LICEO SCIENTIFICO/ SCIENZE APPLICATE ASSE DEI LINGUAGGI

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1 COMPETENZE DI ASSE Secondo biennio e quinto anno Materia: MATEMATICA LICEO SCIENTIFICO/ SCIENZE APPLICATE ASSE DEI LINGUAGGI a) Padroneggiare gli strumenti espressivi ed argomentativi indispensabili per gestire l interazione comunicativa verbale in vari contesti Utilizzare in modo appropriato gli strumenti espressivi, (anche quelli tipici della disciplina) per la comunicazione orale con un linguaggio appropriato, sintetico, articolato con coerenza, logica e pertinenza Utilizzare diversi registri comunicativi b) Leggere, comprendere ed interpretare testi scritti di vario tipo Ricavare le informazioni specifiche di disciplina dalla corretta interpretazione del testo in adozione individuare informazioni specifiche in testi scritti (anche tabelle e grafici) isolare le informazioni richieste o pertinenti al compito comprendere i linguaggi simbolici c) Produrre testi di vario tipo in relazione ai vari scopi comunicativi produrre schemi e mappe concettuali per sintetizzare informazioni prendere appunti e redigere sintesi Produrre testi corretti e coerenti adeguati alle diverse situazioni comunicative produrre tabelle di dati e grafici d) Utilizzare testi multimediali utilizzare le tecnologie informatiche nella ricerca di informazioni, nella rielaborazione di dati Individuare ed utilizzare fonti di informazione accreditate tramite un uso consapevole della rete ASSE MATEMATICO a) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica b) Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni c) Analizzare dati ed interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche anche di tipo informatico d) Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi e) Formulare ipotesi ASSE STORICO-SOCIALE a) Comprendere il cambiamento e la diversità dei tempi storici in una dimensione diacronica attraverso il confronto fra epoche. Essere consapevoli della dimensione storica dello sviluppo del pensiero scientifico avendo recepito il carattere dinamico del suo evolversi Individuare i momenti significativi e gli strumenti che hanno caratterizzato lo sviluppo del pensiero matematico nel corso della storia

2 CLASSE III TEMA1 EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E FUNZIONI Essere in grado di capire la differenza concettuale tra le equazioni e le disequazioni anche dal punto di vista delle soluzioni ( insiemi discreti ed insiemi continui) Comprendere il significato semantico rappresentato da una formula o da un enunciato tenendo sempre presente la generalità rappresentata dalle lettere utilizzate. Leggere con gradualità sempre più approfondita e consapevole quanto viene proposto Essere consapevoli della sequenza procedurale utilizzata e riconoscere la differenza tra situazioni solo superficialmente simili Comprendere che la dicitura quasi sempre spesso significa un numero elevato ma non tutti Comprendere che nel caso di procedure complesse è utile partire da un numero finito di casi particolari per poter poi enunciare, ed eventualmente dimostrare, una regola (metodo induttivo) Formulare ipotesi che consentano di evitare calcoli superflui. Saper elaborare una propria strategia risolutiva individuando gli argomenti utili al suo sostegno e quelli utili a confutare un percorso diverso e saper confrontare strategie risolutive diverse individuando le caratteristiche e le potenzialità di ciascuna (brevità di esecuzione, semplicità di calcolo ). Primi elementi di topologia in R ( intervalli e quindi densità e continuità di R Disequazioni intere di primo e secondo grado Disequazioni intere di grado superiore al secondo e disequazioni fratte ( schema dei segni) Sistemi di disequazioni con i valori assoluti irrazionali. Problemi che hanno come modello le disequazioni Introduzione alle funzioni e prime proprietà. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Composizione di funzioni e funzioni inverse Successioni in generale e progressioni aritmetiche e geometriche.

3 Saper riutilizzare espressioni e formule memorizzate con linguaggi adeguati in contesti diversi Saper utilizzare correttamente le strutture logiche di base (connettivi, quantificatori ) presenti in un testo scritto e orale in modo da non pregiudicarne la chiarezza TEMA 2. PIANO CARTESIANO E FUNZIONE LINEARE Comprendere l aspetto storico della nascita della geometria cartesiana Utilizzare le conoscenze di geometria euclidea per ottenere formule analitiche Tradurre dall aspetto algebrico a quello geometrico e viceversa Comprendere il testo di un problema individuando: o ipotesi e tesi (geometria) o dati in ingresso e dati in uscita o dati utili o sovrabbondanti o dati insufficienti per raggiungere l obiettivo Sapere motivare la scelta del modello utilizzato (algebrico, grafico, geometrico, ) Saper comunicare l analisi di un testo cogliendo gli elementi necessari per una eventuale sintesi Distanza fra due punti, punto medio di un segmento, baricentro del triangolo Funzione lineare e grafico di funzioni lineari contenenti valori assoluti L equazione della retta nel piano cartesiano Rette parallele e rette perpendicolari Distanza punto retta ed applicazioni Fasci di rette Asse matematico a), b), c), d),e)

4 Saper scegliere il modello geometrico adeguato per una più facile risoluzione del problema, ovvero decidere e spiegare se è più efficiente una risoluzione di tipo geometrico o algebrico Saper elaborare una propria strategia risolutiva individuando gli argomenti utili al suo sostegno e quelli utili a confutare un percorso diverso Saper confrontare strategie risolutive diverse individuando le caratteristiche e le potenzialità di ciascuna (brevità di esecuzione, semplicità di calcolo ) Saper esprimere l analisi di un testo (problema, enunciato di un teorema, documento (tabella, grafico) ) cogliendo gli elementi necessari per una eventuale sintesi e i collegamenti possibili disciplinari e/o interdisciplinari Saper produrre testi scritti coerenti, ordinati e corretti facendo capire in modo chiaro le scelte adottate e il percorso seguito Saper valutare se sia più opportuno trasformare la figura (traslazione, simmetria ) oppure introdurre un sistema di riferimento ausiliario TEMA 3 CONICHE E LUOGHI GEOMETRICI Equazione della circonferenza e metodi per determinarla sulla base dei dati forniti Posizioni reciproche retta circonferenza e circonferenza circonferenza La circonferenza e le funzioni Equazione della parabola con asse parallelo agli assi e metodi per determinarla Posizioni reciproche retta parabola La parabola e le funzioni Fasci di circonferenze e di parabole e luoghi geometrici associati Ellisse ed elementi fondamentali Iperbole ed elementi fondamentali Applicazione delle trasformazioni isometriche alla studio delle coniche (coniche traslate) Risoluzione di particolari disequazioni e delle risoluzioni grafiche. Asse matematico a), b), c) d), e)

5 TEMA 4 FUNZIONE ESPONENZIALE E LOGARITMO Padroneggiare un lessico tecnico sufficiente per esprimersi in modo chiaro e rigoroso Saper leggere un grafico individuandone le caratteristiche (dominio, codominio, simmetrie, crescenza, ) Saper confrontare strategie risolutive diverse individuando le caratteristiche e le potenzialità di ciascuna (brevità di esecuzione, semplicità di calcolo ) L insieme dei numeri reali e le potenze ad esponente irrazionale La funzione esponenziale ed il numero e esponenziali Numeri irrazionali algebrici e trascendenti La funzione logaritmo e proprietà logaritmiche Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni logaritmiche Asse matematico a), b), c), d) TEMA 5 INTRODUZIONE ALLA STATISTICA DESCRITTIVA Saper rispondere in modo pertinente a domande relative ad un argomento e/o documento (tabella, grafico testo ) e comprendere le diverse modalità di rappresentazione. Introduzione alla statistica ed indici di posizione e di variabilità Asse matematico a), b), c)

6 CLASSE IV Sapere usare diverse unità di misura degli angoli. Cogliere le diverse proprietà delle funzioni goniometriche rispetto alle altre funzioni note. Riprendere l importante concetto di funzione invertibile (eventualmente con restrizioni) ed applicarlo alla nuova situazione. Applicare i noti concetti di equazione e disequazione alla nuova situazione. Saper dimostrare delle formule. Riconoscere l importanza delle funzioni goniometriche nella geometria analitica. Saper costruire e analizzare modelli di andamenti periodici nella descrizione di fenomeni fisici. TEMA 1 FUNZIONI GONIOMETRICHE Angoli e loro misure. Le definizioni delle funzioni goniometriche con le loro prime proprietà. Angoli associati. Grafici delle funzioni goniometriche. Funzioni goniometriche inverse. Funzioni goniometriche reciproche. goniometriche elementari. TEMA 2. FORMULE GONIOMETRICHE Formule di addizione e sottrazione. Formule di duplicazione e bisezione. Formule di prostaferesi e di Werner. Angolo fra due rette nel piano cartesiano. Metodo dell angolo aggiunto per lo studio delle funzioni lineari. Asse matematico a), d) Asse matematico a), d) TEMA 3. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Consolidare le capacità operative di analisi e di sintesi di quanto appreso. Saper applicare quanto appreso allo studio dei domini di funzione. riconducibili ad elementari. lineari in seno e coseno. omogenee di secondo grado in seno e coseno. in cui si usano varie formule e procedimenti. Disequazioni di vario tipo ed applicazioni allo studio del dominio delle funzioni. Asse matematico a), d)

7 Saper utilizzare i teoremi di trigonometria per risolvere problemi geometrici Riconoscere le relazioni fra le proprietà geometriche delle figure piane e quelle goniometriche Saper risolvere un certo numero di problemi anche non troppo semplici. TEMA 4 TRIGONOMETRIA Teoremi sui triangoli rettangoli. Area di un triangolo qualunque e teorema della corda. Teoremi sui triangoli qualunque: teorema del seno e teorema del coseno. Applicazioni dei teoremi. Problemi sui triangoli qualunque con equazioni, funzioni, disequazioni. Asse matematico a), b), c) d),e) TEMA 5 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Applicare le trasformazioni allo studio dell ellisse ed iperbole traslata con gli assi paralleli agli assi cartesiani. Applicare la rotazione allo studio dell iperbole equilatera. Traslazione e sue applicazioni. Simmetria rispetto un punto e rispetto agli assi cartesiani. Rotazione ed iperbole equilatera riferita agli asintoti. Funzione omografica. Asse matematico a), b), c), d) TEMA 6 CALCOLO COMBINATORIO E DELLE PROBABILITA Saper leggere con attenzione le informazioni relative alla situazione concreta ed inquadrarle nel corretto schema combinatorio (importanza dell ordine, casi diversi ecc) per la loro risoluzione. Saper svolgere semplici applicazioni dei teoremi sulla probabilità anche aiutandosi con la rappresentazione insiemistica degli eventi. Principio del prodotto e disposizioni semplici, permutazioni semplici e combinazioni semplici. Simbolo di Newton (coefficiente binomiale e proprietà). Disposizioni con ripetizione, permutazioni con ripetizione e combinazioni con ripetizione (senza dimostrazione). Formula per il binomio di Newton e triangolo di Cartesio Tartaglia. Concetto intuitivo di probabilità classica. Prime proprietà. Unione di eventi e relativa probabilità. Intersezione di eventi, probabilità condizionata, teorema della probabilità dell intersezione. Cenno al teorema di Bayes.

8 TEMA 7 INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Comprendere i concetti di densità, non numerabilità, continuità relativamente ai numeri reali. Cogliere l idea dell avvicinamento sempre più prossimo senza il raggiungimento. Ricostruire le definizioni di limite attraverso la visualizzazione grafica e gli elementi di topologia studiati. Saper dimostrare i teoremi. Topologia della retta reale, intervallo, intorno, punto di accumulazione, estremo superiore ed inferiore. Concetto intuitivo di limite (approccio grafico). Definizioni di Weierstrass di limite (quattro casi). Teoremi classici sui limiti. Concetto di continuità: approccio euristico intuitivo e formale attraverso la nozione di limite. Asse matematico a), b), c), d),e) CLASSE V TEMA 1 LIMITI, CONTINUITA' E PROPRIETA' RELATIVE Saper tradurre in termini formali alcune osservazioni ed idee apprezzate prima graficamente. Cogliere la formalizzazione del limite infinito. Saper applicare le definizioni formali alla verifica di semplici limiti ed alla dimostrazione di qualche teorema. Avere dimestichezza con l algebra dei limiti e saper cogliere i legami con i problemi insoluti derivanti dall aritmetica elementare Saper affrontare lo studio delle funzioni elementari già studiate da un altro punto di vista. Saper usare le diverse tecniche algebriche per risolvere le forme indeterminate. Formalizzare la definizione del numero di Nepero. Primo metodo per approssimare il numero di Nepero. Saper usare Limiti e loro definizioni formali, teorema di unicità, permanenza del segno e confronto. Teoremi operativi sui limiti e forme indeterminate. Concetto di funzione continua e continuità delle funzioni elementari. Calcolo di limiti che presentano forme indeterminate. Uso dei grafici per il calcolo dei limiti. Primo e secondo limite notevole e loro conseguenze. Asse dei linguaggi a), b) Asse dei linguaggi a), b) Asse dei linguaggi a), b),c)

9 le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche per il calcolo dei limiti. Saper usare le proprietà delle funzioni continue capire l importanza della continuità come proprietà fondamentale delle funzioni. Saper operare dal generale al particolare. Classificazione delle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue (esistenza degli zeri, connessione, Weierstrass) Successioni: definizioni e limiti. Successioni particolari: progressioni aritmetiche e geometriche. Approssimazione di π. Saper collegare le proprietà delle funzioni note alla nuova proprietà. Acquisire con sicurezza le tecniche di calcolo relative alla derivazione. Saper usare il concetto di derivata nell ambito della geometria e della fisica Applicare alcuni classici teoremi del calcolo differenziale e le loro conseguenze più rilevanti nello studio di una funzione Saper fare ricavare andamenti del grafico di una funzione da TEMA 2. DERIVABILITA E APPLICAZIONI a) Problemi storici che hanno portato al concetto di derivata (retta tangente, variazione istantanea di una funzione). b) Rapporto incrementale, derivabilità e derivata. c) Relazione tra la continuità e la derivabilità. d) Derivata delle funzioni elementari. e) Teoremi sulla derivata della combinazione lineare di funzioni, del prodotto e del quoziente. f) Teoremi di derivazione delle funzioni inverse e delle funzioni composte a) Concetto di differenziale ed applicazione geometrica della derivata (linearizzazione di una funzione in un intorno). b) Applicazioni meccaniche del concetto di derivata. a) Teorema del valor medio di Lagrange e teorema di Rolle. b) Relazioni fra la monotonia di una funzione derivabile e il segno della sua derivata. c) Teorema di De L Hôpital.,e),e)

10 quello della sua derivata e viceversa. Acquisire con sicurezza le proprietà del primo e del secondo ordine relative allo studio di una funzione. Saper usare il calcolo differenziale nello studio dei problemi di ottimizzazione. d) Andamento qualitativo del grafico della derivata noto il grafico di una funzione e viceversa. a) Comportamento della derivata di una funzione nei punti di massimo e minimo relativo. Risoluzione di problemi che richiedono di determinare massimo o minimo di grandezze rappresentabili mediante funzioni derivabili di variabile reale. b) Comportamento della derivata seconda e informazione sui punti di flesso, di convessità e concavità del grafico di una funzione. Punti critici. c) Tracciamento del grafico di una funzione. Asintoti. Asse matematico a), b) c), d), e) a) Calcolo di una radice Saper risolvere in modo approssimato alcune equazioni approssimata di un'equazione non risolvibili con i metodi algebrica con il metodo di esatti finora studiati. bisezione e con il metodo delle tangenti (di Newton). Apprendere con sicurezza le principali tecniche di integrazione indefinita. TEMA 3. CALCOLO INTEGRALE E APPLICAZIONI Consolidare alcune operazione algebriche di base ( divisione fra polinomi) Saper riconoscere le diversità e i collegamenti fra i due operatori a) Operazione inversa della derivazione e definizione di integrale indefinito. b) Integrazione immediata semplice e composta. c) Linearità dell integrale indefinito ed integrazione per scomposizione. d) Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. e) Integrazione di alcuni tipi di funzioni razionali fratte (in particolare con il denominatore di secondo grado) a) Definizione di integrale definito e sue proprietà (nullità, additività, linearità, monotonia e teorema della media). b) Teorema fondamentale del calcolo integrale. Asse matematico a), b), c) d), e)

11 Saper risolvere problemi geometrici classici come il calcolo di aree e volumi attraverso il nuovo operatore integrale definito. Saper svolgere in modo significativo uno studio di funzione. Portare un altro esempio di calcolo approssimato come prima nozione di analisi numerica. Approssimazione di π con diversi metodi legati all integrale. a) Applicazioni geometriche dell integrale definito: calcolo di aree e di volumi. b) Interpretazione dell integrale definito di una funzione come area con segno dell'insieme di punti del piano compreso fra il suo grafico e l'asse delle ascisse c) Lunghezza della circonferenza, area del cerchio. d) Espressione per mezzo di integrali dell'area di insiemi di punti del piano compresi tra due grafici di funzione. e) Principio di Cavalieri e sue applicazioni per il calcolo di volumi di solidi e di aree di superficie (prisma, parallelepipedo, piramide, solidi di rotazione: cilindro, cono e sfera). f) Calcolo del volume di solidi (ad es. di rotazione) come integrale delle aree delle sezioni effettuate con piani ortogonali a una direzione fissata. a) Esempi di stima del valore dell integrale definito mediante un processo di approssimazione basato sulla definizione, con il metodo dei rettangoli, con il metodo dei trapezi. Asse matematico a), b), c), d), e)

12 TEMA 4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Usare le tecniche per il calcolo dell integrale indefinito per risolvere semplici equazioni differenziali legate alla fisica. a) Concetto di equazione differenziale e sua utilizzazione per la descrizione e modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura. b) Equazioni differenziali del primo ordine a coefficienti costanti o che si risolvano mediante integrazioni elementari. Integrazione per separazione delle variabili. Risoluzione dell equazione differenziale del 2 ordine che si ricava dalla II legge della dinamica. Cogliere la possibilità di usare l operazione di integrazione nella valutazione di una probabilità. Usare qualche programma (ad esempio Geogebra) per valutare alcune probabilità della distribuzione normale. a) Alcune distribuzioni discrete di probabilità: speranza matematica e varianza. b) Distribuzione continua di probabilità normale di Gauss. TEMA 5. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Riprendere, consolidare ed ampliare alcune nozioni sui vettori svolte nel corso di fisica ed saper operare con i vettori nel piano cartesiano. a) I vettori ed il calcolo vettoriale: somma vettoriale, prodotto per scalare (vettori proporzionali), prodotto scalare, combinazione lineare b) Le operazioni con i vettori nel piano cartesiano: prodotto scalare in funzione delle coordinate. Notazione di Grassmann di vettore come differenza di due punti. Modulo di un vettore. Asse matematico a), b) c), d), e) Applicare la nozione di vettori proporzionali per ottenere l equazione parametrica della retta nello spazio. a) Equazione del piano nello spazio, piani paralleli e piani perpendicolari. b) Equazione parametrica della retta nello spazio. Equazione Asse matematico a), b), c), d), e)

13 Cogliere l analogia fra sfera e cartesiana della retta come circonferenza. intersezione di due piani non paralleli. c) Rette parallele e rette incidenti. d) Equazione della sfera.