,ω 2 evolvono con continuità in due universi U 1 e U 2 convoluti in un unico spazio-tempo denominato Multiverso. 7

9 A Riduzione del vettore di stato Il processo di riduzione del vettore d onda o collasso di una funzione d onda, si verifica nell operazione di misura di un osservabile A quando il sistema quantistico si trova in uno stato di sovrapposizione di autostati di A. Per fissare le idee, supponiamo che il corrispondente operatore autoaggiunto Â, sia dotato di uno spettro puramente ) discreto con 2 soli autovalori: σ(â = {a 1,a 2 }. Quindi l evoluto temporale al tempo t del vettore di stato è: ψ(t) = c 1 (t) a 1 +c 2 (t) a 2 (31) Supponiamo poi che una misura eseguita a t dia come risultato a 1, onde: ψ mis A a 1 (32) I coefficienti della combinazione lineare (31) sono tali che c 1 (t ) = 1, c 2 (t ) = 0. E per ogni t < t assumono valori complessi. Inoltre: δ > 0, t (t δ,t ) = c 2 (t ) 0 Cioè, la funzione c 2 (t) ha in t una discontinuità di prima specie.nel caso generale di N + autovalori distinti, e in seguito a un processo di misura: ψ mis A a n, (33) la riduzione del vettore di stato esprime la discontinuità finita (nell istante di misura) degli N n coefficienti c k (t), con k {1,2,...,N}\{n}. Riferimenti bibliografici [1] P. Caldirola, R. Cirelli, G.M. Prosperi, Introduzione alla Fisica Teorica, BUR, 1982 [2] P. A. M. Dirac, I principi della Meccanica Quantistica, Boringhieri, Torino, [3] J. V. Neumann, Matematical Foundation of Quantum Mechanics, Princeton, [4] R. Penrose, La strada che porta alla realtà. BUR, [5] H. Everett, Rev. Mod. Phys, 29, 454 (1957). Available at [6] 8

10 c 2 t U R t t Figura 1: Evoluzione temporale del modulo del coefficiente complesso c 2 (t). Nell istanteincuisimisural osservabile, c 2 (t) subisceunasaltodidiscontinuità, corrispondente al salto quantico (32). Il simbolo U denota l evoluzione temporale generata dalla trasformazione unitaria U (t,t 0 ) = e ħĥ(t t i 0), mentre R esprime la riduzione del vettore di stato. 9