2. Micromeccanica Fig.1

Transcript

1 2. Miroeania Con il terine iroeania si intende lo studio dei ateriali opositi eseguito tenendo onto delle interazioni tra i ateriali ostituenti. a iroeania onsente in partiolare di rappresentare un oposito (ateriale eterogeneo) ediante un ateriale oogeneo equialente del quale onsente di stiare le prinipali grandezze ingegneristihe a partire da quelle dei singoli ostituenti. a possibilità di stiare le aratteristihe del oposito ediante seplii relazioni teorihe è oiaente di grande interesse nella progettazione strutturale in quanto, a dierenza di quanto aade nella progettazione on ateriali tradizionali, on i ateriali opositi il progettista oltre a deinire geoetria e diensioni del oponente in progetto può anhe progettare il ateriale da utilizzare. 2.. eneralità Coe aennato al apitolo preedente, la stragrande aggioranza degli eleenti strutturali in oposito sono ottenuti sorapponendo in ario odo seplii laine oposite on rinorzo unidirezionale, denoinate nella letteratura inglese ol noe di ply, layer o laina. Si ottengono osi i lainati, ostituiti da laine eguali a ariaente orientate, e gli ibridi, ostituiti da laine dierse tra loro per quanto onerne (a) il rapporto ibra/atrie, (b) i ateriali di ibra e/o atrie oppure ()la tipologia del rinorzo (ibre lunghe e ibre orte e). Per la onosenza del oportaento eanio dei lainati è pertanto neessaria la onosenza del oportaento di una singola laina on rinorzo unidirezionale. Una laina oposita ibra-atrie può essere sheatizzata oe un insiee ostituito da ibre a sezione irolare parallele ed equi-spaziate, ierse in una atrie ontinua oe sheatizzato nella seguente igura. 3 2 rasersale aglio ongitudinale Fig. - Shea sepliiato di laina on rinorzo unidirezionale. ' questa eidenteente una sepliiazione della situazione reale di una laina, ostituita da una atrie in ui sono disposte delle ibre pressohé parallele e distribuite in odo asuale. a ig.2 ostra per esepio la distribuzione delle ibre in una generia sezione trasersale di una laina unidirezionale. 24

2 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi atrie ibre Fig.2 - Sezione trasersale di laina on rinorzo unidirezionale. Si ede oe le ibre non sono esattaente equispaziate a hanno una distribuzione rando ed alune di esse possono pure toarsi in aluni punti. o spessore di una laina è generalente opreso tra 0. e entre il diaetro delle ibre è tipiaente dell'ordine di ira 0 µ (etro, arbonio, Kelar) osihé il rapporto spessore laina/diaetro ibre puo ariare tra 0 e 00 ira. Con rieriento alla sheatizzazione della laina unidirezionale di Fig., si intuise ailente oe un tale sistea ibre-atrie esibise in pratia un oportaento anisotropo in quanto le aratteristihe isio-eanihe del ateriale ariano on la direzione onsiderata. In partiolare si ossera he essa aette tre piani di sietria utuaente ortogonali (ateriale ortotropo). Indiando inatti on la direzione delle ibre, on 2 la direzione ortogonale giaente sul piano edio della laina e on 3 la direzione ortogonale al piano della laina, allora i piani -2, 2-3 e - 3 sono eidenteente piani di sietria. li assi, 2 e 3 sono i osiddetti assi del ateriale; in partiolare la direzione è detta direzione longitudinale, le direzioni 2 e 3 direzioni trasersali. Coe è aile intuire la laina presenta in direzione longitudinale (direzione del rinorzo) aratteristihe eanihe (rigidezza, resistenza e) ben superiori a quelle esibite nelle altre direzioni. In una generia direzione ortogonale alla direzione longitudinale, ioè in una generia direzione giaente nel piano della sezione trasersale (Fig.2) la laina esibise inee aratteristihe eanihe ineriori a quelle longitutudinali. A ausa della distribuzione asuale delle ibre (Fig.2) tali aratteristihe trasersali sono inoltre pratiaente inarianti on la direzione onsiderata; per questo la laina è onsiderata trasersalente isotropa. In dettaglio, si diostra he il oportaento elastio di una laina ortotropo e trasersalente iostropa è deinito opletaente da 5 ostanti elastihe quali il odulo di Young in direzione longitudinale () e trasersale 2 (2), il odulo di elastiità trasersale nel piano della laina 2 (3), il oeiiente di di Poisson 2 (4) ed il oeiiente di Poisson nel piano trasersale 23 (5). a resistenza eania della laina è inee indiiduata unioaente da 5 paraetri indipendenti quali la resistenza a trazione,r () e opressione,r (2) in direzione longitudinale, la resistenza a trazione,r (3) e opressione,r (4) in una generia direzione trasersale e la resistenza al taglio nel piano della laina τ,r (5). Coe aennato al apitolo preedente, tali aratteristihe isio-eanihe della laina dipendono da una serie di paraetri, prio ra i quali il rapporto (oluetrio o ponderale) ibra/atrie, deinito solitaente in odo indiretto traite il rapporto (oluetrio o ponderale) ibra/oposito e dal opleentare rapporto atrie/oposito. In generale il rapporto ponderale è utilizzato dal produttore del ateriale, entre il rapporto oluetrio e utilizzato dal progettista tenuto onto he, oe si edrà eglio più aanti, le aratteristihe di interesse ingegneristio del oposito sono in genere legate a questo. Considerando una generia laina oposita si india on e il rapporto oluetrio ibra/oposito e atrie/oposito deiniti rispettiaente da: 25

3 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi ; ; (-2) essendo, e il olue di ibre, atrie e oposito rispettiaente. Con W e W si indiano inee il rapporto ponderale ibra/oposito e atrie/oposito rispettiaente dati da: W ; W ; (3-4) essendo, e il peso di ibre, atrie e oposito rispettiaente. I rapporti in olue ed in peso sono legati l'un l'altro attraerso il peso speiio; si ha inatti: W W ρ ρ ρ ρ ρ ; ρ ρ ; ρ W W ρ ρ ρ ρ (5-6) a perentuale in peso di ibre e atrie in un proino può essere alutata pesando il proino integro e suessiaente la sola ibra preia riozione della atrie ediante digestione (edi ASM D37) oero ediante estrazione on solenti (ASM C63) o anora ediante bruiatura in orno (ASM C63). A partire dalle perentuali in olue la densità teoria del oposito può essere alutata attraerso la relazione: Diidendo per si ottiene iediataente: ρ ρ ρ (7) ρ ρ ρ (8) Cioè la densità di un oposito è data dalla edia pesata seondo il olue della densità di ibra e atrie (regola delle isele). Utilizzando le relazioni preedenti la densità del oposito può alternatiaente essere espressa in unzione dei rapporti ponderali essendo: ρ ( W / ρ ) ( W / ρ ) (9) ali relazioni, sritte sopra per un oposito bi-oponente ibra-atrie possono essere ailente estese al aso di oposito ulti-oponente. Per un ateriale oposito ostituito da n oponenti si ha in generale : W i i ρi ; ρ ρ ρ ; ρ i i i i ( / ρ ) i i (0-2) ' utile osserare he la densità teoria di un oposito, alutata attraerso la (8) o la (9), può 26

4 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi essere diersa da quella isurata sperientalente per ia di uoti presenti nella struttura, ausati da aria riasta intrappolata nella atrie durante il proesso di orazione del oposito. Il rapporto oluetrio tra il olue dei uoti ed il olue eettio del oposito,e è legato unioaente alla densità teoria ρ,t ed eettia ρ,e del oposito dalla relazione: e e t / ρ / ρ / ρ e t e ρt ρ ρ t e (3) a perentuale dei uoti può essere quindi alolata a partire dalla onosenza della densità eettia alutata sperientalente (edi per esepio ASM D792) e della densità teoria alutata analitiaente ediante la () o la (2). a perentuale dei uoti inluenza le aratteristihe isio-eanihe del oposito. In genere le aratteristihe eanihe deadono on l'auentare della onentrazione dei uoti. Per questo in un buon oposito, tale rapporto oluetrio dee essere non superiore all'%. Copositi di qualità non eleata possono inee presentare una perentuale di uoti sino al 5% Caratteristihe eanihe in direzione longitudinale Coe già aennato le proprietà isio-eanihe di un oposito sono legate alle proprietà dei singoli ostituenti, alla loro onentrazione ed alle eentuali interazioni hiio e isihe. Una aurata deterinazione delle aratteristihe di un oposito può essere sepre eseguita per ia sperientale on le usuali proe eanihe (edi per esepio le relatie nore ASM per le proe di aratterizzazione dei ateriali opositi). In assenza di enoeni di interazione tra i ostituenti alune aratteristihe di un oposito, quali per esepio la resistenza e la rigidezza longitudinale, possono essere stiate on suiiente auratezza per ia teoria a partire dalle aratteristihe e dalla onentrazione dei ostituenti. Ciò risulta eidenteente olto antaggioso in sede di progettazione in quanto onsente di onosere le aratteristihe del ateriale progettato senza doere eseguire preliinari e laboriose indagini sperientali. Ai ini della alutazione delle aratteristihe eanihe di una laina unidirezionale in direzione longitudinale, questa può essere sheatizzata oe un sistea eanio ostituito da ibre ilindrihe (o prisatihe) rettilinee, parallele ed equispaziate ierse in una atrie ontinua (edi Fig.3). Sebbene, oe preedenteente osserato, tale odello dierise dalla reale onigurazione della laina, tali dierenze risultano in genere poo inluenti sulle aratteristihe longitudinali della laina osihé le stie di queste sono in genere in buon aordo on l eidenza sperientale. Fig.3 Shea di laina unidirezionale usato per la deterinazione delle aratteristihe longitudinali Modulo di elastiità longitudinale 27

5 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Con rieriento alla Fig.3, indiando on P il ario di trazione appliato alla laina, per oie onsiderazioni di equilibrio questo risulta dalla soa del ario P sopportato dalle ibre e del ario P sopportato dalla atrie, ioè: In terini di tensioni si ha quindi: P P P (4) A A A (5) essendo A l area del oposito, A l area oplessia della sezione trasersale delle ibre, A l area della atrie. Diidendo entrabi i ebri della (5) per A e tenendo onto he per le ipotesi atte il rapporto delle aree oinide on la onentrazione in olue dei ostituenti, la (5) ornise: (6) Cioè la tensione edia sulla laina è la edia delle tensioni presenti su ibra e atrie pesata seondo le rispettie perentuali in olue (regola delle isele). Nella usuale ipotesi di peretta adesione ibra-atrie, ioè in assenza di sorrienti relatii, si ha inoltre he la deorazione delle ibre oinide on quella della atrie e quindi on quella del oposito del oposito, ioè si ha: (7) Deriando pertanto la (6) rispetto alla deorazione, tenendo onto della (7) si ottiene: d d dd d d (8) Nella ipotesi he atrie e ibra abbiano un oportaento elastio lineare la (8) ornise: (9) a (9) india he oe la densità (eq.8) e la tensione longitudinale (eq.5) anhe il odulo di Young longitudinale obbedise alla osiddetta regola delle isele: densità, tensione edia e il odulo di Young longitudinale di una laina unidirezionale sono dati dalla edia pesata seondo i olui di ibra e atrie. Il odulo di elastiità longitudinale di una laina è quindi sepre opreso tra quello della atrie (liite ineriore, 0 e ) e quello della ibra (liite superiore, e 0) e rese linearente al resere della perentuale delle ibre (edi Fig.4a). Nella usuale ondizione in ui la rigidezza delle ibre è olto superiore di quella della atrie, il terine della (9) legato alle aratteristihe della ibra preale sull altro, oero il odulo di Young longitudinale del oposito e dello stesso ordine di grandezza di quello delle ibre e olto superiore a quello della atrie. In questo senso si die he il odulo è una aratteristia doinata dalle ibre. Oiaente nel aso in ui uno (Fig.4b) o entrabi i ostituenti esibisono un oportaento non lineare, non potendo per essi deinire un odulo di Young, la (9) non risulta appliabile. a (6) inee ontinua a alere: la regola delle isele può essere appliata piuttosto he ai oduli di Young alle unzioni aratteristihe ; la (6) onsente quindi di alutare la ura ( ) aratteristia del oposito a partire da quelle di ibra e atrie: 28

6 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi ( ) ( ) ( ) (6 ) Se atrie e ibra esibisono un oportaento elastio lineare, oiaente anhe il oposito esibise lo stesso oportaento (ig.4a). Se inee uno o entrabi i oponenti esibisono un oportaento non lineare allora, in irtù delle (6-8), anhe il oposito esibise un oportaento non lineare (edi per esepio Fig.4b). (a) ibra atrie (b) ibra atrie Fig.4 - Diagrai per laina on oponenti on oportaento lineare (a) e non lineare (b). Solitaente la ibra ha un oportaento ragile (elastio lineare sino alla rottura) entre la atrie (poliero) ha un oportaento lineare solo ai bassi arihi, oe ostra la Fig.4b. In presenza di laine on eleata onentrazione di ibre o on ibre aenti odulo di elastiità olto più grande di quello della atrie, la ura aratteristia del oposito è olto prossia a quella (lineare) della ibra in quanto nella (6 ) la tensione relatia alla ibra preale su quella relatia alla atrie. In questo aso la non linearità della atrie può essere trasurata e si può on buona approssiazione assuere per il oposito lo stesso oportaento elastio lineare della ibra (edi ig.4b). In un laina soggetta a trazione è interessante osserare oe il ario si ripartise tra ibra e atrie. Dalla eguaglianza delle deorazioni di ibra e atrie (eq.7), nella ipotesi di linearità dei ateriali si ha : ( A ) ( A A ) A P P (20) on oio signiiato dei siboli. Il rapporto tra il ario P sopportato dalle ibre e quello sopportato dalla atrie è quindi unzione lineare del relatio rapporto tra i oduli di Young e delle onentrazioni in olue. In partiolare la (20) ostra he, per opositi a atrie polieria, aratterizzati da eleati rapporti / (generalente opresi tra 20 e 30 ira), il rapporto dei arihi sopportati P /P è pure olto eleato, ioè gran parte del ario appliato al oposito è sostenuto dalla ibra e solo una piola parte si saria sulla atrie. In altre parole, un eleato rapporto delle rigidezze di ibra e atrie è requisito essenziale a garantire un buon sruttaento della resistenza delle ibre. a (20) non onsente di alutare l entità del ario sopportato da ibre e atrie in un ateriale oposito, essendo entrabi inogniti. A tal ine è utile are rieriento al rapporto ario ibra/ario oposito. A partire dalla (20) si ottiene ailente la relazione alternatia: 29

7 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi P P P P P (2) P P Inertendo la (2) si ottiene iediataente: P P ( )/( ) (22) In base alla (22) si ha he il rapporto P /P tende ad anhe per onentrazioni delle ibre non eleate purhé il rapporto tra i oduli di Young sia suiienteente eleato. Con rieriento alla Fig.5 si puo osserare oe per un oposito on / 20 (ibra di etro-atrie polieria, MPa, MPa), il rapporto P /P è aggiore del 75% anhe per onentrazioni della ibra del 5% ira. ale rapporto inee è in pratia superiore al 90% per onentrazione di ibre superiore al 30%, oe aiene solitaente nei opositi per appliazioni strutturali per i quali tipiaente 30%< <70% (sebbene sia teoriaente possibile ostruire opositi on onentrazione di ibre superiori, generalente non si supera il alore del 70% in quanto a onentrazioni aggiori orrisponde spesso un deadiento delle proprietà eanihe douto essenzialente a problei di adesione ibra-atrie legati ad una non peretta bagnatura delle ibre da parte della atrie). Nel aso di opositi in ibra di arbonio, oe il rapporto dei oduli di Young è non ineriore a 60, il rapporto dei arihi è pratiaente sepre superiore al 95% ira, oe può essere ailente diostrato ediante la (22). P / P / Fig.5 - Andaento del rapporto P /P al ariare del rapporto / per diersi alori di Resistenza a trazione longitudinale Considerando un oposito ibro-rinorzato, l osserazione sperientale ostra he la rottura di una laina aiene tipiaente allorquando la deorazione longitudinale raggiunge il alore liite di rottura delle ibre. Solitaente inatti la atrie è aratterizzata da una deorabilità più eleata delle ibre e da una resistenza olto più bassa. In queste ondizioni la rottura del oposito è goernata da quella delle ibre. In presenza di ibre duttili per le quali la rottura aiene per sorriento, i possono però essere più o eno signiiatii sostaenti da tale situazione, douti 30

8 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi essenzialente agli sorzi di opressione he la atrie eserita sulle ibre. Questi inatti ostaolano e rallentano la rottura delle ibre rispetto alla ondizione di ibra singola. In questi asi la deorazione di rottura del oposito può risultare superiore a quella delle ibre, oe ostra la seguente igura he riporta aluni dati osserati sperientalente per opositi on ibre ragili e duttili. ibre oposito ibre ragili ibre duttili sneraento rottura oposito atrie Fig.6 - Diagrai per laina (atrie duttile) on ibre ragili e duttili. In assenza di signiiatie interazioni ibra-atrie, nella ipotesi he la rottura della laina oinide on la rottura delle ibre he aiene alla deorazione,r, la tensione di rottura a trazione della laina può essere ottenuta on la gia ista regola delle isele (q.6). Utilizzando la (6), nelle ondizioni di inipiente rottura delle ibre, oero allorquando la deorazione del oposito eguaglia quella di rottura delle ibre, si può sriere inatti: ( ) (23), R, R, on oio signiiato dei siboli. a (23) ornise quindi la tensione di rottura del oposito in unzione della tensione di rottura delle ibre,r, della tensione della atrie orrispondente alla deorazione di rottura delle ibre e della perentuale di ibre presenti. Nei liiti di alidità della (23) la tensione di rottura del oposito è quindi legata linearente alle tensioni aratteristihe di ibra (tensione di rottura) e atrie (tensione orrispondente alla deorazione,r ). Più in dettaglio, si osseri he la rottura del oposito oinide on quella delle ibre se la onentrazione di queste è tale he il ario he porta a rottura le ibre è superiore a quello sopportabile dal oposito on ibre rotte, ioè dalla sola atrie. a tensione ',R he porta a rottura la sola atrie (ibre rotte) è ornito dalla relazione: R ' (24), R A, R A ', R, R Ainhé alla rottura delle ibre si eriihi anhe la iediata rottura della atrie e quindi dell intero oposito, la tensione di rottura ornita dalla (23) dee risultare superiore a quella ornita dalla (24). ale diseguaglianza ornise dopo seplii passaggi:, R, R, R, R, R (25) In altre parole, ainhé alla rottura delle ibre segua quella del oposito è neessario he la 3

9 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi perentuale di ibre sia superiore al alore inio dato dalla (25) ol segno di eguaglianza:,in, R, R, R, R, R (25 ) Se <,in la apaità portante della sola atrie è superiore di quella dell intero oposito e quindi la presenza delle ibre non ostituise aatto rinorzo della atrie, piuttosto un indeboliento. a tensione di rottura di un tale oposito, ornita dalla (24), è inatti ineriore di quella della atrie. Più preisaente a osserato he il soddisaiento della (25) non assiura he le ibre operino eettiaente un rinorzo della atrie. Ainhé iò sueda è neessario he la tensione di rottura del oposito sia aggiore o uguale della tensione di rottura della sola atrie, ioè: ( (26), R, R ) *, R Dalla (26) si ottiene la onentrazione ritia delle ibre neessaria ad assiurare un reale rinorzo della atrie. Si ha:, R, R, rit >,in, R, R (27) Oiaente la onentrazione ritia, he assiura,r >, è aggiore della onentrazione inia, he assiura,r >,R. Nel aso in ui la onentrazione delle ibre sia ineriore a quella inia allora la rottura del oposito oinide on quella della atrie he aiene allorquando le ibre sono gia rotte. In questo aso liite si ha: ( ) (28), R, R enendo onto delle relazioni (23) e (28) nonhé della espressione della onentrazione inia delle ibre è possibile rappresentare graiaente l'andaento teorio della resistenza a rottura a trazione di una laina oposita in unzione della onentrazione delle ibre (edi ig.7).,r,r eq.(23),r,r,in eq.(28) 0 0.5,rit Fig.7 - Andaento della tensione di rottura a trazione longitudinale per laina unidirezionale. 32

10 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Si ede hiaraente oe, ainhé l'introduzione delle ibre dia un ontributo positio alla resistenza è neessario he la relatia onentrazione sia superiore al alore ritio he, in base alla (27) è legato alla tensione di rottura di ibra e atrie nonhé alla tensione presente nella atrie alla deorazione di rottura della ibra. Per una laina ibra di etro-resina epossidia e siili, la onentrazione ritia è generalente olto piola (ineriore all'%). Per esepio per ibra di etro tipo on,r 3500 MPa e atrie polieria on,r.70 MPa e,,r 50 MPa, appliando la (27) si ottiene iediataente una onentrazione ritia ineriore all'%. alori pure olto pioli si ottengono per opositi on ibre di arbonio e pertanto è possibile aerare he per i ouni opositi usati nella progettazione di strutture, la rottura della laina si eriia sepre a seguito di rottura della ibra e la presenza delle ibre produe ertaente rinorzo del ateriale. Diersa è inee spesso la situazione per opositi a atrie etallia per i quali possono ailente eriiarsi rapporti più bassi delle rigidezze di ibra e atrie. A titolo di esepio nella seguente tabella sono riportate le onentrazioni ritihe di ibre di aria resistenza per alune atrii etallihe duttili. abella.- alori della onentrazione ritia rit per diersi tipi di ibre in atrii etallihe. Matrie,R [MPa],R [MPa],R 700 MPa,R 750 MPa,R 3500 MPa,R 7000 MPa Alluinio % 3.25 %.6 % 0.80 % Rae Nihel Aiaio inox a resistenza alolata teoriaente ediante la (23) o le relazioni alternatie, in genere è in buon aordo on quella rileata sperientalente. Signiiatie dierenze possono però eriiarsi prinipalente a ausa di: ) non peretto allineaento delle ibre; 2) non uniore resistenza delle ibre; 3) ariabili ondizioni di interaia; 4) tensioni residue. identeente se le ibre, oe suede spesso, non sono perettaente allineate l'un l'altra, oero non sono ben allineate ol ario, allora la resistenza del oposito risulta più bassa del alore teorio stiato. li sostaenti sono trasurabili se gli errori di allineaento sono ontenuti entro pohi gradi, altrienti appropriate orrezioni sono neessarie. Per quanto onerne inee la non uniore resistenza delle ibre, si ossera anzitutto he essa è essenzialente legata alla non uniorità della sezione resistente ed alla non uniorità di eentuali trattaenti subiti. a non uniorità della resistenza delle ibre da luogo a rotture progressie he interessando inizialente le sezioni più deboli produono un indeboliento e quindi una rottura progressia del oposito (uulatie-eakning ailure odel). a non uniorità della resistenza delle ibre da luogo inoltre ad un legae tra resistenza e lunghezza. Sperientalente si ossera inatti he la resistenza delle ibre diinuise on la lunghezza. ale oportaento si spiega on il atto he una ibra, oe una atena, si rope sepre in prossiità del punto più debole, e la probabilità della presenza di sezioni più deboli auenta ertaente all'auentare della lunghezza della atena (ibra). a rottura di una ibra in una data sezione produe una disontinuità a ui è assoiata un enoeno 33

11 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi di onentrazione di tensione he ailita ulteriori rotture loali delle ibre. a rottura loale è anhe responsabile della orazione di eentuali rihe he possono propagarsi nella direzione delle ibre, lungo l'interaia, se non si ha una eleata adesione ibra-atrie, in direzione norale alle ibre nel aso opposto. In presenza di ibre interrotte o ibre orte, inoltre, enoeni di onentrazione di tensioni si eriiano anhe in orrispondenza delle estreità a ausa delle dierse aratteristihe eanihe dei ateriali di ibra e atrie. Il eriiarsi di tali enoeni inluenza signiiatiaente la resistenza a rottura della laina. Anhe le ondizioni di interaia possono inluenzare signiiatiaente, oltre he la resistenza ad agenti abientali oe uidità e, anhe la resistenza longitudinale di un oposito. Una buona adesione da luogo inatti ad una eleata resistenza del oposito, assiurando una buona trasissione degli sorzi tra ibra e atrie ed ipedendo allo stesso tepo la propagazione di rihe di interaia. Per quanto onerne inine le tensioni residue, queste si originano solitaente a ausa del dierso oeiiente di dilatazione terio di ibra e atrie e sono legate alla teperatura di utilizzazione della laina. In eserizio le tensioni residue si soano alle tensioni indotte dai arihi appliati inluenzando osì (positiaente o negatiaente) la resistenza della laina. Per una progettazione aurata la alutazione delle tensioni residue non dee pertanto essere trasurata Resistenza a opressione longitudinale a resistenza a opressione longitudinale,r di un oposito unidirezionale è strettaente legata alle partiolari odalità di ediento dipendenti dalle aratteristihe delle ibre, dalla bontà della adesione ibra-atrie, dalla perentuale in olue delle ibre e da possibili enoeni di instabilità dell equilibrio elastio. Per la sua stia si rianda pertanto al ap.6, dediato ai eanisi di rottura Caratteristihe eanihe in direzione trasersale Il odulo di elastiità in direzione trasersale e la resistenza a trazione trasersale di una laina possono essere studiati utilizzando l eleento di olue rappresentatio (R o R nella letteratura inglese) della laina unidirezionale ostituito in pratia da una ibra (rettangolare) e dalle porzioni di atrie adiaente (edi Fig.8) s s /2 ibra atrie s Fig.8. leento di olue rappresentatio di laina unidirezionale usato per la stia delle aratteristihe elastihe e di resistenza trasersali Modulo di elastiità in direzione trasersale Con rieriento alla ig.8 si ha he ibra e atrie sono in pratia soggetti alla stessa tensione appliata. In appliazione della deinizione ( / Τ ) il alore del odulo di elastiità trasersale può essere alutato non appena alolata la deorazione trasersale del oposito Τ. Da seplii onsiderazioni si ha: 34

12 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi s s s s, 2, s s s s s (29) on oio signiiato dei siboli. Inertendo la (29) e tenendo onto della deinizione, si ha: ( / ) (30) a (30) ostra he, a dierenza di quanto aade per il odulo elastio longitudinale, il odulo di elastiità trasersale è legato a quello di atrie e ibre da una relazione non lineare. In pratia è l inerso del odulo (edeolezza) ad obbedire alla regola delle isele. Coe il odulo longitudinale il odulo trasersale (teorio) aria tra quello della atrie e quello della ibra oe indiato nella seguente igura, he si rierise al aso / 0: Fig.9. Andaento (teorio) del odulo longitudinale e trasersale di laina unidirezionale on / 0. Dalla ig.9 si ede hiaraente oe la presenza delle ibre, anhe on onentrazione relatiaente eleata ( 50-60%), da luogo solo ad un liitato inreento del odulo rispetto a quello della atrie. Per esepio per una laina on / 20 (ibra di etro-resina epossidia) per una onentrazione di ibre del 50% si ha: entre per il odulo trasersale è: * * 05 a stia del odulo ornita dalla (30) è in genere piuttosto approssiata in quanto lo shea rappresentato in Fig.8 non desrie esattaente l'eettio oportaento della laina sotto un ario trasersale. 'ipotesi he ibre e atrie sono sottoposti alla edesia tensione (ateriali in serie) è in realtà approssiata in quanto in una generia sezione trasersale della laina sono sepre presenti ibre e atrie (ateriali parzialente in parallelo) osihé il ario di atti si distribuise tra i due oponenti. Inoltre, per ia delle dierse ostanti elastihe, l'ipotesi di eguale tensione porterebbe ad una deorazione longitudinale diersa di ibre e atrie. Una igliore stia del odulo di elastiità trasersale può essere ottenuta in alternatia on odelli teorii più oplessi o on etodi nuerii. 35

13 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Risultati in buon aordo on quelli sperientali si ottengono utilizzando il etodo degli eleenti initi e onsiderando un odello on ibre disposte seondo un retiolo regolare. A titolo di esepio nella seguente igura 0 è ostrato l'andaento del rapporto / al ariare del rapporto / per diersi alori della onentrazione delle ibre, ottenuto ediante etodi nuerii. / (a) / 78 % 75 % 70 % 40 % 4 % 55 % / Fig.0. - Andaento del rapporto / per laina unidirezionale al ariare del rapporto /. Per il odulo di elastiità in direzione trasersale sono state proposte dierse orule approssiate ottenute on etodi analitii e/o nuerii. ra queste una relazione olto usata è quella seiepiria di Helpin-sai: ζη η on ( / η ( / ) ) ζ (3) doe ζ è un paraetro epirio ottenuto ediante itting di risultati teorii, he è una isura del rinorzo legato alla geoetria della sezione trasersale delle ibre. Per ibre pressohé si ha in pratia il alore ζ 2, entre per sezioni rettangolari di lati a e b può essere stiato dalla relazione ζ 2a/b essendo a la diensione isurata nella direzione del ario appliato. a igura seguente ostra la rappresentazione graia della equazione di Halpin-sai (3). Fig.. Andaento di / preisto dalla relazione di Helpin-sai (eq.3). Il onronto dei risultati orniti dalla (3) e dalla (30) on i alori eettii di olti ateriali 36

14 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi opositi ostra he la (30) ornise in genere alori largaente sottostiati entre buona è in genere l approssiazione ornita dalla (3). Migliori stie della rigidezza trasersale di una laina unidirezionale si possono ottenere utilizzando il più oplesso PMM (periodi irostruture odel), per il quale si rianda alla letteratura speializzata Resistenza a trazione trasersale Seondo il odello sepliiato di Fig.8 (ateriali in serie), la resistenza a trazione trasersale di una laina unidirezionale risulta in pratia oinidente on la resistenza a trazione del ateriale eno resistente, ioè della atrie. Si può sriere in pratia: (32), R, R In realtà, a ausa di ineitabili enoeni di onentrazione di tensioni loalizzate all'interaia ibra-atrie e doute alle dierse aratteristihe elastihe di ibra e atrie, nonhé a ausa della eentuale presenza di uoti, pur ipotizzando una peretta adesione ibra-atrie, la rottura aiene a lielli di tensione più bassi di quelli he produono rottura nella sola atrie. Per tener onto di tale riduzione si introdue un attore orrettio S. Si pone ioè:, R R (33) S, rasurando l'eetto douto al dierso oeiiente di Poisson, il attore orrettio S oinide in pratia ol oeiiente di onentrazione delle tensioni k la ui espressione analitia è approssiata dalla relazione: S [ ( / )] k 4 / π[ ( / )] (34) In alternatia alla (34), una igliore stia del oeiiente orrettio S può essere ottenuta on etodi nuerii a partire dalla onosenza dello stato tensionale. a igura seguente ostra i alori di S ottenuti ol FM al ariare dei paraetri più signiiatii. S 78 % 75 % 70 % 55 % 40 % 4 % Fig.2. Andaento di S ottenuto utilizzando il etodo degli eleenti initi (FM). In ogni aso la (35) onsente di aerare he la resistenza a trazione trasersale, oe il odulo di 37 /

15 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Young trasersale, è una aratteristia doinata dalla atrie. Conseguenteente, relatiaente bassi risultano rigidezza e resistenza della laina unidirezionale in direzione trasersale. I risultati orniti dalla (33) risultano in genere piuttosto approssiati e per questo altre orulazioni epirihe alternatie sono state proposte da ari autori. ra queste le più usate in letteratura sono la orula di Nielsen: (35) /3, R C ( ), R essendo C un oeiiente legato alla perentuale di uoti he, in aordo on l eidenza sperientale, può dar luogo a noteoli diinuzioni della resistenza trasersale: C 4 π ( ) (35 ) Altra orulazione he pure tiene onto della perentuale dei uoti e del rapporto della rigidezza dei ateriali da ui dipendono gli eetti di onentrazione di tensione, è quella douta a Chais:, R [ ( )( )] (36) C, R utte le relazioni sopra riportate onduono a alori della resistenza ineriori a quella della sola atrie sebbene in aluni asi può suedere il ontrario per ia per esepio di dietti più pioli presenti nella atrie del oposito (i pioli spazi tra le ibre liitano le diensioni dei dietti) rispetto a quelli presenti nella atrie da sola. Nessuno di tali relazioni inoltre tiene onto della adesione ibra-atrie he eidenteente può inluenzare signiiatiaente la resistenza. Per aurate alutazioni della resistenza trasersale è neessario pertanto riorrere alle proe sperientali Resistenza a opressione trasersale Per la stia della resistenza a opressione trasersale ',R possono essere ripetute le onsiderazioni atte al apitolo preedente per la resistenza a trazione trasersale. In partiolare la resistenza a opressione trasersale può essere stiata ediante relazioni analoghe a sostituendo la resistenza a trazione,r della atrie on la resistenza a opressione ',R, in genere più eleata. In aluni asi tale proedura da luogo a stie piuttosto grossolane, in quanto le odalità di rottura possono essere dierse dalla opressione (rottura per taglio della atrie e.). Per aggiori dettagli sulle possibili odalità di ediento si rianda al ap.6. In ogni aso per una alutazione aurata della resistenza è neessario riorrere alle proe sperientali (edi ASM D695, D340) Modulo di elastiità trasersale e resistenza a taglio Il odulo di elastiità trasersale 2 di una laina unidirezionale, deinito dal rapporto tra la tensione tangenziale τ 2 appliata nel piano della laina e il orrispondente sorriento γ 2, può essere stiato teoriaente onsiderando l eleento di olue rappresentatio (odello sepliiato) usato al apitolo preedente e rappresentato in ig.8. 38

16 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi 2.4. Modulo di elastiità trasersale 2. Il odulo di elastiità trasersale 2 può essere alutato teoriaente onsiderando il odello deoratio dell eleento di olue rappresentatio illustrato in ig. 3: τ 2 atrie τ 2 ibra atrie 2 2 τ 2 τ 2 Fig.3 - Modello deoratio e notazione per la deterinazione di 2 Nell ipotesi he la tensione tangenziale sia sentita in ugual isura dalla ibra e dalla atrie (ateriali in serie) he entrabe siano soggette ad uno sorriento uniore dipendente dal relatio odulo di elastiità trasersale, si ha: τ τ γ ; γ (37-38) o spostaento totale dell eleento rappresentatio, pari al prodotto della deorazione angolare totale γ per lo spessore totale, è dato dalla soa dello spostaento di ibra e atrie; si puo quindi sriere: γ γ γ (39) Diidendo la (39) èer lo spessore si ottiene inine la relazione he ornise lo sorriento totale del sistea ibra-atrie: γ γ γ (40) Utilizzando quindi la (40) nella deinizione del odulo di elastiità trasersale e introduendo le (37-38) si ottiene: 2 γ γ τ γ τ ( τ / ) ( τ / τ ) (4) Siilente a quanto suede per il odulo di Young in direzione trasersale, è l inerso del odulo di elastiità trasersale ad obbedire ad una regola delle isele, e non il odulo. Diidendo entrabi i ebri per ( / ) - si ottiene la relazione alternatia: ( ) (42) 2 39

17 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi I alori di 2 alutati on la (4) o la (42) a partire dai dati relatii a ibra e atrie, non sepre sono in buon aordo oi alori rileati sperientalente, a ausa del atto he nella generia sezione trasersale della laina sono presenti sia ibre he atrie, ioè la disposizione dei due eleenti è in parte in serie in parte in parallelo (in quest ultio aso si arebbe l eguaglianza degli sorrienti e non delle tensioni). Conseguenteente lo sorzo di taglio si ripartise tra ibra e atrie. eidenza sperientale ostra he si può tenere onto di iò ediante introduzione nella (42) di un attore orrettio del rapporto delle onentrazioni, detto attore di ripartizione η s. Si pone in pratia * η s / e quindi la (42) dienta: (43) ( *) * 2 Il attore η s dipende essenzialente dalla ora delle ibre (a), dalla diensione delle ibre (b) nonhé dal olue perentuale delle ibre (), a non è strettaente legato alla eentuale anisotropia delle ibre. sso pertanto può essere usato sia per ibre isotrope (es. ibre di etro) he anisotrope (es. ibre di arbonio). a dipendenza dal olue di ibre è piuttosto blanda e per perentuali oprese tra 0.4 e 0.7 si può onsiderare ostante. introduzione del oeiiente di ripartizione, onsente nella pratia di deterinare il odulo di elastiità trasersale delle ibre a partire dalla deterinazione sperientale del odulo del oposito essendo noto il odulo della atrie. Questa proedura si utilizza per esepio per la deterinazione del odulo di ibre di arbonio. sepio: Per una igliore oprensione dell uso del attore di ripartizione, si riporta nel seguito un esepio nuerio. Si aluta dappria il oeiiente di ripartizione per un oposito on ibre a oportaento isotropo, aente le seguenti proprietà: 38.4 Pa Pa Pa Si deterina anzitutto. Dalla regola delle isele si ha per il odulo di Young della ibra: Quindi per ibre isotrope: [ - (- ) ] / 85.3 Pa 2 ( ) 355. Pa Con la analoga relazione per la atrie, si ottiene.26 Pa, entre usando la (43) si ottiene: ( 2 ) * η s * ( ) Questo alore osi alolato puo essere usato per la alutazione del odulo trasersale di ibre non isotrope, per le quali non ale la solita relazione ol odulo di Young ed il oeiiente di Poisson, a partire da isure eseguite sottoponendo a taglio la laina oposita. Per esepio onsiderando un oposito 300 /5208, he ha ibre a oportaento anisotropo, on onentrazione 0.7, aendo isurato sperientalente il odulo Pa, dalla (42) si alola il alore del odulo delle ibre : 40

18 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi * ( *) 9.6 Pa 2 Se inee si proa a alolare il odulo trasersale onsiderando la ibra isotropa si ottiene un alore signiiatiaente dierso. Il odulo di Young delle sole ibre è on buona approssiazione (trasurando il ontributo della atrie) dato da: / 258 Pa Pertanto, il odulo delle ibre supposte isotrope ale: ( ) 2 08 Pa questo un alore è olto dierente da 9.6 Pa troato preedenteente, tenendo onto delle proe sperientali e del attore di ripartizione η s. errore è del 550 %. Pertanto, per alutare 2 per un oposito on ibre di arbonio on olue perentuale di ibre opreso tra 0.4 e 0.7 si può usare la relazione approssiata In alternatia all uso della (43) il odulo di elastiità trasersale di un oposito può essere alolato in odo più aurato onsiderando i risultati ottenuti on il etodo degli eleenti initi, riportati graiaente in ig.4. / (b) 78 % 75 % 40 % 4 % 70 % 55 % / Fig.4. - Andaento del rapporto / (b) per laina unidirezionale. Buone stie di 2 si ottengono anhe utilizzando la orula di Halpin-sai (q.3) introduendo al posto dei oduli di Young i oduli di elastiità a taglio ed utilizzando ζ, ioè: η η on ( η ( / / ) ) (44) I risultati orniti da questa orula sono in genere in buon aordo on i risultati nuerii riportati in 4

19 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Fig.4. Stie abbastanza aurate si hanno pure in generale on il CAM (ylinder asseblage odel) he onsidera un odello (R) ostituito da due ilindri onentrii (ibra irondata da atrie), e on il PMM (periodi irostruture odel) he ornisono rispettiaente: (45) on (46) ( / ) p( ) p( ) (47) Resistenza a taglio nel piano della laina Per alutare la resistenza a taglio di una laina unidirezionale è neessario tener onto delle peuliari odalità di ediento he possono eriiarsi, quali taglio della atrie, debonding e (edi anhe ap.6). É pertanto diiile eseguire stie teorihe aurate di tale paraetro e solo relazioni epirihe approssiate possono essere usate in sede di progetto. Ipotizzando he la rottura aenga per taglio della atrie la resitenza puo essere stiata ediante la seguente relazione: τ, [ ( )( )] τ (48) R C, R Si osseri he la (48) si ottiene dalla equazione di Chaise (36) per seplie sostituzione della resistenza a trazione della atrie on la rispettia resistenza a taglio e dei oduli di Young on i oduli di elastiità trasersale di ibra e atrie; il oeiiente C è sepre dato dalla eq.35. In assenza di inorazioni sperientali sulla resistenza a taglio della atrie si può assuere on buona approssiazione τ. Inoltre, oe la (35) e la (36), la (44) può essere usata per alutare, R, R τ, R a partire da una alutazione sperientale della resistenzaτ, R, quindi la stessa orula può essere usata per ottenere stie aurate della resistenza a taglio di opositi siili a quello proato. 2.5 Coeiienti di Poisson Coe aade per le altre proprietà isio-eanihe, il oeiiente di Poisson di un oposito unidirezionale aria on la direzione onsiderata. Coe sarà ostrato nei suessii apitoli il alore relatio alla generia direzione può essere alutato a partire dalla onosenza del oeiiente di Poisson longitudinale 2 e di quello trasersale 2. Per alutare l eetto Poisson nella generia direzione è neessario pertanto stiare tali oeiienti Coeiiente di Poisson 2 Il oeiiente di Poisson 2, dato dall opposto del rapporto tra la deorazione trasersale e quella longitudinale ausate da una stato onoassiale di tensione in direzione longitudinale, può essere stiato utilizzando l eleento di olue rappresentatio gia usato in preedenza (Fig.5). 42

20 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi /2 /2 /2 Fig.5 - Modello di oposito e notazione usati per la deterinazione di 2 Con rieriento alla notazione ostrata in igura 5, l appliazione di una tensione longitudinale produe nella laina una deorazione trasersale data da: 2 ; (49) Utilizzando la deinizione del oeiiente di Poisson e tenendo onto he per il odello onsiderato il rapporto tra lo spessore del singolo oponente e lo spessore della laina ( i /) oinide on la relatia onentrazione in olue, si ha: 2 2 (50) a (50) ostra he, siilente alle altre grandezze longitudinali, il oeiiente di Poisson 2 del oposito è legato a quelli di ibre e atrie dalla regola delle isele. Il alore teorio stiato on la (50) è alido nella ipotesi he la ibra abbia un oportaento isotropo. Poihè la isura del oeiiente di Poisson di una ibra è piuttosto oplesso per le esigue diensioni della stessa, spesso la (50) è utilizzata per deterinazione indiretta del oeiiente di Poisson delle ibre a partire dalla isura di quella della atrie e del oposito. a (50) ornise in genere alori he presentano sostaenti dai alori rileati sperientalente. ali sostaenti sono in genere onsiderati trasurabili per il atto he piole ariazioni del oeiiente di Poisson non deterinano grandi ariazioni sulla alutazione dello stato tensionale eseguita in sede di progettazione. Poihé i oeiienti di Poisson di ibra e atrie sono piuttosto iini ( , ), in aordo on la (50) il oeiiente di Poisson del oposito assue generalente alori prossii a quelli dei etalli, ioè Coeiiente di Poisson 2 Si osseri anzitutto he il oeiiente di Poisson 2 risulta in genere più grande di 2 : ad una deorazione in direzione longitudinale del oposito seguono signiiatie deorazioni trasersali della atrie, entre ad una stessa deorazione trasersale seguono solo liitate deorazioni longitudinali della atrie essendo queste orteente ipedite dalle più rigide ibre. Per questo i oeiienti di Poisson 2 e 2 sono indiati soente nella letteratura inglese oi terini di ajor Poisson ratio e inor Poisson ratio rispettiaente. 43

21 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi Il oeiiente 2 non è però una ostante elastia indipendente da quelle preedenteente alolate, ed il oportaento eanio di una laina ortotropa nel piano della laina è sepre unioaente deterinato dalle 4 ostanti elastihe, 2, 2 e 2 pria deinite. Il oeiiente 2 è inatti legato ai oduli di Young ed al oeiiente di Poisson 2 dalla nota relazione: (5) 2 2 a alidità della (5) si diostra ailente onsiderando he l appliazione di una tensione onoassiale 2 in direzione trasersale produe una deorazione trasersale 2 pari a: 2 2 (52) 2 ed una deorazione longitudinale he può essere alolata onsiderando le interazioni ibra atrie doute alla diersa deorabilità, ioè al dierso oeiiente di Poisson (edi igura seguente). 2 2, atrie ibra 2 2, Fig. 6 Deorazioni longitudinali di laina soggetta ad una tensione trasersale 2. Con rieriento alla igura 6 si ha he se ibra e atrie ossero liberi di deorarsi allora sotto la solleitazione di trazione trasersale per eetto Poisson la atrie assuerebbe una deorazione longitudinale pari a - 2, entre la ibra assuerebbe la deorazione - 2,. ssendo tipiaente >, la atrie assuerebbe una deorazione in odulo superiore a quella della atrie. Nel oposito inee i due ateriali assuono la stessa deorazione longitudinale (M) osihé i due ateriali subisono una deorazione eania pari rispettiaente a e (M). Considerando atrie e ibra si ha in partiolare: M 2, (53) M 2, (54) e deorazioni eanihe assuono pertanto l espressione: M 2, (55) 44

22 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi M 2, (56) A tali deorazioni eanihe sono assoiate delle tensioni e quindi dei arihi di trazione (atrie) e opressione (ibra) P e P dati da: M P ) (57) ( 2, M P ) (58) ( 2, a soa dei due sorzi dee essere identiaente nulla trattandosi di solleitazioni interne. Si ha ioè: P P ; ( ) ( ) 0 (59) 0 2, 2, Riaando la deorazione longitudinale dalla (63) e tenendo onto delle relazioni troate per il odulo di Young longitudinale e per il oeiiente di Poisson 2 si ottiene: (60) Utilizzando pertanto la deinizione del oeiiente di Poisson 2 dalla (60) si ha quindi: (6) he diostra la (5). enuto onto he nei opositi a atrie polieria il odulo di Young longitudinale è ediaente di un ordine di grandezza superiore a quello trasersale, dalla (5) segue he 2 è di un ordine di grandezza ineriore al oeiiente Coeiienti di dilatazione teria Coe le aratteristihe eanihe quali rigidezza e resistenza, anhe il oeiiente di dilatazione teria lineare di una laina oposita è dierso nelle due direzioni, longitudinale e trasersale. In genere, poihé il oeiiente di dilatazione teria lineare delle ibre è più piolo di quello della atrie e quindi le ibre ipedisono la dilatazione teria della atrie in direzione longitudinale, il oeiiente di dilatazione teria del oposito in direzione longitudinale è più piolo di quello trasersale. Inoltre, la alutazione di tali oeiienti è soente di partiolare interesse nella progettazione eania on ateriali opositi, tenuto onto he on ibre oe arbonio e Kelar dotate di oeiienti di dilatazione negatii, è possibile ottenere opositi on eleata stabilità teria, ioè on oeiiente di dilatazione pressohé nullo Coeiiente di dilatazione Il oeiiente di dilatazione longitudinale può essere alolato tenendo appunto onto he ad un inreento di teperatura segue una deorazione longitudinale del oposito he per ongruenza è eguale a quella di ibra e atrie (edi ig.7). 45

23 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi atrie ibra M M Fig. 7 Dilatazioni e deorazioni longitudinali di laina soggetta a ariazione di teperatura Con rieriento a ibra e atrie rispettiaente si può sriere: M (62) M (63) Per l equilibrio ibra e atrie si sabiano uno sorzo legato alla deorazione ipedita. a atrie e la ibra onseguenteente risultano soggetti ad uno sorzo S e S proporzionale alla deorazione eania subita. Con rieriento alla ig.7 si ha: S ( ) (64) S ( ) (65) Per l equilibrio la soa dei due sorzi (interni) dee essere nulla, ioè: S S 0 ( ) ( ) (66) enendo onto della deinizione di oeiiente di dilatazione teria lineare ( /), dalla (66) dopo seplii passaggi si ottiene: (67) a (67) ostra oe in pratia il oeiiente di dilatazione teria lineare longitudinale della laina oposita è dato dalla edia dei oeiienti di dilatazione dei ostituenti pesata on la rigidezza oero, tenendo onto della ostanza della lunghezza, on il prodotto del odulo di Young per la onentrazione in olue. enendo onto inoltre della regola delle isele per il odulo di Young longitudinale, la relazione troata si può anhe sriere oe: (68) Coeiiente di dilatazione 2 46

24 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi 47 Più oplessa risulta inee la deterinazione del oeiiente di dilatazione teria in direzione trasersale. Per are iò oorre tenere presente he a ausa della opressione della atrie operata dalle ibre, oltre alla dilatazione la atrie subise per eetto Poisson una deorazione positia in direzione trasersale he si aggiunge alla dilatazione. Per lo stesso otio le ibre subisono una deorazione trasersale negatia he si sottrae alla orrispondente dilatazione oe indiato sheatiaente nella seguente igura 8., atrie ibra,,, Fig. 8 Dilatazioni e deorazioni trasersali di laina soggetta a ariazione di teperatura Con rieriento alla igura 8 per la atrie si ha quindi: M ) ( ) (,, (69) Per la ibra si ha analogaente: M ) ( ) (,, (70) a deorazione subita dalla laina in direzione trasersale è data da:,,,, (7) Sostituendo le preedenti nella (7) si ottiene quindi: ) ( ) (,, (72) Diidendo per e tenendo onto dell espressione del oeiiente di Poisson del oposito si ha inine: 2 ) ( ) ( (73) a (73), oe la (49) he ornise il oeiiente di dilatazione teria lineare, è una relazione non lineare nella perentuale di ibre e atrie della laina.

25 B. Zuarello Progettazione eania on ateriali opositi A titolo di esepio nella igura seguente è riportato l andaento dei due oeiienti di dilatazione teria lineare per una laina ibra di etro-resina epossidia (on 5 pp/ C, 60 pp/ C, MPa, 3500 MPa, 0.35, 0.20) al ariare della perentuale di ibre. Nella igura seguente è pure riportato l andaento della espressione: ( ) (74) on la quale si può approssiare il oeiiente di dilatazione teria trasersale per >0.25. (eq.73) (eq.74) (eq.67) Fig. 9- Andaento dei oeiienti di dilatazione teria al ariare della onentrazione delle ibre. iportante osserare oe, essendo il oeiiente di dilatazione in direzione longitudinale della laina la edia pesata di quello di ibra e atrie, utilizzando per esepio ibre aenti un oeiiente di dilatazione teria lineare negatio (Kelar-49) o olto basso (ibre di arbonio), è possibile ottenere in pratia un oposito on oeiiente di dilatazione teria lineare longitudinale pressohé nullo il he signiia stabilità diensionale dei anuatti in direzione longitudinale al ariare della teperatura. questo un requisito olto iportante in ari eleenti di ahina soggetti a ariazioni di teperatura. Alla eleata stabilità teria longitudinale sono però in genere assoiate eleate dilatazioni trasersali essendo il oeiiente trasersale piu iino a quello della atrie e quindi generalente superiore a quello dei etalli tenii. A titolo di esepio nella seguente tabella sono riportati, tra le altre aratteristihe, i oeiienti di dilatazione teria longitudinale e trasersale di alune laine unidirezionali. abella 2 Proprietà aratteristihe di laine oposite on rinorzo unidirezionale. 48