UNA FORMULAZIONE ANALITICA PER IL CALCOLO QUASI-STATICO DELLA GEOMETRIA DEL FRONTE DI UNA FESSURA PIANA

Transcript

1 XVIII CONGRESSO NZIONLE ID 9- seembre 5 VOLERR PI UN FORMULZIONE NLIIC PER IL CLCOLO QUSI-SICO DELL GEOMERI DEL FRONE DI UN FESSUR PIN M. CHIRELLI, E. ROINI Dprmeo Igeger erospzle, Uversà Ps, Ps Seco Fcolà Igeger Uversà Bolog, Forlì SOMMRIO I qeso lvoro vee for espressoe geerle ell velocà rlsco ell eerg poezle, c co l smbolo G, relv problem meccc ell frr elsc rmesole: le espressoe vee rcv pozzo che l feomeo ell propgzoe fessr p s qs-sco e ssmeo cog l srbzoe ell velocà vzmeo el froe frr che vee escr cmpo veorle co co l smbolo. Le sszo fe poro forml geerle G, vl per corpo fessro rmesole perelsco, che vee così peere esplcmee e l so gree spzle. Sll bse qeso prmo rslo, mpoeo cozoe szoreà G rspeo l veore, vee formlo l problem lco per l clcolo ell evolzoe ell form el froe frr p re l fse propgzoe. Nel lvoro vee mosro che, ell mbo ell vlà elle poes fe, esse sol solzoe el problem, coè, co cmpo veorle che pò essere clcolo rsolveo ssem e eqzo o ler. Le pplczo prche ell eor espos possoo essere oee mee l mess po oppore ls gl eleme f e rcvo mercmee l solzoe el ssem elle e eqzo che escrvoo l evolzoe el froe frr. LIS DEI SIMBOLI G velocà rlsco ell eerg poezle per solo perelsco fessro o pre esso G velocà rlsco ell eerg poezle per à spessore solo perelsco fessro B volme che rpprese l solo perelsco fessro cmpo veorle ell velocà vzmeo efo lgo l froe frr rmesole f re ell sperfce fessr prmero emporle f crv regolre che escrve lcmee l froe frr rmesole esà eerg eformzoe esore egl sforz Cchy I mrce ec cmpo veorle ello sposmeo crv regolre p, er l volme B, che crco l froe frr sperfce p rcchs l froe frr ersec V clro ero B, vee come bse, che cle porzoe f el froe frr S sperfce cooro el volme V co esclsoe elle sperfc frr S f sperfc frr V froer el volme V

2 k δ jk ormle eser V compoee -esm el veore esoe gree el veore erv ell compoee -esm el veore rspeo ll coor k-esm el Kroecker. INRODUZIONE oo l meesm procer lzz [], pò essere rcv espressoe geerle G velocà rlsco ell eerg poezle vl per corpo rmesole perelsco fessro. I qes espressoe fgro come prmer s l rezoe che l esà propgzoe locl coè l veore che efsce l velocà propgzoe lgo l froe fessrzoe. Se s ssme come prmero solo l rezoe propgzoe lgo l froe frr, l espressoe G, coè l velocà rlsco ell eerg poezle relv o spessore ro el solo fessro rcvble ssem rfermeo locle, formlmee o pee ll rezoe propgzoe eqzoe 6. If leerr, covezolmee s ssme che l rezoe secoo c vee clcol G s prllel l po ormle l froe frr coerez co le efzo lche ello so esoe soco lgo l boro fessr rmesole []. D lr pre se s ssme come prmero cogo l veore, che come eo rpprese l cmpo ell velocà propgzoe efo lgo l froe ell fessr, s pò rcvre espressoe pù geerle G che pee esplcmee lle compoe eqzoe. Ife poché G, l velocà rlsco ell eerg poezle per porzoe f el solo fessro, pee esplcmee s che l so gree spzle eqzoe 7 s pò porre l problem ell rcerc cozoe szoreà G rspeo l veore ssmeo vl l poes semplfcv feomeo propgzoe qs-sc, rscro coè gl effe mc. Clcolo l erv G rspeo e gglol zero eqzoe 8 s rcv eqzoe fferezle o lere coeffce o cos eqzoe 8 che permee efre l problem lco ell evolzoe ell form froe frr rmesole p che vz ll ero solo perelsco.. FORMULZIONE RIDIMENSIONLE DI G S coser corpo rmesole fessro B, l frr, che propg moo qs-sco, pò essere rpprese co sperfce regolre l c re f pò essere ss come prmero emporle. L sperfce frr e elm erormee ll crv regolre f ; ssmeo ssem rfermeo globle come mosro Fgr, l eqzoe prmerc ell crv e []: X ZX, f. Fgr Fgr Per og vlore ell coor X, l pce ell fessr vz co velocà X,f ell rezoe el

3 versore e efo el moo segee: ZX,f e X,f. f Nel sego Fgr e Fgr s cherà co δ soovolme B l c ersezoe co l po ormle π og po lgo l boro ell fessr e cercho co cero s e rggo δ Fgr. Nell rzoe presee s ssme che e s prllelo π; olre, el cso frr p, e cocerà co l ormle [] vcevers s ssme che lgo l froe frr e s prllelo l po X cos. Come mosro [] problem rmesole e [] problem bmesole, l velocà rlsco eerg poezle, G B f, ell ero corpo B per cremeo ro ell re f e : G f lm B e e m S, δ δ c e l es eerg eformzoe, l cmpo sposmeo, l esore egl sforz Cchy m l ormle eser δ Fgr. Nel cso esme, fceo so elle ecche clcolo ell lgebr esorle [4], l vergez ell egro che fgr ell e s osserv che, per come e so efo, e o e cmpo veorle cose s Poché v e e v e + v I e e. 4 s rcv I e l mrce ec: e v e I e 5 v e e I e + v I e. 6 L 6 rpprese geerlzzzoe ell eqzoe. rpor []. pplco l eorem ell vergez l volme V δ, l c froer e ll sperfce S, lle sperfc frr S f e l mello δ co orml e versor e m' m rspevmee Fgr 4, s rcv: Vδ v e e V e e S + e e m' S ; 7 S + S f δ Fgr Fgr 4 e olre, poché el cso solo perelsco v I [5], vs ell 6 s oee:

4 δ e e m S e e S I S + Sf Vδ e V. 8 Ife, esseo l frr p.e. e s S f, s rcv: δ e e m S e e S I e V, 9 S c come eo preceez, e o e cmpo veorle cose coce fo co l ormle l froe frr. Percò, per og volme V l rbrreà δ sfro l s rcv: V geerle per l ero corpo B s h: Vδ f I e S I e V S V G ; B f I e S I e V B B G. Nell e ell compoo s egrle sperfce che egrle volme; l egrle volme pee esplcmee l gree e. Se s ssme che e s cose rezoe propgzoe forme lgo l froe frr s roee formlmee l.8 []. Dll pò essere rcv espressoe G X,f, che forsce l vlore locle ell velocà rlsco eerg poezle lgo l froe frr. If se come volme corollo V s coser clro lezz fesm l s oee PPENDICE : G X, f l l e k k k s + e k k k S l e k, δk k S, + ' ell qle, per comoà, per rppresere l cmpo sposmeo e lo so eformzoe e esoe s pò ssmere ssem rfermeo locle vee l po x -x prllelo ll sperfce frr e l po x -x, s c gce l bse, cocee co l po ormle s osserv che le compoe e soo cos s s e. Come sblo preceez, l rezoe propgzoe locle e coce co l ormle l froe frr mere l coor globle X v l orge ell er rfermeo locle. Il erzo egrle ell eqzoe e so oeo cosero l vlor meo ell fzoe sclre I e sll lghezz fesm l. Poché le orml soo oppose slle bs e fceo so el el Kroecker s pò scrvere eeo coo ell vrzoe prm ell rezoe x : e k k k S ' e k k k S l ek k k, S l e S k, k k, olre, esseo s el ssem locle s pò porre k δk e j j, q: e k k k S ' e k k k S + l e k δk k, S + l e δ S k, k k 4 e efv ll s rcv:

5 G X l l ek k k s + l ek δk k S +, f, + l e k, δk k S l e k, δk k S. 5, Ife, poché el ssem rfermeo locle e e e, s oee esseo l rbrro: G X, f s, S. 6 Qes lm relzoe e be o leerr e e s s vr or moleplc lvor come esempo [6]. Ess rpprese l vlore locle ell velocà rlsco eerg poezle per à spessore relv cremeo ro ell re ell sperfce frr f. S e mosro q come qes espressoe poss essere rcv ell poes velocà propgzoe cose molo lgo l froe frr m co rezoe o pror l rezoe ell ormle l froe frr corree.. NLISI DELL FORM DEL FRONE DI UN FESSUR RIDIMENSIONLE I qeso prgrfo vee esposo l meoo eorco che coce ll formlzoe el problem ell eermzoe ell form el froe fessr rmesole che propg cozo qs-sche solo perelsco. Ico co l cmpo veorle che escrve l evolzoe el froe frr,.e. l velocà propgzoe locle, ss el cso presee cog rezoe e molo, l ve: G V I S I V f. 7 S V ssmeo che l cmpo veorle cogo corrspo cozoe szoreà G V f, ell poes propgzoe qs-sc, fceo so elle ecche clcolo ell lgebr esorle [4] pò essere rcv l segee relzoe [7]: G V f S I S V I { } V. 8 S pò mosrre che esse sol solzoe per l 7 PPENDICE mere l 8 pò essere coser come cozoe lerzz pplc ll form se el froe frr: s presce coè feome mc ssoc l feomeo propgzoe, che possoo csre vrzo o rscrbl, e el rcvre l 8 s soo sse lle le erve, e rspeo l veore. logmee qo fo el prgrfo preceee, prre ll 7 s pò rcvre l espressoe locle G scr el ssem rfermeo globle le bs V soo or prllele l po X X Fgr : G X l l k k k s + l k δk k S +, f, + l k, δk k S l k, δk k S. 9 Q el cso presee l 6 ssme l form geerle: G X, f { s +, S } + { s +, S } ;

6 poso: G s +, S e G s +, S l pò rscrvers form sec come: G X, f G G +. I bse ll s pò sserre che geerco po lgo l froe frr s vrà propgzoe llorqo srà verfc l segee cozoe lme [7]: G Cr G G +, ell qle G Cr e propreà el merle e l molo ell velocà locle + e cogo. Segeo l meesm procer s per rcvre l, cosero come volme corollo V clro lezz fesm l co le bs e prllele l po globle X X, mee clcol lgebr esorle PPENDICE, ll 8 s oee: l [ + ] s + + [ + ] S + + ' l [ + ] S. Ife, esplco l egrle sperfce s + rcoro che slle e bs le orml soo oppose e l rbrreà l s oee: [ + ] s + { [ + ]} S + [ + ] S. 4 Le compoe el veore velocà propgzoe e le rspeve erve soo cos s e s, q s mere, e j j s : s ]} S + + s { [ [ + ] S ; 5 clcolo l erv el prmo egrle sperfce e semplfco s oee:

7 s + s + S +, S + +, + S S. 6 Rggrppo erm: { s +, S} + { s +, S } S S 7 s oee efv l segee eqzoe fferezle [7]: G + G + + S S. 8 Le eqzo 8 e elle ql le e compoe el veore velocà propgzoe soo coge forscoo o srmeo lco per lo so ell evolzoe elle form el froe frr p che vz moo qs-sco ll ero corpo rmesole perelsco. 4. CONCLUSIONI Nell mbo vlà elle poes clssche ell eor ell meccc ell frr elsc rmesole, e s rcv espressoe geerle ell velocà rlsco ell eerg poezle, G. le espressoe coser moo esplco gl effe srbzoe o forme ell velocà vzmeo el froe frr e olre e so mosro che l cmpo veorle e co. Impoeo cozoe szoreà G rspeo, e s rcv eqzoe fferezle o lere che seme ll cozoe lme, per l eqlbro locle el froe frr, cossce ssem e eqzo l c solzoe permee clcolre per v lc l evolzoe ell form el froe frr p che vz moo qs-sco ll ero corpo rmesole. Le coge el ssem soo le e compoe el veore velocà. l ssem eqzo vo ssoce oppore cozo l cooro fzoe ell geomer rele el problem esme. pplczo prche ell eor espos qeso lvoro possoo essere oee meeo po oppore ls gl eleme f e rsolveo mercmee l ssem eqzo che escrvoo, fo, l evolzoe ell form el froe frr. BIBLIOGRFI. Be S., U Esesoe rmesole ell Iegrle J, ell Iso Scez elle Cosrzo Pbblczoe N. 4, Vol. XVII, Uversà Ps, 98.. Leblo, J., orl O., he sress-fel er he fro of rbrrly shpe crck -mesol elsc boy, Jorl of Elscy, Vol. 9, No., 99, pp Rce, J. R., Ph Iepee Iegrl he pproxme lyss of Sr Coceros by Noches Crcks, Jorl of pple Mechcs, Vol. 5, 968, pp Gr, M. E., Iroco o Com Mechcs, cemc Press, Eshelby, J. D., he Eergy Momem esor Com Mechcs, Ielsc Behvor of Sols, M. F. Ke e., Mc Grw Hll, Chrell M., Fre., compo of he hree-mesol J-Iegrl for elsc merls wh vew o pplcos frcre mechcs, Egeerg Frcre Mechcs, Vol. 44, 99, pp

8 7. Chrell M., ro E., geerl formlo of he poel eergy relese re for hreemesol hyperelsc boy cog ple crck, Proceegs of h Ierol Coferece o Frcre, oro, 5. PPENDICE L pò essere pos form eqvlee, f poché I e I e. s h V f I e S I e V S V G ;. e esplco erm soo sego egrle e s rcv e x, e x k, k k, k k, k I k, k k, k k, k, k, k k, k k, k G V f k k e k S δk k ek, V S V. c s ee che gl c e k scorro. PPENDICE S sppog che esso e solzo se, I II, l che e G V f I I S I S V I V. G V S V f II I I II.. S V Soreo l. ll. s h per le propreà el prooo sclre e ell operore gree: I II I S I I II V. S V poché l volme V, che rcche porzoe el froe frr, e rbrro l. mplc I II. Q esse c srbzoe velocà propgzoe lgo l froe frr e cosegeemee l

9 form che l froe frr ssmerà re l fse vzmeo e c. PPENDICE ssmeo che l veore s prllelo l po X X e che esso pe solo ll coor X s h,. e I.. Poché } {. e } { I,.4 l 8 pò essere espress ell form segee: + + } { S S. + } { V V.5