Simulazione Numerica di Fenomeni di Trasporto di Inquinanti

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1 Unversà degl Sud d assno e del Lazo Merdonale orso d Laurea Magsrale n Ingegnera dell Ambene e del Terroro orso d Laurea Magsrale n Ingegnera vle orso d omplemen d Idraula e Idraula Ambenale A.A. 3-4 Smulazone Numera d Fenomen d Trasporo d Inqunan Angelo Leopard Terza Versone 7..3

2 Le equazon D z w y v u Dusone Moleolare D z w y v u Dusone Turbolena nella quale s può rasurare l eeo della dusone moleolare z w y v u e se s assume la dusvà urbolena osane z w y v u Sruuralmene analoga a quella della dusone moleolare usamo gl sess meod d negrazone, ma alun ermn hanno derene sgnao so. Veloà e onenrazon sono valor med loal! 3 4

3 Le equazon onvezone - Dspersone A AU AE Dove e U sono rspevamene onenrazone e veloà mede su una sezone dra. A è l area della sezone dra. Se ho moo unorme: 5 U E 6 Sruuralmene analoga a quelle preeden. Aenzone al sgnao so derene de ermn! Se l moo non è unorme, ma la varablà della sezone può essere renua rasurable, e se s assume un uno valore d E a rappresenare l proesso d dspersone longudnale: E U 7 3

4 Le equazon Solu reav Nel aso d solu reav è neessaro aggungere alle equazon preeden un ermne he enga ono della nea delle reazon. onsderando ad esempo la 7 possamo srvere: U E,... 8 Ad esempo, nel aso d un soluo he deade on una nea del prmo ordne, del po d/d = - k, dove k è una opporuna osane, s oene: U E k 9 4

5 5 Equazone della Dusone Moleolare z y D dove:,y,z oordnae spazal n un rermeno aresano orogonale - empo =,y,z, è la onenrazone loale e sananea D oeene d dusone moleolare N.B. Idenando on la emperaura e D on l oeene d dusone del alore, l equazone è ormalmene analoga a quella della dusone del alore

6 Equazone della Dusone Moleolare D y z E una equazone derenzale alle dervae parzal PDE, alla quale oorre aoppare le donee ondzon al onorno nzal ed a lm. ondzon Inzal: sono quelle assegnae sul domno spazale al empo : =,y,z, ondzon a Lm: sono quelle assegnae sul onorno del domno spazale o solo su una pare d esso al varare del empo: L=L,yL,zL, on L, yl, zl pun del onorno del domno spazale. Normalmene non è possble negrare quesa equazone per va anala per qualsas orma delle ondzon al onorno. E possble negrarla n suazon parolar d solo orrsponden a suazon dealzzae. 6

7 Equazone della Dusone Moleolare n una dmensone on mmssone sananea e punuale D Immssone punuale: avvene n un puno maerale la aremo avvenre n = Immssone sananea: dura un empo par a ondzon al onorno:,, M L Dove ML è la massa nrodoa per unà d supere, par al rapporo ra la massa nrodoa M e la supere d nroduzone S, haramene M L, d E dè la unzone dela d Dra dena ome: d se Non è una unzone nel senso sreo del ermne, s nquadra nella eora delle dsrbuzon! 7

8 haramene la massa oale d sosanza deve essere onservaa a u gl san, oè: M L, d, d on le ondzon mpose la soluzone è e.g. Gra, 998:, M L 4D e 4 D 9 D m / s 8

9 E una dsrbuzone normale, nroduendo la varanza D s ha M L e, 9

10 Equazone della Dusone Moleolare n una dmensone on mmssone punuale e osane D ondzon al onorno:,,, on le ondzon mpose la soluzone è e.g. Gra, 998: Y z dz e ery D er dove 4, Funzone dell errore omplemenare.

11 D 9 m 864 s / s

12 Soluzon analhe

13 da Soolosky & Jrka, 5 3

14 da Soolosky & Jrka, 5 4

15 da Soolosky & Jrka, 5 5

16 Equazone della onvezone Pura n una dmensone moo unorme u ondzon al onorno:, n -, Soluzone:, u oè la ondzone nzale rasla rgdamene on veloà u 6

17 7 Prnpo d Sovrapposzone degl Ee z y D z w y v u z w y v u z y D La soluzone può essere rovaa ome sovrapposzone delle soluzon d L equazone è lneare.

18 Per problem pù ompless rasporo onvevo-dusvo o dspersvo, e e per ondzon al onorno pù omplesse ma maggormene realshe d solo non essono soluzon analhe. E neessaro rorrere a enhe d negrazone numera. 8

19 Inegrazone numera Meodo delle Derenze Fne Inegrare una PDE on assegnae ondzon al onorno sgna erare una unzone he sodds la PDE e le ondzon al onorno. In quano segue aremo rermeno a una sola varable spazale, ma l esensone muldmensonale è mmedaa. Per l problema della dusone moleolare sgna rovare una unzone, he sodds l equazone della dusone moleolare e rspe le ondzon al onorno nzal e a lm he abbamo mposo. ò onsenrà d onosere valor d onenrazone nell nero pano spazo-empo n una srsa del pano spazo-empo. Se ò non è possble analamene possamo por un obevo meno ambzoso Valuare valor d, n un numero no d pun del domno spazale a pressa san emporal. In alr ermn valuare valor d onenrazone solo ne nod d una grgla del pano spazo-empo. 9

20 Grgla nel pano Spazo - Tempo

21 Idea: sosuzone d equazon algebrhe sre n asun nodo al ssema d equazon derenzal. Meodo: meodo delle derenze ne. S approssmano le dervae medane rappor nremenal. Daa una genera unzone =, la dervaa d n = è dena ome: d d lm Svluppando n sere d Taylor d puno nzale, e ermandos al prmo ordne s rava he: d d o Da u s dense l operaore alle derenze ne dervaa orward n avan: d d he è una approssmazone al prmo ordne della dervaa n.

22 Analogamene possamo denre l operaore alle derenze ne dervaa bakward all ndero: d d he è anora una approssmazone al prmo ordne della dervaa n. Una approssmazone mglore è la dervaa enraa: d d Approssmaa al seondo ordne.

23 3 S può dmosrare onsderando gl svlupp n sere d Taylor 3 3 o d d d d o d d d d E soraendo membro a membro: 3 o o d d he dmosra appuno he la dervaa enraa è approssmaa al seondo ordne.

24 4 Operaore d approssmazone della dervaa seonda. Svluppando n sere d Taylor d puno nzale, e ermandos al seondo ordne s rava he: 3 3 o d d d d o d d d d E sommando membro a membro: 3 o d d o d d oè

25 In snes: Operaor alle derenze ne approssman la dervaa prma d d Forward ordne d d Bakward ordne d d enraa ordne Operaor alle derenze ne approssman la dervaa seonda d d enraa ordne 5

26 Meodo delle Derenze Fne In asun nodo della grgla sosuamo gl operaor alle derenze ne nell equazone derenzale. 6

27 7 Applazone all equazone del rasporo puramene onvevo U Un operaore orward per la dervaa emporale e un operaore bakward per la dervaa spazale: U Da u s oene la ormulazone upwnd: ouran numero d u U

28 Possamo srvere una equazone algebra saa n ogn nodo, a quesa dobbamo aggungere le ondzon al onorno ne nod spazal nzale e nale esrem del domno spazale

29 La ormulazone upwnd per a> nrodue un errore he s ampla passo dopo passo Il meodo è nsable per a> sablà ondzonaa Sablà: un errore nrodoo n un passo d alolo non s ampla ne suessv. 9

30 3 Applazone all equazone del rasporo onvevo dspersvo Nel nodo, della grgla la unzone nogna onenrazone è,, Sosuendo nell equazone del rasporo onvevo dspersvo n moo unorme E U un operaore orward per la dervaa prma emporale, un operaore bakward per la dervaa prma spazale e un operaore enrao per la dervaa seonda spazale: E U

31 U E Possamo srvere una equazone algebra saa n ogn nodo, a quesa dobbamo aggungere le ondzon al onorno ne nod spazal nzale e nale esrem del domno spazale

32 3 Meodo d Predzone - orrezone U La ena upwnd proposa per la smulazone del rasporo onvevo U ouran numero d U U Inrodue un errore dusvo nella soluzone

33 Al ne d lmare ale errore è possble blanarlo nroduendo un meodo a due pass. Al passo upwnd dusvo aamo segure un passo bakwnd andusvo, qund nrnseamene nsable se onsderao da solo. Meodo Bakwnd: dervaa spazale orward. La soluzone del passo upwnd vene onsderaa solo ome una sma per applare un passo bakwnd all sane + U * Dove * è una sma del valore d onenrazone all sane + 33

34 34 U * Uso quesa sma per applare l meodo bakwnd ** * * ** U * * * Il meodo d predzone orrezone d Mormak: dove < q<. q= meodo Upwnd q= meodo mplo q=.56 valore omo

35

36 Ovvamene è possble ener ono anhe del ermne d dspersone, da raare sempre medane una dervaa enraa. INSERIRE 36

37 Sablà, onssenza, onvergenza Abbamo gà nrodoo l oneo d Sablà Sablà: un errore nrodoo n un passo d alolo non s ampla ne suessv. Sono nolre mporan seguen one: onssenza: al endere a zero de pass della grgla d alolo le equazon alle derenze endono all equazone derenzale he s vuole negrare. onvergenza: al endere a zero de pass della grgla d alolo la soluzone delle equazon alle derenze ende alla soluzone dell equazone derenzale. Ovvamene per dmosrare la onvergenza propreà desderaa avre bsogno d onosere la soluzone dell equazone derenzale, uava vale l Teorema d Equvalenza d La ondzone neessara e suene per la onvergenza d un meodo è he esso sa sable e onssene. 37