Soluzioni 3: Mass & Heat Transfer

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1 Soluzioni : Ma & Heat Tranfer

2 Soluzioni Eercizi Cap. (Traporto di materia in moto laminare). Blocco di acido benzoico con foro Vedi dipene. Blocco di naftalina con foro Vedi dipene. Con riferimento ai dati dell eercizio N. calcolare la concentrazione di acido benzoico nell acqua ucente dal foro. Decrivere la forma del foro dopo un ora. [i dati neceari dovrebbero eere reperibili al Capitolo 7] mm 0 cm a) Concentrazione ucente: Per il calcolo della concentrazione ucente conviene far riferimento al valore medio del coefficiente di traporto. Nell eercizio n. è tato calcolato Gz = 060, dalla equazione (6): Shm 0. /.6 Gz k m 9 ShD (6.5)(0 ).65 0 d 0 5 m (eendo per l ac. benzoico in acqua D = 0-5 cm / = 0-9 m /) L = 0 cm d = mm dz Bilancio per il tratto dz: dc V km d( Cw C) dz ln C C k dl k A w m m C V V Sotituendo i valori numerici: C w = g/l (ho preo il valore a 7 C riportato al cap. 7), w kma 5 m (.65 0 )( )(0 )(0.) V C Cw e e 6 k A V (5 0 ) / g L Si dirà che queta è la concentrazione ucente fino a quando il diametro del foro non è cambiato in modo enibile. Quando il foro i allarga aumenta l area A di cambio e cambia k, quindi cambia anche C.....(o no?... NO)

3 Il N. di Gz non varia col diametro, infatti: umd um d Gz V 4V Gz DL 4 DL di coneguenza non varia neanche Sh; DSh Eendo k A = d L, il prodotto ka è cotante, quindi anche la concentrazione d ucente C è cotante. Queto NO Per chi ha già tudiato gli cambiatori di calore. La ituazione è identica a quella di un fluido che cambia calore con la parete mantenuta a temperatura cotante e con coefficiente di cambio pure cotante: C w = C at V C =0 V C Bilancio di materia: V C C k AC m ml in cui il C medio logaritmico è: Cw C Cw C C C Cml Cw C C C ln ln C C C C w w w, otituendo: C C k A C C V ln w m w ed eendo nel notro cao C = 0 C C k A C Cw V C w e ln w m kma V che coincide con la precedente (grazie).

4 b) Forma del foro Per calcolare di quanto mediamente aumenta il diametro del foro in un ora i può calcolare la quantità di acido benzoico paato in oluzione: L g VC t 5 0 (60 min) g min L indicando con d il diametro medio finale e d il diametro iniziale deve eere: d d L 0.06 g 4 = denità del olido =.6 g/cm d (4)(0.06) mm 00.68mm ( )(0)(.6) cm d d Il valore di d calcolato è comunque un valore medio, è chiaro che nella zona di ingreo i ha un maggior aumento di diametro, dato che i ha una maggiore forza motrice (C w -C) ed anche un maggior coefficiente di traporto k. Per calcolare l aumento del diametro in un punto i può procedere coì: C dr Coniderato un tratto z in un punto qualunque del foro, i ha: ac. benzoico paato in oluzione in un tempo dt: kc ( C) R( zdt ) ac. benzoico corroo dalla parete = R ( z) dr dr k ( z) ( Cw C)( z) e dividendo per z: (attenzione, queto i può fare e z ¹ 0) dt dr k ( C w C ) () dt La concentrazione C in un punto è cotante per quanto detto opra, ma il coefficiente di traporto k è inveramente proporzionale al diametro, che varia nel tempo; in ogni punto i ha infatti: ud m 4V Gz, Dz Dz indipendente da d, anche lo Sh locale quindi non varia con d (varia ovviamente con z). Si ha allora kd = Sh D = cot. Moltiplicando ambo i membri della () per d = R: dr Sh D R ( Cw C) dt z w 4

5 e integrando: Sh D 0 ( ) () R R Cw C t La () conente di calcolare il diametro in un punto in cui ia noto C, il numero di Sh lo poiamo calcolare nelle condizioni iniziali (tanto è cotante) Per ora conociamo C all ingreo (C=0) e all ucita (C=0.06 g/l). In ucita i ha: Sh =.077 (060) / = 0.98 d 5 (0.98)(0 ) mm (0.05) mm.6 cm Effettivamente un po minore del diametro medio prima calcolato. Nella ezione di ingreo i ha Sh = e dalla () i ha d =???? In effetti la () per z = 0 non ha eno, per ricavare la (4) abbiamo coniderato un tratto z..., quindi abbiamo divio per z avvertendo che doveva eere z ¹ V Conideriamo allora tratti z vicini all ingreo via via più piccoli e calcoliamo Gz e Dz Shm.6Gz, dalla () quindi calcoliamo il diametro medio di queto anellino dopo un ora: z (mm) Gz Sh m d (mm) 0,06E+04 5,59,47,06E+05 76,68,659 0,,06E+06 65,,85 0,0,06E+07 55,9,0 0,00,06E ,8 4,04 0,000,06E+09 65,09 6,6 La tabella motra che in corripondenza della ezione di ingreo lo pigoli viene arrotondato. Va tuttavia rilevato che i numeri per z coì piccoli non hanno molto eno, la lunghezza di ingreo idrodinamico è mm, in queto tratto la oluzione di Leveque non è valida, dato che non i ha ancora il profilo parabolico di velocità. Con gli trumenti a dipoizione poiamo diegnare il profilo del foro laciando indeterminato il tratto iniziale di 0-5 mm (dicendo olo che i allarga ad imbuto). Per le altre ezioni i procede come per la ezione di ucita. Per avere numeri più ignificativi conviene coniderare tempi più lunghi. 5

6 Calcolo del profilo nel tempo di un foro lungo un metro. Si procede coì: per diveri valori d z i calcola: 4V ) Gz ) Shm.6Gz ) k A Sh D m m z Dz V V kma 4) V Cz C we ShD 5) Sh.077Gz 6) dz d0 Cw Czt d (mm) dopo ore... z (cm) Gz Shm k m A/V' Cz ( g/l) Sh ,64 6,5 0,06 0,08 0,98,,954,576, ,, 0,0989 0,88 8,7,086,776,05,0 0 5,55,46 0,96 0,4 7,6,07,68,57, ,6 0,4 0,570 0,906 6,9,065,67,056,7 50, 9,66 0,8 0, 6,4,059,569,98, ,77 9,09 0,057 0,79 6,04,054,5,90, ,5 8,64 0,80 0,4077 5,74,05,499,870,448 80,58 8,6 0,49 0,44 5,49,048,47,87,8 90 7,85 7,94 0,696 0,476 5,8,045,449,789, ,06 7,67 0,89 0,50 5,0,04,49,756,74 NO d (mm) 4 ora ore 4 ore 48 ore Diametro in funzione della coordinata aiale a vari tempi (nel primo metro) z (cm) R (mm) ora ora - ore ore - 4 ore 4 ore - 48 ore 48 ore z (cm) - - Forma del foro a vari tempi (nei primi 0 m) 6

7 4. Con riferimento ai dati dell eercizio N. calcolare la concentrazione di naftalina nell aria ucente dal foro. Decrivere la forma del foro dopo un ora. Non fatto (ma i fa come prima) 5. Un dializzatore a capillari è cotituito di 0000 fibre cave con diametro interno 50 m ed eterno 400m, lunghezza 0 cm, diametro mantello 8 cm. Calcolare i coefficienti di traporto lato tubi e lato mantello per portate di 00 e 500 cm /min ripettivamente. [aumere per i due fluidi le caratteritiche fiiche dell acqua e per il coefficiente di diffuione del oluto cambiato D =. 0-5 cm /] Non fatto 6. Un dializzatore (Fig. ) è cotituito di fogli di membrana lunghi 0 cm dipoti parallelamente a ditanza di mm. Fra due membrane corre con velocità cm/ il liquido B da depurare, all eterno il liquido di dialii, D, cotituito di acqua pura, con velocità talmente grande da poter coniderare nulla ia la concentrazione, ia la reitenza al traporto di materia (*). Della membrana non i conoce eattamente né lo peore (), né il coefficiente di diffuione (D), l informazione avuta dal fornitore è che, relativamente al oluto di interee, D/ =. 0-5 m/ a) Calcolare il rapporto fra la concentrazione ucente e la concentrazione entrante nel dializzatore relativamente al oluto di interee. Si aumano le caratteritiche fiiche dell acqua e coefficiente di diffuione del oluto in acqua D = cm /. b) Un dializzatore come quello prima decritto, è conneo ad un recipiente perfettamente micelato di volume V = 5 L, la portata circolante è 0. L/min Determinare il tempo neceario a rimuovere il 90% del oluto di interee. B B D 0 cm mm Fig. a. Schema di principio del dializzatore; b. particolare del condotto del liquido B V, C dializzatore Fig.. Impianto batch di dialii. (*) Nota: queta ipotei, più o meno realitica, è tata fatta al olo copo di emplificare il problema. 7

8 Soluzione: ) Calcolo del coefficiente di traporto lato B: (Vedi dipene pag. ) 4( ezione) 4 h( l arg hezza) d h mm perimetro ( larg hezza) ud (0.0)( 0 )(0 ) ovviamente il moto è laminare, infatti: Re 0 0 ud ()(0.) Gz DL (.4 0 )(0) Shm Nota: La formula (4) per Sh m riportata a pag. delle dipene è errata, i riferice a condotto circolare, per moto fra piani paralleli quella corretta è Shm.85Gz (effetto del copia-incolla).85gz 9 Sh D (9.67)(.4 0 ) k d 0 ) Calcolo del coefficiente globale: / m K k D K / m ) Concentrazione ucente: dc Bilancio per un tratto dz: V KC da Notato che V uhw ; da wdz, eendo w la larghezza (arbitraria) del condotto: dc dz K C u h C C u e dc C K L uh C ln C u e K L uh 5 (0.4 0 )(0.) (0 )( 0 ) 0.76 C C u e e ) durata del trattamento: Notato che C entrante nel dializzatore è la C nel erbatoio e che C ucente dal dializzatore è quella entrante nel erbatoio i ha: finale C dc e u V VC C VC dc V ( 0.84) 0.6 dt t iniz C V C iniz C V ln (5) ln0 0.6 t t 40 min 4 h fin C V (0.)(0.6) e u C C Nota: l efficienza del dializzatore è E ff % e e C C e la Clearance: C E V ml/ min l ff D 8

9 Soluzioni Eercizi Cap. (Previione dei coefficienti di traporto). Pallina di acido benzoico in acqua ferma e in acqua corrente. Una pallina di acido benzoico di cm di diametro è opea in una grande maa di acqua alla temperatura ambiente. Calcolare il tempo di dioluzione completa della pallina coniderando a) l acqua ferma, b) l acqua in moto con una velocità di m/. Dati: il coefficiente di traporto i può calcolare con la relazione: Solubilità ac. benzoico g/l Coeff. di diffuione 0-5 cm / Denità ac. benzoico.66 g/cm Vicoità acqua 0 - Pa Denità acqua g/cm [R.: in acqua ferma t = 9.5 giorni, in acqua corrente t = 9.77 h] Sh 0.6Re Sc Soluzione. Il fluo è: 0 Bilancio. Ma eendo N k C S dm NAP kcs4 R dt 4 M R P dm dt R 4 P a) acqua ferma: kd D D Sh k D d R dr dt dr dt DCS R P dr dt kc P S 0 R 0 DC RdR P S t R DCS t P R0 P t 98 h 9.56 giorni DC 0 S b) acqua in moto: Sc D (0 )(0 ) ud 0 6 d d Re d Sh 0.6 Re Sc d d ShD k d d d d R R Tracurando il primo termine (poi verificheremo) dr kcs CS dt R 66 R R P P

10 R0 9 RdR R t t=9.77 h 0 Non tracurando il primo termine: dr C S R dt P R R R R R R 0 0 RdR t 9.7 h R Coi trapezi (i fa anche analiticamente). Viene quai uguale. Critallo di ale Non fatto Letto riempito Acqua percorre un tubo di diametro 0 cm riempito con particelle feriche di 5 mm (colonna a cambio ionico). La portata è.4 m /h. Uando una correlazione di letteratura calcolare il coefficiente di traporto per un oluto il cui coefficiente di diffuione è circa 0-5 cm /. 5 [R.: k.4 0 m/ ] Soluzione : La correlazione da uare è (vedi appunti): Sh =.7 Re 0.58 Sc Velocità uperficiale u 0.0 m/ 600 (0.) ud p (0.0)(0.005)(000) 0 Re 05 Sc D (0 )(0 ) 9 D 0 5 Sh=70 k Sh m/ d 50 p 4. Un ammao circa ferico di un materiale combutibile brucia in aria in ora. In quanto tempo brucerebbe in aria arricchita contenete il 40% in volume di oigeno? (nelle tee condizioni fluidodinamiche) [R.:.58 min.] Soluzione dm Si può empre crivere: KCAP dt Con K un coefficiente globale e C concentrazione di oigeno.. 4 dm dr M R 4R AP 4 R dt dt 0 dr KC dr t dt C K 0 ( R) Qualunque i K(R), cotante (e domina la cinetica) o variabile, t è empre inveramente proporzionale alla concentrazione C di oigeno, quindi paando ad aria arricchita diminuice del rapporto 40/=.9, e era un ora diventa.58 min. R 0

11 5. Cilindri di carbone Due fibre di carbone di forma cilindrica allungata (L>>d) bruciano in aria invetiti da una corrente di velocità u. Si è oervato che l oggetto più ottile i conuma completamente in 0 minuti. In quanto tempo brucerà completamente l oggetto più peo che ha un diametro doppio? Sembra accertato che la cinetica ia dominata dal ma tranfer Per il calcolo del coefficiente di traporto i adotti l epreione: Sh 0.5Re Sc. Soluzione Coniderato un tratto di cilindro di lunghezza L i ha: RdRLS KCO RLdt Eendo S la denità del carbone e C O la concentrazione molare di O nell aria. K è il coefficiente globale, ma dato che domina il ma tranfer eo coincide con il coefficiente di traporto di materia. Si ha quindi: dr k C dt S O k D Sh D 0.5Re Sc D Sc u d d R Sotituendo: dr D 0.5Sc u CO dt R R Avendo indicato con = Integrando: S o R dr t R0 R t t R t t R.884 R t min 6. Tubo ghiacciato Un tubo di diametro eterno 5 cm, ricoperto di uno trato uniforme di ghiaccio di peore 5 mm, viene invetito da una corrente di aria a 0 C con una velocità di 5 m/. In quanto tempo il tubo viene liberato dal ghiaccio? Si conideri tracurabile l irraggiamento. [R.: circa ora] Soluzione qh( T 0) ht a a dm dt hta R Ma è anche dm dr R dt dt Uguagliando dr ht a cot dt ht a R R0 t t R R0 hta Per l aria = i, m /, Pr = 0,7 k T = 0,058 Si ua la 0. Nu Re Pr Si ha h =.4 W/m K, otituendo i valore t = 564 = 59,4 min.

12 7. Analogia (da parziale 00) Un cilindro di naftalene di diametro d = 0 mm e lunghezza L = 00 mm è epoto ad una corrente di aria traverale con velocità m/ in una galleria del vento. Dopo 60 min la maa del cilindro è diminuita di 0.58 g. La temperatura era 5 C e la preione barometrica 750 mmhg. a) Determinare il coefficiente di traporto di materia. b) Stimare il coefficiente di traporto di calore fra aria e cilindro nelle tee condizioni. c) Confrontare i valori coì ottenuti con quelli calcolati da correlazioni di letteratura: d) Uno tudente che partecipa all eperimento come tagita, otiene che, vita la preciione bilancia a dipoizione, arebbe bene prolungare l eperimento per un tempo più lungo, in modo di miurare un calo di maa di almeno 5 g, coì l errore arebbe minore. Ha ragione? O no? e) Decrivere la forma del campione alla fine dell eperimento (per rendere più viibile il fenomeno i può penare di prolungare l eperimento per qualche ora). Dati naftalene Maa molare 8.6 kg/kmole Denità.7 g/cm Coeff. di Diffuione in aria m / Preione di vapore * 766 * lg0 P 8.67 ; Pinbar, TinK T Dati aria Conducibilità termica 0.05 W/mK Vicoità dinamica m / Numero di Prandtl 0.7 Per il calcolo del coefficiente di traporto di calore fra un cilindro e un fluido in moto traverale i uggerice la formula di Churchill & Berntein: Re Pr Re Nu Pr [R.: k per = m/, h per =7.4 W/m K, h calc =88.7 W/m K, k calc = m/] Soluzione. a) A 5 C la preione di vapore del naftalene è: * 766 * 4 lg0 P P bar Pa T P * *.9 Pa mol C RT m Il fluo è: m 0.58 g 4 moli N.00 0 tm A 60x g / mol 00 m0.m m D altra parte è: 4 N 0 * m N kc 0 k * C 4.5 0

13 Pr b) In bae all analogia di Cilton e Colburn: Nu Sh Sc Per l aria a 5 C Pr 0.7 Sc.4-5 D k T Pr h k D Sc ,4 5 h k kt Pr W D Sc m K c) Re Pr Re Nu Pr Re ud Re = 6456 Nu = 7 h=88.74 W/m K Sperimentale Calcolato Sperimentale % 7.4 Sc =.4 Sh =.46 k = m/ Sperimentale Calcolato Sperimentale % d) Diametro del cilindro dopo l eperimento d0 d 4 L 0.58 g d d cm 9.85mm 4 0 cm.7 g / cm il diametro è diminuito did = 0. mm =.75 %. d0 d Se i prolunga l eperimento fino ad un calo di maa di 5 g dovrebbe eere L 5 g il 4 diametro finale diventa: 4 d d0 5.85cm 8.5mm 0 cm.7 g / cm il diametro è diminuito did =.5 mm =7.5 %., non è molto, ma inomma.

14 8. Dico rotante Si riporta un etratto dell articolo Heat and ma tranfer from a rotating dik Il traporto di calore fra un fluido e un corpo rotante è importante.. molti itemi pratici poono eere idealizzati come un dico rotante in un mezzo infinito l idrodinamica e il traporto di calore ono tati invetigata ia teoricamente ia perimentalmente All inizio della ricerca i era penato di cotruire un dico ricaldato elettricamente.. l apparato è apparo cotoo e dai riultati incerti. Si è allora decio di ricorrere all analogia con il ma tranfer.. Un dico di alluminio di 8 pollici di diametro è tato montato orizzontalmente u una centrifuga che può operare fra 400 e 0000 rpm, il numero di giri è tato miurato con uno trobocopio. La temperatura dell aria è tata miurata con un termometro di preciione, l eperimento è tato fatto in una grande tanza chiua. Prima di ciacun tet Naftalene puro (punto di fuione 79-8 C) è tato fuo in un forno elettrico a 0 F e quindi colato ul dico, ai cui bordi era tato poto un anello di ritenzione. Dopo olidificazione è tato rimoo l anello e la uperficie del naftalene è tata liciata e pulita, lo trato aveva uno peore di circa / di pollice. Il piatto di alluminio con opra il naftalene è tato peato con una bilancia con enibilità 0.00 g e quindi montato ulla centrifuga. Dopo un certo tempo è tato montato e peato. ono tate fatte correzioni per la ublimazione durante il montaggio e l avvio della centrifuga.. I riultati ono motrati in tabella. a) Per ogni prova, calcolare il coefficiente di traporto di materia. b) Correlare i riultati con una relazione Sh a Re n, eventualmente uando valori diveri di n per bai e alti numeri di Reynold. c) Confrontare i riultati con relazioni di letteratura (vedi Tab. ) d) Spiegare come i riultati poono applicari al traporto di calore. e) Dicutere criticamente i riultati. RPM C m P* C* N k Sh pe omega Re(d) min - g/min Pa moli/m moli/m m/ Rad/ Sh calc Lam Err % Sh calc Turb 500,0 0, ,4,0E-0,8E-05 7,57E-0 6,54 5,4,7E+05 08,7-0, 8,97, 700,7 0,0085 8,7,5E-0,4E-05 9,67E-0 0, 7,,9E+05 64,75-0,7 09,95 -, ,4 0,07 0, 4,6E-0 4,56E-05,0E-0 4,5 04,7,74E+05 45,96-7, 47,7-4,8 00, 0,00 8,4,4E-0 4,05E-05,9E-0 7,86 5,7,8E ,57-8,4 50,46-5,4 500,6 0,0065 7,8,8E-0 4,7E-05,4E-0 40, 57, 4,0E+05 5,94-7,0 65,4-46,4 70,6 0,069 7,8,9E-0 4,69E-05,47E-0 458,9 8, 4,7E+05 57,4-5,0 699,75-5, , 0,076, 4,50E-0 7,07E-05,57E-0 490,4 09,4 5,47E+05 66,54-5,7 797, -6,6 000,7 0,04 8,7,55E-0 5,70E-05,60E-0 50,7 09,4 5,47E+05 66,54 -,0 797, -59,0 50 4,8 0,0896 0,8 4,4E-0 7,60E-05,75E-0 547,4 5,6 6,6E+05 65,94-9,5 886,47-6, ,4 0,044,4 4,58E-0 8,60E-05,88E-0 587,48 7, 7,E+05 70,97-9,7 009,66-7, ,5 0,0546,6 5,08E-0,0E-04,0E-0 68,7 0,7 7,94E+05 74,4-8,,9-77, 000,7 0,08 8,7,55E-0 7,7E-05,05E-0 69, 4, 8,E , -8, 48,44-79,6 00 5,5 0,09,5 4,6E-0,8E-04,54E-0 794,78 45,6 9,0E+05 79,96 0,4 5,0-57, ,4 0,064,6 5,05E-0,5E-04,67E-0 85,04 77,0 9,85E+05 87,8 0,9 5, -6, ,0 0, ,9 4,4E-0,6E-04,70E-0 57,9 47,,E+06 94,8 0, 654, -4, ,0 0, ,9 4,4E-0,E-04 5,5E-0 64,65 575,9,5E+06 0,4 7,7 98,65-0,7 600,8 0,068 9,8,95E-0,50E-04 6,E-0 979,78 649,,70E ,5 45, 07,5 -, , 0,0887, 4,50E-0,54E-04 7,85E-0 454,09 7,0,9E+06 5,44 5,0 46,00-0, 700 4,8 0,085 0,7 4,E-0,4E-04 7,9E-0 47,8 754,0,97E+06 69,8 5,7 55, -, 855 5,6 0,0949,5 4,65E-0 4,9E-04 9,45E-0 95,54 874,9,9E+06 60,5 57, 887,0, Err% 4

15 log Sh,6,4, Laminare Turbolento Calc Lam Calc Turb y =,50x - 6,060 R = 0,995,8,6,4, y = 0,549x - 0,4068 R = 0,99 5 5, 5,4 5,6 5,8 6 6, 6,4 6,6 log Re,E+04 Sh Sper Calc,E+0,E+0,E+05,E+06,E+07 Re 5

16 9. Borraccia Durante una campagnata in una zona arida portate una borraccia (all antica) cotituita da un recipiente in alluminio rivetito di una calza di tela che mantenete cotantemente bagnata. Le temperatura è 5 C e la preione 750 mmhg, l umidità relativa 49%. A che temperatura i trova l acqua nella borraccia? Naturalmente avete l avvertenza di non eporre la borraccia al ole. Ta = 5 U.R = 0,5 P atm 750 mmhg DH= 44, kj/mole Cp = 0,094 kj/molek Pw*(Ta) 4,806 mmhg Tbu 6 C P*(Tbu) 5,00 y* 0,06 y 0,076 U.R 0,

17 SOLUZIONI ESERCIZI TRASPORTO DI CALORE (Le dipene contengono molti eercizi riolti, i riporta qui la oluzione di alcuni eercizi propoti alla fine dei capitoli, gli altri ono deciamente facili e non meritano (c è comunque il riultato) T d = cm d =. Soluzioni Cap. (Traporto di calore in condizioni Stazionarie) 4. Un bagno termotatico di laboratorio è cotituito di una vaca contenente acqua, un agitatore, e un elemento ricaldante. Quet ultimo è cotituito di una barra cilindrica di diametro cm e lunghezza 0 cm con all interno una reitenza elettrica di 00 W. Il coefficiente di convezione fra l acqua e la barra i può timare 400 W/m K. a) calcolare la temperatura ulla uperficie della barra quando la temperatura dell acqua è 80 C. Dopo un certo periodo di eercizio, la barra è ricoperta di una incrotazione di calcare di peore 0.5 mm con conducibilità termica k = 0. W/m K. b) calcolare la temperatura ulla uperficie eterna dello trato di calcare quando la temperatura dell acqua è 80 C. c) idem ulla uperficie fra la barra e il calcare. d) Uno tudente ditratto attacca la corrente cordandoi di mettere l acqua nella vaca, aumendo un coefficiente di convenzione con l aria h = 5 W/m K, e la temperatura dell aria 5 C, calcolare la temperatura della barra. Soluzione: a) Q hatp Tw T Q 00 Tp Tw C ha T w = 80 C b) con incrotazione: Q 00 T Tw C ha c) conduzione attravero il calcare. k Q Ai TT d d d Q d T T C ml kai d) e la barra era già incrotata: ml Q 00 T Ta 5 540C ha d ml kai Q d T T C 7

18 5. Un filo di rame di diametro.6 mm, rivetito di una guaina di PVC dello peore di mm è opeo in aria alla temperatura di 0 C. Aumendo un coefficiente di convezione h = 0 W/m K, determinare la maima intenità di corrente per non uperare 70 C. [la reitività del rame è = m, i ricorda che la reitenza elettrica di un conduttore di L lunghezza L e ezione A è R e che la potenza diipata per effetto Joule è RI ] A [R.: 4.9 A] Soluzione: la reitenza elettrica di un metro di filo è: L 4 R '.7 0 A la potenza termica dipera da un metro di filo: Q' R' I -8 PVC T Vedi conduzione e convezione pareti cilindriche, riferendo il fluo alla uperficie eterna A : T T U hd d kdml d h h (è come per parete piana, ma.) dml ln.6 d =.6 mm d =.6 mm U kdml d h U = 9.85 W/m K Q' W / m I Q ' 5.5 R A m 8

19 6. Un conduttore in rame di diametro.6 mm, enza alcuna protezione, è opeo in aria alla temperatura di 0 C. Con una certa intenità di corrente, eo diperde una potenza di 5.5 W/m. Aumendo un coefficiente di convezione h = 0 W/m K, determinare la ua temperatura. Ripetere il calcolo nell ipotei che il filo ia rivetito di una guaina di PVC di mm di peore. Soluzione: Q ' 5.5 Filo nudo: Q' h dt Ta T Ta C h d Con guaina di PVC: (vedi e. N. 5). T = 70 C 7. Non è trano che il filo rivetito con materiale iolante ia più freddo del filo nudo? Spiegarne la ragione. Soluzione. Il rivetimento di PVC riduce il coefficiente globale fra filo ed aria (U < h), ci i apetterebbe quindi che il filo foe più caldo. Tuttavia aumenta l area di cambio (A > A ), evidentemente in queto cao prevale il econdo effetto. 8. Si approimi il corpo umano con un cilindro di 0 cm di diametro e.75 m di altezza con la uperficie a 0 C. Si coniderino ora: - un uomo nudo, - un uomo vetito di una tuta di un materiale con conducibilità k = 0.5 W/mK e peore 5 mm. Entrambi ono epoti all aria a 0 C, il coefficiente di convezione è 0 W/m K. Chi ente più freddo (cioè diperde più calore)? Soluzione: Nudo: Q hdhtta W Vetito: dml 0.5cm ln U = W/m K U k d d h ml Q W Quello vetito diperde circa il 0% in meno. Anche in queto cao l iolante diminuice il coefficiente di traporto ed aumenta l area di cambio, ma prevale il primo effetto. 9. L uomo di cui opra indoa guanti dello teo materiale e di peore mm. Coniderando che il uo dito mignolo ha diametro circa cm, non è meglio che e li tolga? Soluzione: non apendo la lunghezza del mignolo, mi riferico ad una lunghezza unitaria: Q' h d T T W / m Senza guanti: a 0.4 Con i guanti: dml.9cm.4 ln U = W/m K U k d d h ml Q' W / m Il mignolo ente più freddo coi guanti! in queto cao prevale l aumento di area ulla diminuzione del coefficiente di cambio. 9

20 0. Spiegare i riultati contraddittori dei precedenti eercizi formalizzando una teoria generale. Soluzione: L unica differenza negli eercizi precedenti ta nel diametro dell oggetto: embra che per oggetti di piccolo diametro (filo e mignolo) prevalga l aumento di area ulla diminuzione del coefficiente di cambio, per oggetti groi uccede il contrario. Ci deve evidentemente eere un diametro critico al di otto del quale aumentando lo peore dell iolante aumenta lo cambio termico, mentre al di otto diminuice. Si conideri un cilindro di raggio R a temperatura T (ulla uperficie) ricoperto da uno trato di iolante =R R in contatto con un fluido a temperatura T iolante T con cui cambia calore per convezione con un coefficiente h. È chiaro che aumentando lo peore dell iolante T T diminuice il coefficiente globale di traporto, ma aumenta anche l area di cambio; biogna vedere quale effetto h prevale. Il calore cambiato è: Q UATT in cui: R R R U kdml d h krml R h R Rln R R k h Quindi: Q Rln R R R L T T ln R R L T T k h k hr Il maimo fluo termico i ha quando è minimo il denominatore: R d... R,cr dr k R R hr k h Per R < R,cr aumentando lo peore dell iolante i aumenta il calore cambiato (a caua dell aumento di area). k 0.9 Negli eercizi precedenti i aveva: per PVC R, cr 0.09m.9cm. Siccome i h 0 fili elettrici ono più piccoli, i può concludere che il rivetimento in PVC agevola la diperione del calore. k 0.5 Per la tuta e i guanti R, cr 0.05m.5cm quindi i guanti non vanno bene per il h 0 mignolo e neanche per il pollice. Per veri iolanti, come la lana di vetro o il politirene epano, aumendo k = 0.05, h = 5, k 0.05 valore minimo in convezione natura lei ha R, cr 0.0m cm, ovviamente in h 5 convezione forzata il raggio critico viene molto bao e il problema non i pone. 0

21 Soluzioni Cap. (Superfici Alettate). Un dipoitivo elettronico deve diipare 0 W attravero una uperficie di 5 x 5 cm provvita di una alettatura in alluminio di ezione rettangolare di peore mm ditanziate di mm, lunghezza cm. Aumendo che la temperatura dell aria ia 0 C e un coefficiente di cambio con l aria di 0 Wm - K -, calcolare la temperatura della bae e confrontarla con il valore che i avrebbe enza alettatura. [R.: enza alettatura T = 40 C, con alettatura T = 7 C] Soluzione: Senza alettatura i avrebbe: Q ha T T Q 0 T T 0 40C ha 00,05 (il computer fonde!!) T =? T = 0 C Q = 0 W Calcolo l efficienza dell aletta: h 0 ml L k tgh ml ml Ci tanno 8 alette (ogni aletta occupa + mm A tot = m Area di bae delle alette = 0 - x x8 =. 0 - m Area coperta A =. 0 - m d Si ha poi: L L area delle coniderando olo la uperficie laterale arebbe [ 0 - x x ] x 8 = m Quella dei bordi [ 0 - x 0 - x x ] x 8 = m (tracurabile?) Area delle alette A al = m. Q h A A T T al Q 0 T T C h Aal A

22 . Un condenatore è cotituito di una batteria di tubi alettati in rame invetiti da una corrente di aria a 5 C. La temperatura di condenazione del vapore è 90 C. I coefficienti di cambio termico ono tati valutati in: hi = 0000 Wm - K -, ho = 70 Wm - K Le caratteritiche del tubo e relativa alettatura ono rappreentate in Figura (dimenioni in mm). Calcolare: a) l efficienza delle alette. b) L efficacia dell alettatura. c) Il fluo termico Soluzione a) con riferimento alla Fig. delle dipene. h 70 L t kt r t/ r.5mm r.5 0.5mm.8 r.5 Dalla Fig. i tima 0.94 L area di un aletta è (Fig. ): A r r rt 5.40 m fin Alib m A m B 4 A lib A al G A A lib B Il coefficiente globale riferito all area interna del tubo è: A lib A fin U h kd d Gh d d i ml i o o i.50 U U U 4 Il fluo termico: q UT T W m / 55 W mk Commenti: la reitenza della parete è tracurabile. La reitenza maggiore è ancora quella lato aria, ma è molto inferiore a quella che i avrebbe enza alettatura, i avrebbe infatti:

23 .50 U U U q U TT W / m 79.8 W mk Facciamo lo teo conto per l acqua anziché aria, upponendo in tal cao, in tal cao h = 000 Wm - K - Si ha: h 000 L t kt L aletta è molto meno efficiente

24 Soluzioni Eercizi di riepilogo. 4. Convezione naturale e irraggiamento (da Cengel) Una tubazione orizzontale di 8 cm di diametro attravera una tanza a 8 C per una lunghezza di 6 m. Aumendo che la uperficie eterna del tubo ia 70 C, calcolare la diperione di calore per convenzione naturale e per irraggiamento, upponendo che i comporti come un corpo nero. [R.: per convezione 46 W. Per irraggiamento 57 W] Soluzione. Convezione naturale: La temperatura a cui calcolare le proprietà dell aria è: 70 8 T 44C 7K A queta temperatura i ha: w 5 kt m Pr 0.7 mk La lunghezza caratteritica è il diametro del condotto d 0.08m K T g Tw T d Ra Pr Ra Nu [ (0.559 / Pr) ] kt 0.07 h Nu d 0.08 W m K L area di cambio è: A dl m Q h T T W w Irraggiamento. Coniderando nere ( = ) ia la uperficie del tubo, ia la uperficie delle pareti i avrebbe: w 4 4 Q irr A T T W Confrontabile con quello cambiato per convezione naturale. Poiché in realtà l emiività è minore di (corpi non neri) il calore trameo per irraggiamento è minore di quello calcolato, ma comunque non tracurabile. (farlo per uperfici grigie) In preenza di convezione naturale biogna in generale tener conto dell irraggiamento. 6 4

25 5. Domanda d eame del L ultimo piano di un edificio ha una copertura piana; fra tale copertura e il offitto ottotante vi è una intercapedine di 0 cm. Le temperature T e T miurate ulle uperfici di intradoo delle copertura e di etradoo del offitto (vedi figura) ono: T in etate T = 40 C; T = 0 C in inverno T = 0 C ; T = 0 C a) Indicare nelle due ituazioni quali ono i meccanimi di traporto di calore e timare il meccanimo prevalente. Nota: non è neceariamente richieto un calcolo eatto, ma una tima, ono quindi ammee aunzioni ragionevoli. Le due uperfici ono aimilabili a conglomerato cementizio. b) Sarebbe conveniente (per diminuire le diperioni) riempire l intercapedine con politirolo epano? Soluzione: In etate i ha conduzione e irraggiamento. Il fluo per conduzione è: k 0,046 q TT W / m T =40 q d 0, T = 0 Per irraggiamento (coniderando corpi neri q T T W / m Quindi predomina di gran lunga l irraggiamento. La concluione non cambia e i coniderane le due uperfici grigie con emiività = 0.9. i avrebbe (vedi tab. pag 8) q T T T T W m T d = 0 cm In inverno i ha convezione naturale e irraggiamento: Convezione naturale: T 9,8 =0 C q g T w T L T = 0 Ra Per i ga = /T Pr = 0.7 hd Nu k W Nu Ra Pr 6.7 h.05 k L 0. m K q ht T W / m Per irraggiamento per corpi neri q = 0.94 W/m Con corpi grigi q = 84.4 W/m Prevale empre l irraggiamento. 7 5

26 Soluzioni Eercizi d Eame (Heat & Ma Tranfer) 6

27 PROCESSI DI TRASPORTO DI MATERIA E REATTORISTICA CHIMICA Prova d eame del 9 Dicembre 008, Foglio N. Eercizio. Un corpo di uperficie 0. m viene invetito da una corrente di aria ecca con una velocità di m/. Si vuole determinare il coefficiente di cambio termico. A tal copo i ricopre il corpo con uno trato di naftalene e i oerva che dopo 5 min ono ublimati g di naftalene. Determinare: - il coefficiente di traporto di materia - il coefficiente di traporto di calore Dati: Temperatura = 5 C Preione atmoferica Maa molare naftalene = 8. g/mole Preione di vapore naftalene = Pa Coefficiente di diffuione naftalene in aria D = m / Conducibilità termica aria = W/mK. Denità aria =.7 kg/m Numero di Prandtl aria = 0.7 Vicoità cinematica aria = m / Soluzione eercizio N. Moli naftalene ublimate Del reto è: Ntot N g 4 moli.04 0 g mol tot / I Ntot ka C 0 k I AC P * I moli C RT (8.4)(98) m 4 Ntot.04 0 k I AC (0.)( ) Pr Pr In bae all analogia di Cilton e Colburn: Nu Sh h k Sc D Sc Per l aria a 5 C Pr 0.7 Sc.7 6 D D 6.0 m h k kt Pr W D Sc m K k T 7

28 PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA Prova d eame del Gennaio 00 Foglio Eercizio N. Una oluzione acquoa di ammoniaca fluice in una colonna a parete bagnata (formando un ottile film ulla parte). Il tubo è lungo m e ha diametro cm. La portata di aria è 4 L/min a 5 C. a) Calcolare il coefficiente di traporto medio lato ga. Miurando la concentrazione di NH in ingreo e ucita è tato timato che il coefficiente globale, riferito alla fae ga, è K G = m/. b) Stimare il coefficiente di traporto in fae liquida. c) Indicare il peo relativo delle due reitenze. Vicoità cinematica aria m / Vicoità aria N/m Coefficiente di diffuione NH in aria m / Cotante di Henry (bae.06 Atm concentrazioni) Nota:- i auma che la corrente d aria non provochi increpature della uperficie interfacciale. Soluzione E. N. V m a) u.97 d ud Il moto è laminare Re 89 ud Gz 0.6 iamo al limite di validità delle due oluzioni aintotiche DL Sh m Gz Gz K NH b) K k k G G L k G Shm D.9 0 d 0.0 m K NH.06 Atm / H L RTC mol m 4 k L m KNH KG kg c) RG 84 R L Entrambe le reitenze ono importanti, con una leggera prevalenza di quella in fae liquida. 8

29 Eercizio N. Benzene è tato paro ul pavimento del laboratorio per una lunghezza di m e forma un film di mm. La ventilazione del locale provvede un fluo d aria parallelo al pavimento di m/. Calcolare il tempo neceario per l evaporazione completa. PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA Prova d eame del 8 febbraio 00 Foglio Dati aria Per comodità i riportano alcune Conducibilità termica 0.05 W/mK formule che potrebbero eere utili per Vicoità cinematica m /; il calcolo (formule comunque Numero di Prandtl 0.7 diponibili ugli appunti): Numero di Nuelt per moto di un fluido parallelamente a un piano: Soluzione: locale : Nu 0. Re Pr Re 0 laminare / / 5 x x / / 5 L L 4/5 / 6 x x 4/5 / 6 L L medio : NuL Re Pr Re 0 laminare locale : Nux Re Pr Re 0 turbulento medio : Nu Re Pr Re 0 turbulento L x Dati relativi all eperimento Lunghezza della pozza m Speore del film mm Velocità dell aria m/ temperatura 5 C preione barometrica 760 mmhg Dati benzene Maa molare 78. kg/kmole denità 0.9 g/cm coeff. di Diffuione in aria m / Preione di vapore a 5 C.6 mbar v = m/ N = kc * mm 5 ul ReL.7 0 il moto è laminare Si applica la a formula fra quelle elencate otituendo Nu con Sh e Pr con Sc. m Sc D Sh Re Sc 87 D L k Sh.6 0 m/ C * * P RT moli m N kc * mol m Su m di pavimento il benzene preente è: 4 g m(0 cm ) 0.cm0.9.5 moli cm 78. g / mol m Il tempo di evaporazione: t min N 9

30 PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA E BIOCHIMICA Prova del 4 Gennaio 0 Tema N. (traporto di Calore) La parete di un edificio è cotituita di blocchi doppio UNI di cm di peore con uno trato di intonaco all interno e uno all eterno, entrambi di.5 cm. L aemblea condominiale è orientata ad intallare pannelli iolanti in politirene, ma non ha trovato un accordo ulle modalità di eecuzione: alcuni vorrebbero intallare i pannelli iolanti all eterno, altri otengono che è preferibile itallarli all interno. Viene quindi incaricato un tecnico (Voi) col mandato di: a) Calcolare le diperioni termiche (W/m ) prima e dopo l intervento con temperatura interna 0 C ed eterna -5 C e il riparmio % di calore coneguibile con l intallazione dei pannello iolanti. b) Calcolare la ditribuzione di temperatura attravero la parete nei due cai (iolante eterno ed iolante interno). c) Illutrare all aemblea i vantaggi e gli vantaggi delle due intallazioni (interna o eterna). [precindendo dall ovvia coniderazione che l intallazione di pannelli iolanti all interno comporta coti e diagi molto maggiori]. Dati: Speore muratura 0. m Conducibilità equivalente muratura(*) 0. W(mK) Speore intonaci 0.05 m Conducibilità intonaco 0.9 W(mK) Speore iolante 0.04 m Conducibilità iolante 0.04 W(mK) Coefficiente di convezione interno (h i ) 7.7 W(m K) Coefficiente di convezione eterno (h o ) 5 W(m K) Temperatura interna 0 C Temperatura eterna -5 C (*)calcolata come e foe omogenea 0

31 Soluzione: a) Senza iolante: muro int U.6578 W U hi ho kmuro kint mk Q UAT W m a) Con iolante: iol U W U U kiol 0.04 mk Q UAT W Le diperioni calano del 66.%. m b) ditribuzione di temperatura. Detto R i la reitenza dei vari trati i ha: Ti QR i Ttot QRtot i i Ri i ki Q R T Ri Ti T R tot tot R i h T i Strato limite interno intonaco blocchi iolante Strato limite eterno Totale (intonacox) R i T i = 0 C T i = 0 C T op T ip T ip T op T o = -5 C T o = -5 C Iolante eterno interno 0 T ip Interno muratura 7.94 Eterno muratura. T op.086 Eterno iolante -4.4 Iolante interno interno 0 T ip Intonaco interno.6494 Interno muratura.45 Eterno muratura -4, T op To -5 To -5 Con iolante eterno la muratura i trova fra 8 e C, mentre con iolante interno fra.4 e -4 C con pericolo di formazione di ghiaccio, c è poi la dinamica.

32 PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA E BIOCHIMICA Prova Natalizia del Dicembre 0. In uno cambiatore di calore pilota con tubi di cm di diametro è tato timato un coefficiente di convezione lato tubi h i = 800 W/m K. Qual è il coefficiente di convezione prevedibile in uno cambiatore a cala indutriale con tubi di 4 cm di diametro nelle tee condizioni (teo fluido, tea velocità ecc.)?. Una tanza è ricaldata con un pannello di uperficie m con una reitenza elettrica di kw. La temperatura nella tanza è 0 C, mentre la temperatura miurata ulla uperficie del pannello è 80 C. Calcolare il coefficiente di convezione fra il pannello e l aria. Nota: i tracuri il contributo dell irraggiamento. m 80 C kw T a = 0 C. Una pentola di acciaio inox con pareti di mm di peore contiene acqua bollente. Stimando in h o = 0 W/m K il coefficiente di convezione con l aria, 0 C la temperatura dell aria e h i = 000 W/m K il coefficiente di convezione lato liquido, calcolare la temperatura ulla uperficie eterna della pentola. Nota: eendo la pentola molto grande, coniderare la uperficie piana. 4. La pentola di cui opra è munita di due manici in acciaio inox di ezione circolare con diametro 5 mm e lunghezza compleiva (di un manico) 0 cm. Stimando in h o = 5 W/m K il coefficiente di convezione fra l aria (a 0 C) e il manico della pentola, calcolare la temperatura T x nel punto di mezzo (vedi figura). Lo prendereti in mano enza guanti da cucina? T i = 00 C T o = 0 C 5 mm, L = 0 cm T x 5. Il pentolone di cui opra contiene tortellini in brodo per il pranzo di Natale. Ha diametro 40 cm e altezza 0 cm (altezza del liquido). Al termine della cottura ea viene pota ul tavolo, tuttavia la famiglia i attarda a cartare i regali e apetta lo zio Arturo, che come al olito ritarda. Il pranzo inizia dopo un ora. Sarà il cao di ricaldare i tortellini, o li mangiamo coì? Nota: Riolvere il problema coniderando lo cambio termico olo ulla uperficie laterale (la pentola è infatti appoggiata ul tavolo di legno con ottopentola iolante e il coperchio è di vetro molto peo?). Aumere inoltre che la temperatura all interno della pentola ia uniforme e che il coefficiente di traporto di calore con l aria ia h o = 0 W/m K la temperatura dell aria è circa 0 C. Aumere inoltre per le proprietà fiiche del brodo quelle dell acqua. 6. Dicutere la validità delle ipotei fatte nella oluzione dell eercizio precedente. 7. Il Sig. Roi e il Sig. Bianchi hanno acquitato due caette in montagna uguali e dallo teo cotruttore. Le pareti ono in muratura con uno peo pannello iolante. Il Sig. Roi ha chieto al cotruttore di porre il pannello iolante all eterno delle pareti (coì com è nel condominio in cui abita in città), al contrario il Sig. Bianchi ha fatto intallare i pannelli iolanti all interno. Entrambi ono inoddifatti dell acquito. Il ig. Roi ua la cae nei fineettimana: lamenta che il primo giorno la caa è freddiima anche con il ricaldamento al maimo; il econdo giorno migliora, ma lui deve rientrare in città per lavoro. Il ig. Bianchi, già penionato, oggiorna nella caa per lunghi periodi; lamenta che è cotretto a tenere il ricaldamento acceo anche di notte, e lo pegne al mattino la caa è gelata. Entrambi fanno caua al cotruttore, otenendo che ha uato materiali non idonei. Il giudice adito vi nomina Conulente Tecnico d ufficio (CTU) per entrambi i procedimenti. Dopo vari opralluoghi verificate che il materiale iolante è di ottima qualità e di peore adeguato (le diperioni ono inferiori a quanto precritto dalla legge ul riparmio energetico). Il giudice, dopo anni di indagini, coniderata la votra perizia e il fatto documentato che il poizionamento dell iolante è avvenuto per dipoizione eplicita dei ricorrenti, aolve il cotruttore e condanna i ricorrenti al pagamento delle non lievi pee proceuali Spiegare le lamentele del Sig. Bianche e del Sig. Roi. (e e i cambiaero la caa?)

33 Soluzioni. hd Nu Re d k h d d 4 h h d Q ha T T a Q 000 W h 6.67 AT T mk 80 0 a U 9.9 W U h k h mk i 0 i o q h ot To q U T T q T To C h 0 o W m 4. E come un aletta piana a ezione cotante con etremità iolata. hp 4h 5 m * 6. ka kd ml * d P 4 P d ; A ; 4 A d L 0.76 ml ml coh ml e e T T eendo L T T B TL C dt dt T T a hoa Exp t T0 Ta mcp 5. mc h AT T P o a D V H m 4 kj CP 4.86 kg m 7.7 kg A DH 0.77 m ha mc o 5 t P t T Ta T0 Ta e e 9.4 C

34 PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA E BIOCHIMICA Prova del 0 Gennaio 0 Foglio : Traporto di Calore Una corrente di azoto viene raffreddata da 00 C a 50 C con una corrente di acqua in uno cambiatore tubo in tubo in acciaio al carbonio in controcorrente. Determinare: a) la potenza termica cambiata b) la temperatura dell acqua in ucita c) il coefficiente di traporto (h i ) relativamente alla corrente di N [ uare le proprietà fiiche dell N alla temperatura media]. d) il coefficiente globale. e) la uperficie dello cambiatore. f) A magazzino ono diponibili tubi di m di lunghezza; indicare come con tali tubi i può cotruire lo cambiatore. g) Suggerire diegni alternativi di cambiatore e dicuterne la convenienza coniderando l ingombro, il peo, il coo ecc. d i d o N W Dati Azoto (tubo interno) portata 00 kg/h T ingreo 00 C T ucita 50 C Preione (cotante) bar calore pecifico.04 kj/kg Vicoità (a5 C) Pa Conducibilità termica 0.04 W/m K diametro interno (d i ) 0 mm diametro eterno (d o ) 08 mm Si uggerice l uo dell equazione di Colburn: Nu Re Pr Acqua (lato mantello) portata 5000 kg/h T ingreo 0 C Diametro interno 5 mm Coefficiente di cambio termico (h e ) 956 W/m K 4

35 Soluzione: e u 00 a) Q m NCpN TN TN kw 600 u e b) mcp w wtw Tw Q u e Q 5 T w T w C mcp c) coefficiente di traporto lato N (h i ): d i tenuto conto che m u 4 ud 400 i 4m Re d i c Pr p k N 0.0 Re Pr u w w Nk u hi 90.6 d 0.0 Nota: non erve calcolare la velocità, comunque i farebbe coì (aumendo T = 5 ): 00 kmoli moli n h RT m Dall equazione di tato: V n P 5 0 V m u 5.59 d /4 0.0 i La denità è (ma non erve) alla temperatura media arebbe: per kg = 000 g: 5 P P 8 08 kg RT RT m d) Coefficiente globale (riferito alla uperficie interna): d U h do i km dml ho d 000 i 0 W U e) Superficie Tml 8.47C ln f) Lunghezza necearia: L.66 m 0.0 Si poono fare 8 pezzi da m o pezzi da m. g) facio tubiero, uperfici alettate,.. mk W m K Q 5000 A 7.9 m UT Diegno ml 5

36 PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA E BIOCHIMICA Prova del 8 Dicembre 0 ( parziale) Premea. Il rame può eere olubilizzato in acqua per reazione con lo ione bicromato in ambiente acido per acido olforico formando lo ione Cu ++ Cu Cr O 4H Cu Cr 7H O 7 È accertato che la reazione è completamente controllata dal traporto degli ioni bicromato vero la uperficie del rame (almeno per concentrazioni di acido olforico uperiori a 0.5 M). In coneguenza di ciò la reazione è tata fruttata per miurare perimentalmente il coefficiente di traporto di materia o di calore in varie geometrie. Eperimento: C/C0-8,9 E-0x y = e R = 9,97E-0 0, t (min) Un erpentino di rame di diametro eterno cm e lunghezza.5 m è poto in un reattore cilindrico in plexigla munito di agitatore. Il reattore viene riempito con 0 L di una oluzione 0.00 M di bicromato di potaio e M di acido olforico, la temperatura è mantenuta a 0 C. La concentrazione del bicromato viene monitorata con uno pettrofotometro. Come motrato in figura, i dati di concentrazione del bicromato in funzione del tempo, in cala emilogaritmica, ono ottimamente interpolati con una retta di pendenza min -. Problema a) Determinare il coefficiente di Coefficiente di diffuione bicromato cm / traporto di calore fra il erpentino Denità oluzione K Cr O 7 + H SO g/cm Vicoità.05 0 e una fae liquida avente le tee - Pa Conducibilità termica 0.6 Wm proprietà fiiche della oluzione - K - Calore pecifico.85 kj kg - K - uata nell eperimento. b) Da una erie di eperimenti analoghi a quello decritto i è dedotto che la dipendenza dal 0.7 numero di Reynold è del tipo Nu Re. Stimare il coefficiente di traporto di calore fra il erpentino e un fluido avente le caratteritiche indicate nella tabella a lato, per lo teo valore del numero di giri dell agitatore uato nel eperimento decritto al punto a.. Denità 0.89 g/cm Vicoità Pa Conducibilità termica 0. Wm - K - Calore pecifico. kj kg - K - Nota: Gli eperimenti condotti, per loro natura, non conentono di dedurre la dipendenza del numero di Nuelt dal numero di Prandtl. Adottare al riguardo un ipotei ragionevole. Eercizio N. Un forno ha la volta a calotta ferica con raggio di curvatura R = m e altezza m (vedi Figura). La temperatura della volta (uperficie A ) è 400 C. Supponendo le uperfici nere, calcolare la potenza incidente ulla bae (uperficie A ). A R R A R/ 6

37 Soluzione a) La reazione ulla uperficie i può coniderare itantanea, quindi la velocità di reazione è r kc, indicando con C la concentrazione del bicromato in oluzione. dc Il bilancio è quindi: V kac In cui A è l area del erpentino e V il volume della oluzione. dt dc ka C ln C ka t dt V C0 V ka 4 Dalla pendenza della retta interpolante: min.48 0 V m k Dall analogia di Chilton e Colburn, nelle tee condizioni fluidodinamiche (teo Re). Pr Nu Sh Sc Sc o e i preferice: hkc P Pr b) Aumendo che quindi: cp Pr 6.64 Sc 0 k D Nu Re Pr, T cp k cp 0.7 hd k W mk c P ud k k Pr T W hk 54 D Sc m K u, d ono gli trei, hk k indicando con la oluzione organica e con la oluzione acida (uate nell eperimento) i ha: h k c P h k cp 0.95 h 8 W mk Soluzione eercizio E T 4 n P AT 4 n P F AT 4 in F Ma per la regola di reciprocità F A F A A R R 9.4m 4 L area del cerchio di bae è 4 P F AT kw 4 8 in W

38 Coro di PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA e BIOCHIMICA. Prova del 0 Dicembre 0 Verione A Eercizio N. Le torre di prilling ono apparecchiature nelle quali un materiale fuo, in forma di gocce, viene fatto cadere in aria fredda per ottenere la olidificazione. Si conideri una goccia ferica di materiale fuo di diametro d alla propria temperatura di fuione T che cade in aria a 0 C alla velocità v (velocità terminale). a) Calcolare l altezza della colonna di prilling per avere olidificazione completa adottando per la fera il modello a parametri concentrati. b) Verificare la fondatezza di tale modello. c) Se lo i ritiene, ricalcolare l altezza con un modello più adeguato. Dati Materiale Aria Diametro goccia (d) mm Temperatura 0 C Velocità di caduta (v).5 m/ Denità. kg/m Temperatura di fuione (T) 80 C Calore pecifico.0 kj kg - K - Calore latente di fuione 00 kj/kg Vicoità N/m Denità (fuo) 00 kg/m Conducibilità termica 0.06 Wm - K - Conducibilità termica (olido) 0. Wm - K - Numero di Prandtl 0.78 Eercizio N. I due tubi in figura ono identici. Il primo è palmato internamente di acido benzoico, la parete del econdo è mantenuta a temperatura cotante T w. L alimentazione è cotituita di acqua pura a 0 C. In ucita è tata miurata la temperatura T u. Calcolare la concentrazione ucente. T e =0 C T u = Dati C u =0 ac. benzoico T w = T w 00 C T u 90 C Solubilità a 0 C g/l Numero di Prandtl 6.96 Numero di Schmidt 995 Denità 998. kg/m Non erve Calore pecifico 4.8 kj/kgk Non erve Conducibilità termica 0.6 W/mK Non erve Coefficiente di diffuione 0-5 cm / Non erve C u =? 8

39 Eercizio N. Per le tre camere identificate in figura con le igle A, B, C ono tati calcolati i Numeri di Nuelt (utilizzando relazioni di letteratura). I valori ottenuti ono tati :, 0, 00. Aociare ciacun numero ad una camera e piegare perché. A 60 C 60 C C 0 C 0 C 0 C 60 C B Eercizio N. 4 Si deve cotruire un pannello olare da porre ul tetto di un edificio per la produzione di acqua calda. Precindendo dal coto, coniglierete di uare alluminio oppure PVC? Spiegare perché. Eercizio N. 5 Per ogni frae indicare e vero o e fala: a) Un corpo nero non emette radiazioni b) Un corpo nero non emette radiazioni viibili c) Un corpo nero non ha radioità d) Un corpo nero ha la maima rifleione e) Un corpo nero ha la maime emiione f) La radioità di un corpo nero coincide con la ua emiione g) Il fattore di vita di un corpo nero è uguale a zero h) Il fattore di vita di un corpo nero è = (il maimo poibile) -a 0 -b -c? 4 5 Nota: Per la domanda -c) non è tata indicata una valutazione. La non ripota non comporterà penalizzazione, tuttavia la ripota corretta e ben argomentata potrà portare ad una valutazione particolarmente poitiva. Chi i cimenterà nella -c) potrà omettere gli eercizi, 4, 5. 9

40 Soluzione Eercizio n. Sfera cadente (prilling) Nu kt W a) Re =.7. Nu 0.6 Re Pr 9.86 h 56.4 d m K Q d h T T 0.048W m d 6 a m Q kg t.9 H vt 4.7 m hd b) A olidificazione ultimata i ha Bi.8, Non eendo Bi<< il modello non è k adeguato, non i può coniderare la fera ioterma, ovvero la reitenza alla conduzione di calore nel olido non è tracurabile. c) La ituazione è la eguente: T R T w R T a Si hanno due reitenze in erie: la convezione fra l aria e la fera la conduzione nel materiale olidificato. Aumiamo per la conduzione nel gucio ferico di peore R R l epreione valida per tato tazionario. L ipotei i può giutificare coniderando che il calore latente è molto maggiore del calore pecifico, quindi l interfaccia i pota lentamente ripetto al tempo neceario a tabilire il profilo peudo-tazionario. Il fluo totale di calore è (vedi pag 8, Eq. 6): 4 k T Tw Q R R Q R T T 4 w a il fluo eterno è: Che i poono crivere: Q UT T con. a U R R 4k h4r Bilancio all interfaccia mobile. dr Qdt 4R dr dt Q R 4 40

41 R dr U T Ta dt 4 R dr t 0 R R T Ta R R k hr R R R T Ta t R k hr R R R T Ta t k h R R T Ta t 6k h t R R.574 T Ta 6k h H = 5.5 m Per k = i verifica che viene come prima Appendice: Calcolo della velocità terminale La velocità di caduta (che nel teto era aegnata) i può calcolare come egue: Drag coefficient C d for a phere a a function of Reynold number Re, a obtained from laboratory experiment. The olid line i for a phere with a mooth urface, while the dahed line i for the cae of a rough urface. The number along the line indicate everal flow regime and aociated change in the drag coefficient: : attached flow (Stoke flow) and teady eparated flow, : eparated unteady flow, having a laminar flow boundary layer uptream of the eparation, and producing a vortex treet, 4: eparated unteady flow with a laminar boundary layer at the uptream ide, before flow eparation, with downtream of the phere a chaotic turbulent wake, 5: pot-critical eparated flow, with a turbulent boundary layer. F D i the drag force, ρ i the denity of the fluid, [9] v i the peed of the object relative to the fluid, A i the cro-ectional area, and C D i the drag coefficient a dimenionle number. The reference area A i often orthographic projection of the object on a plane perpendicular to the direction of motion e.g. for object with a imple hape, uch a a phere, thi i the cro ectional area. Sometime different reference area are given for the ame object in which cae a drag coefficient correponding to each of thee different area mut be given Velocità terminale v 4d g m Per una fera d t A acd For object of water-like denity (raindrop, hail, live object mammal, bird, inect, etc.) falling in air near the urface of the Earth at ea level, terminal velocity i roughly equal to 4

42 For object of water-like denity (raindrop, hail, live object mammal, bird, inect, etc.) falling in air near the urface of the Earth at ea level, terminal velocity i roughly equal to with d in metre and v t in m/. For example, for a human body ( ~ 0.6 m) ~ 70 m/, for a mall animal like a cat ( ~ 0. m) ~ 40 m/, for a mall bird ( ~ 0.05 m) ~ 0 m/, for an inect ( ~ 0.0 m) ~ 9 m/, and o on. Terminal velocity for very mall object (pollen, etc.) at low Reynold number i determined by Stoke law. d = 0,00 k = 0, v =,5 = 00 = a =, cp a = 0 a =,87E-05 ka = 0,06 T = 80 Ta = 0 Calcolo Velocità terminale v t,85 v t,09 Re 86,9 Cd diagramma v t =,57 Re = 5,8 Cd = 0,9 diagramma v t =,76 OK Re = 7,5 Parametri concentrati Re =,70 Pr = 0,779 Nu = 9,86 h = 56,99 Q = 0, m = 5,76E-07 t =,9 H = 4,7 Bi =,80 Due Reitenze t (k= )=,9 OK t =,574 H = 5,5 4

43 Soluzione Eercizio N. (due tubi) Bilancio termico. u e e u u e Tw T Tw T T T V CP T T ha T ha ha ml e e Tw T Tw T ln ln u u Tw T Tw T e e ha Tw T ha Tw T ln C ln u V P non erve u C T T V T T Oppure direttamente: P w u T u dt V dt ha Tw T ha CP htw T da ln e T T w T V e CP Tw T V C Nel primo tubo: u u dc V kcw C da Cw C C ka ln ln e Cw C Cw V u C ka x Exp C V w Dall analogia. Dunque: Sh Sc Nu Pr / / kd hd Sc D k Pr T / ka ha Pr V V C Sc Tw = 00 Tu = 90 Te = 0 Pr = 6,96 Sc = 995 ha.=, ka/v 0, x = 0,07644 Cu = 0, Verifica ro 998, Cp 48 kt 0,60 D,00E-09 P / w / / D Sc Pr k h h k Pr C Sc T P P ha/v = ka/v = 8,6806E+06 0, OK 4

44 Soluzione Eercizio N. Per le tre camere identificate in figura con le igle A, B, C ono tati calcolati i Numeri di Nuelt (utilizzando relazioni di letteratura). I valori ottenuti ono tati :, 0, 00. Aociare ciacun numero ad una camera e piegare perché. A 60 C 60 C C 0 C 0 C 0 C 60 C B Soluzione: B) Nu = (conduzione), A) Nu =0 (convezione naturale), C) Nu = 00 (convezione forzata Soluzione Eercizio N. 4 Si deve cotruire un pannello olare da porre ul tetto di un edificio per la produzione di acqua calda. Precindendo dal coto, coniglierete di uare alluminio oppure PVC? Spiegare perché. Soluzione: PVC, l alluminio ha coefficiente di aorbimento molto bao. Eercizio N. 5 Per ogni frae indicare e vero o e fala: i) Un corpo nero non emette radiazioni F j) Un corpo nero non emette radiazioni viibili F k) Un corpo nero non ha radioità F l) Un corpo nero ha la maima rifleione F m) Un corpo nero ha la maime emiione V n) La radioità di un corpo nero coincide con la ua emiione V o) Il fattore di vita di un corpo nero è uguale a zero F p) Il fattore di vita di un corpo nero è = (il maimo poibile) F 44

45 Coro di PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA e BIOCHIMICA. Prova del 6 Gennaio 04 Foglio Un corpo di volume V = 00 cm e uperficie S = 45 cm bagnato in uperficie di acqua è epoto ad una corrente di aria ecca e i aciuga in un 0 min. La diminuzione di peo oervata è 4.4 g. Durante queto periodo la temperatura uperficiale del corpo è 5 C. a) Determinare il coefficiente di traporto di materia fra il corpo e l aria. Succeivamente il corpo viene portato a 5 C ed epoto ad una corrente di aria a 5 C avente le tee caratteritiche della precedente. b) Determinare il coefficiente di traporto di calore fra il corpo e l aria nelle condizioni iniziali. c) Determinare il tempo dopo il quale la temperatura del corpo è cea a 40 C. [nel ripondere a queta domanda i auma che la temperatura nel corpo i poa coniderare uniforme]. d) Dicutere la validità dell aunzione precedente. Dati: La preione di vapore dell acqua a 5 C.88 kpa Coefficiente di diffuione vapor d acqua in aria 0.6 cm / Denità del corpo 5000 kg/m Calore pecifico del corpo 0.5 kj/kg K Conducibilità termica del corpo 50 W/mK Conducibilità termica dell aria W/mK Calore pecifico dell aria.0 kj/kg K Soluzione Foglio * 4.4 a) Deve eere. kac 0t moli 8 b) Analogia di Chilton e Colburn: Nu Pr Sh Sc Pr hd Nu Sh Nu Sc kt C * * P RT 4.4 RT k * 8 AP t kd cp Sh Pr Sc D k D p kt hk c D T W m K Nota: la denità dell aria la i è calcolata alla temperatura media di 5 C con l equazione di tato: P 000 P9 059 kg PV nrt Pv RT RT m c) bilancio termico per il corpo in regime non tazionario: dt mcp VCp cv p hat Ta Ponendo per emplicità di crittura 0.4h dt ha ha T Ta t ln 5 t ln T T t 0.6h 7.77 min a d) Non è pecificata la forma del corpo, i conideri equivalete ad una fera con lo teo V 00 rapporto S/V. Cioè con diametro: d cm S 45 hd Il N. di Biot è: Bi kt 50 L aunzione di temperatura uniforme è giutificata. m 45

46 Coro di PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA e BIOCHIMICA. Prova del 0 Febbraio 04 Foglio L alimentazione ad un reattore a tino continuo operante a T = 90 C viene prericaldata dalla temperatura T = 0 C alla temperatura T = 50 C mediante la micela ucente dal reattore in uno cambiatore in controcorrente. Sulla bae dei dati in tabella calcolare: a) la temperatura T della micela ucente b) La uperficie dello cambiatore. T Portata 0 m /h Denità 0.87 kg/l Calore pecifico.4 kj/kgk T 0 C T 50 T 90 Coefficiente 00 W/m K globale di cambio T T T Soluzione V punto 0 m /h 0,87 kg/l Cp,4 kj/kgk U 00 W/m K T 0 C T 50 T 90 T = 60 T = 40 A =,65 m 46

47 Coro di PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA e BIOCHIMICA. Prova d eame del Giugno 04 Foglio Una mela, uppota perfettamente ferica, di diametro 4 cm, inizialmente a 7 C viene pota in un ambiente contenente aria calda a 90 C. Il coefficiente di traporto di calore fra la mela e l aria, per convezione naturale, i può timare in h = 0 Wm - K. a) Nell ipoetei che ia applicabile il modello a parametri concentrati, calcolare il tempo neceario a che la mela raggiunga 80 C. b) Dicutere la validità del modello a parametri concentrati c) Scrivere le equazioni e le condizioni che conentono di determinare con maggiore eattezza la temperatura al centro della mela in funzione del tempo. Dati: aumere che la mela abbia le proprietà fiiche dell acqua. Soluzione a) m d g 0.05kg J cp 48 kg K A d m dt mc p hat T dt a mc p ha T Ta t ln T T 0 a T0 Ta 90 7 t ln 786.5ln min.64 h T T a b) Il numero di Biot è: hd Bi k 0.6 è < ma non tanto, non è lecito applicare il modello a parametri concentrati in quanto ci ono gradinati di temperatura nella fera. Si deve integrare l equazione T T T.. con T le condizioni k ht T T w a r r R r r 0 0 T t0 T.. 0 t r r r 47

48 Coro di PRINCIPI DI INGEGNERIA CHIMICA e BIOCHIMICA. Prova d eame del 0 Luglio 04 Foglio Una latra quadrata di lato L = 0 cm e peore = cm a temperatura iniziale T 0 = 0 C è dipota orizzontalmente ed è invetita da aria a temperatura 0 C e velocità v a = 0.5 m/. Scambia calore u entrambe le facce, il coefficiente di traporto di calore fra latra e aria è tato valutato in h = 4.5 W/(m K) (nelle condizioni iniziali). a) Calcolare il valore iniziale della potenza termica cambiata. b) Dire e il tranitorio può eere decritto da un modello a parametri concentrati o a parametri ditribuiti. c) Determinare il tempo dopo il quale la temperatura maima della latra raggiunge 0 C. (i aume che durante il raffreddamento i parametri di traporto rimangano cotanti e pari ai valori iniziali). d) Verificare e il valore aegnato del coefficiente di traporto è corretto. Dati: Conducibilità latra = 0.5 W/m K Denità aria =.06 kg/m Denità latra = 5000 kg/m Vicoità aria = Pa Calore pecifico latra = kj/kg K Conducibilità aria = 0.05 W/(m K) Numero di Prandtl aria = Soluzione a) Q L h T T 89. W 0 0 a b) h Bi kt parametri concentrati. c) dt L C p hl T Ta dt T Ta t C ln P.086 h T T h t 7.4 h 0 a d) Le proprietà dell aria andrebbero calcolate alla temperatura media nelle condizioni iniziali. T0 T vl a a a( Tf ) Tf 65 C Re a( Tf ) 0.5 Il moto è laminare, la formula da applicare è Nu Re Pr 54. k W 4.5 OK. a h Nu L m K Quindi il valore aegnato era giuto (grazie!). 48