Fisica Nucleare. Testo di riferimento: Introductory nuclear physics Krane

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1 sca Nucleae Testo d femento: Intoductoy nuclea physcs Kane lt test che ho utlzzato n alcune pat del coso: Physcs of atomc nucleus K.N. Muhn Nucle e patcelle Segè Intoduzone alla fsca nucleae W. lbeco Test d meccanca quantstca utl: Quantum mechancs J.J. Saua Quantum physcs Gasoowcz Tutte le taspaenze sono n ete nel sto:

2 Pechè studae la fsca nucleae? Rveste un uolo mpotante nella nosta vta ssone nucleae : geneazone d enega cental/am usone nucleae : Sostene quas tutta la vta Ceazone d tutt gl element pesant Nucleo-sntes Possble sogente futua d enega non nqunante Decadmento adoattvo: usato pe la datazone,. allam antfumo! pplcazon medche: test dagnostc basat su magng tattament teapeutc del canco

3 sca Nucleae - Stoa Pobablmente nessun agomento cea così tanta paua e confusone 895 Scopeta de agg X - Röntgen 896 Scopeta della adoattvtà dell uano - Becqueel 897 Stud sulla adoattvta Mae & Pee Cue 905 Ensten teoa specale della elatvtà 9 Scopeta del nucleo atomco - Ruthefod 99 / 90 Ruthefod postula poton e neuton nel nucleo 96 La meccanca quantstca decolla equazone d Schödnge 99 Pm acceleato d patcelle, cclotone d Lawence 9 Teoa d Paul del neutno nel decadmento beta 9 Ossevazone del neutone Chadwc 94 Ossevazone della fssone - em / Hahn 94 vvo del Pogetto Manhattan 94 Pmo eattoe em 945 La bomba atomca - Oppenheme 948 Nucleo-sntes Bethe, Gamow 95 Bomba all dogeno 956 Volazone della patà nel decadmento beta 004 Svluppo d applcazon tecnologche ad es. magng medco

4 Untà natual Ponamo ħc e sceglamo l enega come untà d msua fondamentale Enega GeV Tempo GeV/ħ - Momento GeV/c Lunghezza GeV/ħc - Massa GeV/c Sezone d uto GeV/ħc - Rconvetamo nelle untà SI usando ħc0.97 GeV fm ħ6.6x0-5 GeV s Caca: ponamo ε 0 untà d Loentz-Heavysde α e 4ε hc 0 e 4 7 Dnamca elatvstca 4 E p c + m c E p + m 4

5 Costtuent fondamental Elettone m e 0.5 MeV/c caca - e.6x0-9 C dmensone 0-8 m Nucleo Z poton, N neuton poton e neuton sono stat cach del nucleone Un nuclde è un nucleo specfcato da Z, N numeo d massa Z numeo atomco + N m p m n MeV/c ; caca: p +e, n 0 dmenson p, n fm; aggo del nucleo medo 5 fm tomo Lo stato nomale è neuto, Z eletton dmenson 0-0 m La massa m p,m n 86 m e dell atomo è quas tutta nel nucleo Le popetà chmche dpendono da Z 5

6 6

7 La foza fote Tutte le nteazon fa patcelle possono essee spegate n temn d 4 foze fondamental: elettomagnetca, debole, fote e gavtazonale I nucleon sono soggett all nteazone fote a pccole dstanze qualche fm 7

8 Teoa nucleae ed espemento I La fsca atomca è basata su una sngola teoa consstente la QED. Questo sfotunatamente non accade n fsca nucleae: esste una teoa fondamentale delle nteazon fot la QCD ma essa descve l nteazone fa qua, non fa nucleon I nucleon nel nucleo sono n moto con enege cnetche dell odne d 0 MeV. Le enege ne decadment nuclea sono dell odne d -0 MeV, meno dello 0.% della massa a poso d un nucleone ~ GeV. E qund possble usae la MQ non elatvstca possamo applcae l equazone d Schödnge. Questo non è veo nel caso dello studo della stuttua del nucleone, dove l enega del fasco ncdente n un espemento d scatteng può essee 00 volte la massa d un potone. Sa nucle che nucleon sono sstem compless fomat da molt costtuent. Le teoe e modell che l descvono sono pecò spesso d natua fenomenologca e la fsca nucleae avanza attaveso l espemento puttosto che con la teoa. 8

9 Teoa nucleae ed espemento II Gl espement d fsca nucleae possono essee classfcat come espement d scatteng o d spettoscopa allo stesso modo che n fsca adonca In un espemento d scatteng, un fasco d patcelle d enega e momento not è detto veso l besaglo n esame. La soluzone ottenble è detemnata dalla lunghezza d onda d de Bogle λh/p delle patcelle. I agg nuclea possono essee msuat tamte fasc elettonc d cca 0 8 ev, l aggo del potone con 0 9 ev. Il temne spettoscopa vene usato pe descvee gl espement n cu s ossevano podott d decadmento d stat ecctat. In questo modo, possamo studae le popetà degl stat ecctat olte che le nteazon fa costtuent. Gl stat possono essee nucld dves o, n fsca adonca, meson e baon dves. Le enege cheste pe podue stat ecctat sono sml a quelle degl espement d scatteng. 9

10 La tavola peodca degl element Solo te element s sono fomat nel Bg Bang. Tutt gl alt element vengono fomat nelle stelle Element natual: da HZ a UZ9 0

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12 sca nucleae - scale Stat ecctat ev Lvello fondamentale Stat ecctat MeV Lvello fondamentale Stat ecctat GeV Lvello fondamentale

13 Nucld Un nuclde è un patcolae nucleo ed è desgnato con la seguente notazone: Z Numeo tomco Numeo d Poton Massa tomca Numeo d Nucleon Z+N Nucleon Poton + Neuton N Numeo d Neuton talvolta omesso Nucld con lo stesso Z ma dveso N sono dett ISOTOPI Nucld con lo stesso sono not come ISOBRI Nucld con lo stesso N sono not come ISOTONI Stat ecctat avent vta meda lunga meta-stabl sono not come ISOMERI Esstono mglaa nucld!

14 Cata de nucld I nucld possono essee sstemat su una cata, una spece d tavola peodca della fsca nucleae Tpcamente la cata gafca Z vs N I dves decadment adoattv possono essee faclmente collegat con un movmento nella cata ad es. l decadmento α cosponde a pass a snsta, n basso Questo pemette d vsualzzae ntee catene d decadmento n modo effcace Pemette d vsualzzae anche alte popetà come la vta meda o la data d scopeta 4

15 Masse nuclea La msua della massa nucleae vene eseguta pe mezzo d uno spettometo d massa Lasta fotogafca msua della massa asco d on Selettoe d veloctà E B B q, B, v sono not. Msuando s ha m qb E Selettoe d veloctà qe v E B qvb Selettoe d momento mv qb mv qb 5

16 Masse nuclea La massa d femento non è l potone o l atomo d dogeno, bensì l sotopo C. Il cabono e molt de suo compost sono sempe pesent n uno spettometo e sono patcolamente adatt pe la calbazone Una untà d massa atomca u è pecò defnta come / della massa del nuclde C u M 9.48 MeV / c C g Esempo: Msua della massa dell dogeno m C H m C H u ± D alta pate H m C H m H m C m C Qund la massa dell dogeno è data da [ m C + ] ± u m H massa d un potone 98.7 MeV/c 6

17 bbondanze nuclea Possamo fae una scansone n massa vaando E o B e msuando la coente possamo detemnae le abbondanze elatve d dves sotop Contegg Spetto d massa degl sotop del xenon tovat n un campone d gness avente.7 mlad d ann estatto dalla pensola d Kola Spetto degl sotop dello xenon pesent n atmosfea Numeo d massa Lo Xe nello gness è stato podotto dalla fssone spontanea dell uano K.Schafe, MPI Hedelbeg 7

18 bbondanze nuclea nel sstema solae bbondanze elatve nel sstema solae nomalzzate a S. Genealmente le stesse n tutto l sstema solae Deuteo e elo: fusone ne pm mnut dopo l bg bang Nucle fno 56 e: stelle Nucle pù pesant: supenovae bbondanze nel Sole 0 4 H 0 He 8 O 4 C N Ne 8

19 Enega d legame nucleae L enega d massa d un nucleo è Enege d legame degl Z eletton tascuable m N c Z mc Zmec + m Massa atomca Massa degl Z eletton B c Zm c e L enega d legame B d un nucleo è la dffeenza d enega d massa fa suo Z poton e N neuton lbe e un nucleo Z X N B Zm + Nm c m c [ Zm + Nm m Zm ] c p n N L enega d legame è detemnata dalle masse atomche, pochè esse possono essee msuate molto pù pecsamente delle masse nuclea. Ragguppando le masse de Z poton ed eletton n Z atom d dogeno neut, possamo scvee p n e B [ Zm H + Nm m X ] c n 9

20 0 Le enege d sepaazone d poton e neuton sono l equvalente delle enege d onzzazone n fsca atomca. L enega d sepaazone de neuton S n è la quanttà d enega necessaa pe muovee un neutone da un nucleo Z X N, uguale alla dffeenza fa le enege d legame d Z X N e - Z X N- Enege d sepaazone [ ] c X m m X m X B X B S N Z n N Z N Z N Z n + L enega d sepaazone d un potone è defnta n modo smle come l enega necessaa pe muovee un potone [ ] c X m m X m X B X B S N Z p N Z N Z N Z p +

21 Enega d legame pe nucleone B/ costante 8 MeV pe nucleone, 0 Lago massmo pe 60 e, Co, N 60 fusone 60 fssone I nucle legge con 4n, nnteo pesentano pcch stabltà α B/ costante n un nucleo nucleon sono attatt solo da nucleon vcn. La foza nucleae è a coto ange e satuata enega d legame pe patcella nucleae nucleone n MeV 6 8 e Gl sotop del guppo del feo sono pù legat N 58 6 e enega dalla fusone nucleae 56 6 e hanno enega d legame 8.8 MeV/nucleone enega dalla fssone nucleae Element pù pesant del feo possono fone enega tamte fssone La massa meda de famment d fssone è cca 8 5 U Numeo d Massa Lnea ossa msue spemental lnea nea fomula sem-empca

22 Stabltà nucleae I nucle stabl s tovano solo n una banda molto stetta nel pano Z-N. Tutt gl alt nucle sono nstabl e decadono spontaneamente n va mod Isoba con un gande suplus d neuton guadagnano enega convetendo un neutone n un potone pù un elettone mente nel caso d un suplus d poton s può vefcae la eazone nvesa: la convesone ssone spontanea d un potone n un neutone e un postone. Pe consevae l numeo leptonco vengono podott anche neutn S possono avee nolte decadment α e fssone spontanea Numeo d poton Z Lnea della stabltà Nucle not Numeo d neuton N

23 Cata de nucld vta meda Expemental Chat of Nucldes sotop Vta meda

24 Cata de nucld conologa Evoluzone della Tavola degl Isotop nno d pubblcazone 4

25 Il modello della gocca d lqudo Uno de pm modell del nucleo popost Conseguenza natuale del pensae l nucleo come una collezone d molecole legate fa loo Queste molecole sono n moto costante e dves tp d moto sono possbl Consdeamo l nucleo come una sfea d denstà unfome ntena, che va a zeo n supefce Gocca d lqudo Nucleo foze ntemolecola a foza nucleae coto ange Denstà ndp. dalla denstà ndp. dalla dalla dmensone gocca dmensone nucleae Caloe chesto pe B/ costante evapoae una massa fssa ndpendente dalla gocca 5

26 Sngol temn dell enega d legame Il temne d volume +a v Temne domnante, popozonale al numeo d nucleon, pecò popozonale a R, l volume. Pochè R /, B, e B/cost. Cascun nucleone contbusce pe cca 6 MeV. Da questo deducamo che la foza nucleae ha coto ange, cospondente appossmatvamente alla dstanza fa due nucleon. Questo fenomeno è detto satuazone. Infatt, se cascun nucleone nteagsse con tutt gl alt nucleon, l enega d legame totale saebbe popozonale ad - o appossmatvamente ad. causa della satuazone, la denstà centale de nucleon è la stessa pe quas tutt nucle: 0.7 nucleon/fm o x0 7 g/m. La dstanza meda fa nucleon è cca.8 fm. Il temne d supefce -a s / I nucleon n supefce sono ccondat da meno nucleon. Pecò l enega d legame è mnoe spetto a nucleon all nteno. Questo contbuto è popozonale all aea della 6 supefce del nucleo R o /

27 Il temne coulombano a c Z / / La foza elettca epulsva agente fa poton nel nucleo duce ulteomente l enega d legame. Questo temne vale Pochè R / segue che questo temne è appossmatvamente popozonale a Z / / Mettendo tutto asseme tovamo Z Z e 5 R E Coulomb B / / Z, av as acz / La fomula è ancoa nadeguata: pe fssato, pedce che l nucleo con Z0 ha la massma enega d legame coè tutt poton s convetono n neuton! Inolte l enega d legame pe nucleone pesenta ancoa una pendenza postva al cescee del numeo d massa. Questo non s osseva n natua B/ MeV pe nucleone volume supefce Coulomb smmeta 7 Numeo d massa

28 Un mpotante consdeazone pe le patcelle nella buca d potenzale è l pncpo d Paul questo nflusce sullo stacng de sngol poton e neuton e qund sulle spettve enege cambamo poton n neuton buca d poton buca d neuton neutone potone sepaazone fa lvell E cambamo poton n neuton umento d enega E Temne d asmmeta Pe passae da N-Z0 a N>Z con fssato è chesta un enega pa a N-Z E/8 Nucle con NZ hanno enega d legame maggoe e sono pecò pù fotemente legat d un nucleo con N Z. a a Z N / La coezone vene scalata d / pochè lvell sono pù avvcnat al cescee d umento d enegax E 8

29 Contbut a B/ 9

30 Il temne d accoppamento Questo flette l ossevazone spementale che due poton o due neuton sono sempe pù fotemente legat d un potone e un neutone. Questa nteazone d accoppamento favosce la fomazone d coppe d nucleon dello stesso tpo pp, nn con spn e funzone spazale d onda smmetca Il temne vene aggunto nel modo seguente: Pe nucle dspa temne0 Z pa, N dspa Z dspa, N pa Pe pa Z dspa, N dspa -δz, Z pa, N pa +δz, δ Z, a p / 0

31 La fomula d massa sem-empca Wezsache La fomula fnale è pe l enega d legame è B Z, a v a s / a c Z / a Da cu s ottene la fomula d massa sem-empca a Z N + δ Z, M H + Nm B Z, / Z, Zm c n I valo esatt de coeffcent dpendono dal ange d masse pe cu sono ottmzzat. Un possble nseme d paamet è a v 5.67 MeV a s 7. MeV a c 0.74 MeV a a.85 MeV δ -. MeV Z ed N pa 0 MeV dspa +. MeV Z ed N dspa

32 Confonto con l espemento Enega d legame pe nucleone de nucle con numeo d massa pa La lnea contnua cosponde alla fomula d massa sem-empca Devazon elatvamente gand pe pccolo Pe gande legame abbastanza pù fote a cet Z ed N. Quest cosdett nume magc vengono spegat dal modello a shell

33 Lmt della fomula sem-empca Ulteo stud della satuazone della foza e della epulsone a coto ange, s è tovato che l pncpo d esclusone d Paul non è suffcente. S è tovato che l momento angolae obtale elatvo e lo spn de nucleon è chesto pe spegae le caattestche della natua epulsva della foza. Queste dscusson sono tuttava qualtatve. La fomula d massa sem-empca non ha posto pe gl effett d spn. L potes del nucleo sfeco mplca che l nucleo non ha un momento d quadupolo elettco tuttava s ossevano dves nucle avent tale momento. Se l nucleo può essee consdeato come una gocca alloa c aspetteemmo fenomen collettv come stat otazonal o vbazonal. Il modello della gocca d lqudo tuttava ha un potee pedtvo molto lmtato. Dscuteemo pù avant modell maggomente basat sulla meccanca quantstca. Il modello peò s dmosta molto utle pe consdeae la lnea della stabltà nel decadmento β e la stabltà nucleae nella fssone e nel decadmento α.

34 4 pplcazone : paabola d massa Consdeamo nucle con lo stesso numeo d massa soba. La fomula d Wezsace può essee tasfomata n /,, a Z Z Z B Zm Zm Nm Z M p e p n γ β α dove coeffcent sono come pma / / p c a e p n a a s v n a a a m m m a a a a m γ β α Un gafco delle masse nuclea n funzone d Z pe costante dà una paabola d massa pe dspa. Pe pa le masse de nucle pa-pa e dspa-dspa s tovano su due paabole spostate vetcalmente d a p / / Il mnmo delle paabole s tova a Zβ/γ. Il nucleo con la massa mnoe n uno spetto sobaco è stable spetto al decadmento β.

35 Paabole d massa pe 0, 06 Pù dettagl sul decadmento β nelle possme taspaenze 5

36 Decadmento β - nucle d massa dspa I nucle d numeo d massa dspa sono stuat su una sngola paabola d massa, ad esempo quell pe 0 nella taspaenza pecedente. eazone condzone esempo n Mo p + e Tc + e + ν e M, Z > M, Z ν e M p, Z 0 45 Rh n + e + > M, Z ν Ru + e e + m + + ν e e M,Z è la massa atomca, pe cu la massa dell elettone ceato vene pesa n consdeazone automatcamente. La massa del neutno elettonco è così pccola <7 ev/c che può essee tascuata. La eazone del decadmento β + è possble solo all nteno d un nucleo, pechè la massa a poso del neutone è maggoe d quella del potone. 6

37 Decadmento β - nucle d massa pa Gl soba d numeo d massa pa fomano due paabole sepaate, una pe nucle pa-pa, l alta pe nucle dspa-dspa, che sono sepaate da due volte l enega d accoppamento. Talvolta c è pù d un nucleo pa-pa β stable. d esempo, nel caso d 06, c sono Pd e Cd. Il pmo è genunamente stable, pochè è nel mnmo della paabola. L sotopo Cd potebbe decadee va doppo decadmento β: Cd 46Pd + e + 06 ν e Tuttava, la pobabltà d tale pocesso è così pccola che 06 48Cd può essee consdeato stable. I nucle dspa-dspa pe >4 non sono ma stabl, pochè ess hanno sempe un vcno pa-pa pù fotemente legato. I nucle legge H, 6 L, 0 5 B, 4 7N sono stabl, pochè l aumento dell enega d asmmeta supeeebbe la dmnuzone dell enega d accoppamento. 7

38 Intemezzo: cattua elettonca Un dveso pocesso fsco n competzone col decadmento β + basato è la cattua elettonca: p + e Esste una pobabltà fnta d tovae un elettone d una shell atomca all nteno del nucleo; n patcolae pe quell della shell nfeoe, la shell K. Pochè una cattua elettonca lasca una vacanza nella shell K, gl eletton eseguanno una cascata pe empla emettendo agg X caattestc. La condzone pe la cattua elettonca è n + ν e M, Z > M, Z + ε Dove ε è l enega d ecctazone della shell atomca del nucleo fglo. La cattua elettonca ha pecò pù enega a dsposzone del decadmento β + m e c - ε 8

39 Esempo: decadment del 40 K 9

40 pplcazone : fssone spontanea Pe nucle pù pesant del feo, l enega d legame dmnusce al cescee della massa. Un nucleo con Z > 40 può pecò, n lnea d pncpo, suddvdes n due nucle pù legge. otunatamente, la baea d potenzale è genealmente così gande che tal eazon sono molto mpobabl. I nucld pù legge pe qual la pobabltà d fssone spontanea è sgnfcatva sono cet sotop dell uano. L altezza della baea pe fssone detemna la pobabltà d fssone spontanea 40

41 4 Stmamo la massa a cu nucle dventano nstabl a causa della fssone consdeando una defomazone: ε ε,,,, Z B Zm Zm Nm Z M Z B Zm Zm Nm Z M e p n e p n La massa n assenza e n pesenza d defomazone è Pe cu,,,, Z B Z B Z M Z M ε ε Se alloa l nucleo è nstable spetto alla defomazone e può suddvdes. 0,, > Z B Z B B ε

42 Il temne d volume della SEM è nvaato pochè 4 4 volume ab R Vaazone del temne d supefce / Vaazone del temne coulombano a a s c Z / a + ε 5 / s Z ε a c / 5 costante vaazone dell enega d legame B B, Z ε B, Z a c a a / Z s ε c 5 Se Z / > a s /a c B>0 l nucleo è nstable pe defomazon Z / > 50 coè Z > 4, > 70 4

43 Il modello del gas d em Il potenzale a cu un sngolo nucleone è soggetto è la sovapposzone de potenzal degl alt nucleon. Questo potenzale ha la foma d una sfea d aggo R R 0 / fm, equvalente ad una buca d potenzale quadata -D d aggo R. I nucleon s muovono lbeamente come un gas all nteno del nucleo, coè all nteno della sfea d aggo R. I nucleon empono lvell nella buca fno all enega d em E. Le buche d potenzale d poton e neuton n geneale possono essee dvese. Se l enega d em fosse dvesa pe poton e neuton, l nucleo saebbe soggetto a decadmento β n uno stato enegetcamente pù favoevole In geneale nucle pesant stabl hanno un suplus d neuton Pecò la buca del gas d neuton deve essee pù pofonda d quella de poton I poton sono pecò n meda meno legat de neuton epulsone Coulombana Possamo avee poton/ neuton pe lvello d enega, n quanto gl spn possono essee 4

44 44 L hamltonana del sstema è data dall enega cnetca de sngol nucleon m T H h e abbamo l equazone d Schodnge,,,,,, E H K K ψ ψ Possamo scvee la funzone d onda nucleae nella foma sepaazone delle vaabl,,, L K ϕ ϕ ψ ϕ Cascuna delle funzon d onda d sngolo nucleone soddsfa qund E E E m, h ϕ ϕ Possamo opeae un ulteoe fattozzazone n modo da avae a equazon del tpo,, z y x z y x γ β ϕ α, z y x x m E x x dx d + + h α α

45 bbamo la soluzone α x Be x x + Ce x x con le condzon d fontea qund α x 0 B + C xl Be α x 0 + Ce L 0 x L 0 B C Bsn x L 0 Questo mplca che l vettoe d onda x può assumee solo valo x n L, n,,,l 45

46 46 La costante d nomalzzazone s tova mponendo L B L B xdx B dx x L L x sn 0 0 α n questo modo avamo alla funzone d onda d sngolo nucleone con z y x L z y x z y x sn sn sn / γ β α ϕ,,,l,,,, z y x n n n L n L n L n cascuna tena d nte n,n,n cosponde un autovaloe dell enega d patcella sngola,, z y x n n n ml m n n n E h h

47 Nello stato fondamentale tutt gl stat sono empt con due poton e due neuton. Nel -spazo l ntevallo mnmo fa due stat dves è x, y, z n,, + n,, L Un sngolo stato occupa un volume /L. Il numeo d stat fa e + d è dn 8 / L L Il numeo totale d stat pemess fno a un valoe massmo d è N Ω 4 dn, L 0 d Ω Ottenamo l enega pù bassa assumendo che N Z / e mettendo 4 patcelle n ogn stato fno a 4 Ω 4 dn 4 Ω 0 47

48 48 Pochè ρ 0 / Ω, l momento d em dpende solo dalla denstà nucleae Patcamente pe tutt nucle con > abbamo ρ nucleon / fm, da cu Un nucleone con momento d em ha enega cnetca L enega cnetca d un nucleone d momento è T h /m. L enega cnetca totale è 8.5 MeV m h ε m d m dn T T ε Ω Ω h h 0 ρ Enega cnetca e aggo nucleae -.6 fm

49 I nucleon nella buca hanno un enega cnetca meda T ε 5 MeV Se assumamo che l nucleo sa una sfea d aggo R d denstà unfome ρ 0, alloa ρ Ω 0 ρ 0 4 R Possamo qund cavae l aggo R R 4 ρ / / / 0 / Se.6 fm -, ottenamo 9 / 0 8. fm Valoe spementale dallo scatteng elettonco: 0. fm 49

50 Paamet della fomula sem-empca Nella fomula d massa sem-empca l temne domnante è quello d volume BE vol b, b vol 6 MeV Pochè T/ MeV, b vol enega d legame pe nucleone deve devae dal blancamento d T/ e un enega potenzale meda pe nucleone vol U bvol T 40 MeV Pe calcolae <U> assumamo che fa nucleon agsca una foza centale V - dentca n tutt gl stat. La funzone d onda d una coppa d nucleon è ψ j, j, s, s j j j j j j j j [ ϕ ϕ χ χ j ϕ ϕ χ χ ] L enega potenzale meda U j è l valoe d aspettazone d V spetto a ψ j U j ψ * j V j j D E ψ d d U U j j j temne detto temne d scambo 50

51 5 Ottenamo l enega potenzale dell nteo sstema sommando su tutte le coppe, che sono / / Possamo nolte poe φ ρ / j j j j j d d V U U > ρ ρ Consdeamo pe semplctà soltanto l temne detto j j j j D j d d V U ϕ ϕ Nel gas d em la denstà è costante ρ ρ 0 / Ω. Intoducendo le coodnate j, R + j / V d V d V R d U U j j ˆ ρ ρ ρ > L enega totale del sstema è appossmatvamente + V U T E ˆ 5 ρ 0 ε

52 5 bbamo qund un enega d volume domnante, come nella fomula sem-empca. Possamo qund scvee V b b V E vol vol ˆ 5, ˆ ρ ε ρ ε

53 5 Consdeamo un nucleo con N Z / e supponamo che λ degl Z poton dventno neuton Nel caso del nucleo smmetco Possamo analogamente defne nel gas asmmetco Ω dn λ + λ ', ' N Z Enega d smmeta Ω Ω + p n p n dn Z dn N 0 0 ' ' λ λ bbamo qund / 0 / / 0 / λ λ λ λ Ω + + Ω p n

54 54 Possamo scvee la vaazone d enega cnetca come dove p n Z N dn m dn m T p n ε ε ε 5 ' 5 5 ' h h / 0 / 0 λ ε ε λ ε ε + p p n n m m h h E necessaa una ceta enega pechè l enega de poton sotto l lvello d em è mnoe d quella de neuton post sopa l lvello d em. La vaazone d enega cnetca è + 4 / 4 / 4 / 4 / dn dn T λ λ ε ε

55 Possamo scvee la vaazone d enega cnetca come T ε ε N' + λ λ / + Z' λ / Pochè λ N Z T 0 ε N' Z' N' Z' MeV b sm. MeV cca l 50% dell enega d smmeta de nucle deva dal pncpo d Paul Il estante 50% dpende dall enega potenzale che tende ad essee meno attattvo pe moment gand pe cu neuton n eccesso sopa 0 saanno meno legat Inolte è pù attattvo pe coppe n-p sngoletto d sospn che pe coppe p-n, p-p, n-n n tpletto d sospn e l numeo d coppe p-n è massmo quando N Z 55

56 56 Pesenza d una supefce S/Ω 0: nel conto degl stat fa e +d dobbamo sottae gl stat pe qual x o y o z 0 bbamo qund 6, 4 / 4 L S d S L d Il temne d supefce d S dn 4 Ω Ω Il numeo d nucleon è oa Ω Ω Ω Ω S d S

57 57 La pesenza della supefce dmnusce la denstà del sstema d un temne popozonale a S/Ω Possamo qund calcolae l enega cnetca totale L enega cnetca pe nucleone è nvece assumendo S/Ω<< Ω Ω S 4 0 ρ ρ Ω Ω Ω Ω S d m S T ε h Ω + Ω Ω S S S T ε ε Il temne d supefce aumenta <T>

58 58 Il temne dell enega cnetca dovuto alla supefce è qund ssumendo che R 0 / e pochè 9/8 / / 0, possamo scvee / / sup S T Ω ε ε / / / 0 0 / / Ω S 8 MeV vcno a b sup

59 Msua delle denstà e de agg nuclea La dmensone de nucle può essee detemnata utlzzando due tp d nteazone: L nteazone elettomagnetca dà la dstbuzone d caca de poton dento l nucleo. d esempo 4 Scatteng elettonco 4 tom muonc 4Nucle specula L nteazone nucleae fote fonsce la dstbuzone d matea de poton e neuton nel nucleo. N.B. s hanno nteazon nuclea e e.m. allo stesso tempo studo pù complesso. d esempo 4 Scatteng α Ruthefod 4 Scatteng d poton 4 Scatteng e assobmento d neuton 4 Vta meda d emettto α 4 Ragg X d atom ponc 59

60 Scatteng elastco In un pocesso elastco a+b a +b le patcelle dello stato fnale sono le stesse dello stato nzale. Il besaglo b esta nel suo stato fondamentale, assobendo soltanto momento d nculo e qund vaando la sua enega cnetca. L angolo d scatteng e l enega d a e l angolo d poduzone e l enega d b sono coelat n modo non ambguo Concluson sulla foma del besaglo possono essee dedotte dalla dpendenza del ate d scatteng dall enega del fasco e dall angolo d scatteng La pù gande lunghezza d onda che può solvee stuttue d dmensone lneae x è data dalla lunghezza d onda d de Bogle dotta λ x Il cospondente momento della patcella segue dal pncpo d ndetemnazone d Hesembeg p h x pc hc x 00MeVfm x Qund pe studae nucle avent agg d qualche fem, moment del fasco devono essee dell odne d 0-00 MeV/c I sngol nucleon hanno agg d cca 0.8 fm. Ess possono essee solt se l momento del fasco è qualche centnao d MeV 60

61 Scatteng nelastco Nelle eazon nelastche pate dell enega cnetca tasfeta dal fasco a al besaglo b lo eccta n uno stato d enega maggoe b*. Lo stato ecctato successvamente tona allo stato fondamentale emettendo una patcella leggea ad es. un fotone o un pone o può decadee n una o pù patcelle a + b a' + b' b' c + d Se pemesso dalle legg d consevazone l ntea enega del fasco può andae n ecctazone del besago o nella poduzone d nuove patcelle; la patcella del fasco scompae completamente Tal eazon nelastche appesentano la base della spettoscopa nucleae e delle patcelle 6

62 Sezon d uto lusso Φ a dn dt a n a v a dove v a è la veloctà della patcella del fasco e n a è la denstà d patcelle Numeo d patcelle del besaglo nell aea del fasco N b n b d Rate d eazone totale dn dt Φ a N b σ b La sezone d uto geometca d eazone è l aea pesentata da un sngolo cento d scatteng alla patcella del fasco a ncdente σ b dn / dt Φ N a b n. d patcelle scatteate/sec flusso cent d scatteng 6

63 La pobabltà d eazone pe due patcelle è genealmente molto dvesa dalle consdeazon geometche e dpende dalla foma, ange e ntenstà del potenzale d nteazone Inolte, la denstà del fasco è tpcamente nomogenea, mente la denstà del besaglo è omogenea La sezone d uto totale è oa defnta n modo analogo alla sezone d uto geometca σ tot numeo d eazon/sec patcelle del fasco/sec cent d scatteng/aea La sezone d uto totale è la somma delle sezon d uto elastca e nelastca σ σ + σ tot el nel Untà comunemente usate: ban b 0-8 m 0-4 cm. mllban mb 0 - m Tpca sezone d uto ad es. σ pp 0 GeV 40 mb 6

64 Ponamo n nucle/volume N patcelle del fasco/sec dx spessoe del besaglo σ tot numeo d eazon/sec N n dx Il ate a cu le patcelle sono mosse dal fasco è qund dn N σndx Nel caso d un besaglo spesso σnl>> abbamo N N f N f dn N N e L 0 nσl σndx Nel caso d un besaglo sottle σnl<<, exp- σnl - σnl abbamo N f N nσl 64

65 Sezone d uto dffeenzale La dstbuzone angolae delle patcelle scatteate non è necessaamente omogenea aea D fasco angolo soldo dω D / besaglo Numeo d patcelle scatteate n dω è dn/dω dn dtdω dσ Φ dω a N b dσ dω dn / dt Φ N dω a b Untà aea/steaadante Se l velatoe può detemnae l enega E delle patcelle scatteate, s può msuae la doppa sezone d uto dffeenzale d σ E, E', ϑ / dωde' 65

66 Scatteng elettonco Utlzzamo gl eletton come sonda pe studae le devazon spetto a un nucleo puntfome nteazone elettomagnetca e - fotone nucleo Pe msuae una dstanza d fm abbamo bsogno d un enega Msuamo E, θ degl eletton scatteat dσ/dω E D - fm 00 MeV ppaato spementale asco elettonco d enega nota Rvelatoe sottle foglo d mateale scatteatoe Regone d campo magnetco monto d fasco 66

67 Sezone d uto Ruthefod dn/dθ dσ dω Ze 4 4ε 4E sn ϑ / 0 Ruthefod angolo d scatteng Lo scatteng d un elettone d enega E su un nucleo d caca Ze è desctto dalla sezone d uto Ruthefod. Questa sezone d uto può essee cavata sa classcamente che con la meccanca quantstca con l potes che l nculo del nucleo e gl effett d spn possano essee tascuat e che l cento d scatteng possa essee consdeato 67 puntfome.

68 Devazone QM Calcolamo dσ/dω usando l appossmazone d Bon n cu lo stato nzale e fnale sono consdeat onde pane e s tascua l nculo nucleae. dσ dω n. d patcelle scatteate/sec n dω lusso ncdente Il ate d tanszone è dato dalla egola d oo d em Γ f M ρ E - h dove M ψ f H nt ψ ψ ρ Ne E denstà d stat fnal p La funzone d onda è nomalzzata a patcella n una scatola d lato L ψ N L 68

69 69 Denstà d stat: è l numeo d stat che un elettone può occupae nel ange d momento p,p+dp. Nel caso d una patcella confnata n una scatola d lato L, abbamo le condzon d fontea peodche -,, p nte,,,,, h L n L n L n n n n L n L n L n z y x z y x z z y y x x Cascuno stato occupa un volume /L nello spazo p. Il numeo d stat p n p,p+dp nell angolo soldo dω è /, / / L d p dp dn p L dpd p L p d dn ρ Ω Ω Nel caso d scatteng elatvstco E p, L d E de dp dp dn E Ω ρ

70 70 Elemento d matce: p f p dove è l momento tasfeto p p f q Nel caso d scatteng elastco / sn 4 cos cos ϑ ϑ ϑ E p p p p p p p q f f f + x d V e L x d Ne V Ne x d H H M q p p f f f nt * nt ψ ψ ψ ψ

71 7 lusso: numeo d patcelle ncdent che attavesano un aea untaa pe secondo Consdeamo un besaglo d aea e un fasco ncdente d veloctà vc n moto veso l besaglo. Il flusso è dove n è la denstà numeo d patcelle ncdent /L Mettendo tutto asseme Ω Φ d L E d V e L L E M d q f ρ σ c L L c Φ Ω d V e E d d q σ n c dt dn dx dx dt dn a Φ

72 Scatteng da un nucleo puntfome: V Omettendo l fattoe d nomalzzazone L Zα M L ntegale è mal defnto osclla pe cu usamo 0 e q V d sn q V q d bbamo M V 0 Zα e 4Zα q + / a / a Zα e V / a e q a 0 pe e q q 4Zα q d 7

73 Scatteng Ruthefod: La sezone d uto è qund data da dσ dω Ruthefod E 4Zα 4 q Questa non è ancoa esattamente la fomula che abbamo quotato all nzo ma c samo quas. Pochè tascuamo l nculo l enega e l modulo del momento dell elettone non cambano: EE, p p, da cu q psnϑ / Se oa codamo che Ep, avamo alla fomula d scatteng d Ruthefod dσ dω Ruthefod 4E Z α 4 sn ϑ / 7

74 74 noa abbamo tascuato lo spn dell elettone e del besaglo. enege elatvstche tuttava gl effett d spn modfcano la sezone d uto. La sultante sezone d uto Mott può essee sctta come Sezone d uto Mott c v - sn Ω Ω β ϑ β σ σ Ruthefod Mott d d d d Nel caso lmte d β la sezone d uto Mott s semplfca n cos ϑ σ σ Ω Ω Ruthefod Mott d d d d L espessone mosta che a enege elatvstche la sezone d uto Mott dmnusce pù apdamente a gand angol d scatteng della sezone d uto Ruthefod

75 0 5 dn/dcosθ untà abtae Sezone d uto Ruthefod Sezone d uto Mott I dat dello scatteng elettonco d Hofstadte eano sotto quell attes pe un nucleo puntfome, ndcando una stuttua del nucleo cosθ

76 Scatteng da un nucleo esteso Supponamo che V dpenda dalla dstbuzone d caca nel nucleo dq Zeρ ' d ' bbamo da cu Enega potenzale dell elettone dovuta alla caca dq dv edq - 4 ' e Zρ ' ' ρ V - ' - Z d α d ' 4 ' ' L ampezza d tanszone s modfca n M Zα e q ρ ' ' d ' d Zα e q ' ρ ' e ' q ' d ' d 76

77 R - ' ' Ponamo e consdeamo costante vale a de ntegamo su M q R q ' Zα d R ρ ' e d ' e R scatteng Ruthefod o Mott q Possamo qund scvee dσ dω dσ dω Mott q q q ' ρ ' e d ' dove è l fattoe d foma ed è la tasfomata d oue della dstbuzone d caca Spementalmente l fattoe d foma è ottenuto dvdendo la sezone d uto msuata pe la sezone d uto Mott. S msua pecò la sezone d uto pe un enega fssata del fasco e pe va angol e qund dves q e s dvde 77 pe la sezone d uto Mott calcolata

78 atto d foma nuclea appaato spementale ppaato spementale all acceleatoe elettonco MMI-B Manze Mcoton. Te spettomet magnetc che possono essee usat sngolamente pe lo scatteng elastco o asseme pe eazon nelastche. Dameto della otaa ccolae m. 78

79 n lnea d pncpo la dstbuzone d caca adale potebbe essee detemnata dalla tasfomata d oue nvesa, utlzzando la dpendenza da q del fattoe d foma spementale ρ q q e d q Nel caso d nucle sfecamente smmetc, ρ dpende soltanto da L ntegazone sull angolo soldo dà q ρ 4 sn q ρ q q sn q q d q dq L enega del fasco e la apda dmnuzone della sezone d uto lmtano l ange d q. Peco tpcamente vengono scelte delle paametzzazon d ρ, s calcola l sultante fattoe d foma e paamet vengono detemnat tamte un ft a dat spemental 79

80 atto d foma nuclea esemp ρ q esempo puntfome δ 4 esponenzale a e a gauss a e a / costante dpolo q + a gauss e q / a elettone potone 6 L sfea omogenea R 4 0 R > R sfea con supefce dffusa oscllante qr sn qr q cos qr oscllante q 40 Ca 80

81 atto d foma nuclea pme msue Msua del fattoe d foma d C con lo scatteng elettonco Hofstadte, Stanfod 957. Una delle pme msue d un fattoe d foma nucleae Sezone d uto pe 7 angol a un enega del fasco d 450 MeV Lnea tatteggata: scatteng d onda pana da pate d una sfea omogenea con supefce dffusa Lnea contnua: anals degl spostament d fase fttat a dat 8

82 Lo scatteng da pate d un oggetto con una supefce ben defnta genealmente poduce ben defnt massm e mnm d dffazone Nel caso d una sfea omogenea d aggo R, s tova un mnmo a qr h 4.5 La poszone d quest mnm c dà qund nfomazon sulla dmensone del nucleo scatteatoe. Esempo: l mnmo nella msua d C d Hofstadte è a q/ħ.8 fm -. Il nucleo d cabono ha pecò un aggo d caca R4.5/.8.5 fm 8

83 dσ/dω [cm /s] Scatteng elettonco su 40 Ca e 48 Ca La sezone d uto camba d sette odn d gandezza Te mnm vsbl, qund buona pecsone nella msua del fattoe d foma Mnm d 48 Ca a mnoe q mplcano che 48 Ca è pù gande θ 8

84 84 Raggo quadatco medo Il fattoe d foma può essee espanso n potenze d q L L + + d q d d d d q d q n q n cos cos cos! ρ ρ ϑ ϕ ϑ ρ ϑ ρ Defnendo l aggo quadatco medo come 0 4 d ρ +L 6 q q La msua spementale d < > chede la msua d q a valo molto pccol d q 0 6 q dq q d

85 Dstbuzone d caca de nucle I Nucleon non s addensano vcno al cento del nucleo Puttosto, hanno una dstbuzone costante fno n supefce 4 R costante La denstà è desctta dalla funzone d em con due paamet ρ0 + e R / s R è l aggo a cu ρ è dmnuta d / ρ / R R R. 0 0 fm s è la laghezza d supefce o spessoe d pelle, dove ρ scende dal 90% al 0%. Pe tutt nucle s ha s.5 fm 85

86 Dat d scatteng elettonco Dstanza adale fm 86 Denstà d caca [x0 9 coulomb/cm ]

87 Ragg X atomc ssumamo che l nucleo sa una sfea unfomemente caca. Il potenzale è ottenuto n due egon: dento la sfea V Ze 4ε or R R ll esteno della sfea V Ze 4ε o R L enega d un elettone n un dato stato con un nucleo puntfome dpende da < > V ψ * nvψ nd Con un nucleo non puntfome, assumendo che ψ non camb appezzablmente quando V puntfome V sfea < V ' > < R * ψ V ψ d n n + > R ψ Vψ d * n n Enega potenzale / 87

88 88 Il nucleo sfeco non puntfome camba lvell d Ε <V > - <V> La vaazone d enega fa un nucleo sfeco ed uno puntfome pe la funzone d onda elettonca ψ del lvello s è o o s a R e Z E ε ψ,s E s E spt E ssphee In lnea d pncpo msuando Ε possamo estae R. Il poblema tuttava è che non esste un nucleo puntfome! Consdeamo una tanszone p s pe due atom,z e ±,Z. vemo [ ] [ ] [ ] [ ] E E E E E E E E E E s s p p s p s p K K ' α α Possamo assumee che E p E p e scvee [ ] / / R a e Z E E E E o o o s s K K ε α α Shft sotopco

89 89 Gafcando E K E K n funzone d / la pendenza della etta pemette d cavae R 0. [ ] / / R a e Z E E E E o o o s s K K ε α α

90 tom muonc Muon aestat nella matea vengono ntappolat n obte atomche e hanno una pobabltà maggoe degl eletton d passae del tempo dento l nucleo. Raggo d Boh /Zm Enega Z m. massa µ 07 m e vta meda µ µs muon eseguono tanszon veso lvell d enega bass, emettendo agg X pma d decadee µ e + ν e + Nel caso dell dogeno e degl eletton a 0 5x0 4 fm aggo d Boh Nel caso del pombo e de muon ν µ fm Enega tanszone P / S / : 6.4 MeV Boh, 6.0 MeV msuata Msua de agg X aggo Ragg X d - anche - possono occupae obte attono al nucleo. I agg X sono emess quando l - scende fa due obte. Lo shft dell enega de agg X dpende dal 90 aggo

91 Spn nucleae Il nucleo è un sstema solato pe cu ha un ben defnto spn nucleae. Numeo quantco d spn nucleae J qualche volta detto I J J J + h mj J, J,..., J, J Lo spn nucleae è la somma del momento angolae totale j de sngol nucleon J j accoppamento jj dove l momento angolae totale d un nucleone è la somma del suo spn ntnseco e del momento angolae obtale j l + Spn ntnseco d p o n, s/ n untà d h momento angolae d un nucleone è pa s pa Jnteo dspa Jsem-nteo Tutt nucle con N e Z pa hanno J0 9

92 9 Patà Una tasfomazone d patà è una flessone spetto all ogne n cu tutte le coodnate cambano segno Le funzon d onda de sultant stat stazona devono qund avee patà pa o dspa Se abbamo un sstema con un potenzale smmetco VV-, alloa ψ ψ ψ ψ ± ψ ψ + ψ ψ patà pa patà dspa,,,, z y x z y x

93 Tutte le funzon d onda nuclea soddsfano defnta patà ψ ψ e qund hanno una In coodnate pola abbamo ψ nlm l, ϑ, + ϕ ψ, ϑ, ϕ nlm Se conoscessmo la funzone d onda d ogn nucleone, potemmo detemnae la patà nucleae moltplcando le patà d cascuno degl nucleon Questo putoppo non è possble. La patà è consevata ne pocess nuclea e può qund essee msuata tamte eazon o decadment nuclea. Come lo spn J deve essee consdeata come una popetà globale del nucleo. Gl stat nuclea sono etchettat con nume quantc d spn e patà + 0 J0, patà pa J, patà dspa 9

94 Moment nuclea Le popetà elettomagnetche statche de nucle sono specfcate n temn de moment elettomagnetc che danno nfomazon sul modo n cu l magnetsmo e la caca sono dstbut all nteno del nucleo. I due moment pù mpotant sono Momento d quadupolo elettco Q Momento d dpolo magnetco µ Moment elettc Dpendono dalla dstbuzone d caca all nteno del nucleo e sono una msua della foma nucleae conton d denstà d caca costante. La foma nucleae è paametzzata tamte un espansone d multpolo del campo elettco esteno ρ ' V d ', ρ d 4ε 0 ' Ze - 94

95 95 [ ] cos ' cos ' cos ' ' 8 cos ' ' ' cos ' ' 'cos ' ' / / ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ' ' cos ' ' ' 'cos 4 0 d d Ze V ρ ϑ ϑρ ε Eseguamo un espansone n see d potenze Possamo qund scvee l potenzale elettco come

96 Nel lmte quantstco ρ ψ Supponamo che defnsca l asse z 'cosϑ z Defnamo qund momento E 0 * ψ ψd Ze caca momento momento E E * ψ zψd ' * ψ z e ' ψ d ' momento d dpolo momento d quadupolo Pochè le funzon d onda nuclea hanno una defnta patà segue che l momento d dpolo è nullo ψ ψ 96

97 Momento d quadupolo elettco Le untà sono m o ban un aea * Q ψ z ' ψd ' e Nel caso d smmeta sfeca s ha z / pe cu Q0 In patcolae, tutt nucle con J0 hanno Q0 x a + y b + z c sfeode polato Q+ve a>bc sgao sfeode oblato Q-ve ab>c lentccha Ellttctà η b a b + a / Spementalmente η è tpcamente 0% 97

98 Moment magnetc I moment d dpolo magnetc devano da -l moto obtale d patcelle cache - lo spn ntnseco Il momento d dpolo magnetco è la componente msuable massma dell opeatoe momento d dpolo magnetco µ Momento obtale Classcamente abbamo un loop d coente ev µ I e m L z La meccanca quantstca pota allo stesso sultato µ e g m l L z attoe g: g l patcelle cache. g l 0 patcelle neute 98

99 Momento ntnseco L opeatoe momento magnetco ntnseco dovuto allo spn ntnseco d una patcella è µ e g m s S z La teoa d Dac m.q. elatvstca delle patcelle d spn / pedce g s Elettone µ g l l µ l B e m e hl µ g s µ s B e m e h dove µ B eħ/m e è l magnetone d Boh S ossevano pccole dffeenze spetto a g s a causa d coezon d odne supeoe d QED µ s µ B + α + O α + α Espemento e teoa sono n accodo ento pate su 0 8! e

100 Potone e neutone µ µ l eh / e e h g l hl µ s gs gsµ N m m dove è l magnetone nucleae N m p C aspettamo che p spn /, caca +e, µ s µ N. n spn /, caca 0, µ s 0 p p S osseva nvece p µ s +.79 µ N g s n µ s.9 µ N g s -.86 Poton e neuton non sono patcelle puntfom e sono fomat da qua cach e gluon 00

101 Il nucleo I moment d dpolo nuclea devano da moment d dpolo magnetc d spn ntnsec de poton e de neuton del nucleo e dalla coent che ccolano nel nucleo a causa del moto de poton µ µ N h [ ] g l z g s z l + dove la somma è estesa a tutt poton e neuton Il momento d dpolo magnetco nucleae totale può essee sctto come s µ g I µ N I dove I spn nucleae totale. g J fattoe gomagnetco nucleae g J saà detemnato usando l modello a shell nucleae Tutt nucle pa-pa hanno µ 0 pochè I 0 0

102 Stuttua pefna degl spett atomc II momento d dpolo nucleae nteagsce col campo magnetco atomco E µ µ B0 Il campo magnetco è paallelo al momento angolae totale dell atomo pe cu E µ g µ I N f J I J B0 f J J Posto I + J, possamo scvee I J I J + I I + J J + e l enega d nteazone è dunque EIJ g I f J µ N + I I + J J + Detemnazone d I dalla stuttua pefna 0

103 Rsonanza magnetca accamo passae un fasco atomco o molecolae attaveso un campo magnetco non omogeneo. Gl atom sono soggett ad una foza E µ Il fasco vene sepaato n I + component. Convene consdeae atom con momento angolae totale J 0 pe mnmzzae gl effett legat al momento magnetco degl eletton Se B B 0 z alloa E g I µ N I Z B, z g I µ N I z E µ g I µ N I Z B 0 Se nella egone è pesente anche un campo magnetco oscllante B xy ω nomale a z, vengono ndotte tanszon quando * hω EI g I µ N B0 I z Z B z La taettoa del fasco n assobmento sonante camba. Il momento magnetco è detemnato dal appoto g I µ hω * / B N 0 0