1. Misure di volatilità. Metodi quantitativi per i mercati finanziari. Capitolo 7 Analisi della volatilittà

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1 1. Misure di volatilità Varianza calcolata sul periodo campionario (varianza storica o realized volatility al quadrato): Metodi quantitativi per i mercati finanziari Capitolo 7 Analisi della volatilittà ˆσ r = 1 T 1 T (r t r) r è la ma può essere sostituita in altre misure da parametri di posizione alternativi come, ad esempio, una media mobile Dall analisi empirica del comportamento dei rendimenti si evidenziano alcuni periodi in cui la varianza dei rendimenti tende a rimanere bassa e altri in cui tende a rimanere elevata persistenza della volatilità Opportuno misurare la volatilità in modo da evidenziarne l evoluzione temporale t=1 Varianza mobile Suddividiamo il periodo T in intervalli di ampiezza τ e ogni volta, aggiungendo un osservazione più recente ed eliminandone una più vecchia, ricalcoliamo la varianza (costante il numero di osservazioni): ˆσ r,t = 1 τ t i=t τ 1 (r i r t ) il rendimento medio r t = 1 τ i r i viene ricalcolato di volta in volta togliendo l osservazione più vecchia ed aggiungendo la più recente Andamento tanto più smussato quanto più numerosi sono i termini su cui la varianza mobile è calcolata Possibile variante è data da una varianza mobile calcolata intorno ad una media mobile con diverso numero di termini Aggregazione Misura alternativa ottenibile calcolando la varianza all interno del mese e attribuendo lo stesso valore a tutte le osservazioni del mese. Per il mese di gennaio, ad esempio: ˆσ gen = N 1 gen (r i,gen r gen ), N gen 1 i=1 con N gen il numero di giorni di apertura in gennaio; Otteniamo ancora una misura della volatilità che tiene conto della variavilità nel tempo

2 Varianza Riskmetrics T M Volatilità al tempo t calcolata come combinazione convessa della stima effettuata al tempo precedente t 1, e del quadrato dello scarto fra il rendimento r t al tempo t e una media dei rendimenti r t : dove 0 λ 1 ˆσ t = λˆσ t 1 + (1 λ)(r t r t ) Per λ = 1 abbiamo volatilità costante Per λ = 0 otteniamo come stima della varianza lo scarto più recente dalla media al quadrato. Approccio statistico: stima di λ minimizzando una qualche funzione obiettivo Suggerimento di J.P. Morgan: attribuire un valore a λ basandosi sull esperienza (tipicamente λ 0.9) Volatilità implicita Forma di aspettativa circa la volatilità futura di una certa attività, connessa al meccanismo di attribuzione di prezzo a prodotti derivati (opzioni) Il valore dell opzione è determinato sulla base delle valutazioni di mercato sulla volatilità Modello di Black e Scholes per un opzione call europea: OC t = P t Φ(d 1 ) P E t+τ e r f τ Φ(d ) d 1 = ln(p t/p E t+τ ) + (r f + σ /)τ σ τ d = d 1 σ τ con e r f τ fattore di sconto al tasso di interesse risk-free per un periodo τ e Φ( ) valore della funzione cumulata di probabilità di una v.c. normale standardizzata La formula di Black e Scholes può essere risolta rispetto al parametro σ utilizzando i prezzi osservati per le opzioni: valore implicitamente utilizzato per prezzare l opzione, cioè quel valore della volatilità che, se utilizzato come input nel modello, restituisce esattamente il valore di mercato del derivato La volatilità implicita è funzione del prezzo del sottostante, del prezzo di esercizio, del tasso di rendimento privo di rischio, del tempo alla scadenza e del prezzo dell opzione ˆσ imp t = σ (P t, P E t+τ, r f, τ, OC t ) L espressione analitica non è disponibile in forma chiusa, ma può essere ottenuta per via numerica sulla base dei valori osservati delle variabili P t, P E t+τ, r f e OC t Ricerca a griglia a partire da un ipotesi ragionevole sul valore assumibile dalla volatilità Esempio: supponiamo che che la soluzione possa essere un valore compreso tra 0.01 e 1.00 e adottiamo una procedura euristica calcolando possibili soluzioni equispaziate all interno di tale intervallo, scegliendo quella per la quale la differenza tra valore teorico e prezzo effettivo dell opzione f(σ imp t ) = [ P t Φ(d 1 ) P E t+τ e r f τ Φ(d ) ] OC t che è una funzione crescente di σ imp t, si avvicina il più possibile a zero Procedura più efficiente di procedere: algoritmo di ricerca numerica di tipo Newton-Raphson

3 Procedura iterativa per il calcolo della volatilità implicita La misura ottenuta dipende strettamente dalle ipotesi sottostanti il modello adottato: 1. il prezzo del sottostante si suppone essere generato da un modello di tipo lognormale. non si prendono in considerazione i costi di transazione 3. non si tiene conto dell eventuale emissione di dividendi durante la vita delle opzioni 4. non sussistono opportunità di arbitraggio prive di rischio 5. il tasso di interesse risk-free è lo stesso sia per dare che per ricevere prestiti ed è considerato costante 6. la volatilità inserita nel modello è un parametro costante Andamento storico della volatilità implicita di opzioni su futures su Eurodollaro (calcolata su contratti con durata residua a 6 mesi). Maggio-dicembre 001 Effetti smile per opzioni call e put su futures su Eurodollaro (futures March 00 rilevazione del 30 novembre 001) Per diversi P E t+τ, anche a parità di scadenza (e dunque per stesso τ, ma anche per stesso prezzo del sottostante P t e stesso rendimento r f ), abbiamo diversi valori di σ imp che tendono a disporsi lungo una parabola con concavità verso l alto

4 . Regolarità empiriche La variabilità di un attività finanziaria è variabile nel tempo Riconsideriamo l ipotesi semplificatrice che i logaritmi dei prezzi seguano un processo random walk con incrementi i.i.d.: p t = p t 1 + ɛ t con ɛ t = r t Come conseguenza p t = p 0 + ɛ t + ɛ t ɛ 1 : il (logaritmo del) prezzo odierno è dato dall accumulazione delle innovazioni rispetto ad un prezzo iniziale V ar(p t p 0 ) = tσ, mentre, condizionatamente all informazione in t 1, la varianza è costante Sulla base dell ipotesi di random walk, il (logaritmo del) prezzo odierno risulta il migliore previsore per qualunque orizzonte futuro (con varianza crescente) Aspetti rilevati empiricamente Evidente non normalità di ɛ t : eccessiva densità di probabilità nelle code della distribuzione non condizionata (leptocurtosi) rispetto a quanto implicato da una normale Assenza di autocorrelazione per ɛ t, supportata dalla teoria dell efficienza dei mercati: se i mercati sono efficienti e il prezzo odierno contiene tutta l informazione rilevante, evidentemente l innovazione non potrà essere correlata con l innovazione del giorno precedente Alternanza di periodi persistenti di fluttuazioni più elevate a periodi in cui l ampiezza è minore nella serie dei rendimenti e andamento sinusoidale nei valori assoluti e nei quadrati si ritiene che i valori assoluti dei rendimenti o i loro quadrati siano legati temporalmente tra loro (autocorrelati) Rendimenti dell indice Dow Jones: Valori assoluti dei rendimenti dell indice Dow Jones: Il valore del 19 ottobre 1987 ( 0.563) è stato eliminato per maggiore leggibilità

5 Quadrati dei rendimenti dell indice Dow Jones: Il valore del 19 ottobre 1987 ( 0.563) è stato eliminato per maggiore leggibilità Autocorrelazione dei rendimenti, dei valori assoluti e dei quadrati dei rendimenti. Indice Dow Jones Un processo di prodotto Definiamo r t come prodotto di due variabili casuali indipendenti: r t = v t η t con le seguenti caratteristiche: { +1 con p = 1/ η t = 1 con p = 1/ { σ1 con p = 1/ v t = σ con p = 1/ La funzione di massa di probabilità di r t è uguale a +σ 1 con p = 1/4 σ r t = 1 con p = 1/4 +σ con p = 1/4 σ con p = 1/4 Caratteristiche del processo In qualunque periodo abbiamo quattro possibili realizzazioni di r t La media del processo risulta nulla E(r t ) = 0 La varianza (condizionata e non condizionata) è la seguente: V ar(r t ) = σ 1 + σ Tale processo è in grado di riprodurre le regolarità empiriche di avere media zero e oscillazioni di ampiezza variabile nel tempo, ma non quella del volatility clustering

6 Un semplice processo di prodotto (σ 1 e σ sono stati posti rispettivamente pari a 1 e ) Introduciamo un legame temporale fra le variabili casuali che descrivono il processo: possiamo ipotizzare che {v t } sia un processo stocastico del tipo catena di Markov Obiettivo: creare un effetto di persistenza: la probabilità di permanere nello stesso stato di volatilità (alta o bassa) deve risultare maggiore della probabilità di cambiare stato Definiamo a tal fine P (v t = s t v t 1 = s t 1 ) = { α se st = s t 1 1 α se s t s t 1 dove s t può assumere i valori σ 1 o σ Al passaggio dal tempo t 1 al tempo t, possono verificarsi i seguenti casi: σ 1,t 1 σ 1,t con p = α σ 1,t 1 σ,t con p = 1 α σ,t 1 σ,t con p = α σ,t 1 σ 1,t con p = 1 α Matrice di probabilità di transizione : t-1 σ 1 σ t σ 1 α 1 α σ 1 α α (non necessariamente stesso valore α per le probabilità di permanenza negli stati) Momenti condizionati e non condizionati Per i momenti non condizionati abbiamo: 4 E (r t ) = r ti P (r t = r ti ) = 0, V ar (r t ) = E (r t r t i ) = 0 i=1 4 i=1 rtip (r t = r ti ) = σ 1 + σ, Analizziamo i momenti condizionati e calcoliamo: i P (r t = σ 1 r t 1 = σ 1 ) = P (η t = 1 r t 1 = σ 1 ) P (v t = σ 1 r t 1 = σ 1 ) = P (η t = 1) P (v t = σ 1 η t 1 = 1, v t 1 = σ 1 ) = P (η t = 1) P (v t = σ 1 v t 1 = σ 1 ) = 1 α P (r t = σ 1 ) purché α 1

7 Completiamo la costruzione della distribuzione di probabilità condizionata : P (r t = σ 1 r t 1 = σ 1 ) = = P (η t = 1) P (v t = σ 1 v t 1 = σ 1 ) = 1 α P (r t = σ 1 r t 1 = σ 1 ) = = P (η t = 1) P (v t = σ 1 v t 1 = σ 1 ) = 1 α P (r t = σ r t 1 = σ 1 ) = = P (η t = 1) P (v t = σ v t 1 = σ 1 ) = 1 (1 α) P (r t = σ r t 1 = σ 1 ) = = P (η t = 1) P (v t = σ v t 1 = σ 1 ) = 1 (1 α) La distribuzione condizionata a v t 1 = σ 1 è simmetrica intorno a zero, quindi il valore atteso condizionato è uguale a quello non condizionato: E (r t r t 1 = σ 1 ) = σ 1 ( 1 α 1 α ) + σ ( 1 α Il valore della varianza condizionata è dato da: V ar (r t r t 1 ) = E ( r t r t 1 ) 1 α ) = 0 = E ( η t r t 1 ) E ( v t r t 1 ) = 1 E ( v t r t 1 ) Per la simmetria della distribuzione E ( ) ( ) vt r t 1 = E v t rt 1 Esempio di processo con α scelto pari a 0.9 r t 1 può assumere i due distinti valori σ 1 o σ Se rt 1 = σ1 E ( vt rt 1 = σ1) = σ 1 P ( ) vt = σ1 rt 1 = σ1 + σ P ( ) vt = σ rt 1 = σ1 = σ1 α + (1 α) σ = ασ1 + (1 α) σ Se r t 1 = σ E ( v t r t 1 = σ ) = ασ + (1 α) σ 1

8 La varianza condizionata sarà tanto più diversa da quella non condizionata, quanto più diversi fra loro sono σ 1 e σ, e quanto più grande è α Ricaviamo la formula generale per la varianza condizionata: E ( vt rt 1) = αr t 1 + (1 α) ( ) σ1 + σ rt 1 Se, ad esempio, r t 1 = σ 1 abbiamo ασ 1 + (1 α)(σ 1 + σ σ 1) = ασ 1 + (1 α)σ analogamente per r t 1 = σ Per α = 1 siamo in uno schema di varianza costante, mentre se α = 1 la varianza condizionata eguaglia quella non condizionata In sintesi, si può costruire un processo che genera rendimenti che riproducono alcune delle caratteristiche riscontrate empiricamente: media zero (condizionatamente e incondizionatamente), incorrelazione, assenza di indipendenza, e presenza di persistenza nella varianza condizionata Per rendere l esercizio più realistico si può ipotizzare che gli stati di volatilità σ 1 e σ siano essi stessi stocastici e quindi variabili nel tempo, ad esempio assumendo che nello stato 1 si estragga una realizzazione da una v.c. normale con media σ 1 e nello stato si estragga una realizzazione da una v.c. normale con media σ Esempio di processo con stati stocastici di volatilità 3. Cosa genera volatilità I prezzi si muovono sulla base delle reazioni degli agenti economici ai flussi di informazione e le informazioni di dominio pubblico a livello macroeconomico (dati su offerta di moneta, produzione industriale, inflazione, disoccupazione) arrivano a grappoli raggruppamento di innovazioni più importanti di altre (caratterizzate da una varianza più elevata) Le caratteristiche dell attività di negoziazione che si svolge su vari mercati nel mondo, grazie alla differenza di fuso orario, possano ingenerare un accumulo di notizie che arrivano da altri mercati aperti, che si trasmette ai mercati al momento dell apertura

9 4. Modelli ARCH Effetto psicologico a catena dovuto alla sorpresa (effetto non scontato dai mercati) di certe notizie che segnalano incertezza circa l andamento dell economia (dati sulla disoccupazione o dati preliminari sull inflazione) e che hanno bisogno di ulteriore conferma In presenza di informazione asimmetrica ci sono effetti di disclosure (simili a quelli che dalle dichiarazioni di gioco consentono di inferire sulla combinazione di carte in mano ad un giocatore) e quindi effetti di imitazione Abbiamo riscontrato empiricamente la presenza di autocorrelazione in trasformazioni positive dei rendimenti (quadrato o valore assoluto) Engle (198) suggerisce che l andamento della varianza del processo generatore dei dati sia di tipo condizionatamente autoregressivo: ɛ t = η t ht con varianza condizionata e η t tale che η t I t 1 N(0, 1) Di conseguenza ɛ t ha una distribuzione condizionata normale con media zero e varianza ɛ t I t 1 N(0, ) Al variare di si otterranno delle distribuzioni di probabilità di tipo normale diverse tra loro, più o meno disperse attorno al centro di simmetria La distribuzione non condizionata può essere vista come valore atteso (media ponderata) delle distribuzioni condizionate Risultato compatibile con l osservazione empirica di una distribuzione con code più spesse rispetto ad una normale con varianza costante Formalmente per la varianza condizionata dei rendimenti abbiamo = V ar(r t I t 1 ) E (r t E(r t I t 1 ) I t 1 ) = E(ɛ t I t 1 ) nel caso più semplice (quello di ordine 1) Test per la presenza di eteroschedasticità condizionatamente autoregressiva Esprimiamo il legame temporale tra innovazioni al quadrato ponendo ɛ t in funzione dei suoi ritardi temporali ɛ t = f(ɛ t 1, ɛ t, ɛ t 3,...) e vogliamo verificare se effettivamente esiste autocorrelazione tra queste innovazioni Si utilizzano i residui di regressione del modello specificato per la media della serie storica (ad esempio un ARMA(p, q)) ˆɛ t dati da r t (ˆµ + ˆφ 1 r t ˆφ p r t p + ˆψ 1ˆɛ t ˆψ ) qˆɛ t q = ω + α 1 ɛ t 1

10 I quadrati dei residui così ricavati sono regrediti su una costante e su p dei loro valori passati (regressione ausiliaria ) ˆɛ t = α 0 + α 1ˆɛ t α pˆɛ t p + u t Il test sottopone a verifica l ipotesi che i coefficienti α 1,α,..., α p siano tutti congiuntamente uguali a zero H 0 : α 1 = α =... = α p = 0 La statistica test derivata da Engle è ottenuta come prodotto della numerosità del campione T per R della regressione ausiliaria e converge in distribuzione ad una variabile casuale chi-quadrato con p gradi di libertà T R d χ p Possiamo basarci sull informazione fornita dal probability value (p-value): P (χ p > ˆχ p) = λ con la regola che si accetta l ipotesi nulla se λ > α e si rifiuta se λ α Alternativamente, si può utilizzare l usuale statistica test F per valutare la significatività congiunta dei p coefficienti stimati ˆF = R /p (1 R )/(T p) che si distribuisce come una v.c. F di Fisher con (p, T p) gradi di libertà Risultato EVIEWS del test per effetti ARCH sull indice Dow Jones Per eseguire il test per la presenza di ARCH non è necessario specificare in precedenza il modello ARCH vero e proprio Nella scelta del numero di numero di ritardi esiste un trade-off tra accuratezza del test e significatività dei risultati: tanto maggiore è il numero dei ritardi inseriti nella regressione, tanto più accurata sarà la regressione ausiliaria nel catturare effetti di persistenza, ma si corre il rischio di attribuire troppo peso a eventi lontani nel tempo e far diventare la statistica testnon significativa per la presenza di molti coefficienti singolarmente uguali a zero

11 Relazione tra varianza condizionata e non condizionata Specificazione del modello ARCH La varianza condizionata viene collegata direttamente agli ɛ t 1 mediante la relazione lineare: = ω + α 1 ɛ t 1 L ipotesi di normalità permette un facile utilizzo del metodo di stima di massima verosimiglianza, che consente di stimare congiuntamente i parametri della media e della varianza Limite del modello: stiamo ipotizzando che l unica informazione rilevante per spiegare la varianza sia il ritardo di ordine uno, assunzione che sarà abbandonata successivamente Per la legge dei valori attesi iterati σ = E(ɛ t) = E[V ar(ɛ t I t 1 )] = E( ) nel caso specifico di un ARCH(1) E(ɛ t) = E( ) = E(ω + α 1 ɛ t 1) = ω + α 1 E(ɛ t 1) Data la stazionarietà del processo delle innovazioni E(ɛ t) = E(ɛ t 1) = σ possiamo scrivere: σ = ω + α 1 σ σ = ω 1 α 1 Interessante interpretazione dell equazione della varianza condizionata = σ (1 α 1 ) + α 1 ɛ t 1 = σ + α 1 (ɛ t 1 σ ) che mostra alcune rilevanti proprietà del modello: 1. Il coefficiente ω deve essere strettamente positivo. Il coefficiente 0 α 1 < 1 3. La varianza condizionata è uguale alla somma della varianza non condizionata e di una frazione della differenza fra l innovazione più recente al quadrato e il suo valore atteso (non condizionato) 4. La varianza condizionata può essere > o < della varianza non condizionata 5. La distribuzione non condizionata dei rendimenti è leptocurtica L estensione ad ARCH(p) Generalizziamo al modello ARCH a p ritardi: = ω + α 1 ɛ t α p ɛ t p La varianza non condizionata è la seguente σ = E ( ) ɛ ω t = 1 p i=1 α i Le condizioni sufficienti rilevanti per il vincolo di non negatività diventano ω > 0, α i 0 (i = 1,..., p), e (α α p ) < 1

12 serie dell indice Dow Jones 5. Modelli GARCH Nel modello GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Bollerslev (1986) introduce i valori ritardati della varianza condizionata L obiettivo è quello di risparmiare parametri da stimare rispetto alla struttura ARCH Nel GARCH(p,q) la varianza condizionata al tempo tè una combinazione lineare di p ritardi dei residui al quadrato e di q ritardi della varianza condizionata p q = ω + α i ɛ t i + β j j Nel caso GARCH(1,1) si ha: i=1 con ω > 0 e α 1 e β 1 non negativi j=1 = ω + α 1 ɛ t 1 + β 1 1 Parallelo con modelli ARMA ɛ t gioca il ruolo della variabile osservabile nell ARMA e il ruolo dell innovazione per il processo della varianza è svolto dalla differenza ɛ t : ɛ t = ω + (α 1 + β 1 )ɛ t 1 + (ɛ t ) β 1 (ɛ t 1 1 ) si evince facilmente la natura autoregressiva del coefficiente relativo a ɛ t 1, mentre il coefficiente β 1 si riferisce ad una componente a media mobile Come nel caso ARMA, il profilo delle previsioni future (condizionatamente all insieme informativo in t) è dominato dal coefficiente autoregressivo α 1 + β 1 Caratteristiche del modello GARCH Il valore precedentemente stimato della varianza condizionata si trasferisce alla stima corrente per una proporzione β 1 La varianza condizionata reagisce al valore ritardato del termine di disturbo al quadrato (innovazione per i rendimenti) in misura pari ad α 1 sarà maggiore di 1 se ω + α 1 ɛ t 1 + β 1 1 > 1 semplici manipolazioni algebriche mostrano infatti che questo accade se ω + α 1 ɛ t 1 > (1 β 1 ) 1 ɛ t 1 > (1 β 1) 1 ω α 1

13 Le informazioni passate sono sintetizzate dai ritardi della varianza, mentre le novità sono racchiuse nel termine ɛ t 1 Analogia con il modello di exponential smoothing: ˆσ t = λˆσ t 1 + (1 λ)(r t r t ) Il modello GARCH (1,1) viene a coincidere con il modello di exponential smoothing se si impone la condizione (α + β) = 1 e ω = 0 Per la varianza non condizionata abbiamo: E( ) = σ = ω + α 1 E(ɛ t 1 ) + β 1 E( 1 ) = ω + α 1 σ + β 1 σ da cui ω = σ (1 α 1 β 1 ) con α 1 + β 1 < 1 Sostituendo nell espressione della varianza condizionata: = σ (1 α 1 β 1 ) + α 1 ɛ t 1 + β 1 1 = σ + α 1 ( ɛ t 1 σ ) + β 1 ( ht 1 σ ) La stima del modello GARCH(p,q) Esempio: supponiamo che, per un dato t, 1 = σ sarà diventare maggiore di σ se ɛ t 1 > σ per β 1 vicino a 0.9 e α 1 vicino a 0.1 sarà facile che la varianza condizionata +1 continui ad essere maggiore della varianza non condizionata: persistenza della varianza condizionata Nel caso generale GARCH(p,q) le condizioni sufficienti per la non negatività della varianza condizionata diventano p i=1 α i + q j=1 β j < 1 con ω > 0, α i 0 e β j 0 come condizioni sufficienti per la non negatività della varianza condizionata Specifichiamo un modello GARCH(p,q): ɛ t I t 1 N (0, ) p = ω + α i ɛ t i + i=1 q β j j La procedura di stima sfrutta la normalità condizionata delle innovazioni ɛ t e utilizza la prediction error decomposition per la funzione di verosimiglianza Ipotizziamo che gli unici parametri da stimare siano quelli relativi alla varianza condizionata specificata come GARCH r t = ɛ t j=1 e limitiamoci al caso GARCH(1,1)

14 Nel caso GARCH(1,1) sostituendo ad la sua espressione La funzione di verosimiglianza condizionata è = L (ω, α 1, β 1 r,..., r T ; r 1 ) T L t (ω, α 1, β 1 r,..., r t ; r 1 ) t= il primo valore viene utilizzato come valore iniziale (tenuto costante) e utilizzato per inizializzare la procedura di stima Considerando unicamente la t-esima osservazione abbiamo ( 1 L t = exp 1 ) ( ɛ 1 t = exp 1 ) rt πht πht L t = per t T 1 π(ω + α 1 rt 1 + β 1 1 ) e 1 (ω+α 1 r t 1 +β 1 1 ) r t Per t = l espressione dipende da h 1, che va inizializzato (usualmente posto pari alla una stima della varianza non condizionata) Per semplificare la procedura di stima si passa alla trasformata logaritmica di L = l (ω, α 1, β 1 r,..., r T ; r 1, σ ) T l t (ω, α 1, β 1 r,..., r t ; r 1, σ ) t= = T 1 ln π 1 T ln 1 t= T t= r t Condizioni del primo ordine per la massimizzazione della funzione di verosimiglianza rispetto ai parametri ω, α 1, β 1 (sinteticamente θ): l (θ) θ = 1 = T t= T t= 1 θ 1 T rt h t θ + 1 t= [ ] r t 1 = 0 Nel caso r t = ɛ t con innovazioni la cui varianza condizionata segue un GARCH(1,1) si ha: ω = 1 = rt 1 α 1 = 1 β 1 θ Le tre condizioni che congiuntamente producono gli stimatori di massima verosimiglianza ˆω, ˆα 1 e ˆβ 1 sono: T t= T t= T t= 1 [ ] r t 1 = 0 [ ] r t 1 = 0 [ ] r t 1 = 0 r t 1 1 Non possono essere espresse in forma chiusa in termini dei parametri incogniti ma devono essere risolte per via numerica con procedura iterativa

15 Risultato EVIEWS per la stima di un modello GARCH sull indice Dow Jones 6. Diagnostica L ipotesi sulla distribuzione condizionata delle innovazioni, ɛ t = η t ht con η t N(0, 1) implica che le innovazioni standardizzate (ɛ t / ) N(0, 1) non siano autocorrelate né nei livelli né al quadrato La bontà di adattamento di un modello GARCH può essere valutata in rapporto alla capacità della varianza condizionata di rendere i residui standardizzati il più vicino possibile ad essere normalmente distribuiti Strumenti da utilizzare: test per autocorrelazione (in livelli e al quadrato), test per effetti ARCH, test di Jarque e Bera Fasi salienti della modellazione GARCH 1. stima del modello per la media dei rendimenti Istogramma dei residui standardizzati dopo una stima GARCH(1,1). test ARCH sui residui ˆɛ t 3. ricerca della appropriata specificazione GARCH 4. test sui residui standardizzati, per normalità e per effetti di tipo ARCH ed eventuale rispecificazione del modello Esempio: Stima GARCH(1,1) su indice Dow-Jones Asimmetria negativa Eccesso di curtosi Residui standardizzati anomali

16 Andamento temporale dei residui standardizzati Residui standardizzati anomali non necessariamente corrispondono a picchi nei residui della serie originale: la standardizzazione infatti può produrre tanto effetti di amplificazione dei residui (quando è piccolo) quanto di compressione quando la varianza stimata è grande se i due residui relativi alla t-esima osservazione, ˆɛ t ed ˆɛ t standardizzato sono contemporaneamente abnormi, allora quella data contiene effettivamente uno shock molto grande se il problema si verifica solo sui residui standardizzati, si tratta di una stima inadeguata della varianza in quel dato punto, che provoca l effetto descritto Diagramma di dispersione dei residui originari e standardizzati Diagramma di dispersione della varianza stimata e dei residui standardizzati

17 Verifica dell asimmetria (Engle e Ng, 1993) 7. L asimmetria nei modelli GARCH Il modello GARCH tratta in maniera simmetrica sia gli shock positivi che quelli negativi: le innovazioni al quadrato hanno lo stesso impatto sulla varianza condizionata misurato da α 1 La presenza di correlazione negativa fra volatilità e innovazioni è nota come fenomeno di leverage Notizie negative sulla profittabilità futura di una società hanno un effetto depressivo sui prezzi aumento del debt/equity ratio la rischiosità (percepita) della società cresce la volatilità tende ad aumentare Consideriamo tre diversi tipi di test di errata specificazione del modello 1. Sign Bias Test (test per la distorsione dovuta al segno). Negative Size Bias Test (test per la distorsione dell impatto di tipo negativo) 3. Positive Size Bias Test (test per la distorsione dell impatto di tipo positivo) La logica è quella di verificare se i residui standardizzati al quadrato possano essere spiegati da qualche variabile osservata nel passato e collegata all effetto di asimmetria Sign Bias Test Il test si basa sul risultato di una regressione dei residui standardizzati al quadrato su una costante e su una variabile dummy che assume il valore 1 in corrispondenza di valori negativi dei residui di stima ritardati di un periodo dove ˆɛ t = α + βs t 1 + u t S t 1 = { 1 se ˆɛt 1 < 0 0 se ˆɛ t 1 0 La logica del test è quella di verificare se la media dei residui standardizzati al quadrato sia significativamente diversa a seconda che i residui immediatamente precedenti siano positivi o negativi La statistica test (rapporto fra il ˆβ stimato e il suo standard error) si riferisce ad un ipotesi nulla di assenza di differenza nella media e si distribuisce come una t di Student con t gradi di libertà L effetto leverage si manifesta se β > 0 (ipotesi alternativa)

18 Risultato EVIEWS del Sign Bias Test Risultato EVIEWS del Sign Bias Test, esclusi i valori anomali dei residui di stima Risultato EVIEWS del Negative Size Bias Test Negative Size Bias Test Il test prevede che ɛ t 1 abbia un effetto non solo sulla media legato al segno, ma anche un effetto legato alla propria dimensione, vale a dire che ˆɛ t = α + γs t 1ˆɛ t 1 + u t se ˆɛ t 1 < 0 avremo ˆɛ t = α + γˆɛ t 1 se ɛ t 1 > 0 avremo ˆɛ t = α Si utilizza la statistica t sul singolo coefficiente γ Sotto l ipotesi di effetto leverage γ risulta negativo

19 Risultato EVIEWS del Positive Size Bias Test Positive Size Bias Test Il test si costruisce a partire dalla variabile dummy quindi S t 1 = 0 S+ t 1 = 1 S + t 1 = 1 S t 1 Il test è analogo al Negative Size Bias Test con un segno positivo anziché negativo: ˆɛ t = α + δs + t 1ˆɛ t 1 δ misura l effetto differenziale relativo alle innovazioni positive Risultato EVIEWS del Test congiunto Test congiunto È possibile sottoporre congiuntamente a test le tre ipotesi viste finora separatamente Il modello di riferimento è il seguente: ˆɛ t = α + βs t 1 + γs t 1ˆɛ t 1 + δs + t 1ˆɛ t 1 + u t L ipotesi nulla di assenza di effetto leverage corrisponde all ipotesi che non ci siano effetti differenziali di nessun tipo, né sulla media né sui coefficienti angolari: H 0 : β = γ = δ = 0

20 8. Modelli con effetti asimmetrici Risultato EVIEWS della stima di un modello TGARCH(1,1) sull indice Dow Jones Treshold GARCH (TGARCH, Glosten, Jagannathan e Runkle, 1993, Zakoïan, 1994) Diverso comportamento in corrispondenza dell attraversamento da parte dell innovazione ritardata di una soglia (di solito pari a zero) se ɛ t 1 < 0 allora se ɛ t 1 0, allora = ω + αɛ t 1 + β 1 + γs t 1 ɛ t 1 = ω + (α + γ)ɛ t 1 + β 1 con γ > 0 = ω + αɛ t 1 + β 1 γ misura l effetto differenziato per shocks negativi ed ha segno atteso positivo Esempio: TGARCH(1,1) sull indice Dow Jones Non ci sono reazioni per shocks positivi, abbiamo semplicemente un effetto di inerzia (il ritardo di ) Le innovazioni rilevanti sono quelle negative, per le quali misuriamo un effetto pari a 0.17 (ˆγ), che sommato a (ˆα, singolarmente, non significativo) dà un valore di α + γ = 0.18 In presenza di shocks negativi c è un aumento della volatilità immediato, misurato da (ˆα + ˆγ) moltiplicato per la dimensione dello shock al quadrato Al tempo successivo, se si ipotizza che ci sia uno shock positivo, abbiamo semplicemente una naturale diminuzione della volatilità in relazione alle notizie positive (da notare che ˆβ < 1, è pari a 0.86) Exponential GARCH (EGARCH, Nelson, 1991) Le caratteristiche principali di questo modello sono: 1. l impossibilità di ottenere una varianza negativa (senza bisogno di imporre alcuna condizione sui parametri). la presenza di asimmetria nelle reazioni della volatilità alle innovazioni 3. la possibilità di misurare un effetto asimmetrico proporzionale all entità delle innovazioni Nel caso EGARCH (1,1) abbiamo: ( ln( ) = ω + β ln( 1 ) + α ɛ t 1 ht 1 ) + γ ɛ t 1 π ht 1 qualsiasi sia il valore dei parametri, la trasformazione esponenziale assicura la non negatività della varianza

21 Il termine β ln( 1 ) cattura l effetto di persistenza nella volatilità e la stazionarietà è assicurata dalla condizione 0 < β < 1 Il termine ( ɛ t 1 ht 1 ) π è una variabile casuale a media zero nel caso in cui le innovazioni standardizzate siano distribuite normalmente, che consente di tenere conto della possibilità di una reazione asimmetrica proporzionale alle innovazioni L effetto asimmetrico viene evidenziato dal termine γ ɛ t 1 dove ɛ t 1 ht 1 può assumere qualunque segno e γ ha segno atteso negativo Supponiamo γ < 0 se lo shock è positivo, ɛ t 1 avrà un impatto complessivo pari a α + γ < α se lo shock è negativo, ɛ t 1 avrà un effetto pari a α γ > α Per sottoporre a verifica la presenza di asimmetria, è sufficiente valutare la significatività di γ con un test di tipo t La stima della varianza condizionata è ottenuta prendendo l antilogaritmo dei valori forniti dal modello ĥ t = ˆω ĥ ˆβ t 1 exp ( dove ω = exp ω α ) /π ˆα r t 1 + ˆγr t 1 ĥ t 1 Risultato EVIEWS della stima di un modello EGARCH(1,1) sull indice Dow Jones 9. Funzione di impatto delle notizie La News Impact Curve (NIC), suggerita da Engle e Ng (1993), consente di misurare la reazione della volatilità a realizzazioni delle innovazioni Le notizie in arrivo sui mercati provocano una reazione da parte degli operatori e si traducono in realizzazioni di ɛ t Possiamo rappresentare graficamente il modo in cui le innovazioni si traducono in volatilità: la variazione nella varianza in funzione dei valori assumibili da un generico ɛ

22 Nel modello GARCH la NIC à simmetrica: NIC G = A G + α 1 ɛ con A G = ω + β 1 σ Alternativamente si potrebbe derivare una funzione di impatto condizionata (riferita al tempo t) con A variabile nel tempo A G t = ω + β 1 1. Per il modello TGARCH abbiamo due rami di parabola diversi (dato che γ > 0): se ɛ 0, NIC T = A T + α 1 ɛ se ɛ < 0, NIC T = A T + α 1 ɛ + γɛ con A T = ω + β 1 σ Per il modello EGARCH a partire da ( ) = ω h β t 1 exp α ɛt 1 + γɛ t 1 ht 1 la NIC avrà un andamento asimmetrico: se ɛ 0, NIC E = A E exp ( γ+α σ ɛ) se ɛ < 0, NIC E = A E exp ( γ α σ ɛ) con A E = ω (σ ) β ɛ ha un impatto quadratico nel modello GARCH ed esponenziale nel modello EGARCH: per shocks di più elevata dimensione, la risposta EGARCH è maggiore della risposta GARCH in quanto la funzione esponenziale domina la parabola quadratica Le NIC per l indice Dow Jones (GARCH, TGARCH e EGARCH). Periodo di stima 01/04/ /01/1998 Nel modello EGARCH la sostanziale uguaglianza di ˆα e di ˆγ rende costante (e vicino a zero) il ramo della NIC corrispondente a innovazioni positive, mentre la reattività della funzione è maggiore per l EGARCH in corrispondenza di innovazioni negative Differenza tra NIC teorica (derivabile come proprietà del modello per la varianza condizionata) e NIC stimata sulla base dei coefficienti stimati A può essere costante (funzione della varianza non condizionata) o variabile (funzione della stima più recente della varianza condizionata) se si è interessati alla reazione della varianza condizionata per un dato giorno t sulla base dell informazione disponibile in t e a scenari per possibili valori dell innovazione in t 1

23 La previsione statica 10. La previsione della varianza I modelli della classe GARCH possono essere utilizzati per la previsione della varianza condizionata sulla base dell insieme informativo disponibile ad un dato istante, supponiamo T, vale a dire l ultimo utilizzato per la stima Nel caso GARCH(1,1) la previsione un periodo in avanti, ĥt +1 sarà uguale a E(ɛ T +1 I T ) = ˆω + ˆα 1ˆɛ T + ˆβ 1 ĥ T ĥt +1 T con ˆɛ T residuo di stima dell equazione della media e ĥt valore stimato della varianza condizionata al tempo T Distinguiamo i due casi di previsione statica e dinamica Le informazioni si arricchiscono con il passare del tempo e sono utilizzate per prevedere la varianza condizionata un periodo in avanti Per semplicità supponiamo che la stima dei parametri venga effettuata una sola volta sul campione originario e consideriamo il caso GARCH(1,1): E(ɛ T + I T +1 ) = ˆω + ˆα 1ˆɛ T +1 + ˆβ 1 ĥ T +1 T nella quale ˆɛ T +1 è derivato dall equazione della media per r T +1, ma supponendo note tutte le variabili riferite al tempo T + 1 Per periodi successivi, avremo che E(ɛ T +τ I T +τ 1 ) ĥt +τ T +τ 1 = ˆω + ˆα 1ˆɛ T +τ 1 + ˆβ 1 ĥ T +τ 1 T +τ La previsione dinamica Analogamente per il caso TGARCH(1,1) E(ɛ T +τ I T +τ 1 ) = ˆω + ˆα 1ˆɛ T +τ 1 + ˆβ 1 ĥ T +τ 1 T +τ + ˆγS T +τ 1ˆɛ T +τ 1 Per l EGARCH(1,1) possiamo scrivere E(ɛ T +τ I T +τ 1 ) = ˆω h ˆβ T +τ 1 T +τ exp ˆα ˆɛ T +τ 1 + ˆγˆɛ T +τ 1 ĥt +τ 1 T +τ Se ipotizziamo che le informazioni a disposizione si esauriscano con il periodo T, la previsione per un generico orizzonte τ dovrà essere condizionata all insieme informativo in T Per τ = possiamo scrivere Per τ = 3 E(ɛ T + I T ) = ˆω + ˆα 1 E(ɛ T +1 I T ) + ˆβ 1 ĥ T +1 T = ˆω + (ˆα 1 + ˆβ 1 )ĥt +1 T ĥt + T E(ɛ T +3 I T ) = ˆω + ˆα 1 E(ɛ T + I T ) + ˆβ 1 ĥ T + T = ˆω + (ˆα 1 + ˆβ 1 )ĥt + T = ˆω + (ˆα 1 + ˆβ ( 1 ) ˆω + (ˆα 1 + ˆβ ) 1 )ĥt +1 T ( = ˆω 1 + (ˆα 1 + ˆβ ) 1 ) + (ˆα 1 + ˆβ 1 ) ĥ T +1 T

24 Per un generico orizzonte T + τ, la previsione della varianza condizionata risulta pari a E(ɛ T +τ I T ) = ˆω (1 + (ˆα 1 + ˆβ 1 ) (ˆα 1 + ˆβ ) 1 ) τ + +(ˆα 1 + ˆβ 1 ) τ 1 ĥ T +1 T Le previsioni sono funzione dell informazione disponibile e di un coefficiente (potenze successive di ˆα 1 + ˆβ 1 ) che decade esponenzialmente all aumentare dell orizzonte di previsione Per τ, (ˆα 1 + ˆβ 1 ) τ 1 0, dato che (ˆα 1 + ˆβ 1 ) < 1 e la previsione converge a lim τ E(ɛ T +τ I T ) = = τ lim ˆω(ˆα 1 + ˆβ 1 ) i τ i=0 ˆω(ˆα 1 + ˆβ 1 ) i ˆω = 1 ˆα 1 ˆβ 1 i=0 Previsione dinamica per il modello TGARCH La presenza della componente asimmetrica modifica leggermente il profilo delle previsioni, principalmente per la previsione un periodo in avanti: se l ultima innovazione stimata risulta positiva E(ɛ T +1 I T ) = ˆω + ˆα 1ˆɛ T + β 1 ĥ T se l ultima innovazione stimata risulta negativa E(ɛ T +1 I T ) = ˆω + ˆα 1ˆɛ T + ˆγˆɛ T + β 1 ĥ T A partire da T + il segno dell innovazione non è noto e la probabilità di ottenere un segno positivo è uguale a quella di ottenere un segno negativo: E(ST +τ ) = 1/, τ, quindi E(ɛ T + I T ) = ˆω + ˆα 1 E(ɛ T +1 I T ) +ˆγE(ɛ T +1 I T )E(S T +τ I T) + ˆβ 1 ĥ T +1 T = ˆω + (ˆα 1 + ˆγ/ + ˆβ 1 )ĥt +1 T e così via per un generico orizzonte τ > Per un crescente orizzonte di previsione τ si ha convergenza ad una stima della varianza non condizionata diversa rispetto al caso GARCH ˆω 1 ˆα 1 ˆγ/ ˆβ 1 Previsione dinamica per il modello EGARCH La previsione si basa sull espressione seguente riferita al periodo T + 1 ( ) ĥ T +1 T = ˆω ĥ ˆβ T exp ˆα ɛ T + ˆγɛ T ĥt Per la previsione al tempo T + condizionatamente all informazione a T E exp ˆα ɛ T +1 + ˆγɛ T +1 I T = ˆK ĥ T +1 è una costante dato (le variabili casuali standardizzate hanno per ipotesi momenti indipendenti dal tempo), quindi per T + ĥ T + T = ˆω ˆK ĥ ˆβ T +1 T = ˆKĥ ˆβ T +1 T

25 Esempi di previsione dinamica da modelli GARCH Per T + 3, ĥ T +3 T = ˆβ ˆKĥ T + T = ˆK ( ) ˆKĥ ˆβ ˆβ T +1 T = ˆK(1+β) ĥ ˆβ T +1 T Per un generico orizzonte τ ĥ T +τ T = che, per τ, converge a dato che β < 1 ˆβ ˆKĥ T +τ 1 T = K(1+ ˆβ+...+ ˆβ τ ) ĥ K 1 1 ˆβ ˆβ τ 1 T +1 T Misure derivate di volatilità (Engle e Patton, 001) Struttura a termine della volatilità: deviazione standard prevista del rendimento di un attività con maturità T + τ. Infatti τ r T,τ = p T +τ p T = (p T + ɛ T ɛ T +τ ) p T = La radice quadrata della sua varianza condizionata rispetto all insieme informativo in T è data da ν T +τ T = E(ɛ T +1 T ) + E(ɛ T + T ) E(ɛ T +τ T ) = h T +1 T + h T + T h T +τ T j=1 ɛ T +j e può essere utilizzata per costruire un intervallo di previsione per i rendimenti futuri a diversi orizzonti (intervallo di previsione non necessariamente crescente) Misura formale di persistenza definita come derivata parziale della previsione della varianza condizionata τ periodi in avanti rispetto al valore del rendimento al quadrato al tempo T θ T +τ T = h T +τ T r T Nel caso GARCH(1,1) la persistenza un periodo in avanti è data da α, mentre per periodi successivi è data da (α + β) τ 1 Misura della velocità alla quale la previsione condizionata converge a quella non condizionata, definita come il numero di periodi necessario a dimezzare la distanza fra la previsione della varianza condizionata e il suo limite rispetto alla previsione un periodo in avanti half life τ tale che h T +τ T σ = 1 h T +1 T σ

26 La persistenza della varianza stimata per l indice Dow Jones (GARCH) 11. Altre informazioni sulla volatilità La persistenza della varianza condizionata stimata può essere valutata sulla base dei seguenti coefficienti GARCH α + β TGARCH α + β + γ/ EGARCH β (in forma esponenziale) la stima di tali coefficienti risulta essere approssimativamente uguale ad uno per tutti i modelli (in tal caso il processo delle innovazioni non ha momento non condizionato di ordine due) Engle e Bollerslev (1986) suggeriscono una specificazione alternativa (IGARCH) con α + β = 1 1. Altre informazioni sulla volatilità Insieme informativo non limitato alla sola serie storica dei rendimenti, ma allargato ad altre variabili in grado di spiegare il fenomeno del volatility clustering Inserimento di variabili predeterminate nella specificazione della varianza condizionata per verificarne gli effetti sulla stima dei parametri Lamoureux e Lastrapes (1990a): processo generatore della volatilità suggerito da Clark (1973) che fa esplicito riferimento al flusso delle notizie nel corso della giornata di contrattazioni n t n t ɛ t = δ i,t = δ 0,t + i=0 i=1 δ i,t Le innovazioni sono il risultato netto di una somma di variazioni di prezzo i.i.d. all interno del giorno (con media 0 e varianza costante σ ), il cui numero complessivo n t è una variabile casuale δ 0,t indica la differenza tra il logaritmo del prezzo di apertura e del prezzo di chiusura del giorno prima ( sorpresa di apertura) n t ɛ t δ 0,t = i=1 δ i,t ɛ t δ 0,t = ln P C t ln P A t Se le differenze di prezzo sono i.i.d. durante il giorno, le innovazioni risultano anch esse i.i.d. ma con varianza proporzionale al numero di transazioni δ i,t i.i.d. ɛ t n t i.i.d.(0, (n t + 1) σ )

27 Risultato EVIEWS della stima di un modello AR(1) GARCH(1,1) con volume per l indice Dow Jones Il numero di transazioni in un giorno è interpretabile come un fattore che genera eteroschedasticità Lamoureux e Lastrapes (1990a) assumono che il numero di transazioni sia la realizzazione di una variabile casuale autocorrelata: specificazione di un modello GARCH che consideri tra le variabili esplicative dell equazione della varianza anche il numero di transazioni Variabile non osservabile necessario utilizzare una proxy per il flusso di informazioni corrispondente, ad esempio il volume (numero di azioni scambiate): = ω + αɛ t 1 + β 1 + γv OL t Risultato: valori più bassi per i parametri stimati, la variabile volume fornisce una spiegazione della presenza di volatility clustering La persistenza della varianza stimata per l indice Dow Jones (GARCH con volume) Problema di questa formulazione: simultaneità tra volume e rendimento (Tauchen e Pitts, 1983, Lamoureaux e Lastrapes, 1990b): un più vivace volume di scambi ha un effetto simultaneo sui prezzi e quindi di nuovo sul volume la variabile volume corrente non appartiene a I t 1 e quindi non può essere considerata esogena Se utilizziamo il volume ritardato V OL t 1 nell equazione della varianza si ottiene una diminuzione della persistenza meno evidente

28 Risultato EVIEWS della stima di un modello AR(1) GARCH(1,1) con volume ritardato per l indice Dow Jones La persistenza della varianza stimata per l indice Dow Jones (GARCH con volume ritardato) Introduciamo all interno dell insieme informativo alcuni indicatori che richiamano gli strumenti propri dell analisi tecnica Distinguiamo l innovazione all apertura dei mercati (differenza fra prezzo di apertura e prezzo di chiusura del giorno precedente) dalle innovazioni relative ai movimenti di prezzo durante il giorno e definiamo Overnight Indicator la seguente variabile ( ) P At P C t 1 ONI t P C t 1 variabile predeterminata rispetto alle contrattazioni del giorno a valori più alti dell indicatore dovrebbero corrispondere valori più alti nella varianza condizionata Definiamo un ulteriore indicatore, che chiamiamo Intra-Daily Volatility IDV t P H t P L t P C t con P H t e P L t rispettivamente prezzo più elevato (high) e più basso (low) della giornata variabile proxy per la dimensione delle oscillazioni durante giorno il suo valore ritardato misura gli effetti che grandi oscillazioni il giorno precedente possono avere sulla stima della volatilità il giorno successivo

29 Indicatori tecnici per la volatilità in un modello GARCH(1,1) Equazione per la varianza condizionata: Cost ( 10 4 ) - (0.014) (0.018) (0.06) (0.04) ARCH (0.008) (0.009) (0.0) (0.018) GARCH (0.013) (0.013) (0.036) (0.044) Volume (-1) (0.135) - - ONI (0.15) - IDV (-1) (0.0006)