Proiezioni stereografiche

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1 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Scienze della Terra Facoltà Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Via Trentino, Cagliari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA TERRA A.A Corso di ELEMENTI DI GEOLOGIA STRUTTURALE Docente: Antonio Funedda Proiezioni stereografiche

2 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Scienze della Terra Facoltà Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Via Trentino, Cagliari QUESTE DISPENSE SONO DESTINATE ESCLUSIVAMENTE AGLI STUDENTI DELLA LAUREA IN SCIENZE DELLA TERRA A.A CHE SEGUONO IL CORSO DI ELEMENTI DI GEOLOGIA STRUTTURALE HANNO QUINDI SOLO UNO SCOPO DIDATTICO E VENGONO DISTRIBUITE GRATUITAMENTE. NON POSSONO ESSERE ASSOLUTAMENTE MESSE IN VENDITA SOTTO QUALSIASI FORMA. I DIRITTI DELLE FIGURE SONO DI PROPRIETÀ DEGLI AUTORI CITATI. Talvolta le figure sono modificate, in genere colorate e le scritte tradotte in italiano, per esigenze didattiche. Eventuali errori dovuti a queste manipolazioni sono responsabilità del docente. Queste dispense, oltre che agli autori citati, sono in parte ispirate al materiale didattico proposto dai proff. L. Carmignani e P. Conti nei corsi di Geologia 2 e Geologia Applicata tenuti presso il Centro di Geotecnologie dell'università di Siena. N.B. Queste dispense costituiscono il materiale utilizzato durante il corso, ma non sono da ritenersi esaustive degli argomenti trattati a lezione, che a seconda delle esigenze didattiche, anche dovute alle sollecitazioni degli studenti, potranno essere modificate in corso d opera. Al fine di migliorare questo supporto didattico si prega di contattare il docente per evidenziare eventuali contraddizioni con i libri di testo consigliati.

3 Misura della giacitura di un piano o di una linea

4 Principi delle proiezioni zenitali

5 Principi di proiezione stereografica di linee e piani Proiezione di una linea sfera di proiezione proiezione sferica del piano piano di proiezione orizzontale Proiezione di un piano cerchio di riferimento o cerchio primitivo proiezione stereografica equatoriale = grande cerchio = traccia ciclografica

6 Proiezioni stereografiche di piani con direzione N-S e immersione verso E e verso W

7 Materiale per eseguire una proiezione stereografica Reticolo stereografico

8 Proiezioni equivalenti (reticolo di Wulff) e Proiezioni equiarea (reticolo di Schmidt)

9 Proiezione di una linea

10 Proiezione di un piano come Traccia ciclografica

11 Proiezione di un piano come Polo

12 Esercizio di proiezione stereografica di Linee e Piani Linee: 125/30, 30/33, 180/50, 242/40, 330/15 Piani: 10/10, 260/64, 302/44, 98/30, 140/80

13 Orientazione di una traccia ciclografica Vediamo inizialmente il caso di una proiezione stereografica su cui è già stata disegnata una traccia ciclografica (a) e cerchiamo di ricostruire l orientazione del piano corrispondente. Per fare questo bisogna ruotare il foglio trasparente con la traccia ciclografica fino a farla corrispondere con uno dei grandi cerchi (b), leggere l inclinazione del piano contando il valore angolare sul diametro, tra il cerchio di riferimento e la traccia ciclografica. Marcare questa posizione con un segno sul cerchio di riferimento in corrispondenza del diametro. A questo punto si può riportare il foglio trasparente nella posizione originaria (c), e leggere l angolo che il segno fatto precedentemente sul cerchio di riferimento fa rispetto al Nord, misurato in senso orario. Questo angolo (310 ) è la direzione di immersione del piano, il piano quindi ha orientazione 310/40.

14 Orientazione di una linea (o polo) Ruotare il foglio trasparente con il punto fino a portare il punto sul diametro Est-Ovest (e), in questa posizione si può leggere l inclinazione del piano contando gli angoli tra il cerchi di riferimento e il punto (20 ). Marcare questa posizione con un segno sul cerchio di riferimento in corrispondenza del diametro. A questo punto si può riportare il foglio trasparente nella posizione originaria (f), e leggere l angolo che il segno fatto precedentemente sul cerchio di riferimento fa rispetto al Nord, misurato in senso orario. Questo angolo (250 ) è la direzione di immersione della linea, la linea quindi ha orientazione 250/20. Se il punto rappresenta invece la proiezione del polo di un piano, si ruota il punto fino a portarlo nella posizione in (e), ma l inclinazione da leggere è quella tra il punto e il centro del cerchio di riferimento (70 ). Marcare questa posizione con un segno sul cerchio di riferimento in corrispondenza del diametro, però dalla parte opposta rispetto al punto. Si può riportare a questo punto il foglio trasparente nella sua posizione originaria (Figura 4-5f), e leggere l angolo che il segno sul cerchio di riferimento fa rispetto al Nord, misurato in senso orario. Questo angolo (070 ) è la direzione di immersione del piano, il piano quindi ha orientazione 070/70.

15 CALCOLO DI ELEMENTI GEOMETRICI CON LE PROIEZIONI STEREOGRAFICHE L intersezione di due piani è la retta definita dall intersezione delle tracce ciclografiche dei due piani. Es. di applicazione: Calcolo di una giacitura di una lineazione d intersezione tramite la misura dei piani che definiscono la lineazione. Il piano che contiene due linee date è la traccia ciclografica (o grande cerchio) passante per la proiezione delle due linee. Es. di applicazione: Calcolo della giacitura reale di un piano conoscendo la giacitura dell intersezione del piano con due superfici non parallele. L angolo tra due linee si misura sul grande cerchio che contiene le tracce delle due linee, utilizzando la graduazione del reticolo. Es. di applicazione: Calcolo dell angolo tra assi di piega, o di direzioni di trasporto. L angolo tra due piani si misura sul grande cerchio che contiene i poli dei due piani, utilizzando la graduazione del reticolo. Es. di applicazione: Calcolo dell angolo di apertura di una piega. L angolo tra un piano e una linea si misura sul grande cerchio che contiene la proiezione della linea ed il polo del piano, utilizzando la graduazione del reticolo. Es. di applicazione: Calcolo dell angolo tra l asse di una piega ed una faglia.

16 PROIEZIONE DI UNA LINEA NOTO IL PITCH Linea che giace sul piano N225/30 con pitch di 40 SE Procedimento Si disegna la traccia ciclografica del piano che contiene la linea. Si ruota il foglio di carta trasparente fino a portare la traccia ciclografica a coincidere con la traccia ciclografica del reticolo. Si conta il valore del pitch (40 in questo caso) lungo la traccia ciclografica a partire dal cerchio di proiezione

17 Esercizio di proiezione stereografica: Operazioni con piani e linee Riportare le seguenti Linee, conoscendo il piano che le contiene ed il pitch: 100/30, pitch 25 N; 205/44, pitch 46 E; 50/60, pitch 20 N 1) La linea 246/26 è misurata su un piano con direzione di immersione 310. Qual è l inclinazione del piano ed il pitch della linea? 2) La linea 172/12 è misurata su un piano che inclina di 25. Qual è la direzione di immersione del piano e il pitch della linea? 1 2

18 PIANO CONTENENTE DUE LINEE A = 245/50 B = 160/30 P = 223/52 Si riportano le due linee sullo stereogramma (linee A e B) Si ruota il foglio trasparente fino a portare i due punti, proiezioni delle due linee, a giacere sullo stesso grande cerchio e si disegna tale grande cerchio Lo stereogramma risultante riporta la traccia ciclografica del piano cercato Esercizio: calcolare i piani che contengono le seguenti coppie di linee: 1) 280/20 e 350/48 2) 260/40 e 150/60 3) 190/20 e 60/50

19 INTERSEZIONE TRA DUE PIANI A = 135/55 B = 240/35 L = 202/30 L intersezione tra due piani è una linea retta (in figura L). Se si riportano i due piani al centro della sfera di proiezione la linea di intersezione passa per il centro della sfera e dall intersezione delle proiezioni sferiche dei due piani. In pratica la linea di intersezione è il punto dato dall intersezione delle tracce ciclografiche che rappresentano i due piani. Esercizio: calcolare le intersezioni tra le seguenti coppie di piani: 1) 50/30 e 320/50 2) 240/60 e 185/15 3) 150/20 e 100/70

20 Esercizio di proiezione stereografica: Intersezione tra due piani Calcolare le linee di intersezione tra le seguenti coppie di piani: 50/30 e 320/50; 240/60 e 185/15 150/20 e100/70

21 ANGOLO TRA DUE LINEE A = 118/32; B = 170/40; α = 42 L angolo tra le due linee A e B è l angolo a misurato sul piano che le contiene entrambe Si proiettano le due linee sullo stereogramma (linee A e B) Si determina il piano P che le contiene Sulla traccia ciclografica si legge l angolo α, che è rappresentato dall angolo tra i due punti (42 ) Il piano che le contiene è orientato 160/40 Esercizio: misurare l angolo tra le seguenti coppie di linee: 1) 30/20 e 45/30 2) 150/40 e 210/20 3) 270/60 e 280/10

22 Esercizio di proiezione stereografica: Inclinazione reale e inclinazione apparente L angolo di inclinazione apparente dipende dall inclinazione reale dello strato e dall angolo tra la direzione dello strato e la direzione di osservazione. B superficie verticale 170/90 α inclinazione apparente 33 E C superficie verticale 145/90 α inclinazione apparente 19 E Riportare le due superfici su cui si fanno le osservazioni (B e C) Su ognuna riportare l inclinazione apparente. I punti P B e P C rappresentano linee che sono l intersezione dello strato con le superfici di osservazione Lo strato inclinato deve passare perciò per i due punti e ne possiamo determinare l inclinazione reale Il caso inverso è spesso utilizzato in geologia Riportare la traccia ciclografica dello strato (o faglia, ecc.) e la traccia della superficie di osservazione. La loro intersezione rappresenta l inclinazione apparente del piano sulla nostra superficie Esercizio: 1) Uno stato ha direzione di immersione 150 e mostra un inclinazione apparente di 30 verso est su un taglio orientato 175/65, qual è l inclinazione reale? 2) Trovare l inclinazione apparente di uno strato 260/25 su un superficie 190/50 3) Trovare la giacitura reale di uno strato che ha inclinazione apparente di 24 verso est su una superficie 350/80 e un inclinazione apparente di 30 S di una superficie verticale 276/90

23 Esercizio per determinare inclinazioni reali e asse di una piega B A C La cava nella fotografia mette in evidenza una piega cilindrica antiformale di cui non conosciamo l'asse, ma di cui affiorano i due fianchi. Del fianco a destra nella foto non conosciamo la giacitura, ma solo la sua inclinazione apparente sulle pareti A e B, mentre del fianco a sinistra C conosciamo la giacitura. 1) Determinare la giacitura reale del fianco a destra sapendo che i valori misurati nelle pareti sono: A B Giacitura parete 78/90 164/90 inclinazione apparente 24 N 40 W 2) Sapendo che la giacitura C è 254/30trovare l'asse della piega.

24 ANGOLO TRA DUE PIANI (1/2) Questa costruzione è usata frequentemente in geologia per calcolare, per esempio, l angolo di apertura di una piega o l angolo tra strati separati da una discordanza. In tre dimensioni (a) due piani si intersecano definendo la linea L, l angolo tra due piani è definito come l angolo acuto a misurato sul piano P ortogonale alla linea L. Mediante l uso di proiezioni stereografiche è facile determinare l angolo tra due piani, questo può essere determinato riportando i piani come tracce ciclografiche oppure come poli. Vediamo le due differenti procedure nei due casi. Angolo tra due piani. Il piano A ha orientazione 210/36, il piano B 195/60, la loro intersezione L è la linea di orientazione 273/17. Il piano P ortogonale all intersezione tra i due piani ha giacitura 95/73. L angolo acuto tra i due piani a è 26, l angolo ottuso a è ) Metodo con tracce ciclografiche dei piani 1. Si riportano in proiezione stereografica le tracce ciclografiche dei due piani (grandi cerchi A e B in b). 2. L intersezione tra le due tracce definisce il punto L che rappresenta la linea d intersezione tra i due piani. 3. Si riporta come traccia ciclografica il piano il cui polo è il punto L, questa traccia rappresenta il piano P (a). L intersezione tra la traccia P e le tracce dei due piani (A e B) definiscono i punti P A e P B. 4. Sulla traccia ciclografica del piano P è possibile a questo punto leggere l angolo tra le linee P A e P B. che è anche l angolo tra i due piani. Si noti che sulla traccia P è possibile leggere due angoli (a e a ) la cui somma è 180. L angolo a è l angolo acuto tra i due piani, a è l angolo ottuso.

25 ANGOLO TRA DUE PIANI (2/2) 2) Metodo con poli dei piani Questo metodo si basa sul fatto che l angolo tra due piani è uguale all angolo tra le rispettive normali, cioè tra i rispettivi poli in proiezione stereografica. 1. Riportare in proiezione stereografica i poli dei due piani (linee P A e P B in c). 2. Come visto nel paragrafo "Angolo tra due linee" trovare la traccia ciclografica che contiene i due poli, su questa traccia ciclografica leggere l angolo acuto (a) e ottuso (a ) tra le due linee, cioè tra i piani A e B. Angolo tra due piani. Il piano A ha orientazione 210/36, il piano B 195/60, la loro intersezione L è la linea di orientazione 273/17. Il piano P ortogonale all intersezione tra i due piani ha giacitura 95/73. L angolo acuto tra i due piani a è 26, l angolo ottuso a è 154. Esercizio 14 Misurare l angolo tra le seguenti coppie di piani: 1. piano 035/30 e piano 350/25; 2. piano 160/50 e piano 208/40; 3. piano 80/30 e piano 135/51.

26 PIANO BISETTORE (1/2) Per determinare in proiezione stereografica il piano bisettore tra due piani (es. piano bisettore dei piani A e B) bisogna ricordare che tale piano C contiene: a) l intersezione (L) tra i piani A e B; b) la linea L C bisettrice dell angolo α tra i due piani A e B, cioè la linea Bisettrice dell angolo tra le linee L A e L B. Questo problema può essere risolto in due modi, riportando i piani come tracce ciclografiche o come poli.. Metodo con tracce ciclografiche dei piani 1. Si riportano in proiezione stereografica le tracce ciclografiche dei due piani (grandi cerchi A e B in b). 2. L intersezione tra le due tracce definisce il punto L che rappresenta la linea d intersezione tra i due piani. 3. Si riporta come traccia ciclografica il piano il cui polo è il punto L, questa traccia (N) rappresenta il piano N di Figura a. L intersezione tra la traccia N e le tracce dei due piani (A e B) definiscono le due linee L A e L B 4. Misurare l angolo acuto α tra L A e L B e trovare il punto L C bisettore tra L A e L B. L C è il punto che dista il valore angolare α/2 da L A e L B sulla traccia ciclografica N. 5. Disegnare il grande cerchio che passa per L e L C, questo rappresenta il piano C, bisettore dell'angolo acuto tra i piani A e B. Se si vuole determinare anche il piano bisettore dell angolo ottuso tra i piani A e B bisogna:i). Individuare la linea L C a 90 dalla linea L C sul piano N (b). ii). Il piano N che contiene la linea L e la linea L C è il piano bisettore dell angolo ottuso dei piani A e B.

27 PIANO BISETTORE (2/2) Metodo con poli dei piani Dalla Figura (c) è possibile notare come il piano C bisettore acuto dei piani A e B ha la sua normale P C che è anche la bisettrice acuta delle normali dei piani A e B (P A e P B ). Per determinare il piano C bisogna quindi: 1. Riportare in proiezione stereografica i poli dei piani A e B (P A e P B in Figura c). 2. Determinare la traccia ciclografica N che contiene i due poli, questa traccia rappresenta il piano N di Figura a e Figura c. Il polo del piano N, il punto P N, è la linea intersezione dei due piani A e B. Sulla traccia ciclografica N è quindi possibile individuare tra i poli P A e P B un angolo acuto α e un angolo ottuso α. 3. Sempre sulla traccia ciclografica N si individua ora il punto P C bisettore dell angolo acuto α e il punto P C bisettore dell angolo ottuso α. 4. Il piano C che passa per P C e P N è il piano cercato, cioè il piano bisettore dell'angolo acuto dei piani A e B. Se si vuole determinare anche il piano bisettore dell angolo ottuso dei piani A e B ciò è a questo punto molto facile, esso è il piano che passa per P N e P C cioè la traccia ciclografica N in Figura d.

28 Soluzione esercizio su angolo tra due piani Gli angoli tra le tre coppie di piani sono rispettivamente: 21, 31 e 30. Soluzione esercizio su piani bisettori Le giaciture dei piani bisettori le tre coppie di piani sono rispettivamente 2/43, 170/34 e 89/56.

29 Come determinare asse della piega e piano assiale (1/2) N135 Determinare l'asse della piega rappresentata in (a) e il suo piano assiale.

30 Come determinare asse della piega e piano assiale (2/2) L'asse della piega è calcolabile sia come l'intersezione delle tracce ciclografiche delle superfici piegate (diagramma β), sia come il polo della traccia ciclografica che contiene i poli delle superfici piegate (diagramma π). In figura è stato applicato quest'ultimo metodo. Il piano assiale è individuato dalla traccia ciclografica che contiene sia la sua intersezione con la morfologia (traccia del P.A. = N 135) sia l'asse della piega trovato.

31 Programmi Programmi per proiezioni stereografiche Nel World Wide Web si possono trovare molti programmi per proiezioni stereografiche, sia per piattaforma Windows che per piattaforma Macintosh. Alcuni sono a pagamento (commerciali o shareware), mentre altri, soprattutto presso i siti web delle Università, sono gratuiti. Di seguito sono elencati alcuni indirizzi (URL) dove sono disponibili informazioni sulle capacità di questi programmi e le modalità di acquisto _Progr

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