APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI

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1 APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 La ricerca operativa Introduzione Le fasi della ricerca operativa La creazione di un modello matematico La funzione obiettivo Classificazione dei problemi di scelta Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) Problemi di scelta con un unica variabile Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Problemi di scelta fra più alternative Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso Esercizi

3 Capitolo 1 La ricerca operativa 1.1 Introduzione La ricerca operativa fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo. (tratto da wikypedia). La ricerca operativa, nata durante la seconda guerra mondiale per obiettivi militari, è ormai diventata parte integrante delle metodologie adottate dalle varie organizzazioni al fine di ottimizzare i risultati. 1.2 Le fasi della ricerca operativa Essa si articola in cinque fasi: 1. la definizione degli obiettivi che si vogliono conseguire: ad esempio massimizzare un profitto, minimizzare una perdita, minimizzare un tempo di percorrenza e così via. 2. la raccolta delle informazioni necessarie per raggiungere gli obiettivi stabiliti. 3. la creazione di un modello matematico, cioè una traduzione in forma matematica del problema. 4. la risoluzione delle espressioni matematiche espresse nel modello. 5. la verifica se le soluzioni ottenute sono accettabili e compatibili con la situazione reale. 1.3 La creazione di un modello matematico Nei problemi che affronteremo il testo del problema ci fornirà sia ciò che vogliamo determinare (il punto 1) sia tutte le informazioni necessarie per arrivarci (il punto 2). Noi dovremo costruire un modello matematico (punto 3), risolverlo (punto 4) e verificare la compatibilità delle soluzioni ottenute (punto 5). Spesso la maggiore difficoltà della ricerca operativa risiede proprio nella costruzione di un modello matematico (che ancora non abbiamo definito cos è). Consideriamo i seguenti:

4 Alessandro Bocconi 3 Esempi Nel 2007 per motivi di lavoro Luigi ha noleggiato varie volte una fresa, spendendo ogni volta 24 euro. Rappresenta con un espressione matematica quanto ha speso di noleggio della fresa nel Ovviamente non possiamo dare la risposta in euro perche non sappiamo quante volte Luigi ha noleggiato la fresa: se l avesse noleggiata una volta avrebbe speso 24 1 euro di noleggio, se l avesse noleggiata due volte avrebbe speso 24 2 = 48 euro di noleggio, se l avesse noleggiata tre volte avrebbe speso 24 3 = 72 euro di noleggio e così via. Dal momento che non sappiamo quante volte ha noleggiato la fresa indichiamo con una lettera, generalmente la x, il numero di volte che Luigi ha noleggiato la fresa. Possiamo quindi rappresentare in forma matematica le spese del noleggio effettuate da Luigi nel 2007: x = numero di noleggi, 24 euro il costo di ogni noleggio quindi le spese di noleggio sono 24 x che generalmente scriviamo 24x. Osserviamo che la variabile (o le variabili) di un modello matematico spesso non può (possono) assumere qualunque valore reale: in tal caso si dice che le variabili sono sottoposte a vincoli. I vincoli possono essere: di segno (se le variabili possono essere anche negative o no). di interezza (se le variabili possono assumere anche valori decimali o no). tecnici (sono quelli dettati dal problema che vedremo meglio in seguito) Tornando all ultimo esempio osserviamo che x non può essere negativo (non si può noleggiare una fresa 4 volte!), così come non può essere decimale. Allo stesso tempo il problema non ci impone nessun vincolo tecnico. Quindi abbiamo: 24x = spesa di Luigi di noleggio x 0 vincolo di segno x intero che rappresenta il modello matematico del problema. Possiamo quindi dare la seguente: Definizione di modello matematico. Per modello matematico si intende la rappresentazione di una situazione reale tramite: l individuazione di una o più variabili specificando cosa rappresentano. l espressione matematica che rappresenta il problema l individuazione dei vincoli In un cinema di capienza massima di 120 persone, gli adulti pagano 7 euro e i bambini 5 euro. Scrivi il modello matematico dell incasso del cinema il giorno 23 marzo Le due variabili sono il numero degli adulti e il numero dei bambini che sono andati quel giorno al cinema. Se ad esempio ci fossero andati 60 adulti e 42 bambini l incasso sarebbe di = 630 euro. Il modello risulta quindi: x 1 = numero degli adulti x 2 = numero dei bambini

5 Alessandro Bocconi 4 Espressione matematica che rappresenta l incasso: 7x 1 + 5x 2 Vincoli: x 1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1, x 2 interi x 1 + x vincolo tecnico Si osservi che il vincolo tecnico è dovuto al fatto che la capienza massima del cinema è di 120 persone e che quindi adulti più bambini insieme non possono superare quel numero. 1.4 La funzione obiettivo Nel precedente paragrafo abbiamo descritto delle situazioni: così nell esempio del cinema abbiamo scritto l espressione matematica dell incasso in un certo giorno. È naturale, soprattutto se fossimo i proprietari del cinema, che l obiettivo è quello di ottenere il massimo incasso possibile. Dal momento che tale obiettivo dipende (o meglio è in funzione) delle variabili, l espressione matematica che rappresenta la situazione viene chiamata funzione obiettivo e indicata convenzionalmente con la lattera maiuscola G. Per evidenziare la dipendenza dalle variabili della funzione obiettivo, dopo la lettera G, fra parentesi, si mettono i nomi delle variabili che descrivono il problema. Quindi nell esempio della fresa avremmo avuto la funzione obiettivo: G(x) = 24x si legge gi di x mentre nell esempio del cinema la funzione obiettivo risulta: G(x 1, x 2 ) = 7x 1 + 5x 2 si legge gi di x 1 e x 2 Quindi per determinare un modello matematico dobbiamo: individuare una o più variabili che rappresentano il problema. determinare la funzione obiettivo. individuare i vincoli Esempio Un pescatore vende ad un ristorante le orate a 10 euro al chilo e le spigole a 12 euro al chilo. Il ristorante non compra mai più di 10kg di pesce. Descrivi il modello matematico che rappresenta il guadagno del pescatore. Individuiamo le variabili: x 1 rappresenta i chili di orate che vende e x 2 i chili di spigole. La funzione obiettivo risulta quindi: le variabili devono sottostare ai seguenti vincoli: x1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1 + x 2 10 vincolo tecnico G(x 1, x 2 ) = 10x x 2 Osserviamo che non c è il vincolo di interezza in quanto possono essere venduti anche frazioni di chilo di pesce.

6 Alessandro Bocconi Classificazione dei problemi di scelta I problemi che affronteremo vengono detti problemi di scelta, in quanto la loro risoluzione dovrebbe fornire le indicazioni giuste per compiere la scelta migliore. Ovviamente tali problemi sono spesso estremamente complessi sia nel reperimento delle informazioni corrette (fase che a noi non interessa), sia nella costruzione del modello matematico, sia nella sua risoluzione. Noi tratteremo situazioni semplificate che rimangono tuttavia estremamente significative e istruttive per comprendere sia il metodo di risoluzione, sia per avere le basi per gestire nel futuro problemi più complessi. Un importante caratterizzazione dei problemi di scelta è data dal fatto se la variabile (o le variabili) in questione può assumere o meno valori decimali. In particolare: Definizione di problema discreto e continuo. Un problema si dice continuo se la variabile (o le variabili) può assumere anche valori decimali, mentre si dice discreto se la variabile (o le variabili) può assumere solo valori interi. Noi tratteremo: 1. Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) 2. Problemi di scelta con un unica variabile: Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso 1.6 Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) Affrontiamo questo caso tramite un esempio: Esempi Un camionista ha un camion che ha una portata massima di 10 tonnellate e deve trasportare delle casse: alcune contengono piombo e altre contengono ferro. Le casse contenenti piombo pesano 3 tonnellate e quelle contenenti ferro 4 tonnellate. Per ogni cassa di piombo trasportata viene pagato 80 euro e per ogni cassa di ferro viene pagato 150 euro. Che carico deve fare per avere il massimo guadagno? Cominciamo con definire le variabili: x 1 = numero di casse di piombo x 2 = numero di casse di ferro Vincoli: x1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1, x 2 interi Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 2 variabili.

7 Alessandro Bocconi 6 Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che il camion non può trasportare più di 10 tonnellate deve risultare che 3x 1 + 4x 2 10 vincolo tecnico La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno è: G(x 1, x 2 ) = 80x x 2 Consideriamo adesso le coppie di valori (x 1, x 2 ) ammissibili (cioè che rispettano i vincoli): quindi devono essere maggiori o uguali a zero e intere. Inoltre osserviamo che, data la portata del camion, il numero massimo di casse di piombo è 3 (se fossero 4 dato che il peso di una cassa è 3 tonnellate risulterebbero 3 4 = 12 tonnellate quindi superiore alla portata del camion) mentre quelle di ferro è 2 (se fossero 3 dato che il peso di una cassa è 4 tonnellate risulterebbero 4 3 = 12 tonnellate quindi superiore alla portata del camion). Quindi se x 1 è 3, x 2 deve essere per forza zero. Se x 1 è 2 x 2 può essere al massimo 1. Anche se x 1 è 1, x 2 può essere al massimo 1, mentre se x 1 è 0, x 2 può essere 2. Calcoliamoci allora il valore della funzione obiettivo, dando a x 1 e a x 2 i valori esaminati adesso: x 1 x 2 G(x 1, x 2 ) 3 0 G(3, 0) = = G(2, 1) = = G(1, 1) = = G(0, 2) = = 300 (dove con la scritta G(3, 0) si intende il valore che assume la funzione obiettivo G se nella sua espressione al posto di x 1 scriviamo 3 e al posto di x 2 scriviamo 0). Si osserva che il guadagno maggiore si ottiene con due casse di piombo e una di ferro che è quindi la risposta del nostro problema. Un artigiano impiega 3 ore di lavoro per costruire un tavolo, 2 ore di lavoro per costruire una sedia e 4 ore di lavoro per costruire una madia. Dal tavolo ricava 150 euro, da una sedia 80 euro e 220 euro da una madia. Considerato che una giornata di lavoro è costituita da 8 ore e che l artigiano non vuole lasciare alla fine della giornata lavori ammezzati, cosa deve costruire in una giornata per avere il massimo ricavo? Cominciamo con definire le variabili: x 1 = numero di tavoli costruiti x 2 = numero di sedie x 3 = numero di madie Vincoli: x1 0; x 2 0 x 3 0 vincolo di segno x 1, x 2, x 3 interi Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 3 variabili. Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che la giornata è costituita da 8 ore lavorative: 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 8 vincolo tecnico La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno è: G(x 1, x 2 x 3 ) = 150x x x 3 Consideriamo adesso le terne di valori (x 1, x 2, x 3 ) ammissibili (cioè che rispettano i vincoli) e calcoliamoci il valore della funzione obiettivo in corrispondenza delle suddette terne:

8 Alessandro Bocconi 7 x 1 x 2 x 3 G(x 1, x 2, x 3 ) G(2, 1, 0) = = G(1, 0, 1) = = G(1, 2, 0) = = G(0, 4, 0) = = G(0, 2, 1) = = G(0, 0, 2) = = 440 Si osserva che il guadagno maggiore l artigiano lo ottiene costruendo 2 madie e nessuna sedia e tavolo. 1.7 Problemi di scelta con un unica variabile Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Prima di procedere dobbiamo ricordare alcune definizioni: col termine costo si intendono le spese sostenute. Si dividono in: costi fissi: quelli indipendenti dalla quantità x di beni venduti o prodotti costi variabili: quelli che invece dipendono dalla quantità x di beni venduti o prodotti costi totali: la somma dei costi fissi con quelli variabili col termine ricavo si intende quello che si ottiene dalla vendita dei prodotti. col termine guadagno si intende la differenza fra il ricavo e il costo. Premesso questo consideriamo i seguenti: Esempi Un lattaio acquista il latte sfuso a 0, 6 euro al litro e lo rivende a 1, 4 euro al litro. Giornalmente spende 10 euro di trasporto e la damigiana in cui tiene il latte ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? A quanto corrisponde il massimo guadagno? A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioè costi uguale a ricavi, cioè guadagno uguale a zero? Indichiamo con x la quantità di litri venduti. Acquistando e vendendo il latte sfuso x non deve essere intero, pertanto il problema è continuo ad un unica variabile. x 0 vincolo di segno Scriviamo i vincoli: x 30 vincolo tecnico dovuto alla capienza della damigiana Costi fissi: 10 euro di trasporto (indipendenti dalla quantità x di latte venduto) Costi variabili: 0, 6 euro al litro per la quantità x di litri venduti, quindi 0, 6x Costi totali: costi variabili più costi fissi: 0, 6x + 10 Ricavi: 1, 4 euro al litro per la quantità x di litri venduti, quindi: 1, 4x Guadagno: Ricavi costi totali: 1, 4x (0, 6x + 10) = 0, 8x 10 Pertanto la nostra funzione obiettivo da rendere massima è: 0, 8x 10.

9 Alessandro Bocconi 8 y ( ) Zona di guadagno (30;14) Zona di perdita x (l) (0;-10) y=0,8x-10 x=0 Punto in cui i ricavi equivalgono ai costi x=30 u=5 Figura 1.1: La x rappresenta la quantità di latte venduto, mentre y rappresenta il guadagno del lattaio Dal momento che vogliamo usare una rappresentazione sul piano cartesiano indichiamo la nostra funzione obiettivo con la lettera y ottenendo: che è l equazione di una retta in forma esplicita. y = 0, 8x 10 Inoltre, a causa dei vincoli, il valore minimo di x è x = 0 e il valore massimo è x = 30. Vogliamo rappresentare su un piano cartesiano sia la retta della funzione obiettivo (y = 0, 8x 10) sia le rette definite dai vincoli (x = 0 e x = 30). Dagli studi sulla geometria analitica ricordiamo che per disegnare una retta è sufficiente conoscere le coordinate di 2 suoi punti (dal momento che per 2 punti passa una e una sola retta). Diamo quindi a x due valori qualunque e ricaviamoci i relativi valori di y (è consigliabile dare ad x il valore minimo e massimo che può assumere). Pertanto: x y quindi la retta della funzione obiettivo passa per i punti di coordinate (0; 10) e (30; 14). Inoltre la retta x = 0 è l equazione di una retta parallela all asse delle y che interseca l asse delle x nel punto di ascissa x = 0 (quindi è l asse y), mentre la retta x = 30 è l equazione di una retta parallela all asse delle y che interseca l asse delle x nel punto di ascissa x = 30. La figura 1.1 descrive la situazione. Innanzitutto osserviamo che la retta ha il valore massimo della y (e quindi il massimo guadagno) in corrispondenza del massimo valore che può assumere x cioè 30. Pertanto la risposta alla domanda: quanti litri di latte deve vendere il lattaio per avere il massimo guadagno? è: 30 litri. La risposta alla domanda: Quanto è il massimo guadagno? si ottiene sostituendo nella funzione obiettivo y = 0, 8x 10 alla x il valore 30 ottenendo y = 14. Pertanto il massimo guadagno è: 14 euro. Per rispondere alla domanda: A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioè i costi sono uguali ai ricavi, cioè il guadagno è uguale a zero? bisogna sostituire nella funzione obiettivo

10 Alessandro Bocconi 9 alla y (che rappresenta il guadagno) il valore 0: 0 = 0, 8x 10 0, 8x 10 = 0 0, 8x = 10 x = 10 0, 8 x = 12, 5 quindi il pareggio di bilancio si ottiene se vengono venduti 12, 5 litri di latte. Osservazione Da un punto di vista della geometria analitica, tale valore corrisponde all ascissa del punto di intersezione fra l asse delle x (che ha equazione y = 0) e la retta funzione obiettivo (y = 0, 8x 10). Infatti, dato che l intersezione si determina mettendo a sistema le equazioni delle due rette abbiamo: y = 0 y = 0, 8x 10 y = 0 0 = 0, 8x 10 Riassumendo possiamo quindi dire che il lattaio: è in perdita se vende meno di 12,5 litri è in pareggio se vende esattamente 12,5 litri realizza un guadagno se vende più di 12,5 litri y = 0 0, 8x = 10 y = 0 x = 12, 5 realizza il massimo guadagno (14 euro), se vende tutti e 30 i litri di latte Definizione di break even point (bep). Il punto che divide la zona di perdita dalla zona di guadagno si chiama break even point Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Affrontiamo anche questo caso tramite un esempio. Un azienda vinicola spende 2 euro per ogni litro di vino prodotto. Al giorno sostiene dei costi fissi di 40 euro. Ogni litro viene venduto a 4,5 euro e la ditta sostiene spese di vendita, per ogni litro, pari a 1 50 dei litri venduti. Descrivere l andamento del guadagno giornaliero in funzione dei litri venduti. (Per risolvere questo problema risulterà utile la calcolatrice) Prestiamo particolare attenzione alla costruzione del modello matematico. Indichiamo con x la quantità di litri venduti. L unico vincolo a cui è soggetto x è il vincolo di segno cioè: x 0. (Osserviamo che non sono presenti vincoli tecnici e che x può anche non essere intero. Il problema è quindi continuo). I ricavi sono: numero di litri venduti moltiplicato il costo al litro, quindi 4, 5x. I costi fissi sono: 2x Inoltre ci sono le spese di vendita : dal momento che per ogni litro la spesa è di 50 dei litri venduti (cioè x), si ha che al litro spende 1 50 x. Per avere le spese di vendita totali 1 50x va moltiplicato per i litri venduti (x). Quindi le spese di vendita totali risultano: 1 50 x x = 1 50 x2

11 Alessandro Bocconi 10 y( ) 38,13 18,84 62,5 106,16 x(l) -40 Figura 1.2: Nei valori di x in cui la parabola è sotto l asse delle ascisse, la ditta è in perdita. Nei valori di x in cui la parabola è sopra l asse delle ascisse, la ditta guadagna. La funzione obiettivo del guadagno (ricavi costi) risulta quindi: y = 4, 5x (2x + 40) 1 50 x2 y = 1 50 x2 + 2, 5x 40 Da un punto di vista della geometria analitica la funzione obiettivo è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente di x 2 negativo, questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Determiniamo le intersezioni con l asse x risolvendo l equazione: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano 1 50 x2 + 2, 5x 40 = 0 = b 2 4ac = 3, 05 x 1 = 18, 84 x 2 = 106, 16 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = 18, , 16 2 = 62, 5 tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 62,5): y v = , , 5 62, 5 40 = 38, 13 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 40 Rappresentiamo questa situazione nel grafico di figura 1.2 Possiamo quindi effettuare la seguente analisi: se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita

12 Alessandro Bocconi 11 y( ) 38,13 18,84 62,5 106,16 x(l) -40 x=100 Figura 1.3: La retta verticale di equazione x = 100 rappresenta il vincolo tecnico. se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 106,16 litri l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro. se vende 106,16 litri è in pareggio se vende più di 106,16 litri è in perdita Dal grafico si osserva inoltre che la funzione obiettivo cresce fra 0 fino a 62, 5 litri. A 62, 5 litri ottiene il massimo guadagno e poi decresce. È ovvio quindi che in questa situazione alla ditta non conviene produrre più di 62, 5 litri. Consideriamo sempre lo stesso problema dell azienda vinicola aggiungendo però che non può produrre più di 100 litri al giorno. L unica differenza rispetto all esempio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 100. Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.3. Da un punto di vista dell analisi della situazione cambia molto poco infatti: se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 100 litri l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro. Ovviamente in questo caso l analisi si ferma a 100 litri per la presenza del vincolo di produzione. Notiamo però che questo vincolo non provoca grossi cambiamenti perchè, come già osservato, alla ditta non conviene produrre più di 62,5 litri di vino al giorno. Consideriamo ancora lo stesso problema dell azienda vinicola cambiando il limite massimo di produzione in 50 litri al giorno. Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.4. L analisi della situazione diventa:

13 Alessandro Bocconi 12 y( ) 35 18,84 106,16 x(l) -40 x=50 Figura 1.4: Il vincolo tecnico impedisce alla funzione obiettivo di raggiungere il massimo. se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 50 litri l azienda guadagna: guadagno vendendo 50 litri e guadagnando 35 euro. in particolare realizza il massimo Osserviamo che questa volta il vincolo tecnico produce grossi cambiamenti nell analisi economica: infatti non potendo raggiungere una produzione di 62,5 litri giornalieri, il massimo guadagno lo si ottiene producendo il maggior numero di litri consentiti cioè 50 con un guadagno di 35 euro. Consideriamo nuovamente lo stesso problema senza vincoli tecnici (come il primo esempio). Aggiungiamo però che la ditta vende bottiglie da un litro di vino. Quindi con x stavolta indichiamo il numero di bottiglie di vino vendute (che sono da un litro e quindi apparentemente equivale al numero di litri di vino, con la differenza sostanziale che il numero di bottiglie deve essere intero). Siamo quindi di fronte a un problema discreto. In precedenza il massimo guadagno era realizzato vendendo giornalmente 62, 5 litri di vino. Nel caso delle bottiglie bisogna determinare il guadagno che si ottiene vendendo 62 bottiglie (il numero intero immediatamente minore di 62,5) e vendendo 63 bottiglie (il numero intero immediatamente maggiore di 62,5). Vendita di 62 bottiglie: y = = 38, 12 Vendita di 63 bottiglie: y = = 38, 12 In entrambi i casi il guadagno è di 38,12 euro. Quindi l analisi della situazione è: se l azienda non vende nessuna bottiglia è in perdita di 40 euro se l azienda vende fino a 18 bottiglie è in perdita

14 Alessandro Bocconi 13 se vende fra 19 bottiglie e 106 bottiglie l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62 o 63 bottiglie e guadagnando 38,12 euro. se vende 107 bottiglie o più, è in perdita Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Un venditore vende sabbia per le ditte edili. Per il trasporto ha un costo fisso di 100 euro alla settimana più un costo, per ogni chilo, pari a tre millesimi dei chili totali venduti. Inoltre non può trasportare più di 300 kg. Il suo fornitore gli fa pagare la sabbia 1,30 euro al chilo se compra fino a 220 kg, 1,10 euro al chilo per ogni chilo oltre i 220 kg. Il venditore vende la sabbia a 2,60 euro al kg. Effettuare l analisi della situazione economica del venditore. Indichiamo con x i chili di sabbia. x è soggetto ai seguenti vincoli: x 0 vincolo di segno x vincolo tecnico Non c è il vincolo di interezza pertanto il problema è continuo. I ricavi sono: mentre per i costi dobbiamo dividere due casi: 2, 6x x , 3x se x 220 mentre se acquista più di 220 kg (cioè x > 220 kg), i primi 220 li paga 1, 30 spendendo 1, = 286 euro, mentre i restanti (x 220) li paga 1,10 euro. I costi risultano quindi: x , 1(x 220) = x , 1x 242 = x2 +1, 1x+144 se x 220 Di conseguenza avremo due funzioni obiettvo che indicano il guadagno (ricavi costi): 3 y = 2, 6x ( 1000 x , 3x) x2 + 1, 3x 100 se x < 220 e 3 y = 2, 6x ( 1000 x2 + 1, 1x + 144) x2 + 1, 5x 144 se x 220 Dal punto di vista della geometria analitica sono due parabole con la concavità rivolta verso il basso. Studiamo la prima determinando le intersezioni con l asse x risolvendo l equazione: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano x2 + 1, 3x 100 = 0 = b 2 4ac = 0, 49 x 1 = 100 x 2 = 333, 33 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = , 33 2 = 216, 67

15 Alessandro Bocconi 14 y( ) \ x=220 x=300 Figura 1.5: A sinistra della retta x = 220 si considera la prima parabola (l altra è tratteggiata), mentre a destra di tale retta si considera la seconda e la prima è tratteggiata. I valori sull asse x sono approssimati per motivi di spazio. tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 216,67): y v = , , 3 216, = 40, 83 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 100 Effettuiamo lo stesso per la seconda funzione obiettivo. Intersezione con gli assi: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano x2 + 1, 5x 144 = 0 = b 2 4ac = 0, 52 x 1 = 129, 58 x 2 = 370, 42 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = 129, , 42 2 = 250 tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 250): y v = , = 43, 5 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 144 Per riportare le due parabole sullo stesso grafico, disegneremo la retta x = 220 che segna il confine fra le due parabole: a sinistra della retta vale il grafico della prima parabola, a destra vale il grafico della seconda (figura 1.5). Adesso possiamo descrivere la situazione del venditore:

16 Alessandro Bocconi 15 se vende 0 chili è in perdita di 100 euro (prima parabola) se vende meno di 100 chili è in perdita (prima parabola) se vende 100 chili è in pareggio se vende fra 100 chili e 220 chili guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno (almeno per quanto riguarda la prima parabola) vendendo 216,67 chili e guadagnando 40,83 euro. a 220 chili le due parabole si intersecano e c è il passaggio fra la prima e la seconda parabola. In ogni caso se vende 220 chili guadagna 40,80 euro. se vende fra 220 chili e 300 chili (300 chili non si possono oltrepassare a causa del vincolo tecnico) guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno (per quanto riguarda la seconda parabola) vendendo 250 chili e guadagnando 43,50 euro. Confrontiamo adesso il massimo guadagno della prima parabola (euro 40,83), col massimo guadagno della seconda (euro 43,50). Ne consegue che il massimo guadagno viene ottenuto vendendo 250 chili di sabbia con un guadagno di 43,50 euro. 1.8 Problemi di scelta fra più alternative Abbiamo considerato fino ad adesso problemi in cui avevamo un unica funzione obiettivo da rendere massima (o minima) agendo sul valore della x (o di x 1, x 2... in caso di più variabili). Spesso però può capitare di dover sceglere fra più possibilità, come vedremo nei prossimi paragrafi Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Consideriamo il seguente problema: Un rappresentante si muove utilizzando il treno. Le compagnie ferroviarie gli prospettano i seguenti tipi di abbonamento: 1. costo mensile 130 euro più 0,5 euro al km. 2. costo mensile 50 euro più 0,9 euro al km. 3. costo mensile 300 euro comprensivo anche di tutti i chilometri percorsi. Quale abbonamento conviene di più al rappresentante? Ovviamente la risposta dipende da quanti chilometri percorre il rappresentante. Il problema è un problema di minimo. Indichiamo con x il numero di chilometri che il rappresentante deve percorrere. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: x 0 Il problema risulta quindi continuo.

17 Alessandro Bocconi 16 y ( ) Y2 Y1 300 Y x (km) Figura 1.6: Se il rappresentante percorre da 0 a 200 km conviene il secondo abbonamento; da 200 a 340 conviene il primo e, oltre i 340 km, conviene il terzo Scriviamo la funzione obiettivo del primo abbonamento (che rappresenta il costo del rappresentante in funzione dei chilometri percorsi): y 1 = 0, 5x del secondo: e del terzo: y 2 = 0, 9x + 50 y 3 = 300 (la terza funzione obiettivo è indipendente da x perchè l abbonamento costa 300 euro indipendentemente dai chilometri percorsi). Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioè rette. Rappresentiamole su un piano cartesiano (figura 1.6) determinando per ciascuna due punti. La prima: x y La seconda: x y La terza è costante (vale sempre 300 indipendentemente da x e quindi è una retta parallela all asse x). Nel caso limite in cui il rappresentante percorre 0 km è ovviamente conveniente l abbonamento che ha il costo fisso più basso, quindi il secondo. In ordine di convenienza segue poi il primo. Determiniamo allora l intersezione fra la seconda funzione obiettivo e le altre due funzioni obiettivo. Iniziamo con la prima: y = 0, 5x y = 0, 9x , 9x + 50 = 0, 5x y = 0, 9x , 4x = 80 y = 0, 9x + 50 x = 200 y = 230 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 200. Adesso determiniamo l intersezione fra la seconda e la terza funzione obiettivo:

18 Alessandro Bocconi 17 y = 300 y = 0, 9x + 50 y = 300 0, 9x + 50 = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78. y = 300 0, 9x = 250 y = 300 x = 277, 78 Questo significa che la seconda funzione obiettivo interseca prima la prima funzione obiettivo e dopo la terza (osservazione che potevamo fare anche osservando il grafico). Quindi da 0 chilometri percorsi a 200, il secondo abbonamento è quello più conveniente. Dopo i 200 chilometri diventa più conveniente il primo. Determiniamo adesso l intersezione fra le funzioni obiettivo del primo e terzo abbonamento: y = 0, 5x y = = 0, 5x y = 300 0, 5x = 170 y = 300 x = 340 y = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 340. Quindi da 200 chilometri percorsi a 340, il primo abbonamento è quello più conveniente. Dopo i 340 chilometri diventa più conveniente il terzo. Riepilogando la situazione è la seguente. Se il rappresentante percorre: da 0 a 200 km il secondo abbonamento è il più conveniente (la retta y 2 sta sotto le altre due) esattamente 200 chilometri è indifferente comprare il primo o il secondo abbonamento in quanto in entrambi i casi spende 230 euro. da 200 a 340 km il primo abbonamento è il più conveniente (la retta y 1 sta sotto le altre due) esattamente 340 chilometri è indifferente comprare il secondo o il terzo abbonamento in quanto in entrambi i casi spende 300 euro. oltre i 340 km il terzo abbonamento è il più conveniente (la retta y 3 sta sotto le altre due) Osservazione importante. Disegnare un grafico preciso per questi problemi può risultare estremamente utile. Infatti per un problema di massimo (minimo) bisogna considerare la retta che sta sopra (sotto) le altre. Graficamente capiamo quindi, a seconda dei valori della x, quale retta sta sopra o sotto le altre. Nell ultimo esempio, guardando il grafico di figura 1.6 vediamo che inizialmente y 2 sta sotto le altre rette fino a che interseca y 1. Da quel valore di x, y 1 sta sotto le altre rette fino a che non interseca y 3 che da quel valore di x in poi sta sotto le altre rette. I sistemi ci servono soltanto per determinare le coordinate del punto di intersezione. Definizione di punto di indifferenza. I punti in cui si intersecano le funzioni obiettivo si dicono punti di indifferenza in quanto, per quel valore di x, è indifferente scegliere fra l una e l altra alternativa. Un rappresentante di caramelle può scegliere fra 3 contratti: 1. fisso settimanale di 130 euro più 0,5 euro per ogni etto di caramelle che vende.

19 Alessandro Bocconi 18 y ( ) Y2 Y1 300 Y , x (hg) Figura 1.7: Se il rappresentante vende da 0 a 277,78 etti di caramelle gli conviene il terzo contratto mentre se vende oltre 277,78 etti, gli conviene il secondo. 2. fisso settimanale di 50 euro più 0,9 euro per ogni etto di caramelle che vende. 3. fisso settimanale di 300 euro indipendentemente dalla quantità di caramelle che vende. Quale contratto conviene di più al rappresentante? Ovviamente la risposta dipende da quanti etti di caramelle vende il rappresentante. Il problema è un problema di massimo (il lettore attento si sarà accorto che i dati sono gli stessi dell esercizio precedente con la differenza che adesso sono ricavi e prima erano costi). Indichiamo con x quanti etti che il rappresentante vende. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: Il problema risulta quindi continuo. x 0 Scriviamo la funzione obiettivo del primo contratto (che rappresenta il ricavo del rappresentante in funzione degli etti venduti): y 1 = 0, 5x del secondo: e del terzo: y 2 = 0, 9x + 50 y 3 = 300 (la terza funzione obiettivo è indipendente da x perchè i ricavi sono di 300 euro indipendentemente dagli etti venduti). Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioè rette. Rappresentiamole su un piano cartesiano (figura 1.7) Nel caso limite in cui il rappresentante non vende nemmeno un etto è ovviamente conveniente il contratto che ha il fisso più alto, quindi il terzo. Graficamente capiamo che la retta y 3 sta sopra le altre fino a che non interseca la retta y 2 che da quel valore di x in poi diventa l opzione più conveniente. Si osserva che y 1 non è mai sopra le altre rette e quindi il primo contratto non é mai il più conveniente. Quindi determiniamo solo l intersezione fra la terza funzione obiettivo e la seconda:

20 Alessandro Bocconi 19 y = 300 y = 0, 9x + 50 y = 300 0, 9x + 50 = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78. y = 300 0, 9x = 250 Riepilogando la situazione è la seguente. Se il rappresentante vende: da 0 a 277,78 etti il terzo contratto è il più conveniente y = 300 x = 277, 78 esattamente 277,78 etti è indifferente scegliere il terzo o il secondo contratto in quanto in entrambi i casi ricava 300 euro. oltre i 277,78 etti il secondo contratto è il più conveniente Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso Una modella per acquisire notorietà vuole comparire nello spettacolo di prima serata della RAI. Si rivolge a due agenzie che le fanno due diverse proposte: euro più 100 euro per ogni minuto in cui viene inquadrata euro più, per ogni minuto di inquadratura, tanti euro pari a 10 volte i minuti totali. A parziale compenso le fornirà un vestito marcato il cui sponsor le darà 100 euro al minuto di inquadratura. Quale agenzia è più conveniente? Ovviamente la risposta dipende da quanti minuti la modella vuole essere inquadrata. Il problema è un problema di minimo. Indichiamo con x il numero di minuti di inquadratura della modella. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: Il problema risulta quindi continuo. x 0 Scriviamo la funzione obiettivo della prima agenzia: Per quanto riguarda la seconda i costi sono: y 1 = 100x x dove 10x 2 deriva dal fatto che, per ogni minuto, l agenzia chiede l equivalente in euro di 10 volte il numero totale dei minuti cioè 10x. Dal momento che vale per ogni minuto, va moltiplicato per il numero totale dei minuti cioè x. Quindi: 10x x = 10x 2. Ma ai costi vanno sottratti i soldi dello sponsor: cioè 100 euro per ogni minuto, quindi 100x. Pertanto la funzione obiettivo risulta: y 2 = 10x 2 100x + 700

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