Capitolo 5 (II) - Strutture riverberanti

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1 Appun d Elaboraone numera de segnal Capolo 5 (II) - ruure rverberan Inroduone: sruure rverberan... I ssem numer dervan...5 Casaa d ronh d lnea... Il flro a ralo rorsvo... 4 Osservaone... 7 Osservaone: onsderaon energehe sulla sruura... 9 Osservaone: sablà della sruura... 9 Osservaone: reursvà del polnomo A ()... INTROUZIONE: TRUTTURE RIVERBERANTI Abbamo esamnao n preedena un oneo molo mporane relavo a flr IIR: anhe pole varaon de oeffen d un flro IIR possono provoare grand varaon nelle araershe del flro; n parolare, al pole varaon possono provoare lo sposameno de pol del flro sesso (oè pol della sua funone d ssema), fno a porarl al d fuor del erho unaro, deermnando osì nsablà del flro quando nvee, a lvello puramene eoro, avevamo garano la sablà. In effe, queso sposameno de pol almene neo da dare nsablà è un fenomeno poo fso, nel senso he dfflmene s può aspeare he un ssema fso possa, on lev aleraon de paramer, passare da sable o nsable. Possamo però sposare l aspeo della quesone n un alra dreone e oè quella per u flr numer ome quell suda fno ad ora non orrspondono dreamene a delle sruure fshe da u ess possano muuare pregevol do d sablà. In queso apolo voglamo allora sudare propro quesa orrspondena: n parolare, desrveremo ssem numer no ome flr a ralo rorsv, he dervano da ssem fs no ome sruure rverberan. Medane ques ssem è possble realare un qualsas flro IIR ausale (e qund fsamene realable), on n pù un vanaggo fondamenale: loro paramer hanno un dreo sgnfao fso (n parolare, saranno oeffen d rflessone per onde rasmesse su asae d ronh d lnee d rasmssone, oeffen he, per mov fs, sono sempre mnor d ). Queso nuovo modo d realare flr numer nase essenalmene dall anals della avà orale, he, ome s vedrà n un prossmo apolo, fa da funone d rasfermeno per l segnale generao dall eaone delle orde voal e deermna l parlao vero e propro: s è vso he ale avà orale può essere modellaa ome una sere d ub, d damero dverso, araverso qual vene faa passare l eaone generaa dalle orde voal. Un ssema d queso po può essere pensao ome osuo da ra d lnee d rasmssone, d lunghea varable e mpedena araersa dversa. ussse anhe una analoga seondo u alla ensone su ra d lnea orrsponde la pressone sonora, menre alla orrene orrsponde l flusso. Il meodo dunque s avvale dell mpego d un ero numero d lnee d rasmssone pose n asaa, araerae asuna da una propra lunghea e da una propra mpedena araersa:

2 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 l nseme d al lnee neronnesse osuse quella he s hama sruura rverberane. Vedamo d apr un po' meglo. Un lasso esempo d sruura rverberane è quello forno da re me onduor, pos n onao ra loro, aven dverso nde d rfraone (o, ò he è lo sesso, dversa mpedena araersa): onda ndene meo nerfaa - meo nerfaa -3 meo 3 e avessmo un solo meo (omogeneo), l onda ndene non nonrerebbe ma aluna dsonnuà, per u s propagherebbe ndefnamene (se l meo è non dspersvo e non dsspavo). Al onraro, n presena delle dsonnuà ( nel aso d 3 me), la radaone subse no fenomen d rflessone (nello sesso meo da u provene) e rasmssone (nel meo adaene). Il fao he sano 3 dsonnuà garanse he una pare dell onda rmanga nrappolaa ra le due nerfae, ossa nel meo della fgura. e s russse a garanre la rflessone oale dell onda, ua l energa rmarrebbe onfnaa nel meo enrale ed è quello he approssmavamene avvene nelle gude d onda usae per la rasmssone de segnal. Approfondamo adesso la quesone anhe da un puno d vsa maemao. Consderamo però una lnea d rasmssone unforme e d lunghea llmaa; quesa lnea può essere elera (ad esempo un avo oassale) oppure ausa (ad esempo un rombone) oppure meana (per esempo una orda esa). In quesa lnea s propagano delle onde: saranno onde d ensone e orrene nel aso della lnea elera, onde d veloà e pressone nel aso della lnea ausa oppure onde d veloà e ensone nel aso della orda esa. Tal onde s propagano n dreon dverse; on rfermeno alla fgura seguene (relava ad una lnea elera), esse s propagano verso snsra () e verso desra (): v - Adesso supponamo d avere due ronh d lnea, dvers ma enramb unform e d lunghea llmaa, ollega nseme ome nella fgura seguene: Auore: andro Perell

3 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan nerfaa v A - rono della lnea n rono della lnea n La dversà delle due lnee è saa rappresenaa on due spessor dvers, ma è ovvo he è solo una rappresenaone grafa. Abbamo ndao on A l ampea dell onda he, propagandos sul rono e verso desra, arrva all nerfaa ra le due lnee. In orrspondena d ale nerfaa, essa vene n pare rflessa ndero (onda rflessa d ampea A r ) ed n pare rasmessa sull alra lnea (onda rflessa d ampea A ). Per rappresenare quesa suaone, useremo d ora n po la seguene shemaaone: A nerfaa A A r rono rono Esse un preso legame ra le ampee delle 3 onde: nfa, se ndhamo on l oeffene d rflessone e on l oeffene d rasmssone, enramb ovvamene all nerfaa, sappamo he la onnuà delle grandee fshe all nerfaa sessa mpone he A A A A Quesa relaone vale per qualunque valore d A : possamo allora omodamene prendere A, n modo da rovare l legame (peralro ampamene noo) ra oeffen d rflessone e rasmssone: Possamo ora ulerormene approfondre l anals n modo da dedurre gl nervall d varablà de oeffen d rflessone e rasmssone. Indhamo on Y (dove,) le ammeene de due ronh d lnea: sono oè paramer he legano l energa rasporaa dall onda al modulo quadrao dell ampea dell onda sessa. Possamo nfa srvere he l energa rasporaa da un onda d ampea A è E Y A Parlamo rgorosamene d ammeene solo se samo onsderando delle enson; se fossero delle orren, parleremo d mpedene, osì ome essono alr paramer spef n alr p d lnee 3 Auore: andro Perell

4 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 Eseguamo adesso un blano energeo per le re onde (drea, rflessa e rasmessa) onsderae prma: ale blano mpone he la somma delle energe rasporae dall onda rflessa ( E Y A ) e dall onda rasmessa ( E srvamo he Y A ) sa par all energa dell onda drea ( E Y A Y A r Y A Esplando le re ampee (A, A r A e A A ), abbamo he r Y A ), per u r Y Y Y Consderando nolre he, possamo esplare n quesa relaone propro l oeffene d rflessone: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Quesa è una equaone d grado nell nogna. Rsolvendola e sarando la soluone Y Y negava (he non ha senso fso), s rova he Y Y A queso puno, dao he, per mov energe, rsula suramene Y >, deduamo he l oeffene d rflessone è, n modulo, nferore ad ; nolre, se <, rsula evdenemene <<. Qund, per la genera nerfaa ra due ronh d lnea rsula he < < < < Non dobbamo meravglar del fao he l oeffene d rasmssone possa essere maggore d : basa pensare, per esempo, alle onde del mare he, arrvando vno alla spagga, dvenano pù ale, sena però he la loro energa sa amplfaa. Per rguarda, nvee, l oeffene d rflessone, esso è affeo da segno (a seonda d quale ammeena ra Y e Y sa maggore), ma n modulo è sempre nferore ad. Un alra propreà neressane, he sarà rpresa n seguo, è quella per u se sambamo me, l oeffene d rflessone amba segno: nerfaa nerfaa A A A r A r 'A A A 'A rono rono rono rono Nella fgura d snsra s onsdera l aso d un onda ndene he vagga verso snsra, oè dal rono verso l rono : la orrspondene oppa d oeffen d rflessone e rasmssone è (,). Nella fgura d desra s onsdera nvee un onda ndene he vagga verso desra, oè dal rono verso l rono : la orrspondene oppa d oeffen d rflessone e rasmssone è (, ) Auore: andro Perell 4

5 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Mosramo l perhé d quesa propreà. Nel aso n u l onda ndene provene dal rono, l blano energeo de he Y A Y A r Y A Y 'A Y ' A da u saurse evdenemene, on gl sess dsors fa prma, he Y Y ' Y Y dove, n praa, abbamo ndao on (,) la oppa d oeffen relav ad un onda ndene he vagga verso desra e on (, ) la oppa d oeffen relav ad un onda ndene he vagga verso snsra. Possamo dunque srvere he ' ' ' I ITEMI NUMERICI ERIVANTI Fno ad ora, sembra non sa nene he ollegh le sruure rverberan a ssem numer. La orrspondena omna a subenrare nel momeno n u onsderamo 3 ronh d lnea, ome nella fgura seguene: nerfaa - nerfaa -3 A rono della lnea n rono della lnea n rono della lnea n 3 Abbamo evdenemene una lnea omposa, formaa da 3 ronh d lnea, d u due suppos d lunghea llmaa (quell a due la) ed uno supposo d lunghea fna (quello enrale). Immagnamo d lanare su quesa lnea omposa un onda mpulsva, d ampea A, dal rono d snsra (rono ). Così ome vso prma, quando l onda nde sulla prma nerfaa ( ), subse rasmssone nel rono e rflessone nuovamene nel rono : 5 Auore: andro Perell

6 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 nerfaa - nerfaa -3 A A A A r A (, ) rono rono (, ) rono 3 Non neressa l onda A r A rflessa nel rono, ma l onda rasmessa nel rono, ossa A A. Ques onda s propaga e, dopo un ero empo τ dall sane n u è saa generaa, arrva all nerfaa ra ronh e 3. Qu essa subse a sua vola fenomen d rflessone e rasmssone, seondo oeffen e relav a ale nerfaa (e relav anhe a onde he s propagano da snsra verso desra, ome evdenao nella fgura): vengono però generae le onde A (rflessa) e A (rasmessa). La suaone è llusraa nella fgura seguene: nerfaa - nerfaa -3 A A A A A ' A - A rono rono - A - A rono 3 (, ) (, ) L onda rflessa A s propaga verso ; gungendo n (dopo sempre un empo τ), essa vene anora una vola rflessa e rasmessa: dao he s raa d un onda he s muove da desra verso snsra, oeffen non sono pù (, ), ma (, ), dove - e -. L onda rflessa è dunque adesso. A Auore: andro Perell 6

7 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Essa s drge nuovamene verso, n orrspondena della quale abbamo anora rflessone e rasmssone: la rflessone avvene anora on oeffen, per u dà orgne all onda A, la quale prende a propagars nuovamene verso, rpeendo lo sesso lo d prma. Tale lo s rpee ndefnamene, ome s dedue dalla fgura sessa. Adesso, dobbamo omnare a rovare la orrspondena ra sruura fsa appena desra e flr numer IIR. A al proposo, se onsderamo la sruura fsa, l valore d τ porà essere qualsas (dpenderà dal rono d lnea e da segnal). ao, però, he samo onsderando sruure he po dovranno n qualhe modo orrspondere a flr numer, è neessaro he l empo τ abba un legame on l passo d amponameno, he ndhamo on T. Rsula onvenene, allora, fssare τt/. Il movo d quesa sela è preso deo: se supponamo he l onda ndene mpulsva A gunga all nerfaa all sane, la orrspondene onda rasmessa A mpega T/ per raggungere ; nasono osì l onda rflessa A, he orna ndero, e l onda rasmessa A, he nvee ese dalla sruura; l onda rflessa A gunge n dopo un alro T/, dando orgne a A (rflessa) e ' A (rasmessa). noa, a queso puno, he la dsana emporale ra gl mpuls he parono nella sessa dreone e dalla sessa nerfaa è sempre par a T. In alre parole, da asuna nerfaa parono onde rflesse dsanae emporalmene d T e onde rasmesse dsanae anh esse d T. Per esempo, n usa dall nerfaa abbamo onde rasmesse ue dsanae d T seond una dall alra. e adesso ragonamo n ermn d rasformaa ea degl mpuls onvol, poremo rappresenare emp d propagaone rame l operaore rardo; rordando nfa he l rardo d un passo d amponameno è dao dall operaore -, la suaone è shemaaa nella fgura seguene: A A ' - (, ) / (, ) -/ - -3/ -/ ' / - -3/ Abbamo evdenemene onsderao, per semplà, un onda ndene mpulsva d ampea A unara. Abbamo gà rhamao n preedena he l fenomeno della rflessone, n orrspondena della genera nerfaa, dpende dal dsadaameno d mpedena dell onda he s propaga da un lao e dall alro dell nerfaa sessa. Nel preedene paragrafo, avevamo rovao he l oeffene d 7 Auore: andro Perell

8 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 rflessone, all nerfaa ra due lnee e, per un onda he s propaga da snsra verso desra era Y Y : Y Y nerfaa A E Y A A r Y A Y A r Y A A rono rono Y Y Y Y Rordamo he Y sono ammeene se onsderamo delle enson, menre nvee sono mpedene se onsderamo delle orren. E bene enere presene quesa dfferena, anhe se onnuamo ad usare l smbolo Y. Adesso, se onsderamo una sruura on dvers ronh d lnea neronness e onenramo n parolare sulla genera nerfaa - (he separa l rono - dal rono ) sulla quale nde un onda provenene da snsra, possamo srvere he Y Y Y Y e, nvee, l onda provene da desra, allora sappamo he l oeffene d rflessone onserva l modulo, ma amba d segno: Y Y ' Y Y Adesso andamo a ravare l onda oale he vene rasmessa nella lnea 3, ossa la somma delle onde rasmesse he lasano l nerfaa per propagars nella lnea 3: (, ) -/ - -3/ -5/... -7/... -()/ Auore: andro Perell 8

9 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Come mosrao dalla fgura, ue le onde rasmesse hanno n omune un ermne -/, he rsula molplao d vola n vola a de ermn lega sa a oeffen d rflessone e sa a rard: l onda oale rasmessa sulla lnea 3 è dunque T() / / (...) ( ( ) ( )...) / 3 3 ( ( ) ) ( ) ) ( ) )...) In forma ompaa, possamo dunque srvere he T() n / ( ) ) ( ) / n n n n Quella sommaora non è alro he una sere geomera (d lunghea nfna) d ragone - - : la onvergena d ale sere è garana dal fao he - è una quanà n modulo mnore d, vso he oeffen d rflessone sono asuno, n modulo, mnor d uno. Esprmendo la somma nella noa forma husa, onludamo he T() / Come ben sappamo, la sere geomera non è alro he la rasformaa ea d una sequena on andameno esponenale deresene: Come ndao n fgura e ome d alra pare evdene nell espressone d T(), la sequena ha una rasformaa ea on un polo suao n -. Tale polo s rova all nerno del erho unaro, l he orrsponde ad un flro sable. La onlusone u samo pervenu è dunque la seguene: almenando la sruura rverberane rame un onda mpulsva, abbamo oenuo n usa la funone T() he, per defnone, rappresena la funone d rasfermeno della sruura rverberane. Quesa funone d rasfermeno presena essenalmene due araershe: Rordamo una defnone fondamenale: dao un ssema lneare empo-nvarane (empo-dsreo o empo-onnuo), la sua funone d rasfermeno s può oenere semplemene almenando l ssema on un ngresso mpulsvo, msurando la orrspondene rsposa (he è appuno la rsposa all mpulso) e alolando la sua rasformaa. In queso aso, s onsdera la rasformaa ea della rsposa all mpulso, he, a rgore, defnse la funone d ssema del flro. In realà, però, sappamo he da H() s può passare falmene ad H(ω), oè la funone d rasfermeno propramene dea, semplemene alolando H() sul erho unaro, ossa per e jωt 9 Auore: andro Perell

10 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 la prma, pù evdene, è quella d avere un polo (n - ) all nerno del erho unaro, per u s raa d un flro sable; queso è un requso he a no va benssmo; la seonda è quella d presenare un rardo d meo passo d amponameno (ome ndao dalla presena del ermne -/ ): queso rardo derva dalla fsa della sruura, n quano abbamo osservao he la prma onda rasmessa he emerge da lo fa dopo un empo T/ dall applaone dell mpulso e queso è l empo affnhé l mpulso s propagh da ad. In ermn d flro numero, l -/ porebbe anhe essere mplemenao, dando luogo ad un flro a fase lneare, ma sappamo he un sffao flro non porebbe essere ausale 3. alra pare, dao he -/ è venuo fuor dalla fsa della sruura rverberane, nella orrspondene mahna dgale poremo suramene evare d mplemenarlo. A queso puno, sorge sponaneo pors la seguene domanda: volendo realare una era funone d rasfermeno, on un ero numero d pol (u ovvamene all nerno del erho unaro), possamo meere n asaa delle sruure rverberan del po vso? La rsposa a quesa domanda non è banale, per un movo molo semple: la sruura rverberane da no onsderaa è ompleamene deale, vso he onsderamo me e 3 d esensone nfna; quesa poes ha ome onseguena he le onde emergen da ed (le onde rasmesse) s propaghno ndefnamene sena dar luogo ad uleror ermn rfless. Le ose ambano nvee profondamene se onsderamo pù sruure rverberan n asaa, n quano s aggungono nuove superf d dsonnuà e qund nuov ermn da onsderare. e allora voglamo verfare se e ome è possble mplemenare una sruura a pù pol, dobbamo neessaramene generalare la nosra anals. CACATA I TRONCHI I LINEA Consderamo ora una asaa d ronh d lnea. C neressa deermnare le relaon nerorren ra segnal a due ngress della asaa ed orrsponden segnal alle due use. Per meer nel aso generale, onsderamo le due nerfae ra ronh -, e, ome ndao nella fgura seguene: nerfaa -/ ' nerfaa / ' rono - I - (' -,' - ) ( -, - ) rono I (',' ) (, ) rono 3 Rordamo, nfa, un rsulao gà ao n preedena, seondo u un flro IIR, per poer essere ausale (qund fsamene realable) e sable, non può essere a fase lneare. Auore: andro Perell

11 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Per prma osa, haramo la smbologa qu adoaa: ndhamo on () la rasformaa ea d u segnal he s propagano da snsra verso desra, menre usamo () per la rasformaa ea de segnal he s propagano n verso opposo; nella fgura, la dpendena da è saa sonesa per non appesanre la rappresenaone grafa; sessa semplfaone faremo ne passagg maema, per lo sesso movo; ndhamo on (, ) la oppa d oeffen d rflessone e rasmssone per segnal he s propagano verso desra (), menre usamo (,) per segnal he s propagano verso snsra (); ad una daa nerfaa, la relaone ra oeffen d rflessone ne due vers è -, menre la relaone ra oeffen d rasmssone e d rflessone è ; ndhamo on I - l nerfaa ra l rono - ed l rono e on I l nerfaa ra l rono ed l rono ; usamo l pede - per ndvduare segnal nel rono -, l pede per segnal nel rono ed l pede per segnal nel rono ; nfne, usamo l ape per ndare segnal, nel rono, he esono dall nerfaa o he v ndono: s raa oè d () e (). L uso d quesa smbologa onsene d onsderare l effeo delle sruure he preedono e d quelle he seguono, n quano onsderamo un onda rflessa ed un onda rasmessa a ue le superfe d dsonnuà. Il nosro obbevo è quello d ollegare e all onda ndene ed all onda rflessa alla dsonnuà suessva ( e ), n modo he, meendo n ped una sruura erava, s possa alolare l rapporo ra onda ndene ed onda rflessa n una sruura mulsrao. Consderamo l nerfaa I ra l rono ed l rono : sena addenrar ne on 4, s può vedere falmene he la relaone ra le onde a due la dell nerfaa è daa dalla relaone marale ' ' ' ' Infa, asuna onda è daa da due onrbu, he sono la rflessone nello sesso meo e la rasmssone dal meo adaene: ad esempo, è n pare dovua alla rasmssone d (seondo l oeffene d rasmssone ) ed n pare alla rflessone d (seondo l oeffene d rflessone ). alra pare, per la fsa della sruura e per l poes d avere a he fare on me he non sano dsspav e dspersv, possamo anhe srvere he / / ' ' Infa, se non sono perde, è semplemene he mpega un rardo τt/ per passare da una nerfaa all alra (I I - ), osì ome è semplemene he mpega un rardo τt/ per passare da una nerfaa all alra n senso opposo (I - I ). 4 Vedere, per on, pag. 6 delle dspense, dove però la smbologa adoaa è dversa Auore: andro Perell

12 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 Auore: andro Perell osuendo nella relaone marale vsa prma, abbamo he / / ' ' Possamo adesso rsrvere quesa relaone n modo da usare e ome varabl ndpenden: s rava falmene he () () () () / Quesa relaone rappresena l legame essene ra onde drea e rflessa alla dsonnuà I - e le analoghe onde alla dsonnuà suessva I. Quesa relaone ha l grande prego d essere applable eravamene, per un numero qualsas d dsonnuà, a parre ovvamene dalla prma, he s oene per. Per spegar meglo, onsderamo propro l aso d : oenamo / Adesso passamo all nerfaa suessva, he s oene applando la relaone generale per : / Il veore a seondo membro s oene dalla relaone applaa all nerfaa preedene, per u srvamo / / Possamo po erare per l nerfaa suessva: basa applare nuovamene la relaone generale per e po sosure l veore [, ] T oenuo dall ulma relaone:... 3 / / / 3 3

13 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Al fne d semplfare le nosre noaon, possamo fare le seguen due poson: F () G () E fale verfare he, on quesa posone, la relaone generale ra l veore [, ] T ed l veore [, ] T rsula essere la seguene: () () / F () G () G ( F ( ) () ) () In realà, ques ulma relaone vale solo se s fa una posone d parena e presamene quella per u deve rsulare F () G () In defnva, abbamo oenuo due relaon assoluamene general, he legano le onde dree e rflesse sa ra oppe d nerfae onseuve sa ra la genera nerfaa () e l nerfaa nale (). Possamo ulerormene perfeonare al relaon dendo qualosa n pù ra le funon F () e G (), he servono evdenemene per applare onreamene l ulma relaone ravaa: n prmo luogo, per ome al funon sono sae defne, esse hanno senso solo per ; abbamo anhe deo poo fa qual sono valor he al funon devono assumere per : F () G () Adesso onsderamo le due funon per : F () G () F () G F () G () () se rpeessmo queso ragonameno per suessv valor d, aorgeremmo falmene he anhe quese funon possono essere osrue eravamene parendo dalla ondone nale per u F () e G () : F () F G () () G F () G () () A queso puno, è evdene he abbamo messo n ped una sruura erava he onsene d ravare sa le funon F () e G () sa, n generale, l legame ra sussse ra onda ndene e onda rflessa ra una era nerfaa ed una qualsas delle nerfae preeden (fno alla prma). In alre parole, samo n grado d ravare l legame ra l ngresso e l usa della sruura osua da ane dsonnuà nermede. 3 Auore: andro Perell

14 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 IL FILTRO A TRALICCIO RICORIVO Tra le relaon ravae nel paragrafo preedene, onsderamo quella he lega le onde rflessa e rasmessa ra una genera oppa d nerfae onseuve: () () / () () Possamo dare una nerpreaone d quesa relaone n ermn d dagramma a bloh: nano, srvendo l ssema n forma salare, abbamo he () () / () / () e adesso denfhamo le onde e ome ngress, possamo rsrvere quese relaon nella forma () () () / / () ( () ()) Lo shema a bloh orrspondene è l seguene: / / () () -/ - - // Possamo subo noare he due bloh -/ e -/ / hanno funon d rasfermeno reprohe, per u possono essere elmna sena ambare la funone d rasfermeno dell nero bloo. Rdsegnamo allora ques ulmo nel modo seguene: - - Auore: andro Perell 4

15 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Avendo deo he la sruura è erava, possamo adesso aggungere alre elle n asaa, sa a snsra sa a desra, ulando lo sesso shema a bloh. Ad esempo, aggungendo una ella a snsra (-), abbamo quano segue: Quesa sruura araersa deermna la denomnaone flro a ralo reursvo. Noamo mmedaamene he propro l agguna della ella n asaa deermna la presena d una reroaone nella sruura, l he onsene d assmlar ad un flro IIR. Possamo ulerormene perfeonare la desrone. In prmo luogo, supponamo he le due elle onsderae nell ulma fgura sano quelle relave alle prme due nerfae della sruura, l he sgnfa onsderare la seguene sruura: appamo d poer dsporre n asaa quane elle voglamo: rprendendo quano vso nel paragrafo preedene, la relaone he lega la ella -sma alla prma ella () è () () / F () G () G F ( ( ) () ) () In realà, la fraone presene a seondo membro s può elmnare dao he, ome vso prma, orrsponde a ermn -/ e -/ / he, per asuna ella, possono essere elmna sena modfare la funone d rasfermeno. Possamo però semplfare quella relaone è srvere he () F () () G () G ( F ( ) () ) () Meamo adesso n una ondone parolare, nella quale alla prma nerfaa () meamo un ruo apero (non dmenhamo he samo onsderando una lnea d rasmssone 5 Auore: andro Perell

16 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 osua da un ero numero d ronh d lnea, he andranno hus da un lao sul generaore e dall alro sul aro). e è un ruo apero, la orrene è nulla, per u l onda d orrene rflessa deve essere esaamene uguale n modulo ed opposa n segno rspeo all onda ndene. In quesa parolare ondone operava, dvena semple alolare la funone d rasfermeno he sussse ra l onda ndene () sulla sruura (ngresso) e l onda () he emerge dalla sruura sessa (usa) 5 : nfa, dao he () (), abbamo he l legame ngresso-usa, nel domno rasformao, è [ F () G ( )] () () F () () G ( ) () La sruura he samo usando è dunque del po seguene: all espressone oenua per (), deduamo he la funone d rasfermeno è () () () F () G ( H osuendo le espresson delle funon F e G, abbamo he H() ) [ ] Rarrangando n modo opporuno, onludamo dunque he H() Il rsulao oenuo è evdene: la sruura ha una funone d ssema a sol pol (on ovvamene uno ero d moleplà nell orgne). e avessmo onsderao anhe bloh -/ e -/ /, la H() avrebbe avuo anhe un ermne d rardo. Fn qu, però, nene d nuovo rspeo alle mplemenaon vse n preedena. Al onraro, quesa sruura presena una vanaggo essenale e oè quello d non poer essere nsable: nfa, se me sono non dsspav e non dspersv 5 enga presene l seguene oneo generale: per defnone la funone d rasfermeno d un ssema (lneare emponvarane), è suffene defnre un ngresso al ssema, valuare la orrspondene usa e alolare l rapporo on l ngresso. No faamo la sessa osa: l ngresso è l onda ndene sulla sruura, rappresenaa generamene da e, menre l usa è l onda he emerge dalla sruura, rappresena generamene da e. Auore: andro Perell 6

17 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan (ome no abbamo supposo fn dall no), la poena he ransa n una seone s manerrà osane n ue le seon, per u non è reaone né dsspaone d poena. In alre parole, l paramero fso he garanse la sablà del ssema è l fao he, alla genera nerfaa, l energa rflessa non può superare l energa ndene, dao he (dove l segno d uguaglana vale solo n assena d dsonnuà, ossa n ondon d perfeo adaameno). Nel flro numero he no mplemenamo (quello dao dal dagramma a bloh dsegnao prma), oeffen sono oeffen molplaor he regolano l funonameno della sruura, oè fssano la funone d rasfermeno della sessa, ome evdenao dall espressone d H() prma ravaa. onseguena, no dobbamo garanre he rsul <: n al modo, avremo garano la sablà. Queso sgana evdenemene da problem lega ad una evenuale grossolana quanaone de oeffen: l mporane, per non perdere la sablà, è garanre la ondone <. In defnva, l flro oenuo è d po reursvo e onsene l onrollo della sablà per meo de oeffen. In sosana, abbamo ndvduao un modo dverso d dsegnare la sruura d un flro reursvo: non onsderamo pù oeffen a del flro, ossa oeffen del polnomo H(), ma onsderamo oeffen, he sono lega n manera molo pù elemenare alla sablà del flro. Non solo, ma è un ulerore grande prego: nfa, on l uso de oeffen abbamo oenuo d dsaoppare la sablà delle vare elle, nel senso he la sablà d asuna ella è legaa solo al orrspondene e non a oeffen d rflessone delle alre elle. Queso non aadeva, nvee, quando onsderavamo oeffen a. A frone d u ques preg, l uno dfeo rguarda la maggore omplessà rspeo ad alune delle mplemenaon vse n preedena: n parolare, se l flro è d ordne N (ad esempo era N l flro onsderao nell ulma fgura), voglono N molplaon e N addon Osservaone Consderamo un flro reursvo a ralo d ordne N, ome quello rporao nell ulma fgura e qu d seguo rproposo: Osservamo, ome del reso gà fao ne preeden paragraf, he queso flro ammee due possbl ngress e due possbl use: ngress: e ; use: e. 7 Auore: andro Perell

18 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 La funone d rasfermeno ra ed è saa ravaa nel preedene paragrafo, nell poes d avere () () (basa porre n ororuo due ram a snsra), e s è vso he s raa d una funone d rasfermeno a u pol (evenualmene on un ermne d rardo): H() ( ) Poemmo però onsderare anhe le alre 3 possbl funon d rasfermeno. Non solo, ma s può noare un alra osa neressane: sempre nell poes d porre () (), possamo ndvduare l legame ra () ed l genero (). Consderando anora una vola la relaone generale () F () () G ( ) () G () F ( ) () possamo evdenemene srvere he [ G () F ( )] () () G () () F ( ) () da u deduamo he () G () F ( () ) Quesa è haramene una funone d rasfermeno a sol er (on un polo nell orgne d moleplà ). Non solo, ma è esremamene smle al reproo della funone d rasfermeno rovaa nel paragrafo preedene: H () () () F () G ( ) In praa, se G () F ( ) è un polnomo del po g g g... g allora l denomnaore d H() è del po g g g... g ossa a oeffen rbala. Cò sgnfa he possamo oenere la funone d rasfermeno () G () F ( ) semplemene onsderando l bloo he dà orgne ad H() ed () nverendo vers d perorrena sul ramo superore. Ad esempo, nel aso d un bloo d ordne N abbamo quano segue: Auore: andro Perell 8

19 Progeo d flr IIR (pare II) - ruure rverberan Quesa sruura fornse una ombnaone lneare de ampon orren del segnale n ngresso e de ampon preeden opporunamene pesa: s (n) s(n) s(n ) x(n) x(n ) d (n) s(n) s(n ) x(n) x(n ) y(n) s(n) s(n) s (n ) ( x(n) x(n ) ) ( x(n ) x(n ) ) x(n) ( ) x(n ) x(n ) Non è dunque aluna reroaone, a onferma del fao he l flro è d po FIR, oè a sol er: ( ) x(n ) x(n ) y(n) x(n) Osservaone: onsderaon energehe sulla sruura E possble verfare he la sruura usaa è ongruene ol modello fso he abbamo fao d me non dsspav pos n asaa. raa d verfare he l energa ransane per ogn dsonnuà s manene osane da una seone alla suessva, l he rappresena suramene un nde d sablà. Osservaone: sablà della sruura Abbamo deo poo fa he la poena he ransa n ogn seone della sruura è sempre la sessa: queso è gà un nde d sablà. Possamo approare la osa da un alro puno d vsa. Consderamo nuovamene la funone d ssema he lega l ngresso () all usa (), nell poes he () (). H () () () F () G ( ) Indhamo on A () l denomnaore d quesa funone d rasfermeno: () A () F () G H ( Faamo vedere he l polnomo A () è a fase mnma, l he sgnfa he u suo er (oè pol d H()) sono all nerno del erho unaro. ) 9 Auore: andro Perell

20 Appun d Elaboraone numera de segnal - Capolo 5 C basa far vedere he la pare reale d A () è posva per ue le frequene, ovvamene sul erho unaro....(dmosraone)... eduamo dunque he H() presena u pol all nerno del erho unaro (quando ovvamene <). Osservaone: reursvà del polnomo A () Come ulma osservaone su quano vso ne preeden paragraf, rlevamo he anhe l polnomo A () F () G ( ) s può osrure n modo reursvo. Infa, rordando he possamo srvere he A F () F G () () G F () G () () () [ F () G () ] [ F ( ) G ( )] () [ F () G ( ) ] [ F ( ) G () ] A () [ F ( ) G () ] A () A ( ) La formula reursva è dunque A () A () A ( ) Auore: ANRO PETRIZZELLI e-mal: sandry@ol. so personale: hp://users.ol./sandry suursale: hp://dglander.ol./sandry Auore: andro Perell