APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI"

Transcript

1 APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 La ricerca operativa Introduzione Le fasi della ricerca operativa La creazione di un modello matematico La funzione obiettivo Classificazione dei problemi di scelta Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) Problemi di scelta con un unica variabile Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Problemi di scelta fra più alternative Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso Esercizi

3 Capitolo 1 La ricerca operativa 1.1 Introduzione La ricerca operativa fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo. (tratto da wikypedia). La ricerca operativa, nata durante la seconda guerra mondiale per obiettivi militari, è ormai diventata parte integrante delle metodologie adottate dalle varie organizzazioni al fine di ottimizzare i risultati. 1.2 Le fasi della ricerca operativa Essa si articola in cinque fasi: 1. la definizione degli obiettivi che si vogliono conseguire: ad esempio massimizzare un profitto, minimizzare una perdita, minimizzare un tempo di percorrenza e così via. 2. la raccolta delle informazioni necessarie per raggiungere gli obiettivi stabiliti. 3. la creazione di un modello matematico, cioè una traduzione in forma matematica del problema. 4. la risoluzione delle espressioni matematiche espresse nel modello. 5. la verifica se le soluzioni ottenute sono accettabili e compatibili con la situazione reale. 1.3 La creazione di un modello matematico Nei problemi che affronteremo il testo del problema ci fornirà sia ciò che vogliamo determinare (il punto 1) sia tutte le informazioni necessarie per arrivarci (il punto 2). Noi dovremo costruire un modello matematico (punto 3), risolverlo (punto 4) e verificare la compatibilità delle soluzioni ottenute (punto 5). Spesso la maggiore difficoltà della ricerca operativa risiede proprio nella costruzione di un modello matematico (che ancora non abbiamo definito cos è). Consideriamo i seguenti:

4 Alessandro Bocconi 3 Esempi Nel 2007 per motivi di lavoro Luigi ha noleggiato varie volte una fresa, spendendo ogni volta 24 euro. Rappresenta con un espressione matematica quanto ha speso di noleggio della fresa nel Ovviamente non possiamo dare la risposta in euro perche non sappiamo quante volte Luigi ha noleggiato la fresa: se l avesse noleggiata una volta avrebbe speso 24 1 euro di noleggio, se l avesse noleggiata due volte avrebbe speso 24 2 = 48 euro di noleggio, se l avesse noleggiata tre volte avrebbe speso 24 3 = 72 euro di noleggio e così via. Dal momento che non sappiamo quante volte ha noleggiato la fresa indichiamo con una lettera, generalmente la x, il numero di volte che Luigi ha noleggiato la fresa. Possiamo quindi rappresentare in forma matematica le spese del noleggio effettuate da Luigi nel 2007: x = numero di noleggi, 24 euro il costo di ogni noleggio quindi le spese di noleggio sono 24 x che generalmente scriviamo 24x. Osserviamo che la variabile (o le variabili) di un modello matematico spesso non può (possono) assumere qualunque valore reale: in tal caso si dice che le variabili sono sottoposte a vincoli. I vincoli possono essere: di segno (se le variabili possono essere anche negative o no). di interezza (se le variabili possono assumere anche valori decimali o no). tecnici (sono quelli dettati dal problema che vedremo meglio in seguito) Tornando all ultimo esempio osserviamo che x non può essere negativo (non si può noleggiare una fresa 4 volte!), così come non può essere decimale. Allo stesso tempo il problema non ci impone nessun vincolo tecnico. Quindi abbiamo: 24x = spesa di Luigi di noleggio x 0 vincolo di segno x intero che rappresenta il modello matematico del problema. Possiamo quindi dare la seguente: Definizione di modello matematico. Per modello matematico si intende la rappresentazione di una situazione reale tramite: l individuazione di una o più variabili specificando cosa rappresentano. l espressione matematica che rappresenta il problema l individuazione dei vincoli In un cinema di capienza massima di 120 persone, gli adulti pagano 7 euro e i bambini 5 euro. Scrivi il modello matematico dell incasso del cinema il giorno 23 marzo Le due variabili sono il numero degli adulti e il numero dei bambini che sono andati quel giorno al cinema. Se ad esempio ci fossero andati 60 adulti e 42 bambini l incasso sarebbe di = 630 euro. Il modello risulta quindi: x 1 = numero degli adulti x 2 = numero dei bambini

5 Alessandro Bocconi 4 Espressione matematica che rappresenta l incasso: 7x 1 + 5x 2 Vincoli: x 1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1, x 2 interi x 1 + x vincolo tecnico Si osservi che il vincolo tecnico è dovuto al fatto che la capienza massima del cinema è di 120 persone e che quindi adulti più bambini insieme non possono superare quel numero. 1.4 La funzione obiettivo Nel precedente paragrafo abbiamo descritto delle situazioni: così nell esempio del cinema abbiamo scritto l espressione matematica dell incasso in un certo giorno. È naturale, soprattutto se fossimo i proprietari del cinema, che l obiettivo è quello di ottenere il massimo incasso possibile. Dal momento che tale obiettivo dipende (o meglio è in funzione) delle variabili, l espressione matematica che rappresenta la situazione viene chiamata funzione obiettivo e indicata convenzionalmente con la lattera maiuscola G. Per evidenziare la dipendenza dalle variabili della funzione obiettivo, dopo la lettera G, fra parentesi, si mettono i nomi delle variabili che descrivono il problema. Quindi nell esempio della fresa avremmo avuto la funzione obiettivo: G(x) = 24x si legge gi di x mentre nell esempio del cinema la funzione obiettivo risulta: G(x 1, x 2 ) = 7x 1 + 5x 2 si legge gi di x 1 e x 2 Quindi per determinare un modello matematico dobbiamo: individuare una o più variabili che rappresentano il problema. determinare la funzione obiettivo. individuare i vincoli Esempio Un pescatore vende ad un ristorante le orate a 10 euro al chilo e le spigole a 12 euro al chilo. Il ristorante non compra mai più di 10kg di pesce. Descrivi il modello matematico che rappresenta il guadagno del pescatore. Individuiamo le variabili: x 1 rappresenta i chili di orate che vende e x 2 i chili di spigole. La funzione obiettivo risulta quindi: le variabili devono sottostare ai seguenti vincoli: x1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1 + x 2 10 vincolo tecnico G(x 1, x 2 ) = 10x x 2 Osserviamo che non c è il vincolo di interezza in quanto possono essere venduti anche frazioni di chilo di pesce.

6 Alessandro Bocconi Classificazione dei problemi di scelta I problemi che affronteremo vengono detti problemi di scelta, in quanto la loro risoluzione dovrebbe fornire le indicazioni giuste per compiere la scelta migliore. Ovviamente tali problemi sono spesso estremamente complessi sia nel reperimento delle informazioni corrette (fase che a noi non interessa), sia nella costruzione del modello matematico, sia nella sua risoluzione. Noi tratteremo situazioni semplificate che rimangono tuttavia estremamente significative e istruttive per comprendere sia il metodo di risoluzione, sia per avere le basi per gestire nel futuro problemi più complessi. Un importante caratterizzazione dei problemi di scelta è data dal fatto se la variabile (o le variabili) in questione può assumere o meno valori decimali. In particolare: Definizione di problema discreto e continuo. Un problema si dice continuo se la variabile (o le variabili) può assumere anche valori decimali, mentre si dice discreto se la variabile (o le variabili) può assumere solo valori interi. Noi tratteremo: 1. Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) 2. Problemi di scelta con un unica variabile: Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso 1.6 Problemi di scelta con più variabili (solo caso discreto) Affrontiamo questo caso tramite un esempio: Esempi Un camionista ha un camion che ha una portata massima di 10 tonnellate e deve trasportare delle casse: alcune contengono piombo e altre contengono ferro. Le casse contenenti piombo pesano 3 tonnellate e quelle contenenti ferro 4 tonnellate. Per ogni cassa di piombo trasportata viene pagato 80 euro e per ogni cassa di ferro viene pagato 150 euro. Che carico deve fare per avere il massimo guadagno? Cominciamo con definire le variabili: x 1 = numero di casse di piombo x 2 = numero di casse di ferro Vincoli: x1 0; x 2 0 vincolo di segno x 1, x 2 interi Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 2 variabili.

7 Alessandro Bocconi 6 Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che il camion non può trasportare più di 10 tonnellate deve risultare che 3x 1 + 4x 2 10 vincolo tecnico La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno è: G(x 1, x 2 ) = 80x x 2 Consideriamo adesso le coppie di valori (x 1, x 2 ) ammissibili (cioè che rispettano i vincoli): quindi devono essere maggiori o uguali a zero e intere. Inoltre osserviamo che, data la portata del camion, il numero massimo di casse di piombo è 3 (se fossero 4 dato che il peso di una cassa è 3 tonnellate risulterebbero 3 4 = 12 tonnellate quindi superiore alla portata del camion) mentre quelle di ferro è 2 (se fossero 3 dato che il peso di una cassa è 4 tonnellate risulterebbero 4 3 = 12 tonnellate quindi superiore alla portata del camion). Quindi se x 1 è 3, x 2 deve essere per forza zero. Se x 1 è 2 x 2 può essere al massimo 1. Anche se x 1 è 1, x 2 può essere al massimo 1, mentre se x 1 è 0, x 2 può essere 2. Calcoliamoci allora il valore della funzione obiettivo, dando a x 1 e a x 2 i valori esaminati adesso: x 1 x 2 G(x 1, x 2 ) 3 0 G(3, 0) = = G(2, 1) = = G(1, 1) = = G(0, 2) = = 300 (dove con la scritta G(3, 0) si intende il valore che assume la funzione obiettivo G se nella sua espressione al posto di x 1 scriviamo 3 e al posto di x 2 scriviamo 0). Si osserva che il guadagno maggiore si ottiene con due casse di piombo e una di ferro che è quindi la risposta del nostro problema. Un artigiano impiega 3 ore di lavoro per costruire un tavolo, 2 ore di lavoro per costruire una sedia e 4 ore di lavoro per costruire una madia. Dal tavolo ricava 150 euro, da una sedia 80 euro e 220 euro da una madia. Considerato che una giornata di lavoro è costituita da 8 ore e che l artigiano non vuole lasciare alla fine della giornata lavori ammezzati, cosa deve costruire in una giornata per avere il massimo ricavo? Cominciamo con definire le variabili: x 1 = numero di tavoli costruiti x 2 = numero di sedie x 3 = numero di madie Vincoli: x1 0; x 2 0 x 3 0 vincolo di segno x 1, x 2, x 3 interi Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 3 variabili. Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che la giornata è costituita da 8 ore lavorative: 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 8 vincolo tecnico La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno è: G(x 1, x 2 x 3 ) = 150x x x 3 Consideriamo adesso le terne di valori (x 1, x 2, x 3 ) ammissibili (cioè che rispettano i vincoli) e calcoliamoci il valore della funzione obiettivo in corrispondenza delle suddette terne:

8 Alessandro Bocconi 7 x 1 x 2 x 3 G(x 1, x 2, x 3 ) G(2, 1, 0) = = G(1, 0, 1) = = G(1, 2, 0) = = G(0, 4, 0) = = G(0, 2, 1) = = G(0, 0, 2) = = 440 Si osserva che il guadagno maggiore l artigiano lo ottiene costruendo 2 madie e nessuna sedia e tavolo. 1.7 Problemi di scelta con un unica variabile Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta Prima di procedere dobbiamo ricordare alcune definizioni: col termine costo si intendono le spese sostenute. Si dividono in: costi fissi: quelli indipendenti dalla quantità x di beni venduti o prodotti costi variabili: quelli che invece dipendono dalla quantità x di beni venduti o prodotti costi totali: la somma dei costi fissi con quelli variabili col termine ricavo si intende quello che si ottiene dalla vendita dei prodotti. col termine guadagno si intende la differenza fra il ricavo e il costo. Premesso questo consideriamo i seguenti: Esempi Un lattaio acquista il latte sfuso a 0, 6 euro al litro e lo rivende a 1, 4 euro al litro. Giornalmente spende 10 euro di trasporto e la damigiana in cui tiene il latte ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? A quanto corrisponde il massimo guadagno? A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioè costi uguale a ricavi, cioè guadagno uguale a zero? Indichiamo con x la quantità di litri venduti. Acquistando e vendendo il latte sfuso x non deve essere intero, pertanto il problema è continuo ad un unica variabile. x 0 vincolo di segno Scriviamo i vincoli: x 30 vincolo tecnico dovuto alla capienza della damigiana Costi fissi: 10 euro di trasporto (indipendenti dalla quantità x di latte venduto) Costi variabili: 0, 6 euro al litro per la quantità x di litri venduti, quindi 0, 6x Costi totali: costi variabili più costi fissi: 0, 6x + 10 Ricavi: 1, 4 euro al litro per la quantità x di litri venduti, quindi: 1, 4x Guadagno: Ricavi costi totali: 1, 4x (0, 6x + 10) = 0, 8x 10 Pertanto la nostra funzione obiettivo da rendere massima è: 0, 8x 10.

9 Alessandro Bocconi 8 y ( ) Zona di guadagno (30;14) Zona di perdita x (l) (0;-10) y=0,8x-10 x=0 Punto in cui i ricavi equivalgono ai costi x=30 u=5 Figura 1.1: La x rappresenta la quantità di latte venduto, mentre y rappresenta il guadagno del lattaio Dal momento che vogliamo usare una rappresentazione sul piano cartesiano indichiamo la nostra funzione obiettivo con la lettera y ottenendo: che è l equazione di una retta in forma esplicita. y = 0, 8x 10 Inoltre, a causa dei vincoli, il valore minimo di x è x = 0 e il valore massimo è x = 30. Vogliamo rappresentare su un piano cartesiano sia la retta della funzione obiettivo (y = 0, 8x 10) sia le rette definite dai vincoli (x = 0 e x = 30). Dagli studi sulla geometria analitica ricordiamo che per disegnare una retta è sufficiente conoscere le coordinate di 2 suoi punti (dal momento che per 2 punti passa una e una sola retta). Diamo quindi a x due valori qualunque e ricaviamoci i relativi valori di y (è consigliabile dare ad x il valore minimo e massimo che può assumere). Pertanto: x y quindi la retta della funzione obiettivo passa per i punti di coordinate (0; 10) e (30; 14). Inoltre la retta x = 0 è l equazione di una retta parallela all asse delle y che interseca l asse delle x nel punto di ascissa x = 0 (quindi è l asse y), mentre la retta x = 30 è l equazione di una retta parallela all asse delle y che interseca l asse delle x nel punto di ascissa x = 30. La figura 1.1 descrive la situazione. Innanzitutto osserviamo che la retta ha il valore massimo della y (e quindi il massimo guadagno) in corrispondenza del massimo valore che può assumere x cioè 30. Pertanto la risposta alla domanda: quanti litri di latte deve vendere il lattaio per avere il massimo guadagno? è: 30 litri. La risposta alla domanda: Quanto è il massimo guadagno? si ottiene sostituendo nella funzione obiettivo y = 0, 8x 10 alla x il valore 30 ottenendo y = 14. Pertanto il massimo guadagno è: 14 euro. Per rispondere alla domanda: A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioè i costi sono uguali ai ricavi, cioè il guadagno è uguale a zero? bisogna sostituire nella funzione obiettivo

10 Alessandro Bocconi 9 alla y (che rappresenta il guadagno) il valore 0: 0 = 0, 8x 10 0, 8x 10 = 0 0, 8x = 10 x = 10 0, 8 x = 12, 5 quindi il pareggio di bilancio si ottiene se vengono venduti 12, 5 litri di latte. Osservazione Da un punto di vista della geometria analitica, tale valore corrisponde all ascissa del punto di intersezione fra l asse delle x (che ha equazione y = 0) e la retta funzione obiettivo (y = 0, 8x 10). Infatti, dato che l intersezione si determina mettendo a sistema le equazioni delle due rette abbiamo: y = 0 y = 0, 8x 10 y = 0 0 = 0, 8x 10 Riassumendo possiamo quindi dire che il lattaio: è in perdita se vende meno di 12,5 litri è in pareggio se vende esattamente 12,5 litri realizza un guadagno se vende più di 12,5 litri y = 0 0, 8x = 10 y = 0 x = 12, 5 realizza il massimo guadagno (14 euro), se vende tutti e 30 i litri di latte Definizione di break even point (bep). Il punto che divide la zona di perdita dalla zona di guadagno si chiama break even point Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola Affrontiamo anche questo caso tramite un esempio. Un azienda vinicola spende 2 euro per ogni litro di vino prodotto. Al giorno sostiene dei costi fissi di 40 euro. Ogni litro viene venduto a 4,5 euro e la ditta sostiene spese di vendita, per ogni litro, pari a 1 50 dei litri venduti. Descrivere l andamento del guadagno giornaliero in funzione dei litri venduti. (Per risolvere questo problema risulterà utile la calcolatrice) Prestiamo particolare attenzione alla costruzione del modello matematico. Indichiamo con x la quantità di litri venduti. L unico vincolo a cui è soggetto x è il vincolo di segno cioè: x 0. (Osserviamo che non sono presenti vincoli tecnici e che x può anche non essere intero. Il problema è quindi continuo). I ricavi sono: numero di litri venduti moltiplicato il costo al litro, quindi 4, 5x. I costi fissi sono: 2x Inoltre ci sono le spese di vendita : dal momento che per ogni litro la spesa è di 50 dei litri venduti (cioè x), si ha che al litro spende 1 50 x. Per avere le spese di vendita totali 1 50x va moltiplicato per i litri venduti (x). Quindi le spese di vendita totali risultano: 1 50 x x = 1 50 x2

11 Alessandro Bocconi 10 y( ) 38,13 18,84 62,5 106,16 x(l) -40 Figura 1.2: Nei valori di x in cui la parabola è sotto l asse delle ascisse, la ditta è in perdita. Nei valori di x in cui la parabola è sopra l asse delle ascisse, la ditta guadagna. La funzione obiettivo del guadagno (ricavi costi) risulta quindi: y = 4, 5x (2x + 40) 1 50 x2 y = 1 50 x2 + 2, 5x 40 Da un punto di vista della geometria analitica la funzione obiettivo è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente di x 2 negativo, questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Determiniamo le intersezioni con l asse x risolvendo l equazione: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano 1 50 x2 + 2, 5x 40 = 0 = b 2 4ac = 3, 05 x 1 = 18, 84 x 2 = 106, 16 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = 18, , 16 2 = 62, 5 tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 62,5): y v = , , 5 62, 5 40 = 38, 13 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 40 Rappresentiamo questa situazione nel grafico di figura 1.2 Possiamo quindi effettuare la seguente analisi: se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita

12 Alessandro Bocconi 11 y( ) 38,13 18,84 62,5 106,16 x(l) -40 x=100 Figura 1.3: La retta verticale di equazione x = 100 rappresenta il vincolo tecnico. se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 106,16 litri l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro. se vende 106,16 litri è in pareggio se vende più di 106,16 litri è in perdita Dal grafico si osserva inoltre che la funzione obiettivo cresce fra 0 fino a 62, 5 litri. A 62, 5 litri ottiene il massimo guadagno e poi decresce. È ovvio quindi che in questa situazione alla ditta non conviene produrre più di 62, 5 litri. Consideriamo sempre lo stesso problema dell azienda vinicola aggiungendo però che non può produrre più di 100 litri al giorno. L unica differenza rispetto all esempio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 100. Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.3. Da un punto di vista dell analisi della situazione cambia molto poco infatti: se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 100 litri l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro. Ovviamente in questo caso l analisi si ferma a 100 litri per la presenza del vincolo di produzione. Notiamo però che questo vincolo non provoca grossi cambiamenti perchè, come già osservato, alla ditta non conviene produrre più di 62,5 litri di vino al giorno. Consideriamo ancora lo stesso problema dell azienda vinicola cambiando il limite massimo di produzione in 50 litri al giorno. Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.4. L analisi della situazione diventa:

13 Alessandro Bocconi 12 y( ) 35 18,84 106,16 x(l) -40 x=50 Figura 1.4: Il vincolo tecnico impedisce alla funzione obiettivo di raggiungere il massimo. se l azienda vende 0 litri è in perdita di 40 euro se l azienda vende meno di 18,84 litri è in perdita se vende 18,84 litri è in pareggio se vende fra 18,84 litri e 50 litri l azienda guadagna: guadagno vendendo 50 litri e guadagnando 35 euro. in particolare realizza il massimo Osserviamo che questa volta il vincolo tecnico produce grossi cambiamenti nell analisi economica: infatti non potendo raggiungere una produzione di 62,5 litri giornalieri, il massimo guadagno lo si ottiene producendo il maggior numero di litri consentiti cioè 50 con un guadagno di 35 euro. Consideriamo nuovamente lo stesso problema senza vincoli tecnici (come il primo esempio). Aggiungiamo però che la ditta vende bottiglie da un litro di vino. Quindi con x stavolta indichiamo il numero di bottiglie di vino vendute (che sono da un litro e quindi apparentemente equivale al numero di litri di vino, con la differenza sostanziale che il numero di bottiglie deve essere intero). Siamo quindi di fronte a un problema discreto. In precedenza il massimo guadagno era realizzato vendendo giornalmente 62, 5 litri di vino. Nel caso delle bottiglie bisogna determinare il guadagno che si ottiene vendendo 62 bottiglie (il numero intero immediatamente minore di 62,5) e vendendo 63 bottiglie (il numero intero immediatamente maggiore di 62,5). Vendita di 62 bottiglie: y = = 38, 12 Vendita di 63 bottiglie: y = = 38, 12 In entrambi i casi il guadagno è di 38,12 euro. Quindi l analisi della situazione è: se l azienda non vende nessuna bottiglia è in perdita di 40 euro se l azienda vende fino a 18 bottiglie è in perdita

14 Alessandro Bocconi 13 se vende fra 19 bottiglie e 106 bottiglie l azienda guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno vendendo 62 o 63 bottiglie e guadagnando 38,12 euro. se vende 107 bottiglie o più, è in perdita Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da più funzioni Un venditore vende sabbia per le ditte edili. Per il trasporto ha un costo fisso di 100 euro alla settimana più un costo, per ogni chilo, pari a tre millesimi dei chili totali venduti. Inoltre non può trasportare più di 300 kg. Il suo fornitore gli fa pagare la sabbia 1,30 euro al chilo se compra fino a 220 kg, 1,10 euro al chilo per ogni chilo oltre i 220 kg. Il venditore vende la sabbia a 2,60 euro al kg. Effettuare l analisi della situazione economica del venditore. Indichiamo con x i chili di sabbia. x è soggetto ai seguenti vincoli: x 0 vincolo di segno x vincolo tecnico Non c è il vincolo di interezza pertanto il problema è continuo. I ricavi sono: mentre per i costi dobbiamo dividere due casi: 2, 6x x , 3x se x 220 mentre se acquista più di 220 kg (cioè x > 220 kg), i primi 220 li paga 1, 30 spendendo 1, = 286 euro, mentre i restanti (x 220) li paga 1,10 euro. I costi risultano quindi: x , 1(x 220) = x , 1x 242 = x2 +1, 1x+144 se x 220 Di conseguenza avremo due funzioni obiettvo che indicano il guadagno (ricavi costi): 3 y = 2, 6x ( 1000 x , 3x) x2 + 1, 3x 100 se x < 220 e 3 y = 2, 6x ( 1000 x2 + 1, 1x + 144) x2 + 1, 5x 144 se x 220 Dal punto di vista della geometria analitica sono due parabole con la concavità rivolta verso il basso. Studiamo la prima determinando le intersezioni con l asse x risolvendo l equazione: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano x2 + 1, 3x 100 = 0 = b 2 4ac = 0, 49 x 1 = 100 x 2 = 333, 33 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = , 33 2 = 216, 67

15 Alessandro Bocconi 14 y( ) \ x=220 x=300 Figura 1.5: A sinistra della retta x = 220 si considera la prima parabola (l altra è tratteggiata), mentre a destra di tale retta si considera la seconda e la prima è tratteggiata. I valori sull asse x sono approssimati per motivi di spazio. tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 216,67): y v = , , 3 216, = 40, 83 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 100 Effettuiamo lo stesso per la seconda funzione obiettivo. Intersezione con gli assi: risulta che: quindi le soluzioni, approssimate, risultano x2 + 1, 5x 144 = 0 = b 2 4ac = 0, 52 x 1 = 129, 58 x 2 = 370, 42 Determiniamo adesso l ascissa del vertice determinando il punto medio fra x 1 e x 2 : x v = 129, , 42 2 = 250 tramite x v determiniamo l ordinata del vertice sostituendo nell equazione della parabola a x il valore di x v (cioè 250): y v = , = 43, 5 Determiniamo anche l intersezione con l asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell equazione della parabola ottenendo: y = 144 Per riportare le due parabole sullo stesso grafico, disegneremo la retta x = 220 che segna il confine fra le due parabole: a sinistra della retta vale il grafico della prima parabola, a destra vale il grafico della seconda (figura 1.5). Adesso possiamo descrivere la situazione del venditore:

16 Alessandro Bocconi 15 se vende 0 chili è in perdita di 100 euro (prima parabola) se vende meno di 100 chili è in perdita (prima parabola) se vende 100 chili è in pareggio se vende fra 100 chili e 220 chili guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno (almeno per quanto riguarda la prima parabola) vendendo 216,67 chili e guadagnando 40,83 euro. a 220 chili le due parabole si intersecano e c è il passaggio fra la prima e la seconda parabola. In ogni caso se vende 220 chili guadagna 40,80 euro. se vende fra 220 chili e 300 chili (300 chili non si possono oltrepassare a causa del vincolo tecnico) guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno (per quanto riguarda la seconda parabola) vendendo 250 chili e guadagnando 43,50 euro. Confrontiamo adesso il massimo guadagno della prima parabola (euro 40,83), col massimo guadagno della seconda (euro 43,50). Ne consegue che il massimo guadagno viene ottenuto vendendo 250 chili di sabbia con un guadagno di 43,50 euro. 1.8 Problemi di scelta fra più alternative Abbiamo considerato fino ad adesso problemi in cui avevamo un unica funzione obiettivo da rendere massima (o minima) agendo sul valore della x (o di x 1, x 2... in caso di più variabili). Spesso però può capitare di dover sceglere fra più possibilità, come vedremo nei prossimi paragrafi Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo Consideriamo il seguente problema: Un rappresentante si muove utilizzando il treno. Le compagnie ferroviarie gli prospettano i seguenti tipi di abbonamento: 1. costo mensile 130 euro più 0,5 euro al km. 2. costo mensile 50 euro più 0,9 euro al km. 3. costo mensile 300 euro comprensivo anche di tutti i chilometri percorsi. Quale abbonamento conviene di più al rappresentante? Ovviamente la risposta dipende da quanti chilometri percorre il rappresentante. Il problema è un problema di minimo. Indichiamo con x il numero di chilometri che il rappresentante deve percorrere. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: x 0 Il problema risulta quindi continuo.

17 Alessandro Bocconi 16 y ( ) Y2 Y1 300 Y x (km) Figura 1.6: Se il rappresentante percorre da 0 a 200 km conviene il secondo abbonamento; da 200 a 340 conviene il primo e, oltre i 340 km, conviene il terzo Scriviamo la funzione obiettivo del primo abbonamento (che rappresenta il costo del rappresentante in funzione dei chilometri percorsi): y 1 = 0, 5x del secondo: e del terzo: y 2 = 0, 9x + 50 y 3 = 300 (la terza funzione obiettivo è indipendente da x perchè l abbonamento costa 300 euro indipendentemente dai chilometri percorsi). Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioè rette. Rappresentiamole su un piano cartesiano (figura 1.6) determinando per ciascuna due punti. La prima: x y La seconda: x y La terza è costante (vale sempre 300 indipendentemente da x e quindi è una retta parallela all asse x). Nel caso limite in cui il rappresentante percorre 0 km è ovviamente conveniente l abbonamento che ha il costo fisso più basso, quindi il secondo. In ordine di convenienza segue poi il primo. Determiniamo allora l intersezione fra la seconda funzione obiettivo e le altre due funzioni obiettivo. Iniziamo con la prima: y = 0, 5x y = 0, 9x , 9x + 50 = 0, 5x y = 0, 9x , 4x = 80 y = 0, 9x + 50 x = 200 y = 230 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 200. Adesso determiniamo l intersezione fra la seconda e la terza funzione obiettivo:

18 Alessandro Bocconi 17 y = 300 y = 0, 9x + 50 y = 300 0, 9x + 50 = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78. y = 300 0, 9x = 250 y = 300 x = 277, 78 Questo significa che la seconda funzione obiettivo interseca prima la prima funzione obiettivo e dopo la terza (osservazione che potevamo fare anche osservando il grafico). Quindi da 0 chilometri percorsi a 200, il secondo abbonamento è quello più conveniente. Dopo i 200 chilometri diventa più conveniente il primo. Determiniamo adesso l intersezione fra le funzioni obiettivo del primo e terzo abbonamento: y = 0, 5x y = = 0, 5x y = 300 0, 5x = 170 y = 300 x = 340 y = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 340. Quindi da 200 chilometri percorsi a 340, il primo abbonamento è quello più conveniente. Dopo i 340 chilometri diventa più conveniente il terzo. Riepilogando la situazione è la seguente. Se il rappresentante percorre: da 0 a 200 km il secondo abbonamento è il più conveniente (la retta y 2 sta sotto le altre due) esattamente 200 chilometri è indifferente comprare il primo o il secondo abbonamento in quanto in entrambi i casi spende 230 euro. da 200 a 340 km il primo abbonamento è il più conveniente (la retta y 1 sta sotto le altre due) esattamente 340 chilometri è indifferente comprare il secondo o il terzo abbonamento in quanto in entrambi i casi spende 300 euro. oltre i 340 km il terzo abbonamento è il più conveniente (la retta y 3 sta sotto le altre due) Osservazione importante. Disegnare un grafico preciso per questi problemi può risultare estremamente utile. Infatti per un problema di massimo (minimo) bisogna considerare la retta che sta sopra (sotto) le altre. Graficamente capiamo quindi, a seconda dei valori della x, quale retta sta sopra o sotto le altre. Nell ultimo esempio, guardando il grafico di figura 1.6 vediamo che inizialmente y 2 sta sotto le altre rette fino a che interseca y 1. Da quel valore di x, y 1 sta sotto le altre rette fino a che non interseca y 3 che da quel valore di x in poi sta sotto le altre rette. I sistemi ci servono soltanto per determinare le coordinate del punto di intersezione. Definizione di punto di indifferenza. I punti in cui si intersecano le funzioni obiettivo si dicono punti di indifferenza in quanto, per quel valore di x, è indifferente scegliere fra l una e l altra alternativa. Un rappresentante di caramelle può scegliere fra 3 contratti: 1. fisso settimanale di 130 euro più 0,5 euro per ogni etto di caramelle che vende.

19 Alessandro Bocconi 18 y ( ) Y2 Y1 300 Y , x (hg) Figura 1.7: Se il rappresentante vende da 0 a 277,78 etti di caramelle gli conviene il terzo contratto mentre se vende oltre 277,78 etti, gli conviene il secondo. 2. fisso settimanale di 50 euro più 0,9 euro per ogni etto di caramelle che vende. 3. fisso settimanale di 300 euro indipendentemente dalla quantità di caramelle che vende. Quale contratto conviene di più al rappresentante? Ovviamente la risposta dipende da quanti etti di caramelle vende il rappresentante. Il problema è un problema di massimo (il lettore attento si sarà accorto che i dati sono gli stessi dell esercizio precedente con la differenza che adesso sono ricavi e prima erano costi). Indichiamo con x quanti etti che il rappresentante vende. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: Il problema risulta quindi continuo. x 0 Scriviamo la funzione obiettivo del primo contratto (che rappresenta il ricavo del rappresentante in funzione degli etti venduti): y 1 = 0, 5x del secondo: e del terzo: y 2 = 0, 9x + 50 y 3 = 300 (la terza funzione obiettivo è indipendente da x perchè i ricavi sono di 300 euro indipendentemente dagli etti venduti). Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioè rette. Rappresentiamole su un piano cartesiano (figura 1.7) Nel caso limite in cui il rappresentante non vende nemmeno un etto è ovviamente conveniente il contratto che ha il fisso più alto, quindi il terzo. Graficamente capiamo che la retta y 3 sta sopra le altre fino a che non interseca la retta y 2 che da quel valore di x in poi diventa l opzione più conveniente. Si osserva che y 1 non è mai sopra le altre rette e quindi il primo contratto non é mai il più conveniente. Quindi determiniamo solo l intersezione fra la terza funzione obiettivo e la seconda:

20 Alessandro Bocconi 19 y = 300 y = 0, 9x + 50 y = 300 0, 9x + 50 = 300 Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78. y = 300 0, 9x = 250 Riepilogando la situazione è la seguente. Se il rappresentante vende: da 0 a 277,78 etti il terzo contratto è il più conveniente y = 300 x = 277, 78 esattamente 277,78 etti è indifferente scegliere il terzo o il secondo contratto in quanto in entrambi i casi ricava 300 euro. oltre i 277,78 etti il secondo contratto è il più conveniente Problemi fra più alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso Una modella per acquisire notorietà vuole comparire nello spettacolo di prima serata della RAI. Si rivolge a due agenzie che le fanno due diverse proposte: euro più 100 euro per ogni minuto in cui viene inquadrata euro più, per ogni minuto di inquadratura, tanti euro pari a 10 volte i minuti totali. A parziale compenso le fornirà un vestito marcato il cui sponsor le darà 100 euro al minuto di inquadratura. Quale agenzia è più conveniente? Ovviamente la risposta dipende da quanti minuti la modella vuole essere inquadrata. Il problema è un problema di minimo. Indichiamo con x il numero di minuti di inquadratura della modella. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente è il vincolo di segno: Il problema risulta quindi continuo. x 0 Scriviamo la funzione obiettivo della prima agenzia: Per quanto riguarda la seconda i costi sono: y 1 = 100x x dove 10x 2 deriva dal fatto che, per ogni minuto, l agenzia chiede l equivalente in euro di 10 volte il numero totale dei minuti cioè 10x. Dal momento che vale per ogni minuto, va moltiplicato per il numero totale dei minuti cioè x. Quindi: 10x x = 10x 2. Ma ai costi vanno sottratti i soldi dello sponsor: cioè 100 euro per ogni minuto, quindi 100x. Pertanto la funzione obiettivo risulta: y 2 = 10x 2 100x + 700

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI 1 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all industria, nel settore pubblico e nell

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica A ARITMETICA I numeri naturali e le quattro operazioni Esercizi supplementari di verifica Esercizio Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri naturali. ; ; ; 0;. 0 Esercizio Metti una crocetta

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE")

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC DERIVE) F U N Z I O N I E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE") I N D I C E Funzioni...pag. 2 Funzioni del tipo = Kx... 4 Funzioni crescenti e decrescenti...10

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

1. Limite finito di una funzione in un punto

1. Limite finito di una funzione in un punto . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

IL VALORE POSIZIONALE

IL VALORE POSIZIONALE SCHEDA N. 1 IL VALORE POSIZIONALE 1. Scomponi ogni numero, seguendo l esempio. Esempio: 1=00000+0000+000+0+0+ =... 1 =... 9 1 =... 0 =... 0 09 =... 0 =.... Componi ogni numero, seguendo l esempio. Esempio:

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Unità 1. I Numeri Relativi

Unità 1. I Numeri Relativi Unità 1 I Numeri Relativi Allinizio della prima abbiamo introdotto i 0numeri 1 naturali: 2 3 4 5 6... E quattro operazioni basilari per operare con essi + : - : Ci siamo però accorti che la somma e la

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

LAVORO, ENERGIA E POTENZA

LAVORO, ENERGIA E POTENZA LAVORO, ENERGIA E POTENZA Nel linguaggio comune, la parola lavoro è applicata a qualsiasi forma di attività, fisica o mentale, che sia in grado di produrre un risultato. In fisica la parola lavoro ha un

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

SISTEMI DI MISURA ED EQUIVALENZE

SISTEMI DI MISURA ED EQUIVALENZE Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA SISTEMI DI MISURA ED EQUIVALENZE Un tappezziere prende le misure di una stanza per acquistare il quantitativo di tappezzeria

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

Se log a. b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b. L espressione y = log b x significa che:

Se log a. b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b. L espressione y = log b x significa che: MATEMATICA 2005 Se log a b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b L espressione y = log b x significa che: A) y é l esponente di una potenza di base b e di valore x B) x è l

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

L azienda e la sua gestione P R O F. S A R T I R A N A

L azienda e la sua gestione P R O F. S A R T I R A N A L azienda e la sua gestione P R O F. S A R T I R A N A L azienda può essere considerata come: Un insieme organizzato di beni e persone che svolgono attività economiche stabili e coordinate allo scopo di

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo una lampadina inserita in un circuito elettrico costituito da fili metallici ed un interruttore.

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Raccolta di problemi del tre semplice completi di soluzioni Proportionality Problems and Three rule

Raccolta di problemi del tre semplice completi di soluzioni Proportionality Problems and Three rule Proporzionalità Problemi del tre semplice - Raccolta di problemi del tre semplice completi di soluzioni Proportionality Problems and Three rule. Il Saulo e la Bea non hanno ancora deciso quale scala installare.

Dettagli

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90-91 69 92 93 94-95 96-97 98-99

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90-91 69 92 93 94-95 96-97 98-99 Bravissimo/a! Sei arrivato/a alla fine della parte di italiano... Adesso perché non ripassi un po di matematica? A settembre sarai un bolide nelle operazioni, nel risolvere i problemi e in geometria! matematica

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO 9 PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO Il capitolo che sta per iniziare presenta alcuni argomenti dall aspetto un po arido. Tuttavia, nelle facoltà

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi Evelina De Gregori Alessandra Rotondi al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze per la Scuola secondaria di primo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Test d'ingresso NUMERI

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè:

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè: 1 Limiti Roberto Petroni, 2011 Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad un dato valore x 0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto

Dettagli

Appunti di Matematica

Appunti di Matematica Silvio Reato Appunti di Matematica Settembre 200 Le quattro operazioni fondamentali Le quattro operazioni fondamentali Addizione Dati due numeri a e b (detti addendi), si ottiene sempre un termine s detto

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

Rapporti e Proporzioni

Rapporti e Proporzioni Rapporti e Proporzioni (a cura Prof.ssa R. Limiroli) Rapporto tra numeri Il rapporto diretto tra due numeri a e b, il secondo dei quali diverso da zero, si indica con Ricorda a e b sono i termini del rapporto

Dettagli

Lezione XII: La differenziazione del prodotto

Lezione XII: La differenziazione del prodotto Lezione XII: La differenziazione del prodotto Ci sono mercati che per la natura del loro prodotto, la numerosità dei soggetti coinvolti su entrambi i lati del mercato (e in particolare, la bassa concentrazione

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

Politecnico Clara Parco Pallavolo Bocconi. 0 1,5km 2,4km 3,6 km 5 km

Politecnico Clara Parco Pallavolo Bocconi. 0 1,5km 2,4km 3,6 km 5 km La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l' universo), ma non si può intendere se prima non s' impara a intender la lingua, e conoscer

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

Ogni frazione si può trasformare, dividendo il numeratore per il denominatore, in un numero che sarà:

Ogni frazione si può trasformare, dividendo il numeratore per il denominatore, in un numero che sarà: Ogni frazione si può trasformare, dividendo il numeratore per il denominatore, in un numero che sarà: naturale, se la frazione è apparente. Esempi: 4 2 2 60 12 5 24 8 decimale limitato o illimitato, se

Dettagli

Scuola primaria: obiettivi al termine della classe 5

Scuola primaria: obiettivi al termine della classe 5 Competenza: partecipare e interagire con gli altri in diverse situazioni comunicative Scuola Infanzia : 3 anni Obiettivi di *Esprime e comunica agli altri emozioni, sentimenti, pensieri attraverso il linguaggio

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

AL SUPERMERCATO UNITÁ 11

AL SUPERMERCATO UNITÁ 11 AL SUPERMERCATO Che cosa ci serve questa settimana? Un po di tutto; per cominciare il pane. Sì, prendiamo due chili di pane. Ci serve anche il formaggio. Sì, anche il burro. Prendiamo 3 etti di formaggio

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli