UNITÀ DIDATTICA. Le funzioni e grafici di funzioni; trasformazione del grafico di una funzione.

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1 UNITÀ DIDATTICA Le funzioni e grafici i funzioni; trasformazione el grafico i una funzione. Aspetti iattici e metoologie nell utilizzo i DERIVE per affrontare il problema. Classe i concorso A49 Anno 006/007 Bernari Eros

2 Introuzione L insegnamento ella matematica ha a sempre operato su ue fronti: risolvere i problemi e matematizzare la realtà esterna, simboleggiare e formalizzare, attraverso moelli interpretativi i propri strumenti i lettura. Questi ue aspetti, fra loro ivergenti, interagiscono vicenevolmente, accresceno la formazione e l intelligenza egli stuenti,poiché: promuovere le facoltà intuitive e logiche, euca ai processi euristici e ai processi astrazione e formalizzazione ei concetti, esercita a ragionare inuttivamente e euttivamente, sviluppa le attituini sia analitiche che sintetiche. Queste finalità evono concorrere in armonia con l insegnamento elle altre iscipline, alla crescita culturale e formativa ei giovani. Il cambiamento ella scuola italiana impone sia con programmi ministeriali e anche con un bisogno effettivo un maggior utilizzo el mezzo informatico per facilitare queste finalità

3 Le funzioni e i grafici i funzione; trasformazione el grafico i funzione. Collocazione curricolare. Tale unita iattica si svolgerà in parallela alle altre unità iattiche programmate per una classe quinta i un liceo scientifico. Uneno al programma i calcolo simbolico ell anno quinto, l utilizzo i un software DERIVE per meglio inquarare il problema e appassionare gli stuenti allo stuio ell analisi matematica. Tale unità iattica si prefigge lo scopo i facilitare lo stuente nello svolgere il programma i analisi el quinto anno, in moo che si avvicinarlo allo stuio ella matematica in maniera intuitivo e sappia utilizzare tutti gli strumenti che il mono gli offre per potersi risolve i propri problemi. Unita iattica. Prerequisiti. Paronanza el calcolo letterario. Concetto i insieme e relativa simbologia. Concetto i piano cartesiano. Conoscenza ella geometria i base. Conoscenza ell informatica i base. Finalità. Matematizazione el reale. Formalizzazione. Costruzione i moelli. Acquisizione el lessico corretto e appropriato. Capacità i collegare la matematica allo strumento informatico. 1

4 Utilizzo consapevole e critico el software iattico. Conoscenza ei limiti i tale software. Obbiettivi. Conoscenze. Concetto i funzione, i ominio e coominio. Riconoscere i vari tipi i funzioni elementari. Punti i intersezione i una funzione con gli assi coorinati. Concetto i limite. Concetto i erivata e retta tangente a una funzione. Massimi minimi e flessi i una funzione. Grafico i funzioni e relazione con i punti fonamentali. Capacità Uso consapevole ella efinizione associata al proceimento i calcolo. Deurre il grafico i una funzione ottenuto come manipolazione i una funzione elementare. Determinazione i ominio e segno. Determinazione intersezione con gli assi coorinati Determinare limiti e asintoti. Determinare massimi minimi e flessi. Competenze Comprenere i proceimenti applicativi. Sapere utilizzare il software i calcolo in maniera opportuna. Comprenere il significato e l uso el moello. Sapere rilevare gli errori.

5 Funzioni Elementari Questa tesina vuole mostrare come lo strumento informatico sia molto utile nel regolare svolgimento el programma el quinto anno i un liceo quano si entra in contatto con lo stuio i una funzione. Sicuramente è necessario spenere un po i tempo per mostrare le varie funzioni el programma DERIVE e tutti i suoi comani. Prima i portali sul programma mostro qui sopra, in classe richiamo i grafici i tutte le funzioni elementari: retta y = parabola y = iperbole y = 1 esponenziale y = e logaritmica y = ln trigonometriche y = sin y = cos y = tg y = ctg 3

6 Normalmente gli stuenti appreno l uso el programma fin a subito in maniera molto veloce e intuitivo, opo qualche tentativo si ivertono a isegnare la maggio parte elle funzioni che fino a ora hanno stuiato. Una volta che hanno compreso lo strumento grafico i funzione i Derive, inizio con la classe lo stuio el grafico i una funzione eucenolo come trasformazione i una funzione elementare. Una elle funzioni che richieo isegnino con DERIVE è #1: f() y = eucenola la y = #: y = f() 4

7 La grafica e il isegno rene subito molto chiaro come agisca il valore assoluto e subito si cimentano anche nella visualizzazione ei valor assoluti elle alteri funzioni. Quini mostro come si possa traslare ottenere una simmetria centrale assiale i una parabola, una retta, elle funzioni trigonometriche logaritmiche e esponenziali. #1: f() Preniamo la traslazione : #: = - #3: y = y - #4: y = f() #5: y - = f( - ) 5

8 Ora ottengo la parabola simmetrica rispetto all asse y e poi all origine. #6: = - #7: y = y #8: y - = f(- - ) #9: = - #10: y = -y #11: -y - = f(- - ) Naturalmente tutte queste cose sono gia state stuiate negli anni preceenti, richiamare alla mente queste spiegazione iattiche con l utilizzo i erive e i grane effetto. 6

9 Ora solitamente mostro come si possa ottenere il grafico i una funzione come reciproca i una ata. Disegnano prima la funzione poi le rette y = 1 e y = 1, osservano che i punti che si trovano su queste rette rimangono fisse e che quano la funzione i partenza tene all infinito la reciproca va a zero e viceversa. #1: f() - 4 #: y = 1 #3: y = -1 1 #4: y = f() 7

10 Preiamo ora in consierazione le funzioni trigonometriche, come prima accortezza faccio cambiare il fattore i scala sull asse e lo posiziono in π in noo che risulti il più possibile i facile visualizzazione; quini mostro alcune manipolazioni che contraggono e ilatano tali funzioni, osservano cosa succee al perioo. #1: f() SIN() #: y = f(3 ) #3: y = f() Inoltre i ogni funzione isegnata euciamo sempre ominio conominio, se è pari o ispari eventuali massimi e minimi, intersezione con glia assi, consieriamo gli intervalli ove e positiva e negativa. 8

11 Le Funzioni Inverse. Una volta illustrato quano una funzione ammette inversa, o come si può localmente invertire una funzione li porto a isegnare i grafici i alcune funzione e elle loro inverse faceno notare che sono simmetrici rispetto alla bisettrice el primo e terzo quarante. Introuco la funzione y = e, faccio trovare la sua inversa con il comano Risolvi>Espressione faceno risolvere l espressione rispetto a reale, per tracciare il grafico bisogna scambiare la con la y, ora faccio aprire il menu Semplifica>Sostituisci variabili e si scambiano le ue variabili. Tracciamo i grafici elle funzioni così ottenute e in fine inseriamo la retta #1: y = e #: SOLVE(y = e,, Real) #3: = LN(y) #4: y = LN() y = #5: y = 9

12 Limiti i funzioni Con gli spunti seguenti si vuole mostrare come introurre il concetto i limite servenosi i metoi numerici e grafici. Il calcolo el limite può essere fato irettamente con DERIVE, a mio parere risulta molto più utile un approccio i tipo grafico numerico, che aiuta a comprenere in la spiegazione teorica. Definizione Sia y = f () una funzione efinita su un insieme numerico A e avente valori in R; sia 0 un punto i accumulazione i A. Si ice che, per c tenente a 0, la funzione f () tene a limite L, e si scrive lim o f ( ) = L Se, scelto a arbitrio un numero ε piccolo a piacere, si può corrisponentemente eterminare un intorno V i 0 tale che per ogni appartenente all insieme seguente isuguaglianza A V e iverso a 0 valga la f ( ) L < ε Esprimenoci in moo meno rigoroso, possiamo ire che L è il limite i f () per tenente a 0 se, all avvicinarsi i a 0 il valore i f () finisce prima o poi per ifferire a L meno i ε. Un approccio numerico come primo visione ella efinizione risulta utile e con l utilizzo i DERIVE si ovvia al problema i numerosi calcoli e quini si ottimizzano i tempi ella spiegazione. Con l utilizzo el comano VECTOR ci avviciniamo per punti al valore el limite. Consieriamo la funzione: #1: f() - 1 Vogliamo veere come si comporta la funzione quano si avvicina a 1, prima facciamolo a estra e poi a sinistra #: VECTOR([, f()],, 0, 0.9, 0.1)

13 #3: #4: VECTOR([, f()],,, 1.1, -0.1) #5:

14 Quini riportiamo i punti su i un piano cartesiano. I punti ci inicano che il limite è ue in quanto i punti verificano la conizione che all avvicinarsi i a i la f() ifferisce a meno i ipsilon. A questo punto mostriamo lo strumenti i calcolo i DERIVE calcoliamo il limite. lim f() #6: 1 #7: - ( ) #8: (10 - ) ( ) #9: lim 1 (10 - ) - 3 #10: -9 1

15 Asintoti Utilizzo ei limiti per il calcolo egli asintoti. consieriamo le seguenti tre funzioni. f() #1: ( - 1) - 3 #: g() #3: t() - 3 Cerchiamo se la funzione f() ammette asintoto verticale per =1 lim #4: 1 ( - 1) #5: Quini ammette asintoto verticale =1 Cerchiamo se la funzione g() ammette asintoto orizzontale o obliquo per che tene a più infinito. - 3 #6: lim #7: 1 Quini ammette asintoto orizzontale y=1 Cerchiamo se la funzione t() ammette asintoto orizzontale o obliquo per che tene a più infinito. 3 - #8: lim #9: + 13

16 Potrebbe esserci l'asintoto obliquo. t() #10: m lim + #11: m 1 q lim (t() - m ) #1: + #13: q All interno el capitolo sulle erivate mostrerò un secono moo per trovare gli asintoti obliqui. 14

17 Derivata i funzione. Una volta introotto il rapporto incrementale con l utilizzo ello strumento limite introotto prima ci calcola alcuni limiti i vari rapporti incrementali come i seguito. #1: f() e - f(1 + h) - f(1) #: h f(1 + h) - f(1) #3: lim h 0 h #4: e #5: g() - SIN() g(1 + h) - g(1) #6: lim h 0 h #7: 3 - SIN() Calcolato il limite el rapporto incrementale per h che tene a 0 in 0 =1, quini ata la efinizione i erivata in un punto facciamo notare che il valore ella erivata ipene al punto scelto, in altre parole anche la erivata è una funzione i. Quini calcoliamo col rapporto incrementale le erivate elle ue funzioni preceenti. #1: f() e - f( + h) - f() #: h f( + h) - f() #3: lim h 0 h #4: e #5: g() - SIN() g( + h) - g() #6: lim h 0 h #7: 3 - SIN( ) 15

18 Calcoliamo ora la erivata utilizzano il comano Deriva preso al Menu Calcola, oppure utilizzano l icona seguente sulla barra, è necessario scegliere la variabile rispetto a cui vogliamo erivare e l orine i erivazione. Queste ue scelte consentono i calcolare uno i calcolare erivate a più variabili che non tratteremo, o funzioni i un parametro, e i calcolare irettamente erivate el secono orine senza necessariamente ottenerla come erivata i una i primo orine. #8: f() #9: e - 4 #10: g() #11: 3 - SIN() COS() Derive è in grao i erivare funzioni generiche e quini i riarci le regole i calcolo elle erivate. #1: y = #: #3: 1 n #4: y = n #5: n - 1 #6: n #7: y = a #8: a #9: a LN(a) #10: y = e 16

19 #11: e #1: e #13: y = LOG(, a) #14: LOG(, a) 1 #15: LN(a) #16: y = LN() #17: LN() 1 #18: #19: f() #0: g() #1: f() + g() #: (f() + g()) #3: f'() + g'() #4: f() g() #5: (f() g()) #6: g() f'() + f() g'() f() #7: g() f() #8: g() g() f'() - f() g'() #9: g() 17

20 Funzione visualizza passaggi nelle Derivate Alcune volte anche opo essersi ripetutamente gli alunni commettono i più banali errori sul calcolo ella erivate la funzione visualizza passaggi è sicuramente molto utile, si trova nel menu semplifica o ha la seguente icona 3 - #1: f() Veiamone il funzionamento. 3 - #: G() F() - F() G() F() G() G() 3 3 (3 + - ) ( ( - 1)) + (1 - ) (3 + - ) #3: (3 + - ) (a F()) a F() 3 3 (3 + - ) ( - 1) + (1 - ) (3 + - ) #4: (3 + - ) (F() + y) F() 3 3 (3 + - ) + (1 - ) (3 + - ) #5: (3 + - ) n n - 1 n 18

21 3 (3 + - ) 3 + (1 - ) (3 + - ) #6: (3 + - ) (F() + y) F() 3 (3 + - ) 6 + (1 - ) (3 + ) #7: (3 + - ) (F() + G()) F() + G() 3 (3 + - ) 6 - ( - 1) (3 ) + #8: (3 + - ) (a F()) a F() 3 (3 + - ) 6 - ( - 1) 3 + #9: (3 + - ) n n - 1 n 3 (3 + - ) 6 - ( - 1) 6 + #10: (3 + - ) 1 19

22 3 (3 + - ) 6 - ( - 1) (6 + 1) #11: (3 + - ) 4 3 ( ) #1: (3 + - ) Significato grafico ella tangente. Utilizzano la erivata posso calcolare in maniera molto rapia la retta tangente a una qualsiasi curva, e interessante mostrare i ue moi permessi i calcolo ella tangente in un punto #1: f() Calcoliamo la tangente a questa funzione nel suo punto i coorinata =-1 Prima mi calcolo erivata ella funzione in =-1 #: f() ( + ) #3: ( + + 1) (-1) (-1 + ) #4: ((-1) ) #5: -1 Fascio i rette per un punto con coefficiente noto mi a la retta che cercavo #6: y - f(-1) = - 1 ( - -1) #7: SOLVE(y - f(-1) = - 1 ( - -1), y) #8: y = - 0

23 Un moo più veloce è il seguente #9: y = TANGENT(f(),, -1) #10: y = - La funzione TANGENT i DERIVE permette anche i calcolare gli asintoti obliqui consieriamo la funzione seguente già vista in preceenza. 3 - #1: f() - 3 #: y = TANGENT(f(),, + ) #3: y = + Massimi Minimi e Flessi a tangente orizzontale e obliqua. Introotto in classe lo stuio ei massimi, minimi e flessi, si passa a risolvere il tutto con Derive. 3 #1: f() 3-3 #: f() ( - 3) #3: 3 ( - 1) 1

24 Stuio il segno ella erivata ( - 3) #4: 0 3 ( - 1) ( - 3) #5: SOLVE 0,, Real 3 ( - 1) #6: = massimo in raice terza i - 3 minimo in 3 flesso a tangente orizzontale in 0 #7: f() 4 ( + 3) #8: 3 3 ( - 1) 4 ( + 3) #9: ( - 1) 4 ( + 3) #10: SOLVE 0,, Real 3 3 ( - 1) #11: -1 < 0 > 1 Unico flesso in 0 in quanto 1 e -1 erano esclusi al ominio.

25 Stuio i Funzione #1: y = ( - 1) ( + 1) Dominio #: #3: #4: SOLVE([ + 1 0, - 1 0], []) #5: [ 1] Intersezione asse #6: SOLVE([y = ( - 1) ( + 1), y = 0], [, y]) #7: [ = 1 y = 0, = -1 y = 0] C'e un problema mi a un punto fuori al omino. Intersezione asse y #8: SOLVE([y = ( - 1) ( + 1), = 0], [, y]) #9: [ = 0 y = i] Derive risolve i sistemi in campo complesso obbiamo fare attenzione. La funzione e sempre positiva lim ( - 1) ( + 1) #10: + #11: Cerco asintoto obliquo #1: y = TANGENT( ( - 1) ( + 1),, + ) #13: y = Ma e Min #14: ( ( - 1) ( + 1)) #15: ( + 1) ( - 1) #16: 0 ( + 1) ( - 1) #17: SOLVE 0,, Real ( + 1) ( - 1) 3

26 #18: 0 Sempre Positiva non ha ma e min. Flessi erivata secona. #19: ( ( - 1) ( + 1)) 1 - #0: 3/ 3/ ( + 1) ( - 1) Sempre negativa rivolta verso il basso ora isegniamola. Derive lavorano in campo complesso mi ha isegnato una parte i grafico che in realtà non esiste. Conclueno Derive è un ottimo strumento i calcolo e grafico, l utilizzo el quale appassiona molto gli stuente, l utilizzo i tale software rene più piacevole una materia che non tutti amano, molti ragazzi stanno attenti alla spiegazione solo per essere più rapii a casa nella risoluzione egli stui i funzione, comunque seguono e qualcosa sicuramente gli resterà. 4