TRASMISSIONE NUMERICA

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1 Corso di Laurea in Ingegneria delle Teleomuniazioni Università degli Studi di Trento TRASMISSIONE NUMERICA Farid Melgani 1

2 1. TECNICHE DI TRASMISSIONE NUMERICA PREDITTIVE RICHIAMI SULLA PULSE CODE MODULATION (PCM) CALCOLO DEL RAPPORTO SEGNALE-RUMORE A DESTINAZIONE (S/N) D NELLA PCM INTRODUZIONE AI SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI MODULAZIONE DELTA (MD) MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) DIFFERENTIAL PCM (DPCM) ADAPTIVE DPCM (ADPCM) LINEAR PREDICTIVE CODING (LPC) RESIDUAL EXCITED LINEAR PREDICTIVE CODING (RELPC) 2

3 RICHIAMI SULLA PULSE CODE MODULATION (PCM) Nel orso di CE2 abbiamo visto he è possibile onvertire un segnale analogio in forma digitale mediante un proesso di disretizzazione nel tempo (ampionamento) seguito da una PCM. PCM permette di effettuare la disretizzazione in ampiezza (quantizzazione) e la odifia di un segnale ampionato. π Ω T x Ω ( ) xt LP x PCM CONVERSIONE A/D 3

4 RICHIAMI SULLA PCM: QUANTIZZAZIONE Quantizzazione permette di disretizzare le ampiezze dei ampioni in M livelli predefiniti (es. 256 livelli). Per assegnare uno degli M livelli ad un ampione analogio si usa il riterio della minima distanza. Dopo la quantizzazione si ha: x( kt ) x q ( kt ) ε q x ( kt ) = xq ( kt ) ± ε q segnale ampionato segnale quantizzato errore di quantizzazione x q ( kt ) livello quantizzato più viino a x( ) kt 4

5 RICHIAMI SULLA PCM: CODIFICATORE ( ) xt x(kt ) x q (kt ) LP QUANT. CODIF. Ω x T π Ω x 1 n CONVERT. PARALL./SERIALE PCM CONVERTITORE A/D AL TX DIGITALE 5

6 RICHIAMI SULLA PCM: DECODIFICATORE x q ( kt ) PCM CONVERT. SERIALE./PARAL. 1 n DECODIF. RIGENERA- TORE LP x D ( t) CONVERTITORE D/A DAL RX DIGITALE 6

7 RICHIAMI SULLA PCM: DECODIFICATORE ( ) Il deodifiatore PCM riostruise x q kt (ovvero il segnale originale ampionato a meno dell errore di quantizzazione). x( kt ) Il ompito del rigeneratore è quello di assoiare all ampiezza fornita dal deodifiatore una forma d onda (ad esempio, un impulso (aso ideale) o una forma d onda rettangolare). Il filtro passa-basso permette di risalire al segnale analogio iniziale (a meno x D ( t) x( t) dell errore di quantizzazione, ). 7

8 PCM: TRASMISSIONE CON RUMORE Finora abbiamo onsiderato il aso di trasmissione senza rumore. Vediamo ora di aratterizzare la PCM dal punto di vista del rapporto segnalerumore a destinazione (S/N) D. Tale quantità è molto importante perhé onsente di valutare la bontà della trasmissione. Il rapporto (S/N) D è dato da: S N D = S N D D = S N x D NELL IPOTESI CHE IL CANALE NON INTRODUCA ATTENUAZIONE dove S D e N D rappresentano rispettivamente la potenza del segnale e del rumore alolate a destinazione e S x è la potenza del segnale in trasmissione. 8

9 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Come si può alolare la potenza del rumore a destinazione N D? Osserviamo he il rumore è ostituito da 2 omponenti indipendenti: rumore di quantizzazione; rumore di deodifia (dovuto al rumore introdotto dal anale). Quindi la potenza N D si può srivere ome: N D 2 q = σ + σ 2 POTENZA DEL RUMORE DI QUANTIZZAZIONE POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA 9

10 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Rumore di quantizzazione: rumore sistematio he degrada la qualità del segnale rievuto (non perfetta rappresentazione dell ampiezza del segnale ampionato). Rumore di deodifia: il rumore presente sul anale può ausare errori di rigenerazione in riezione. In pratia può portare a riostruire un livello diverso da quello trasmesso per un determinato ampione. 10

11 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI QUANTIZZAZIONE IPOTESI () x t normalizzato tra +1 e -1 : x ( t) 1 Quantizzazione uniforme su M livelli: = 2 M ε q è una variabile aleatoria distribuita uniformemente nell intervallo. [, + ]

12 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI QUANTIZZAZIONE In tali ipotesi, la potenza media del rumore di quantizzazione è data da: POICHÉ IL RUMORE HA, PER IPOTESI, VALOR MEDIO NULLO ε 2 q = σ 2 q = 1 E { 2 } 2 ε q = ε q ε = ε 1 d = = ε ε = ε 2 = 2 = 12 = 4 M = 1 3M 2 12

13 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA IPOTESI Trasmissione PCM binaria on quantizzazione uniforme; P be Probabilità di errore sul bit piola; Codifia binaria on odie naturale. OSSERVAZIONE P be Nell ipotesi di piola, la probabilità di avere più di un errore in una parola di odie ostituita da n bit è trasurabile, ovvero la w probabilità P e he la parola di odie sia sbagliata può essere sritta ome: P w e np b e 13

14 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA L errore su un bit ausa un errore nel rionosimento di una parola di odie e quindi nella orretta riostruzione del livello di quantizzazione originale. La ritiità dell errore dipende dalla posizione del bit errato: se si sbagliano bit on un peso elevato, il livello di quantizzazione trasmesso può essere onfuso on un livello molto diverso. Se l errore avviene sul bit più signifiativo della parola di odie si sbaglia addirittura segno! 14

15 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA Esempio: 4 livelli di quantizzazione, odifia binaria (odie naturale). x q ( kt ) -3/4-1/4 +1/4 +3/4 PAROLA DI CODICE ( ) 4 xq kt = 3 parola di odie 00. Se si sbaglia sul bit meno signifiativo si rieve 01 si riostruise x ( kt ) = 1 / 4 si onfonde un livello on uno limitrofo. ( ) 4 q xq kt = 3 parola di odie 00. Se si sbaglia sul bit più signifiativo si rieve 10 si riostruise xq kt = + 1 si sbaglia di 2 livelli! ( ) 4 15

16 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA In partiolare, se si sbaglia il bit m-esimo (posizione m), l errore ε m sul livello riostruito dovuto a tale bit vale: ε m m m = ± 2 = ± 2 Supponiamo di rievere una parola di odie sbagliata ostituita da n bit. L errore quadratio medio dovuto ad un errore in una generia posizione è dato da: 2 M ε 2 n 1 n 1 n i 4 = εi = 2 = n n M 2 n M i= 0 i= 0 2 i= 0 n 2n 2 2 i M 1 ( 2 ) = = = n n M n M n M PROBABILITA DI SBAGLIARE IL BIT i-esimo SI PUÒ DIMOSTRARE CHE LA SOMMATORIA CONVERGE A QUESTO VALORE 16

17 CALCOLO DELLA POTENZA DEL RUMORE DI DECODIFICA Pertanto, la varianza dell errore di deodifia dovuto al rumore sul anale è data da: σ 2 w e = P ε 2 = n P 4 3n = 4 3 P b e b e A questo punto abbiamo alolato le due omponenti della potenza del rumore a destinazione. Quindi, possiamo srivere: N D 2 q = σ + σ 2 = 1 3M P b e = 1+ 4M 3M 2 2 P b e 17

18 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Possiamo quindi alolare il rapporto segnale rumore: S N D = 3M 1+ 4M 2 2 P be S x 3M 3 4Pb e 2 S S x x P P be be << >> 1 4M 1 4M 2 2 prevale il rumore di quantizzazione prevale il rumore di deodifia EFFETTO SOGLIA Si può osservare he esiste una soglia: al di sopra della quale prevale l errore di quantizzazione; al di sotto della quale prevale l errore di deodifia. 18

19 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Osserviamo ora he la probabilità di sbagliare un bit dipende dal rapporto segnale-rumore in pre-rivelazione: Pb e = f S N R Utilizzando quanto visto nei orsi di CE1 e CE2, si può dimostrare he, nel aso di una trasmissione PAM NRZ rettangolare polare su un anale he introdue un rumore additivo gaussiano biano, vale la relazione: Pb e = Q S N R 19

20 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Supponendo = si ottiene il grafio seguente: S x 1 2 M=128 M=32 PREVALE IL RUMORE DOVUTO AL CANALE SOGLIA PREVALE IL RUMORE DI QUANTIZZAZIONE 20

21 CALCOLO DI (S/N) D NELLA PCM Al di sotto del valore di soglia, ( S N ) D diventa molto sadente prestazioni inaettabili anhe per un elevato numero di livelli di quantizzazione M. Al di sopra del valore di soglia, dipende uniamente dal rumore di quantizzazione le prestazioni dipendono da M. 21

22 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI Fino ad ora abbiamo dato per sontato di effettuare la quantizzazione e la odifia di ogni ampione ottenuto dal proesso di disretizzazione nel tempo di un segnale analogio. Nei sistemi di odifia predittivi, si usa un approio differente: il ampione attuale (on ampiezza analogia) viene analizzato on riferimento a quelli preedenti al fine di sfruttare nella fase di trasmissione eventuali similarità tra insiemi di ampioni. 22

23 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI Idea di base dei sistemi di odifia predittivi: Se fossimo in grado di predire esattamente il valore del ampione he viene trasmesso, non sarebbe neessario trasmetterlo! In realtà non esiste un predittore perfetto, ma si può osservare he i ampioni di forme d onda analogihe, ottenute da proessi fisii, solitamente hanno una erta orrelazione e quindi prevedibilità: ampioni viini nel tempo differisono di poo tra loro. 23

24 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI x(t) T 2 t T 1 CAMPIONI VICINI NEL TEMPO DIFFERISCONO DI POCO SE L OBIETTIVO È AVERE UNA CORRELAZIONE ELEVATA, CONVIENE EFFETTUARE CAMPIONAMENTO MOLTO FITTO (T 1 ÈMEGLIO DI T 2 ) 24

25 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI Se, dato un ampione: in riezione si è in grado di effettuare una predizione sul valore del ampione suessivo; tale predizione differise di poo dal valore reale (errore di predizione piolo); in trasmissione si onose tale predizione basta trasmettere la poa informazione neessaria a orreggere l errore di predizione per riostruire esattamente il segnale trasmesso. 25

26 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI NOTAZIONE : x() t T, f x( kt ) segnale analogio passa basso on frequenza massima rispettivamente tempo e frequenza di ampionamento valore del ampione nell istante kt fmax ~ x( kt ) valore della predizione di x( kt ) ε( kt ) errore di predizione nell istante kt 26

27 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI OSSERVAZIONE Se si usa un tempo di ampionamento suffiientemente piolo 1 >> max f >> 2 f T max ( 2 f ovvero ) è ragionevole attendersi he: ( kt ) x[ ( k ) ] x 1 T Pertanto è possibile utilizzare ome predizione del valore del ampione attuale il valore del ampione preedente: ( kt ) = x[ ( k ) ] ~ x 1 T 27

28 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI L informazione he è neessario trasmettere al fine di poter riostruire x ( ) ( ) kt kt il ampione a partire dalla predizione è: ε ( kt ) = x( kt ) ~ x( kt ) x~ ε ( ) ( ) Infatti se si trasmette kt, x kt può essere riostruito ome: x ( kt ) = ~ x( kt ) + ε( kt ) 28

29 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI ( ) ε kt, pur essendo disretizzato nel tempo, non è disretizzato in ampiezza. Se vogliamo implementare un sistema di trasmissione numerio, è neessario onvertire in formato digitale. ( ) ε ( kt ) ε kt deve essere quantizzato e odifiato anhe in questo aso il ampione x( kt ) sarà riostruito a meno di un errore sistematio (errore di quantizzazione): SEGNALE RICOSTRUITO x q ( kt ) = ~ x ( kt ) + ε ( kt ) q q 29

30 SISTEMI PREDITTIVI: SCHEMA GENERALE DEL CODIFICATORE x ( kt ) + QUANTIZZAZIONE ε q( kt ) - ~ x q ( kt ) PREDIZIONE x q( kt )

31 SISTEMI PREDITTIVI: SCHEMA GENERALE DEL DECODIFICATORE ε q ( kt ) x q ( kt ) ~ x q ( kt ) PREDIZIONE 31

32 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVA I sistemi prinipali he sfruttano il onetto di predizione del ampione e trasmissione dell errore sono: Modulazione Delta (MD); Modulazione Delta Adattiva (MDA); Differential Pulse Code Modulation (DPCM); Adaptive Differential Pulse Code Modulation (ADPCM); Linear Preditive Coding (LPC); Residual Exited Linear Preditive Coding (RELPC). 32

33 MODULAZIONE DELTA (MD) La Modulazione Delta è il più semplie sistema di odifia predittiva. Caratteristihe della Modulazione Delta La predizione del ampione attuale viene posta uguale al valore del ampione preedente: ( ) ( kt ) = x[ ( k ) ] ~ x 1 T L errore ε kt viene odifiato on un singolo bit he rappresenta un gradino di altezza + o -. In partiolare, si pone: ε q [ ] ( kt ) = sgnε( kt ) 33

34 MODULAZIONE DELTA: RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE ORIGINALE In riezione, il segnale originale (a meno dell errore di quantizzazione) è ottenuto ome: x q ( kt ) = ~ x ( kt ) + ε ( kt ) q q ( ) x q kt ostituise una buona approssimazione di x, se e T sono suffiientemente pioli. ( ) kt 34

35 MODULAZIONE DELTA: RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE ORIGINALE OSSERVAZIONE Riprendiamo in onsiderazione le seguenti espressioni: x q ( kt ) ~ x ( kt ) + ε ( kt ) Sostituendo, si può srivere: x q = x~ q ( kt ) = xq [( k 1) T ] q q ( kt ) ε ( kt ) + x [( k 1) T ] = ε ( kt ) + ε [( k 1) T ] + x [( k 2) T ] = = q q q q q ( ) ( kt ) + ε [( k 1) T ] + ε [( k 2) T ] + K = ε q q q Quindi può essere ottenuto dalla somma di tutti gli ε preedenti. x q kt q 35

36 MODULAZIONE DELTA: RUMORE GRANULARE La Modulazione Delta ha 2 problemi prinipali: ( ) x q kt Problema 1: ogni T seondi il segnale varia di una quantità pari a ± anhe dove il segnale x( kt ) ha un andamento quasi ostante, x q ( kt ) presenta delle osillazioni di ampiezza ± intorno al valore medio di x( kt ). Tale fenomeno viene definito rumore granulare. Rumore granulare per ridurre l entità del problema si deve utilizzare un valore di piolo. 36

37 MODULAZIONE DELTA: SOVRACCARICO DI PENDENZA ( ) Problema 2: ogni T seondi il segnale x q kt può variare solo di una quantità pari a ± se in questo tempo il segnale x( kt ) presenta rapide variazioni (di ampiezza maggiore di ), allora x q ( kt ) non riese a seguire l andamento del segnale originale (sovraario di pendenza). 37

38 MODULAZIONE DELTA: SOVRACCARICO DI PENDENZA Sovraario di pendenza per evitare il problema si deve porre: T d x dt ( t) MAX INCREMENTO CHE PUÒ AVERE IL SEGNALE IN T SECONDI ( ) x q kt INCREMENTO MASSIMO CHE PUÒ AVERE IL SEGNALE x IN T SECONDI ( ) kt 38

39 MODULAZIONE DELTA: ESEMPIO PROBLEMI SE GRANDE: RUMORE GRANULARE PROBLEMI SE PICCOLO: SOVRACCARICO DI PENDENZA Il valore di deve essere selto ome un buon ompromesso tra errore granulare e sovraario di pendenza. 39

40 MODULAZIONE DELTA: SCHEMA DEL CODIFICATORE ~q x ( kt ) x( kt ) + - RITARDO T x q ( kt ) ( ) = ε ± q kt Il omparatore emette il valore binario in funzione del segno della differenza x ( kt ) x~ ( kt ) ε q q. Pertanto: [ ] ( kt ) = sgn x( kt ) x~ ( kt ) q 40

41 MODULAZIONE DELTA: SCHEMA DEL DECODIFICATORE ε q ( kt ) x q ( kt ) ~ x q ( kt ) = x [( k 1) T ] q RITARDO T 41

42 MODULAZIONE DELTA: OCCUPAZIONE DI BANDA Per quanto riguarda l oupazione di banda rihiesta da una Modulazione Delta, osserviamo he per ogni ampione si trasmette solo 1 bit he rappresenta l errore quantizzato (pertanto ) ε q ( kt ) T = T b Il flusso di dati binario trasmesso ha una bit rate r b =. L oupazione di banda dipende dalla forma d onda utilizzata per trasmettere iasun bit (vedi orso di CE2). 1 T 42

43 MODULAZIONE DELTA: CALCOLO DI (S/N) D ( S N ) D di una Modulazione Delta dipende da: rumore sistematio dovuto alla quantizzazione (omprende il rumore granulare ed il sovraario di pendenza); errori di deodifia (rigenerazione) dovuti al rumore introdotto dal anale. IPOTESI SEMPLIFICATIVE Trasuriamo gli effetti degli errori di deodifia (in normali ondizioni operative, solo il rumore di quantizzazione ha un effetto rilevante). Trasuriamo gli effetti di eventuali sovraarihi di pendenza (rumore omplesso da modellare). 43

44 MODULAZIONE DELTA: CALCOLO DI (S/N) D Nelle ipotesi preedenti, solitamente si assume he l errore sistematio dovuto alla quantizzazione ε q sia uniformemente distribuito in [-,+ ]. Pertanto: ε 2 q = ε dε Si può dimostrare he in tali ipotesi il rapporto (S/N) D vale: 3 1 ε = = 3 SE IL CANALE NON INTRODUCE ATTENUAZIONE S N D = 3 f 2 f max S x LE PRESTAZIONI MIGLIORANO ALL AUMENTARE DI f E AL DIMINUIRE DI 44

45 MODULAZIONE DELTA: CONFRONTI Ogni ampione è sempre rappresentato da 1 solo bit minor oupazione di banda rispetto alla PCM per trasmettere un ampione (nella PCM si hanno n bit per ampione). ( ) [( ) ] In realtà, per verifiare la ondizione x kt x k 1 oorre T sovra-ampionare rispetto alla PCM si trasmettono più ampioni aumenta l oupazione di banda. Per avere errore granulare piolo ( piolo ), oorre utilizzare piolo al diminuire di T rese l oupazione di banda. T 45

46 MODULAZIONE DELTA: CONFRONTI Svantaggio prinipale: tipiamente per ottenere lo stesso ( S N ) D he si ha nella PCM (a parità di potenza di trasmissione S x ), la Modulazione Delta rihiede una bit rate maggiore e quindi un oupazione di banda maggiore. Vantaggio prinipale: sempliità hardware (più semplie della PCM). 46

47 MODULAZIONE DELTA: CONCLUSIONI Prinipali problemi della modulazione delta: rumore granulare; sovraario di pendenza. Possibile soluzione: Modulazione Delta Adattiva (Adaptive Delta Modulation). 47

48 MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) Il problema maggiore nella modulazione delta onsiste nella selta del valore di : se grande rumore granulare; se piolo sovraario di pendenza. La Modulazione Delta Adattiva era di porre rimedio a tale problema: l ampiezza di viene adattata alle esigenze del momento si riduono gli effetti di sovraario di pendenza senza aumentare il rumore granulare. 48

49 MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) OSSERVAZIONI quando si rieve una sequenza di valori ε q kt aventi la stessa polarità si è in presenza di sovraario di pendenza; quando si presenta un alternanza nei valori ε q kt si è in presenza di rumore granulare. ( ) ( ) La Modulazione Delta Adattiva sfrutta le osservazioni preedenti per adattare l ampiezza alle esigenze orrenti. 49

50 MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) ( ) Se si rieve una sequenza di valori ε q kt on lo stesso segno (sovraario di pendenza) si aumenta l ampiezza del gradino per onsentire al segnale x ( ) di inseguire il segnale originale x( ). q kt kt ( ) Se si rieve una sequenza di valori ε q kt on segni alternati, si diminuise l ampiezza del gradino al fine di ridurre il rumore granulare. 50

51 MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) ε q () t STESSO SEGNO ALTERNANZA DI SEGNO SI INCREMENTA IL GRADINO PER SEGUIRE IL SEGNALE ORIGINALE SI RIDUCE IL GRADINO PER DIMINUIRE IL RUMORE GRANULARE x() t x q ( t) 51

52 MODULAZIONE DELTA ADATTIVA (MDA) Analitiamente si può desrivere il sistema nel modo seguente: q ( kt ) = x~ [( k 1) T ] + g[ ( k 1) T ] ε [( k 1) T ] x~ q q g ( kt ) = g [( k 1) T ] G ε q( kt ) = ε q[ ( k 1) T ] g[ ( k 1) T ] ε ( kt ) = ε [( k 1) T ] G q GRADINO q G ostante di valore tipiamente ompreso tra 1 e 2. 52

53 MDA: SCHEMA DEL CODIFICATORE x( kt ) x~q ( kt ) CONTROLLO SEQUENZA ( ) = ε ± q kt RITARDO T 53

54 MDA: SCHEMA DEL DECODIFICATORE ε q ( kt ) CONTROLLO SEQUENZA g( kt ) x q ( kt ) RITARDO T 54

55 DIFFERENTIAL PULSE-CODE MODULATION (DPCM) La Differential Pulse-Code Modulation (DPCM) è un sistema di odifia predittiva in ui l errore ε ( kt ) viene quantizzato su M livelli: ε q ( kt ) = ±, ± 3, K, ± ( M 1) L errore quantizzato viene quindi odifiato on una parola di odie binaria omposta da = log M bit. n 2 55

56 DPCM: SCHEMA DEL CODIFICATORE x ( kt ) + - QUANTIZZATORE ( M LIVELLI) ε q( kt ) CODIFICATORE DPCM ~ x q ( kt ) PREDITTORE x q( kt )

57 DPCM: SCHEMA DEL DECODIFICATORE DPCM DECODIFICATORE ε q ( kt ) x q ( kt ) ~ x q ( kt ) PREDITTORE 57

58 DPCM: PREDITTORE Nella DPCM tipiamente il predittore è più sofistiato he nella Modulazione Delta e nella Modulazione Delta Adattiva. Per predire il valore di un ampione, non si usa solo il ampione preedente, bensì una ombinazione lineare degli N ampioni preedenti: x~ q ( kt ) x [( k i) T ] = N i= 1 i q 58

59 DPCM: PREDITTORE i india quanto è possibile prevedere il valore del ampione x ( kt ) a partire dal valore del ampione x [( ) ]. q k i T Per progettare un predittore basato sulla preedente relazione lineare oorre determinare i valori degli N oeffiienti i, i = 1,...,N. I valori dei oeffiienti dipendono dallo speifio tipo di segnale he si sta analizzando. In partiolare, è ragionevole assumere he tali valori dipendano dalla funzione di autoorrelazione del segnale analogio originale x t. () 59

60 DPCM: SCHEMA DEL PREDITTORE x q( kt ) T T T 1 2 N ~ x q ( kt ) 60

61 DPCM: CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL PREDITTORE LINEARE I valori dei oeffiienti si alolano minimizzando l errore quadratio medio tra il segnale originale e il segnale predetto, ovvero: min i i [ ] { 2}= { 2} ( i= 1,...,N ) E ε = min ( i= 1,...,N ) E x( kt ) x~ q ( kt ) N = min i i= i ( i= 1,...,N ) E x( kt ) i xq[ ( k i) T ]

62 DPCM: CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL PREDITTORE LINEARE L errore quadratio medio si può alolare nel seguente modo: E x E x N ( kt ) x[ ( k i) T ] = i= 1 i ( kt ) 2x( kt ) x[ ( k i) T ] + x[ ( k i) T ] x[ ( k j) T ] = 2 = i N i= 1 N N i= 1 j= 1 i j 2 = R x N () 0 2 R () i + R ( i j) i= 1 i x N N i= 1 j= 1 i j x 62

63 DPCM: CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL PREDITTORE LINEARE Per trovare il minimo dell errore quadratio medio, dobbiamo derivare rispetto a : i R x N () 0 2 R () i + R ( i j) i= 1 i x i N N i= 1 j= 1 i j x = 2R N x = j= 1 () i + 2 j Rx ( i j) 0 N j= 1 ( i j) R ( i) j Rx = x 63

64 64 Pertanto, utilizzando una notazione matriiale, si può srivere: dove. La soluzione del sistema onsente di determinare tutti i valori. DPCM: CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL PREDITTORE LINEARE = N N N N N N R R R R R R R... R R R R R R M M M M O O ( ) i R R x i = i

65 DPCM: CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL PREDITTORE LINEARE OSSERVAZIONI Nei asi reali, non è possibile onosere esattamente la funzione di autoorrelazione di un segnale generio x( t), ma è possibile solo stimarla: R Rˆ i = x ( i) Esistono algoritmi numerii veloi per la risoluzione del sistema. 65

66 DPCM: OCCUPAZIONE DI BANDA Se l errore trasmesso è quantizzato su M livelli ed è odifiato on parole di odie binarie di lunghezza n = log, si ottiene he la 2 M bit rate di una DPCM è pari a: r = n f = b n T L oupazione di banda è failmente alolabile a partire dalla bit rate sulla base del tipo di forma d onda e della tenia di trasmissione utilizzate per effettuare la trasmissione dei ampioni dell errore (vedi CE2). 66

67 DPCM: SOVRACCARICO DI PENDENZA Anhe nella DPCM si deve onsiderare il fenomeno del sovraario di pendenza. Per non avere sovraario di pendenza deve essere verifiata la seguente ondizione: ( M 1) T d x dt ( t) MAX INCREMENTO CHE PUÒ AVERE IL SEGNALE IN T SECONDI ( ) x q kt INCREMENTO MASSIMO CHE PUÒ AVERE IL SEGNALE x IN T SECONDI ( ) kt 67

68 DPCM: CALCOLO DI (S/N) D Anhe nella DPCM ( S N ) D dipende da: rumore sistematio dovuto alla quantizzazione; errori di deodifia (rigenerazione) dovuti al rumore introdotto dal anale. IPOTESI SEMPLIFICATIVE assumiamo he M>>1; trasuriamo gli effetti di eventuali sovraarihi di pendenza; trasuriamo la presenza di errori di deodifia (effetto simile a quello he si ha nella PCM). 68

69 DPCM: CALCOLO DI (S/N) D Nelle ipotesi preedenti, è possibile dimostrare he ( S N ) D in una DPCM è simile a quello di una PCM, migliorato di un fattore G P (guadagno di predizione). In partiolare, si può srivere: S N D = G p 3M 2 S x NELL IPOTESI CHE IL CANALE NON INTRODUCA ATTENUAZIONE Il guadagno di predizione, nel aso di un predittore ottimo, è dato da: 1 () = 1 N Rx i Gp i i= 1 Sx 69

70 DPCM: CONFRONTI Dalla relazione preedente si può osservare he l inremento di ( S N ) D he si riese ad ottenere on una DPCM rispetto ad una PCM (a parità di potenza di trasmissione e di numero di livelli di quantizzazione) dipende dalla funzione di autoorrelazione del segnale analogio originale: Se i ampioni sono molto orrelati elevato miglioramento; Se i ampioni sono poo orrelati sarso miglioramento. 70

71 DPCM: CONFRONTI ESEMPIO Segnale voale G p 5 10 [ db] Segnale video televisivo G p 12 [ db] 71

72 DPCM: CONFRONTI La omplessità hardware rihiesta da un sistema DPCM è signifiativamente più elevata di quella rihiesta nella MD e nella MDA. Tale omplessità è anhe più elevata di quella rihiesta da una PCM (a ausa della presenza del predittore). A parità di potenza di trasmissione e di numero di livelli di quantizzazione, la DPCM permettere di ottenere prestazioni migliori di una PCM, ovvero: migliore ( S N ) D a parità di oupazione di banda, oppure minor oupazione di banda a parità di ( S N ) D. 72

73 ADAPTIVE DIFFERENTIAL PULSE-CODE MODULATION (ADPCM): CENNI La Adaptive Differential Pulse-Code Modulation (ADPCM) ostituise un miglioramento della DPCM. La prinipale differenza rispetto alla DPCM risiede nella possibilità di variare in modo adattivo il funzionamento di aluni blohi del sistema sulla base delle aratteristihe del segnale nello speifio intervallo onsiderato. I blohi su ui si può agire sono: il quantizzatore; il predittore. 73

74 ADAPTIVE DIFFERENTIAL PULSE-CODE MODULATION (ADPCM): CENNI Il vantaggio prinipale della ADPCM onsiste nella possibilità di migliorare le prestazioni rispetto al aso della DPCM (miglior ompromesso tra oupazione di banda e ( S N ) D ). Lo svantaggio prinipale risiede nell ulteriore inremento della omplessità hardware. 74

75 LINEAR PREDICTIVE CODING (LPC) E un sistema di odifia molto più sofistiato di quelli visti preedentemente. IDEA DI BASE Sviluppare un dispositivo in grado di sintetizzare il segnale analogio x(t) he si vuole trasmettere in base ad un modello parametrio (ovvero dipendente da un insieme di parametri) del segnale. Determinare i parametri del sintetizzatore he permettono di approssimare i ampioni da trasmettere in un erto intervallo e trasmettere sia tali parametri, sia l errore di predizione del sintetizzatore. 75

76 LPC: CODIFICATORE Innanzitutto si deve realizzare un sintetizzatore per il segnale he si vuole trasmettere (proesso omplesso). A tale fine è neessario formulare un modello parametrio del segnale he permetta, agendo sui parametri del modello, di rappresentare tutti i possibili andamenti del segnale stesso. Serve anhe un analizzatore in grado di identifiare il vettore p di parametri del modello implementato nel sintetizzatore he dà origine alla migliore predizione x~ q ( kt ) = f ( p) dei ampioni x( kt ) onsiderati in un erto intervallo di tempo. 76

77 LPC: CODIFICATORE Sulla base del vettore di parametri determinato è poi possibile effettuare la predizione e quindi identifiare l errore di predizione: p x( kt ) + - ε ( kt ) = x( kt ) ( kt ) x~ q ANALIZZATORE x~ ( kt ) f ( p) q = p SINTETIZZATORE 77

78 LPC: CODIFICATORE Al fine di rendere possibile la riostruzione del segnale originale, a differenza di quanto fatto on le altre tenihe predittive viste preedentemente, in questo aso è neessario trasmettere non solo l errore di predizione, ma anhe il vettore di parametri del sintetizzatore. p N.B.: il vettore di parametri varia al variare dell intervallo di trasmissione onsiderato. 78

79 LPC: SCHEMA DEL CODIFICATORE x( kt ) + - ε( kt ) QUANTIZZATORE & CODIFICATORE M U X Segnale LPC ANALIZZATORE p SINTETIZZATORE x~ ( kt ) f ( p) q = 79

80 LPC: SCHEMA DEL DECODIFICATORE ε q ( kt ) x q ( kt ) Segnale LPC D E M U X DECODIFICATORE p x~ ( kt ) f ( p) q = SINTETIZZATORE 80

81 LPC: SINTETIZZATORE VOCALE Appliazione tipia: odifia della voe. Sintetizzatore voale: è ostituito da due generatori, un amplifiatore a guadagno variabile e un filtro trasversale. Generatori: un generatore riprodue un rumore biano (serve per ottenere segnali non-voalii); l altro generatore produe sequenze di impulsi (pith) on frequenza appropriata (serve per ottenere segnali voalii). Amplifiatore e filtro trasversale: permettono di modellare le proprietà austihe della voe del parlatore. 81

82 LPC: SCHEMA DEL SINTETIZZATORE VOCALE Controllo segnali voalii/non-voalii GENERATORE DI RUMORE BIANCO + SEGNALE VOCALE SINTETIZZATO GENERATORE DI IMPULSI Guadagno dell amplifiatore FILTRO TRASVERSALE Frequenza della serie di impulsi Coeffiienti delle elle 82

83 LPC: TRASMISSIONE DELLA VOCE Utilizzando un filtro a 10 elle trasversali e aggiornando ogni [mse], si ottiene un segnale sintetizzato omprensibile (sebbene metallio). Una parola di odie di un sistema LPC per la trasmissione della voe è solitamente ostituita da ira 80 bit: 1 bit per la selta tra segnali voalii/non-voalii; 6 bit per la frequenza della serie di impulsi; 5 bit per il guadagno dell amplifiatore; 6 bit per ognuno dei 10 oeffiienti del filtro trasversale; 8 bit per la odifia dell errore di predizione. p 83

84 LPC: OCCUPAZIONE DI BANDA Consideriamo il aso di trasmissione della voe. Aggiornare i parametri ogni [mse] signifia ampionare on una frequenza di ampionamento pari a: f = [ Hz] La bit rate neessaria per la trasmissione LPC è quindi pari a: ( ) = 3200 [ Hz] rb = nf = L oupazione di banda è failmente alolabile a partire dalla bit rate sulla base del tipo di forma d onda e della tenia di trasmissione utilizzate per effettuare la trasmissione dei ampioni (vedi CE2). 84

85 LPC: CONFRONTI Vantaggio prinipale Ridue sensibilmente la bit rate del segnale trasmesso (minor oupazione di banda). Per questo motivo il Linear Preditive Coding è un approio partiolarmente adatto alle trasmissioni su anali on problemi di banda. Svantaggi prinipali Complessità hardware superiore a quella di tutti i sistemi visti in preedenza (oorre un sintetizzatore in Tx e uno in Rx). Qualità di riproduzione del segnale originale inferiore a quella ottenibile on altri sistemi (presenza del sintetizzatore). 85

86 SISTEMI DI CODIFICA PREDITTIVI: CONFRONTI Confronto tra le bit rate in usita dai sistemi di odifia predittivi visti (aso di odifia della voe) SISTEMA DI CODIFICA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO [KHz] BIT PER CAMPIONE BIT RATE [Kbps] PCM MD MDA DPCM ADPCM LPC

87 RESIDUAL EXCITED LINEAR PREDICTIVE CODING (RELPC) Come visto in preedenza, i sistemi LPC sono molto utili quando si può alloare poa banda alla trasmissione di un segnale (e quindi serve una bassa bit rate). Questo è il aso tipio dei sistemi di telefonia ellulare wireless e dei sistemi di teleomuniazione satellitari. Problemi dei sistemi LPC appliati alla odifia della voe: i sintetizzatori voali sono in grado di riprodurre la hiarezza del parlato ma non riesono a riprodurre le aratteristihe di intonazione voale di hi sta parlando. 87

88 RESIDUAL EXCITED LINEAR PREDICTIVE CODING (RELPC) Un evoluzione importante dei sistemi LPC, he è alla base dello standard di telefonia mobile europeo GSM, è ostituita dai sistemi Residual Exited Linear Preditive Coding (RELPC). I sistemi RELPC implementano un sistema di odifia della voe ibrido: sfruttano in parte la forma d onda originale del segnale ed in parte un sintetizzatore voale. Obiettivo dei sistemi RELPC: ottenere un segnale voale perettivamente molto simile a quello originale trasmettendo un flusso di dati on una bit rate piola. 88

89 RELPC: RESIDUO Consideriamo il seguente shema: RESIDUO ( ) kt x R( ) FILTRO LPC INVERSO kt ANALIZZATORE LPC R( kt ) Trasmettendo il residuo quantizzato e odifiato (oltre ai oeffiienti ) non è più neessario utilizzare i generatori di rumore biano e di impulsi. 89

90 RELPC: RESIDUO Il residuo ostituise l eitazione ideale affinhé il filtro LPC produa esattamente il segnale voale originale. ( ) Se però trasmettessimo il residuo R kt quantizzato e odifiato otterremmo sempliemente un sistema analogo ad una DPCM! Vediamo invee di utilizzare una strategia he i permetta di ottenere un residuo (ovvero una sequenza di eitazione del filtro LPC) rappresentabile on una bit rate minore di quella di R( kt ) e he onsenta di riostruire un segnale perettivamente simile a quello originale. 90

91 RELPC: CODIFICATORE Il filtro LPC inverso funziona ome un deorrelatore a breve termine del segnale. In pratia, tale filtro elimina le alte frequenze del segnale voale l informazione perettivamente più importante del residuo R( kt ) è ontenuta nelle sue omponenti di bassa frequenza. ( ) Pertanto, R kt può essere filtrato on un filtro passa basso (tipiamente on frequenza di taglio f t = 800 [Hz]) senza alterare signifiativamente il suo ontenuto informativo (almeno dal punto di vista perettivo). 91

92 RELPC: CODIFICATORE R ( ) kt è stato ottenuto da un segnale voale on frequenza massima f max = 4 [ KHz] e quindi è aratterizzato da una frequenza di ampionamento f = 1 T 8 KHz. = [ ] Dopo il filtraggio, utilizzare la stessa per rappresentare il segnale risultante è eessivo. Si può pertanto sottoampionare al fine di ottenere una sequenza aratterizzata da una frequenza di f s ( ) R s kt s ampionamento più bassa di. ( ) R s kt s Si può quindi trasmettere quantizzato e odifiato. Il vantaggio he si ottiene è he, avendo sottoampionato, la bit rate è molto ( ) kt diminuita rispetto al aso di trasmissione di. f f R 92

93 RELPC: SCHEMA DEL CODIFICATORE x( kt ) FILTRO LPC INVERSO R ( kt ) R s ( kt s ) FILTRO LP SOTTOCAMPIO- NATORE QUANTIZZ. & CODIFICATORE M U X ANALIZZATORE LPC 93

94 RELPC: DECODIFICATORE ( ) Per riostruire R ~ kt a partire dal residuo filtrato, sottoampionato e quantizzato R s q ( kts ), è neessario inserire degli zeri nella sequenza R s ( kts ) in modo da riportarsi alla stessa frequenza di ampionato originale. R ( ) kt q e pertanto del segnale voale In seguito, la sequenza R ~ ( kt ) viene inviata al filtro LPC per ottenere il segnale a destinazione x q ( kt ). 94

95 RELPC: SCHEMA DEL DECODIFICATORE DECODIFICATORE ( ) R s kt q s INSERZIONE DI ZERI R ~ ( kt ) FILTRO LPC x q ( kt ) D E M U X 95

96 RELPC: DECODIFICATORE ( ) Il residuo kt riostruito è affetto da errori sistematii dovuti a: R ~ ( ) ( ) filtraggio di R kt (danneggiamento del ostrutto armonio). quantizzazione di R s kt s ; Il segnale voale riostruito a destinazione e il segnale originale possono essere anhe signifiativamente diversi tra loro nel dominio del tempo, ma sono perettivamente molto simili (omportamento spettrale simile). 96

97 RELPC: APPROFONDIMENTO R( kt ) FILTRO LP 800 [Hz] SOTTOCAMPIO- NATORE R s ( kt s ) { ( )} I R kt { ( )} I R kt f L f o L f R ( ) kt CASO IN CUI È COSTITUITO DA RUMORE BIANCO (SEGNALI NON-VOCALICI) R ( ) kt CASO IN CUI È COSTITUITO DA UN TRENO DI IMPULSI (SEGNALI VOCALICI) 97

98 RELPC: APPROFONDIMENTO ( ) Consideriamo il aso in ui R kt sia ostituito da una serie di impulsi (il aso di rumore biano è del tutto analogo). I { R ( )} kt FILTRO LP I { ( )} R s kt s 1 A REPLICA 2 A REPLICA f o f t L f f t f s L f [ ] [ ] [ ] Tipiamente: 80 Hz fo 400 Hz, f t = 800 Hz. 98

99 RELPC: APPROFONDIMENTO All interno di iasuna replia il ostrutto armonio viene onservato. Tra le replihe non si onserva la distanza tra gli impulsi il ostrutto armonio tra le replihe non si onserva la voe risulta un po alterata. Tuttavia, il degrado della qualità voale ottenuto è aettabile. 99

100 ESEMPIO: GSM Come già detto, il sistema RELPC è alla base della odifia voale per il sistema di telefonia ellulare digitale GSM (in realtà il sistema di odifia è un po più omplesso di quanto abbiamo visto). Speifihe GSM: la bit rate alloata per una omuniazione voale è pari a 16 [kbit/se]. In realtà nel GSM è stato realizzato un odifiatore voale in grado di ottenere una qualità perettivamente simile a quella di una PCM a 64 [Kbit/se] on una bit rate pari a 13 [Kbit/se]. I 3 [Kbit/se] eedenti sono stati utilizzati per la odifia a protezione d errore del messaggio. 100