PROGETTO L'ellisse con Cabri di Concetta GUIDO

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1 Concett Guido L'ellisse con Cbri PRESENTAZIONE PROGETTO L'ellisse con Cbri di Concett GUIDO L obiettivo didttico del Progetto è lo studio dell ellisse d un punto di vist nlitico. Il Progetto è strutturto in 4 Lezioni, suddivise in prgrfi, nei quli verrnno trttti specifici rgomenti. Un Introduzione illustrerà, sinteticmente, l line di sviluppo del Progetto e lcuni esempi rppresenttivi del mondo rele. Un Test finle, rispost multipl, offrirà l possibilità di verificre le conoscenze pprese. Il tempo medio di fruizione dell intero modulo è di 4 ore. Articolzione del Progetto Introduzione Lezione : Definizione ed equzione cnonic dell ellisse Lezione : Metodi per trccire l ellisse Lezione 3 : Proprietà e crtteristiche dell ellisse Lezione 4 : Appliczioni dell ellisse grfici, equzioni e disequzioni Test finle Articolzione dei contenuti Lezione : Definizione ed equzione cnonic dell ellisse In quest lezione si considererà un proprietà crtteristic che consentirà di enuncire un nuov definizione di ellisse come luogo geometrico del pino, senz fre riferimento ll reltiv sezione conic. Sfruttndo tle definizione si determinerà l equzione crtesin di quest curv notevole. Si chirirnno lcuni concetti con l utilizzo del softwre Cbri Géomètre. Lezione : Metodi per trccire l ellisse In quest lezione si illustrernno lcune costruzioni geometriche dell ellisse con il softwre Cbri Géomètre. Lezione 3 : Proprietà e crtteristiche dell ellisse In quest lezione si illustrernno le proprietà e le crtteristiche dell ellisse: simmetrie, vertici, fuochi, limittezz, eccentricità, posizioni rett-ellisse. Si chirirnno lcuni concetti con l utilizzo del softwre Cbri Géomètre. Lezione 4 : Appliczioni dell ellisse grfici, equzioni e disequzioni In quest lezione si utilizzerà l ellisse per costruire grfici di prticolri funzioni e per risolvere per vi grfic lcuni tipi di equzioni e disequzioni irrzionli. Inoltre, si presenterà un esercitzione guidt con il softwre Derive.

2 Concett Guido L'ellisse con Cbri Vntggi dell presente trttzione Gli studenti pprendono meglio dlle prole e dlle immgini piuttosto che solo dlle prole, poiché essi hnno modo di costruire modelli mentli verbli e visivi e di fre delle connessioni tr di loro. C è un miglior ritenzione e un miglior trnsfer qundo lo studente riceve prole e immgini piuttosto che solo prole. Lo studente ssume un posizione centrle rispetto ll'utilizzzione delle informzioni; non più costretto seguire gli impertivi dell linerità testule, cpitolo dopo cpitolo, l llievo sceglie quli informzioni visitre; mnipol, elbor collegmenti, ttiv percorsi informtivi, sceglie snodi diversi. L lezione è implementt d supporti ltrimenti non possibili (immgini in movimento, simulzioni) che fvoriscono negli llievi un tteggimento prteciptivo. Utilizzndo Cbri Géomètre può costruire oggetti geometrici, mnipolrli modificndo l costruzione eseguit, quindi verificre quli relzioni si mntengono o vrino nel corso di tli mnipolzioni. Grzie ll integrzione dell cpcità numeric, lgebric e grfic di Derive molti esercizi possono essere ffrontti meglio rispetto i metodi trdizionli. Invece di disperdersi in noiose tecniche di clcolo si può concentrre nell risoluzione dell esercizio visulizzndo le soluzioni in diversi modi. COLLOCAZIONE NEL CURRICOLO Il Progetto è rivolto d un clsse III del Liceo Scientifico, indirizzo PNI. L rgomento, trttto nel qudrimestre, v inserito nel Modulo Sezioni coniche dell progrmmzione curricolre di Geometri Anlitic e collocto dopo l Circonferenz. OBIETTIVI DIDATTICI Obiettivi cognitivi: Conoscere lcuni esempi di forme ellittiche reli Comprendere l definizione di ellisse come luogo geometrico Conoscere l equzione crtesin dell ellisse Conoscere lcune costruzioni geometriche dell ellisse Conoscere le principli crtteristiche di tle curv chius Comprendere le reciproche posizioni rett ellisse Comprendere l pplicbilità dell ellisse grfici,equzioni e disequzioni Comprendere l proprietà ottic e custic dei fuochi Obiettivi Opertivi: Riconoscere l equzione di un ellisse e trccirne il grfico Eseguire lcune costruzioni geometriche dell ellisse con Cbri Géométre Individure le sue principli crtteristiche Scrivere l equzione di un ellisse note lcune sue crtteristiche Determinre le reciproche posizioni rett ellisse Applicre l ellisse grfici,equzioni e disequzioni Sper risolvere esercizi con l utilizzo del softwre Derive

3 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 Obiettivi Formtivi: Affinre l precisione del linguggio e l coerenz rgomenttiv Acquisire conoscenze livelli più elevti di strzione e di formlizzzione Utilizzre metodi,strumenti e modelli mtemtici in situzioni diverse Riesminre criticmente e sistemre logicmente le conoscenze vi vi cquisite Sviluppre e potenzire le ttitudini si nlitiche che sintetiche PREREQUISITI Clcolo lgebrico Equzioni e disequzioni lgebriche Sistemi di grdo superiore l primo Concetto di funzione Grfico di funzione Conoscenze di bse di geometri sintetic pin Nozioni fondmentli di geometri nlitic (luogo geometrico; rett; circonferenz); Trsformzioni geometriche: simmetrie. Costruzioni geometriche elementri Utilizzo dei softwre Derive e Cbri Géomètre METODOLOGIE DIDATTICHE Lezione interttiv Esercitzioni guidte in lbortorio di informtic Socilizzzione dei risultti di lbortorio Approfondimento e consolidmento concettule ed pplictivo. I contenuti si sviluppernno ttrverso un lternrsi coordinto di informzione ed ppliczione. Ciscun rgomento srà trttto in modo d stimolre l interesse, l curiosità e l riflessione degli lunni. Mssim cur srà dedict ll coerenz rgomenttiv. Le lezioni srnno di tipo interttivo e supportte d ttività guidte di lbortorio informtico. Il test finle consisterà in un prov strutturt rispost multipl. Ogni quesito srà scelto con cur e formulto in modo univoco e chirmente comprensibile; inoltre vrà uno spzio temporle determinto. MEZZI E STRUMENTI Videoproiettore Schede di lvoro per l ttività di lbortorio informtico Softwre didttici: Derive e Cbri Géomètre Lbortorio di informtic Sched per il test finle

4 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4 FUNZIONE FORMATIVA DELLA MULTIMEDIALITA Un mbiente formtivo multimedile è un mbiente nel qule operno secondo rpporti integrti medi diversi - udiovisivi, informtici, telemtici - e quindi linguggi diversi - nlogici, digitli, virtuli. In tle contesto il computer multimedile, grzie ll su strordinri polivlenz comunictiv, è destinto d occupre l scen sempre più mssiccimente. Un mbiente multimedile è costituito d un softwre ipermedile che coordin congiuntmente più sistemi simbolici (testo, udio, immgini, nimzioni, ecc.). A medi diversi corrispondono bilità cognitive diverse e spetti diversi dell reltà rggiungibili con essi. Dll integrzione delle tecnologie ipertestuli con le tecnologie multimedili si originno i sistemi ipermedili, cpci di gestire immgini, suoni, testi e nimzioni, permettendo l'ccesso i vri tipi di informzione in modo non sequenzile. Gli studenti pprendono meglio dlle prole e dlle immgini piuttosto che solo dlle prole, poiché essi hnno modo di costruire modelli mentli verbli e visivi e di fre delle connessioni tr di loro. C è un miglior ritenzione e un miglior trnsfer qundo lo studente riceve prole e immgini piuttosto che solo prole. Sotto il profilo cognitivo, l'ipermedi sembr quindi ssecondre due spetti centrli del modo in cui l'essere umno conosce: l multimedilità innesc zioni di rinforzo-integrzione tr gli emisferi cerebrli, intreccindo le sollecitzioni dei linguggi nlogici e digitli; l'ipertestulità ccompgn lo svolgersi del pensiero ttrverso il reticolo ssocitivo. L'ipermedilità potenzi un didttic per concetti e fvorisce negli llievi un tteggimento prteciptivo. L'llievo vede, scolt, mnipol, elbor collegmenti, ttiv percorsi informtivi, sceglie snodi diversi. Il lettore ssume un posizione centrle rispetto ll'utilizzzione delle informzioni; non più costretto seguire gli impertivi dell linerità testule, cpitolo dopo cpitolo, il lettore sceglie quli informzioni visitre. E' quest l strd ttrverso l qule si st ffermndo un concezione "ntropocentric dell tecnologi informtic pplict ll didttic e ll formzione". Nello stesso spirito, si pre l strd ll costituzione delle "comunità di pprendimento": un modello di formzione lterntivo quello trdizionlmente scolstico e vicino quello dell'pprendistto, dell formzione sul lvoro, delle comunità scientifiche. Si trtt di gruppi eterogeni (pri, esperti, insegnnti); che prevedono un condivisione di compiti e degli strumenti; che incorporno momenti di "pprendistto cognitivo", nei quli ci si interrog e si interrog su qunto si st fcendo, si chiedono consigli, si socilizzno difficoltà e competenze. Sotto il profilo tecnico, le comunità possono formrsi utilizzndo gli mbienti di uthoring multimedili e le tecnologie telemtiche per l comuniczione in rete, ttundo, in questo secondo cso, delle comunità virtuli on line. L formzione on line è dott di molti vntggi. Per esempio, ess riproduce in un situzione di indipendenz spzio-temporle (l lezione on-line può essere seguit nel momento voluto, nel posto voluto, con i tempi voluti), dinmiche comunictive di tipo dilogico (uno uno), frontle (uno molti), collbortive (molti molti). Ess fvorisce tteggimenti collbortivi e interttivi, permette di individulizzre l'offert formtiv; promuove l'inizitiv e l'individuzione di più percorsi di ricerc e pprofondimento d prte dei discenti; present un grnde flessibilità rispetto lle necessità didttiche e metodologiche del corso; consente di monitorre in tempo rele i livelli di pprendimento e di vlutre in itinere si il corso che i prtecipnti.

5 Concett Guido L'ellisse con Cbri 5 Lezione trdizionle e lezione on-line confronto Lezione trdizionle: inizi d un orrio prefissto in un ul precis; l lunno in genere è pssivo per l mggior prte dell lezione; il docente decide l struttur dell lezione (sempre sequenzile); il docente è l centro dell ttenzione. Lezione on-line: l lezione h inizio qundo lo decide l lunno, l mssimo si decide l durt mssim; l lunno è ttivo e si muove ll interno dell lezione; è incuriosito e ffscinto dlle nuove tecnologie (un libro elettronico "vivo", che prl e che suon, è sicurmente più interessnte ed ccttivnte di uno di tipo crtceo, nche se ftto benissimo); l lunno decide l struttur dell lezione (struttur rete ); l lezione è l centro dell ttenzione; l lezione può essere implementt d supporti ltrimenti non possibili: immgini in movimento, suoni, filmti, giochi, simulzioni. Conclusioni Nell ttule società, l tecnologi si pone come un vlido e funzionle strumento nel veicolre ed mplire l conoscenz. Assistimo d un crescente complessità e vrietà di spere che, grzie lle moderne tecnologie telemtiche, è divenuto sempre più ccessibile e personlizzbile si nei modi si nei tempi e negli spzi. Per secoli l pprendimento delle conoscenze è vvenuto medinte quello che gli psicologi definiscono il modo simbolico ricostruttivo. In questo modo si utilizz il linguggio scritto in mnier sostnzilmente totlizznte e utosufficiente. M esiste nche un ltro tipo di pprendimento che si h osservndo, toccndo, modificndo e riosservndo gli effetti che conseguono ll zione, riprovndo, cmbindo qulcos e di nuovo osservndo i risultti: è questo ciò che gli psicologi chimno pprendimento percettivo-motorio. È un pprendimento generto di continui cicli di percezione ed zione. E un pprendimento non circoscritto in un luogo ben preciso e delimitto (l ul). Lo studente non svolge più un ruolo pssivo, ricettore del spere divulgto dll insegnnte m h un ruolo ttivo, di ttore nell selezione, fruizione e gestione del spere. Per qunto rigurd l insegnnte nche il suo ruolo srà sempre più di mnger dell conoscenz che trsform l didttic trdizionle in un sistem perto cpce di dttrsi velocemente e continumente i diversi contesti, di essere prottivo. Dll trdizionle figur dell insegnnte depositrio del spere che trsmette in modo unidirezionle llo studente, in un mbiente circoscritto, d un insegnnte ttore che sembr più un mnger dell conoscenz, un consulente nel processo di mturzione intellettule degli llievi.

6 Concett Guido L'ellisse con Cbri 6 INDICE INTRODUZIONE - Abstrct - L ellisse nell reltà - Esempi prtici per ottenere un ellisse - Esempi di forme ellittiche reli ELLISSE LEZIONE : DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL ELLISSE - Definizione di ellisse - Equzione cnonic dell ellisse - Equzione dell ellisse con i fuochi sull sse LEZIONE : METODI PER TRACCIARE L ELLISSE - Metodo - Metodo - Metodo 3 LEZIONE 3 : PROPRIETA E CARATTERISTICHE DELL ELLISSE - Simmetrie - Intersezione con gli ssi coordinti - Fuochi - Un proprietà ottic dei fuochi - Limittezz - Eccentricità - Condizioni per determinre l equzione di un ellisse - Are dell regione delimitt dll ellisse - Rett ellisse LEZIONE 4 : APPLICAZIONI DELL ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI - Esercitzione con DERIVE TEST FINALE APPENDICE - Approfondimento - Approfondimento - Approfondimento 3 Bibliogrfi

7 Concett Guido L'ellisse con Cbri 7 INTRODUZIONE Abstrct Studire, trccire, clssificre linee curve è stt un delle principli occupzioni dei mtemtici, comincire dll rett e dl cerchio, con i quli ebbe origine l geometri, per poi pssre lle sezioni coniche, che sono stte oggetto di studio per molti secoli. Un delle quttro sezioni coniche è l ellisse. In cmpo fisico e tecnico, l ellisse costituisce uno strumento espressivo di rppresentzione e di schemtizzzione di notevole efficci. A conferm di ciò e titolo purmente illustrtivo, osserveremo lcuni esempi prticolrmente significtivi. Nel presente modulo studieremo, poi, tle prticolre curv chius d un punto di vist nlitico. Considereremo un proprietà crtteristic che consentirà di enuncire un nuov definizione di ellisse come luogo geometrico del pino, senz fre riferimento ll reltiv sezione conic. Sfruttndo tle definizione si determinerà l equzione crtesin di quest curv notevole. Si illustrernno lcune costruzioni geometriche dell ellisse con il softwre Cbri Géomètre, utilizzto nche nell comprensione di specifici concetti. Si trtternno le proprietà e le crtteristiche dell ellisse e si utilizzerà tle curv per costruire grfici di prticolri funzioni e per risolvere per vi grfic lcuni tipi di equzioni e disequzioni irrzionli. Infine, si presenterà un esercitzione guidt con il softwre Derive.

8 Concett Guido L'ellisse con Cbri 8 L ellisse nell reltà Esempi prtici per ottenere un ellisse Se si ccende un torci elettric, l luce dell lmpdin, uscendo dll lente di form circolre, formerà un cono di luce che h come vertice il filmento dell lmpdin, e come sse l rett che pss per quest ultimo e per il centro dell lente. Dirigendo il fscio luminoso verso un prete, l form dell prte illumint vrierà con l inclinzione dell torci (ovvero con l inclinzione dell sse del cono di luce). Se quest è perpendicolre ll prete, l prte illumint è un cerchio, tnto più grnde qunto mggiore è l distnz dell torci dll prete. Si cominci or inclinre l torci verso l'lto; il cerchio si deform e ssume un form llungt, come quell di uno stdio: l line curv che delimit tle figur è un'ellisse. Inoltre, si ottiene l ellisse inclinndo un po, senz versrlo, un bicchiere cilindrico pieno di liquido. Si può disegnre un'ellisse servendosi del grnde compsso tridimensionle, l qule i geometri rbi vevno dto il nome di compsso perfetto. L'st inclint che ruot ttorno ll'sse verticle descrive un cono, che viene tglito dl pino del disegno. A second dell'inclinzione di quest'ultimo si ottiene un circonferenz (qundo il pino è orizzontle) o un'ellisse, tnto più llungt qunto più si inclin il pino.

9 Concett Guido L'ellisse con Cbri 9 Esempi di forme ellittiche reli In cmpo fisico e tecnico, l ellisse costituisce uno strumento espressivo di rppresentzione e di schemtizzzione di notevole efficci. A conferm di ciò e titolo purmente illustrtivo, si riportno lcuni esempi prticolrmente significtivi. Orbite stronomiche Nel 69, Keplero dimostrò che le orbite dei pineti sono delle ellissi con il Sole in uno dei fuochi. Nel 75 Hlle mostrò che l comet che h poi preso il suo nome si muove su un'orbit ellittic ttorno l sole. Anche le stelle, come i pineti e tutti gli ltri corpi celesti, sono soggette ll legge di grvitzione universle, e perciò due di esse (stelle doppie o binrie) possono ttrrsi e muoversi secondo orbite ellittiche ttorno d un comune centro di mss. Orbite dei stelliti rtificili intorno ll Terr Se si lnci un proiettile, mggiore è l velocità inizile più il proiettile tterr lontno. Qundo l velocità inizile h un vlore sufficientemente elevto, il proiettile non riesce più d tterrre: entr in orbit intorno ll Terr e divent così un stellite. Se lncimo il stellite con un velocità ppen superiore quell che lo immette su un triettori circolre, l orbit si llung e divent ellittic. Esistono infinite orbite ellittiche che il stellite può seguire, second dell velocità con cui viene lncito (l orbit circolre è solo un cso prticolre di esse). Se però l velocità di lncio è molto elevt, il stellite può sfuggire per sempre dll Terr seguendo triettorie form di iperbole.

10 Concett Guido L'ellisse con Cbri Modello tomico di Bohr Sommerfeld Secondo l ipotesi di Sommerfeld (868-95), ogni elettrone può ruotre intorno l proprio nucleo percorrendo non soltnto orbite circolri, m nche orbite ellittiche. Esempi di rchitettur pint ellittic L form ellittic è stt molto utilizzt d rchitetti e rtisti nelle loro opere. Sono pint ellittic edifici fmosi quli il Colosseo (sse mggiore88m e sse minore 56m), il colonnto di Pizz S. Pietro (figur seguente), l chies di S. Andre l Quirinle del Bernini, come pure l nfitetro di Pompei. Indice

11 Concett Guido L'ellisse con Cbri LEZIONE DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL ELLISSE In quest lezione si considererà un proprietà crtteristic che consentirà di enuncire un nuov definizione di ellisse come luogo geometrico del pino, senz fre riferimento ll reltiv sezione conic. Sfruttndo tle definizione si determinerà l equzione crtesin di quest curv notevole. Si chirirnno lcuni concetti con l utilizzo del softwre Cbri Géomètre. Definizione di ellisse L ellisse è quell prticolre curv chius che si ottiene intersecndo un superficie conic con un pino non pssnte per il vertice e non prllelo ll genertrice. Per studire tle curv notevole d un punto di vist nlitico si ricv un proprietà crtteristic (Approfondimento) che può essere ssunt come definizione di ellisse nel pino, senz fre riferimento ll reltiv sezione conic. L nuov definizione di ellisse, intes come luogo geometrico dei punti del pino che godono dell proprietà crtteristic in questione è l seguente: Definizione L ellisse è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Equzione cnonic dell ellisse Sfruttndo l definizione di ellisse come luogo geometrico del pino, ci si propone, or, di determinre l equzione crtesin di quest curv notevole, nel cso prticolre in cui i fuochi si trovino sull sse ed equidistnti dll origine del sistem di riferimento. Fissto un sistem di riferimento crtesino, con l sse delle scisse coincidente con l rett pssnte per i fuochi F e F e con l sse delle ordinte perpendicolre nel punto medio del segmento F F, sino F ( c;) ed ( ) F c; le coordinte dei fuochi e quindi c ( c > ) l reltiv distnz focle. Indicndo con k > l somm costnte delle distnze dei punti dell ellisse di fuochi, l condizione necessri e sufficiente ffinché un generico punto P ( ; ) pprteng l luogo è che le sue coordinte soddisfino l relzione espress dll proprietà crtteristic

12 Concett Guido L'ellisse con Cbri PF PF = k +. Tle condizione di pprtenenz di P l luogo in esme, ricordndo l formul dell distnz tr due punti, divent ( c) + + ( + c) + = k () che è l equzione dell ellisse. L form irrzionle in cui si present tle equzione è poco prtic. Medinte semplici operzioni di clcolo per l cui ulteriore semplificzione si pone k= ed c = b risultndo c < (Approfondimento), ess si trsform nell seguente form rzionle b + = b. che rppresent l equzione dell ellisse nel sistem di riferimento indicto. Infine, dividendo tutti i termini per b, si ottiene + b = () Tle form prticolrmente semplice (che dipende dll prticolre scelt del sistem crtesino di riferimento) si chim equzione cnonic o equzione normle dell ellisse. Tle equzione è l più semplice possibile ed è quell che meglio evidenzi le proprietà dell curv. Qundo, come nel nostro cso, i fuochi pprtengono ll sse, è necessrimente > b ; vicevers, se è dt un equzione del tipo () con > b, i fuochi dell ellisse corrispondente pprtengono ll sse. Equzione dell ellisse con i fuochi sull sse Se i fuochi dell ellisse sono sull sse delle ordinte e simmetrici rispetto ll origine risult

13 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 ( ) e F ( ; c ) F ;c. Detto P il generico punto dell ellisse, llo scopo di ottenere, nche nel cso in cui i fuochi stino sull sse, un equzione formlmente ugule quell precedentemente ottenut, è conveniente porre PF + PF b con b >. L equzione dell ellisse srà ncor del tipo = m con < < b e c b =. + b = In prtic, per riconoscere qule tipo di ellisse corrisponde un equzione del tipo + = b è sufficiente vedere qule dei due denomintori si il mggiore:se è quello dell vribile, llor l ellisse h i fuochi sull sse delle scisse; se è quello dell vribile, llor i fuochi si trovno sull sse delle ordinte.

14 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4

15 Concett Guido L'ellisse con Cbri 5 LEZIONE METODI PER TRACCIARE L ELLISSE In quest lezione si illustrernno lcune costruzioni geometriche dell ellisse con il softwre Cbri Géomètre. Metodo Costruzione del girdiniere Un semplice metodo per relizzre prticmente il trccimento dell ellisse in modo continuo è il seguente: segnti su un foglio due punti (corrispondenti i fuochi F e F ), si collocno in essi due chiodini i quli si fissno i cpi di un filo flessibile e inestensibile di lunghezz mggiore dell distnz tr i due punti segnti. Si fcci scorrere l punt di un mtit in modo che durnte il suo moto continuo ess si ppoggi costntemente l filo e che questo rimng sempre teso. In tl modo sul foglio si verrà trccire un curv i cui punti hnno, di due punti segnti inizilmente, distnze l cui somm è ugule ll lunghezz del filo, cioè si viene trccire un ellisse. Quest costruzione è dett costruzione del girdiniere perché è comunemente dopert di girdinieri per trccire sul terreno iuole contorno ellittico. Metodo Costruzione dell ellisse per punti Alterntivmente, disponendo di un rig e di un compsso, si può trccire l ellisse per punti: si fissno due punti F e F (corrispondenti i fuochi) ll distnz desidert; prte si trcci un segmento MN di lunghezz costnte k mggiore dell distnz tr i due punti fissti F e F e si sceglie un qulunque punto Q su di esso. Il segmento MN viene così riprtito in due segmenti MQ e QN. Con centro in F si trcci un circonferenz di rggio r = MQ e con centro in F si trcci un second circonferenz con rggio r = k r ; i due punti d intersezione delle circonferenze pprtengono certmente ll ellisse che si vuole costruire poiché per ciscuno di essi è k l somm delle distnze di due fuochi: r + r = r + ( k r ) = k. Dunque, si comprende che l vrire di Q, scelto sul segmento MN, si ottengono in tl modo tnti punti dell ellisse qunti se ne desiderno.

16 Concett Guido L'ellisse con Cbri 6 Metodo 3 Costruzione dell ellisse noti i semissi Or che si conosce l equzione cnonic dell ellisse si può illustrre un ltro metodo geometrico per costruire l ellisse per punti. Conoscendo soltnto i semissi e b (non occorre, quindi, utilizzre i fuochi) è possibile costruire l ellisse di equzione + = b con rig e compsso servendosi di due circonferenze venti come centro l origine degli ssi e rggi e b. Condott per O un semirett rbitrri r sino : S ; ( ~ ) e ( ; ) T ~

17 Concett Guido L'ellisse con Cbri 7 le sue due intersezionicon le due circonferenze. Poiché S pprtiene ll circonferenz di rggio b si h: ~ b + =. (5) Dll similitudine dei tringoli OSH e OTR segue: OH OS ~ b = cioè = OR OT quindi: ~ b =. Sostituendo il vlore così ottenuto per ~ nell (5) si ottiene: b + = b ovvero + = b che è l equzione dell ellisse già trovt. Ciò signific che il punto P ( ; ), ottenuto come intersezione dell prllel ll sse per S e dell prllel ll sse per T, vendo l sciss ugule quell di t e l ordint ugule quell di S, è un punto dell ellisse; mutndo l semirett r si ottengono punti diversi dell ellisse. Procedur di costruzione dell ellisse con Cbri: - Trccire gli ssi. - Disegnre due circonferenze C e C concentriche di rggi e b con >b. - Trccire un semirett uscente dll origine e segnre i punti di intersezione S e T di quest rispettivmente con le due circonferenze C e C. - Segnre l intersezione P tr l rett per Se prllel ll sse e dell rett per T e prllel ll sse. - Per trccire l ellisse: strumento Trcci; cliccre su P; muovere l semirett oppure cliccre su Animzione.

18 Concett Guido L'ellisse con Cbri 8 LEZIONE 3 PROPRIETA E CARATTERISTICHE DELL ELLISSE In quest lezione si illustrernno le proprietà e le crtteristiche dell ellisse: simmetrie, vertici, fuochi, limittezz, eccentricità, posizioni rett-ellisse. Si chirirnno lcuni concetti con l utilizzo del softwre Cbri Géomètre. Simmetrie L ellisse è un curv simmetric rispetto ll sse, ll sse e ll origine. Inftti, se il punto P ( ; ) pprtiene ll ellisse di equzione () è evidente che nche i punti P ; P ; P ; ( ), ( ), 3 ( ) pprtengono ll curv, perché nche le loro coordinte soddisfno l equzione () in qunto in ess compiono solo termini di secondo grdo nelle vribili e. M P è il simmetrico di P rispetto ll sse, P è il simmetrico di P rispetto ll origine e P 3 è il simmetrico di P rispetto ll sse. Gli ssi coordinti sono, dunque, ssi di simmetri dell curv e l origine O è il centro di simmetri dell ellisse. Per questi motivi si dice che l () rppresent un ellisse riferit l proprio centro e i propri ssi di simmetri o nche, più semplicemente, un ellisse riferit l centro e gli ssi. Intersezione con gli ssi coordinti I punti d intersezione dell ellisse con l sse delle scisse e con quello delle ordinte si ottengono risolvendo i sistemi: + = + = b e b = = cioè = ± = e = ± = L ellisse incontr gli ssi coordinti in quttro punti:

19 Concett Guido L'ellisse con Cbri 9 A ( ; ) A ( ;) B ( ;b) B ( ; b). Tli punti si dicono vertici dell ellisse. I segmenti A A e B B, di lunghezze rispettivmente e b, si dicono ssi dell ellisse. Se > b, il segmento A A, è l sse mggiore, mentre il segmento B B è l sse minore. I prmetri e b presenti nell equzione () rppresentno quindi le misure dei semissi. Si noti che l misur dell sse mggiore non è ltro che l costnte che rppresent l somm delle distnze del generico punto dell ellisse di due fuochi. Se < b, il segmento A A, è l sse minore, mentre il segmento B B è l sse mggiore. In tl cso l misur b dell sse mggiore non è ltro che l costnte che rppresent l somm delle distnze del generico punto dell ellisse di due fuochi.

20 Concett Guido L'ellisse con Cbri Fuochi I fuochi F e F stnno sempre sull sse mggiore, detto perciò sse focle. Se > b i fuochi F ( c; ) e F ( c; ) sono sull sse e c è l semidistnz focle. Note le misure dei semissi, le coordinte dei fuochi si determinno dll relzione ossi d d cui,vendo supposto c >, si deduce e dunque c = c c = = b b b F ( b ;) e F ( b ; ). L relzione = b + c fornisce ulteriori informzioni sul significto geometrico dei semissi e del segmento che rppresent l semidistnz focle; inftti è possibile interpretre l costnte come l misur del segmento che h per estremi un fuoco ed il vertice dell ellisse che pprtiene l semisse minore (si pplichi il teorem di Pitgor l tringolo rettngolo di lti, b, c ). Se < b i fuochi dell ellisse sono sull sse delle ordinte e simmetrici rispetto ll origine ( ) e F ( ; c ) F ;c e l sse mggiore, che misurerà b, strà sull sse. I fuochi vrnno coordinte F ( ; b ) e F ( ; b ).

21 Concett Guido L'ellisse con Cbri Un proprietà ottic dei fuochi Un rggio di luce che colpisc un superficie riflettente viene riflesso, ossi viene rimndto indietro, in un direzione che dipende dll direzione di rrivo del rggio di luce e dll form dell superficie che lo riflette. Se l superficie riflettente è uno specchio pino, il rggio si riflette su se stesso se incide perpendicolrmente ll superficie dello specchio mentre, se rriv obliqumente, viene riflesso in un ltr direzione nch ess obliqu, in modo che il rggio incidente e il rggio riflesso formino con l perpendicolre llo specchio nel punto d incidenz ngoli uguli e complnri. L stess legge vle nche nel cso che l superficie riflettente non si pin m curv. A questo proposito l ellisse possiede un importnte proprietà ottic:penst come un filo riflettente, l ellisse è tle d riflettere ogni rggio di luce proveniente d uno dei due fuochi in un rggio che psserà per l ltro fuoco ( Approfondimento3).

22 Concett Guido L'ellisse con Cbri Ovvimente il ruolo dei due fuochi è simmetrico: F vede nello specchio F ed F vede nello specchio F. Dunque, un rggio di luce che prte d un fuoco dopo essersi riflesso sull'ellisse ndrà colpire l'ltro fuoco. Ciò vle nturlmente per qulsisi tipo di rggi: luminosi, sonori, clorifici. In ogni cso, tutti i rggi che prtono d un fuoco, dopo un riflessione sull'ellisse vnno concentrrsi nell'ltro. Di qui l rgione del nome fuochi; se si mette un fonte di clore in uno dei fuochi, il clore si concentr nell'ltro e può incendire un pezzo di crt o un mterile infimmbile. Un semplice tegli (di form pprossimtivmente ellittic) con il fondo coperto d'cqu può servire per illustrre il fenomeno. Se si tocc l'cqu con un dito in corrispondenz di uno dei fuochi, segnti con un pllino sul fondo, si formno delle onde concentriche che dopo essersi riflesse sull prete dell tegli vnno concentrrsi sull'ltro fuoco. Esiste nche un fenomeno custico, che molti hnno vuto modo di sperimentre in ntiche sle con il soffitto form ellittic (ottenuto ruotndo un mezz ellisse ttorno ll'sse mggiore) dove due interlocutori, posti in due punti prticolri, possono discorrere chirmente sebbene voce bssissim mentre null del loro colloquio si sente negli ltri punti dell sl. Il fenomeno è evidentemente dovuto l ftto che l volt riflette tutti i suoni provenienti d un punto specile in un ltro punto specile :tli punti sono i fuochi di un superficie con proprietà del tipo di quell ottic dell ellisse. Quest proprietà è stt sfruttt nell costruzione di lcuni tetri rinscimentli, d esempio in quello di Schifnoi Ferrr e in quello costruito Grnd per CrloV.

23 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 Limittezz L ellisse è un curv tutt contenut nel rettngolo individuto dlle prllele gli ssi condotte per i vertici. Inftti, dll su equzione cnonic si deduce b b = ( ) e = ( b ). Essendo i primi membri positivi o nulli, dovrnno esserlo nche i secondi membri, d cui e b e dunque e b b Nel cso > b :

24 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4 Eccentricità Si consideri l ellisse di equzione + =, i cui fuochi pprtengono ll sse ed in cui, 9 4 essendo =3 e b=, il semisse mggiore misur 3 e quello minore misur. Il vlore del prmetro c che determin le coordinte dei fuochi è c = 9 4 = 5. Si consideri or l ellisse di equzione + =. Anche in questo cso i fuochi 5 4 pprtengono ll sse, l sse minore misur ncor, m l sse mggiore misur 5, cioè è più lungo di quello dell precedente ellisse; inoltre si h che c =. Si riportno i rispettivi grfici:

25 Concett Guido L'ellisse con Cbri 5 Confrontndo i due grfici,si not subito che l second ellisse è più schiccit dell prim. Cerchimo di cpirne il motivo. Si osservino i tringoli rettngoli evidenziti in colore nell seguente figur: In essi, b e c rppresentno le misure dei due cteti (rispettivmente il semisse minore e l semidistnz focle), mentre, essendo b + c =, rppresent l misur dell ipotenus (cioè il segmento BF è congruente l semisse mggiore). Si riflett or sul ftto che l ellisse risult tnto più schiccit qunto più piccolo è l ngolo β individuto di segmenti BF ed OF.

26 Concett Guido L'ellisse con Cbri 6 Un indiczione dell mpiezz di β è dt dl rpporto fr i lti che lo formno, cioè dl rpporto c fr il cteto e l ipotenus (se lo studente h già studito un po di trigonometri s c c 5 c che = cos β ); nei due esempi visti =. 74 nel primo cso e =. 9 nel 3 5 secondo. c In generle, qundo diminuisce, l mpiezz di β ument e l ellisse ppre meno schiccit. Il rpporto fr l semidistnz focle e l sse mggiore di solito si indic con e e prende il nome di eccentricità dell ellisse. Nel cso dell ellisse riferit l centro e gli ssi e con i fuochi sull sse : c e =. (3) Poiché l semidistnz focle è sempre minore del semisse mggiore, è evidente che è sempre < e <. Nel cso limite e = risult, dll (3), c =, l semidistnz tr i fuochi è null ed essi coincidono con il centro. In tl cso dll relzione c = b si deduce (essendo c = ) che è = b e quindi l equzione cnonic di un tle ellisse divent ossi + = = +. Quest ultim è l equzione di un circonferenz con centro nell origine e rggio di misur. L circonferenz può quindi essere penst come un prticolre ellisse con eccentricità null,ossi con i fuochi coincidenti. Nel cso limite e = risult, dll (3), c =, l semidistnz focle è ugule l semisse mggiore (cioè i fuochi coincidono con i due vertici) e quindi, risultndo nullo l sse minore, l ellisse si riduce ll sse mggiore (ellisse degenere).

27 Concett Guido L'ellisse con Cbri 7 In sostnz, l eccentricità misur lo schiccimento dell ellisse sull sse mggiore rispetto ll circonferenz che h per dimetro lo stesso sse mggiore: tnto più l ellisse è eccentric ( schiccit ) e tnto più l eccentricità è vicin l vlore ; tnto meno l ellisse è eccentric e tnto più l eccentricità è vicin l vlore.

28 Concett Guido L'ellisse con Cbri 8 Le stesse considerzioni possono essere ripetute nel cso in cui l ellisse h i fuochi sull sse delle ordinte. In tl cso l eccentricità srà c e =. b Condizioni per determinre l equzione di un ellisse Qunte informzioni indipendenti occorrono per poter scrivere l equzione di un ellisse? Poiché nell equzione + = b compiono due coefficienti e b, sono necessrie due condizioni indipendenti per determinre l equzione di un ellisse riferit i suoi ssi di simmetri. Alcuni dei csi che possono presentrsi sono:. pssggio per l ellisse per due punti (non simmetrici rispetto gli ssi o rispetto ll origine);. conoscenz delle coordinte di un fuoco e di un vertice; 3. conoscenz dell eccentricità e pssggio per un punto; 4. conoscenz dell misur di un semisse e dell eccentricità.

29 Concett Guido L'ellisse con Cbri 9 Osservzioni L equzione cnonic di un ellisse dipende dll determinzione di e di b ; srà dunque sufficiente risolvere equzioni o sistemi fino d rrivre trovre tli vlori; Qundo si deve determinre l equzione di un ellisse e non è not priori l posizione dei due fuochi (se pprtengono ll sse o ll sse ), si consider l equzione nell form generle + = q p in cui i vlori dei prmetri e b sono stti sostituiti d p e q. Se, clcoli svolti, si verificherà che è p > q, llor l ellisse vrà i fuochi sull sse delle scisse, ltrimenti li vrà sull sse delle ordinte. Se le informzioni rigurdno il pssggio per due punti simmetrici, in reltà si h un sol informzione vlid che consente di determinre il vlore di un solo prmetro. L equzione dell ellisse dipenderà, pertnto, d un prmetro. Are dell regione delimitt dll ellisse L ellisse: + = b delimit un regione finit D di pino rppresentt nliticmente dll disequzione: + b l cui re è dt d: Are D = πb essendo e b i semissi dell ellisse. Si osservi che tle formul contiene come cso prticolre, se =b, l re π del cerchio di rggio. Ne segue che l posizione reciproc di un punto P ( ; ) e di un ellisse di equzione + = è determint dlle seguenti condizioni: b ) Se + = b il punto st sull ellisse; ) Se + > b il punto st ll esterno dell ellisse; 3) Se + < b il punto st ll interno dell ellisse.

30 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 Rett - ellisse Per studire le vrie posizioni che può ssumere un rett r, rispetto d un ellisse, bst risolvere il sistem di grdo formto dlle equzioni dell ellisse e dell rett: + = b = m + q Le sue eventuli soluzioni sono le coordinte dei punti d intersezione tr l ellisse e l rett. Applicndo il metodo di sostituzione, si ottiene l equzione risolvente: ( b + m ) + mq + ( q b ) = sempre di grdo, poiché b + m. Clcolto il discriminnte di tle equzione: 4 = m q ( q b )( b + m ) 4 second che risulti: > = < l rett r è rispettivmente: secnte tngente estern ll ellisse.

31 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 LEZIONE 4 APPLICAZIONI DELL ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI L conoscenz dell ellisse, in lcune situzioni, può fcilitre lo svolgimento di un esercizio mtemtico. In quest lezione si utilizzerà l ellisse per costruire grfici di prticolri funzioni e per risolvere per vi grfic lcuni tipi di equzioni e disequzioni irrzionli. Inoltre, si presenterà un esercitzione guidt con il softwre Derive. Esercizio Trccire il grfico dell funzione di equzione = 4 9, determinndone dominio e condominio. L funzione esiste se 4 9 D = ; Si osservi che, D, è. Elevndo l qudrto, vremo che l equzione dt è equivlente + = = Poiché + = è l equzione di un ellisse riferit l centro e gli ssi con = e b =, tenendo conto dell condizione, si può concludere che il grfico richiesto è quello illustrto nell figur seguente e rppresent un semiellisse. Il condominio dell funzione è C = ;. [ ]

32 Concett Guido L'ellisse con Cbri 3 Esercizio Risolvere l seguente equzione =. Si scriv l equzione dt nel seguente modo cioè = 3 + = = 3 3 = = 3 Si trtt di intersecre l rco dell ellisse di equzione + =, situto nel semipino delle 3 negtive o nulle, con l rett di equzione = + 3. Dll esme dell figur seguente si vede che l equzione dt non h soluzioni. Esercizio 3 Risolvere grficmente l disequzione 3. Si consideri l curv e l rett di equzioni rispettivmente Si osservi che = = = 3 = 3 e =.

33 Concett Guido L'ellisse con Cbri 33 L equzione 3 + = si può scrivere 3 + = 9 3 e pertnto rppresent un ellisse di centro ; e di semissi = e b =, con l sse minore disposto sull sse, essendo < b. A cus dell condizione, l equzione = 3 rppresent quindi l semiellisse pprtenente l semipino delle ordinte positive o nulle. Risolvere l disequzione dt signific determinre le scisse dei punti dell semiellisse che hnno ordint mggiore o ugule di quell dei corrispondenti punti dell rett =. Dll esme dell figur si può vedere che l disequzione è verifict per A essendo A il punto d intersezione, distinto dll origine, tr l ellisse e l rett. Ponendo sistem l equzione dell ellisse con quell dell rett, si trov A =. Si conclude che l disequzione è soddisftt per. ESERCITAZIONE CON DERIVE. Determinre le eventuli intersezioni delle seguenti rette di equzione: ) = + b) = + 5 c) = + con l ellisse di equzione: + =. 4. )

34 Concett Guido L'ellisse con Cbri 34 b)

35 Concett Guido L'ellisse con Cbri 35 c). Risolvere grficmente le seguenti equzioni e disequzioni: ) 3 + = ; b) 4 > + 3 ; c) ; d) < +.

36 Concett Guido L'ellisse con Cbri 36. ) b)

37 Concett Guido L'ellisse con Cbri 37 c) d)

38 Concett Guido L'ellisse con Cbri 38

39 Concett Guido L'ellisse con Cbri 39 TEST Scelt multipl (4 risposte, un sol corrett) Individu l rispost corrett tr quelle elencte L equzione cnonic dell ellisse 3 + = 3 è:. + = 3 b. + = (V) 3 c. + = 3 3 d. 3 + = 3 L ellisse di equzione + = è simmetric rispetto: 5 8. ll origine b. ll sse c. ll sse d. gli ssi crtesini e ll origine (V) 3 L ellisse di equzione + = h i fuochi: 3. sull sse (V) b. sull sse c. nell origine d. si sull sse che sull sse 4 L ellisse di equzione = 3 h eccentricità ugule :. b. 6 c. d. (V) 5 L ellisse che h fuochi in (, ) = b = (V) c. + = 4 9 d. + = 4 9 ± e pss per 6 P, h equzione: 3

40 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4 APPENDICE Approfondimento Per ricvre l proprietà crtteristic che può essere ssunt come definizione di ellisse nel pino si procede nel seguente modo. Si esmini l seguente figur, dove il pino del disegno pss per l sse dell superficie conic ed è perpendicolre l pino secnte α. Fig. Sino r ed s le genertrici pprtenenti l pino del disegno, M il punto d intersezione tr α ed r, N quello tr α ed s. Si considerino l circonferenz γ inscritt nel tringolo VMN e l circonferenz γ tngente MN e i prolungmenti dei lti VM e VN, come indicto in figur precedente (si dice che γ è l circonferenz e-inscritt l tringolo VMN reltiv l lto MN). Sino F e F i punti di conttto di γ e γ con il lto MN. Ruotndo le rette r ed s e le due circonferenze di un ngolo pitto ttorno ll sse, le circonferenze γ e γ generno le superfici sferiche di due sfere β e β inscritte nell stess fld e tngenti in F e F l pino α : i punti F e F sono detti fuochi dell ellisse.

41 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4 Si consideri ncor l figur precedente; ricordndo che i segmenti di tngente condotti d un punto esterno d un circonferenz sono congruenti si h NF NS e NF NT. Sommndo membro membro queste due relzioni si h NF + NF ST dove N è un punto dell ellisse (quello sull genertrice s) e ST è l distnz, su un genertrice, tr i punti di conttto delle sfere β e β con l fld (nell figur seguente si vrà ovvimente ST S' T' S'' T' ' ). Si può or vedere che l proprietà di cui gode il punto N è godut nche d ogni ltro punto P dell ellisse PF + PF ST. Per verificrlo si consideri l seguente figur: P è un generico punto dell ellisse e l genertrice VP tnge l sfer β in S ' e l sfer β in T '. Anche se per or lo studente forse non h conoscenze di geometri rzionle nello spzio, non è però difficile intuire che i segmenti di tngente condotti d un punto esterno P un

42 Concett Guido L'ellisse con Cbri 4 sfer sono congruenti e che quindi, sempre osservndo l figur precedente dove PF è tngente β e PF è tngente β, si h PF PS' e PF PT'. Sommndo membro membro queste due relzioni si h PF + PF S' T' e dunque PF + PF ST come si volev verificre. Si può quindi ffermre che l ellisse è il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle loro distnze d due punti detti fuochi. Considerndo ncor l Fig. si verific che è MF NF e che è MN ST. Inftti, dll relzione precedentemente ricvt NF + NF ST risult NF NF + F F ST + NF + F F ST S'' T'' S'' M + MT'' MF + F F + MF MF + F F d cui NF MF. Inoltre si h MN MF + F N NF + NT SN + NT ST. Pertnto, l relzione PF + PF ST che crtterizz dl punto di vist geometrico l ellisse si può scrivere PF + PF MN dove il segmento MN è l sse mggiore dell ellisse, come si vedrà nel seguito.

43 Concett Guido L'ellisse con Cbri 43 Approfondimento L form irrzionle in cui si present l equzione è poco prtic e trsform in form rzionle isolndo un rdicle, elevndo l qudrto entrmbi i membri, semplificndo e sviluppndo i clcoli come di seguito indicto: ( c) + = k ( + c) + ( c) = k ( + c) + ( c) + = k + ( + c) + ( + ) k ( + c) + c + c + = k + + c + c + k + c + c + k + c + c + = k + 4c. Per semplificre ulteriormente i clcoli si può porre k= : ( c) 4 + c + c + = 4 + ( + c + c + ) = ( + c) 4 + c + c + = + c + c c + = 4 ( c ) + = ( c ). Osservzione E importnte osservre che i due successivi elevmenti l qudrto non hnno introdotto soluzioni estrnee e quindi l equzione ottenut è equivlente ll () inizilmente considert. Or, poiché in un qulsisi tringolo ciscun lto è minore dell somm degli ltri due, per il tringolo PF F risult F F < PF + PF cioè c < ossi c <. Allor l differenz c è sicurmente positiv; si può pensre quest differenz come l qudrto di un numero rele e porre quindi c Per esempio,dll equzione = 3,che h soltnto l soluzione 3,si pss,elevndo mbo i membri l qudrto,,che h le soluzioni +3 e 3. ll equzione = 9

44 Concett Guido L'ellisse con Cbri 44 Pertnto l equzione precedente divent c b. = b + = b.

45 Concett Guido L'ellisse con Cbri 45 Approfondimento 3 Per verificre nliticmente l proprietà ottic occorre, scelto un qulunque punto P dell ellisse:. determinre l equzione dell rett n perpendicolre ll ellisse in quel punto; b. determinre le equzioni delle rette P F e P F ; c. verificre che un delle bisettrici degli ngoli formti dlle rette P F e P F è l normle n. Si procede or ll verific.. L rett n è l rett per P perpendicolre ll tngente ll ellisse nel punto P. Considerto che l tngente h equzione: + = b l perpendicolre vrà equzione: ( ) ( ) = b b cioè + = b b ovvero n : b = c b. Si = m( ) l equzione del fscio di rette per P. L rett P F h coefficiente ngolre m = e quindi equzione: c c) c mentre l rett P F h coefficiente ngolre ( = m = + c e quindi equzione: ( + c) + c = c. Le equzioni delle bisettrici degli ngoli formti dlle due rette P F e P F risultno essere: ( + c) + c ( c) c = ± + ( + c) + ( c) Posto: d = = + ( + c) P F e d = + ( c) = P F le due bisettrici hnno equzione: [ ( d d ) + c( d + d )] + c( d + d ) ( d d ) = [ ( d + d ) + c( d d )] + c( d ) ( d + d ) d = d + e tenuto conto che: Moltiplicndo entrmbe le equzioni per d d + d = P F + P F = d d = 4c si ottengono le equzioni:

46 Concett Guido L'ellisse con Cbri 46 [ ] = + + c c c c [ ] = c c ossi: = + = + + c c Dividendo poi per l prim e ricordndo che b c =, le equzioni divengono: = + c b = Or nell prim equzione, tenuto conto che b =, si riconosce l tngente e nell second l normle. Pertnto un rggio luminoso i proveniente dl fuoco F viene riflesso in un rggio r in modo che: = rn in quindi il rggio r pss per il fuoco F.

47 Concett Guido L'ellisse con Cbri 47 BIBLIOGRAFIA N. Dodero P. Broncini R. Mnfredi Linementi di mtemtic, Mod. B, Ed. Ghisetti e Corvi. L. Lmberti L. Mereu A. Nnni Mtemtic uno, Ed. Ets. M. Bttelli Corso di mtemtic sperimentle e lbortorio,vol. 3, Ed.Le Monnier. G. Zwirner L. Scglinti Pensre l mtemtic, vol., Ed. Cedm. M. Re Frschini G. Grzzi Mtemtic e tecnic, tomo A, Ed. Atls. L. Tonolini F. Topolini Metodi nlitici, vol., Ed. Minerv Itlic. Oltre il compsso Sistem solre Stelle L struttur dell tomo Costruzioni reltive ll ellisse Costruzioni in Cbri