Capitolo 1 Elementi di Geodesia

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1 Cpitolo 1 Elementi di Geodesi 1.1 Il problem dell rppresentzione dell superficie terrestre Si può dire che tutte le tecniche di rilevmento del territorio uste d geodeti, topogrfi e fotogrmmetri bbino come scopo elementre l determinzione dell posizione di punti. M prim ncor di definire come misurre l posizione di un punto, è concettulmente necessrio definire come crtterizzre l posizione del punto stesso. Si trtt di un questione solo pprentemente bnle, in qunto si potrebbe pensre che, essendo i punti in questione pprtenenti llo spzio tridimensionle, si sufficiente istituire un tern crtesin ortogonle. Ciò corrisponde essenzilmente ll scelt di usre coordinte crtesine ortogonli ellissocentriche, m si vedrà nel seguito come tle scelt si possibile m insufficiente, e come si necessrio ricorrere nche d ltri tipi di coordinte. Vi è nche un ltro impegntivo ostcolo d superre, che rigurd l definizione implicit del sistem di riferimento Sul territorio non è inftti possibile rppresentre direttmente gli ssi di riferimento, dunque il sistem di riferimento deve essere rppresentto implicitmente. Ciò è possibile ssegnndo in modo coerente le coordinte di un numero sufficiente di punti, come verrà meglio spiegto in seguito. 1. Posizione plnimetric e ltimetric L percezione umn ci spinge crtterizzre l posizione dei punti sull Terr medinte i due concetti distinti di posizione plnimetric, cui sono ssociti due grdi di libertà, e di posizione ltimetric, cui è ssocito un terzo grdo di liber-

2 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - tà. Tle impostzione può essere meglio definit introducendo il concetto di superficie di riferimento. Se l'ndmento dell superficie terrestre fosse sostnzilmente pino, si potrebbe introdurre, con un qulche criterio, un pino di riferimento π e, per ogni punto P dell superficie terrestre, individure l su proiezione ortogonle P sull superficieπ ; le posizioni plnimetriche di P e P coinciderebbero e si potrebbe crtterizzre l posizione plnimetric di P medinte l posizione sul pino π dell proiezione P : si trtt evidentemente di un compito semplice per l estrem semplicità dell superficie π, m che può essere più complesso per superfici curve. Per crtterizzre compiutmente l posizione di P srebbe infine necessrio introdurre l su ltezz rispetto l pino di riferimento. Si noti come l direzione di proiezione e quell lungo l qule misurre le ltezze debbno coincidere. Si noti inoltre come l scelt dell superficie si un conseguenz dell scelt dell direzione di propgzione e non vicevers. In sintesi, per pplicre l rppresentzione medinte superficie di riferimento ll Terr, che è essenzilmente sferic, è necessrio: scegliere un direzione per l proiezione dei punti e per l misur dell ltezz; individure un superficie di riferimento che rppresenti il miglior compromesso fr trttbilità mtemtic e fedeltà ll form dell Terr. Figur 1 - L'ide dell crtterizzzione dell posizione di punti medinte proiezione su un superficie di riferimento ( Inghilleri)

3 Vittorio Csell Dispense AA Tipi di coordinte in Geodesi, Topogrfi e Crtogrfi Nell mbito del rilevmento si usno principlmente tre tipi di coordinte: crtesine ellissocentriche, ellissoidiche e crtogrfiche. Anche se i dettgli sulle loro crtteristiche verrnno introdotti progressivmente, si ritiene utile nticipre lcuni esempi, che consentno di fmilirizzre con il loro spetto e con lcune loro e- videnti crtteristiche. Considerimo titolo di esempio tre punti e le loro coordinte crtesine ellissocentriche, riportte nell Tbell 1. E' evidente come coordinte di questo tipo difficilmente consentno di intuire l posizione reciproc dei punti considerti. X Y Z A B C Tbell 1 - Esempi di coordinte crtesine ellissocentriche Considerimo or le coordinte geogrfiche degli stessi punti, rissunte nell Tbell : i primi due hnno l stess posizione plnimetric e si differenzino solo per le ltezze differenti. Le coordinte geogrfiche sono dunque più espressive di quelle crtesine ellissocentriche, nche se permngono difficoltà interprettive: non è semplice d esempio cpire qule si l distnz fr i primi due punti e il terzo. ϕ λ h A 45 11'35.781'' 9 07'4.874'' B 45 11'35.781'' 9 07'4.874'' C 45 11'03.56'' 9 09'1.03'' Tbell - Esempi di coordinte geogrfiche ellissoidiche Considerimo infine le coordinte crtogrfiche dei punti, rissunte dll tbell. Esse ci consentono di distinguere l posizione plnimetric d quell ltimetric, così come quelle geogrfiche, e inoltre, essendo coordinte crtesine, permettono di stimre fcilmente l distnz fr punti diversi. E N h A B

4 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - C Tbell 3 - Esempi di coordinte crtogrfiche I diversi tipi di coordinte sono mtemticmente equivlenti, in qunto è possibile convertire le coordinte di uno stesso punto d un tipo ll'ltro, semplicemente medinte il clcolo, m non sono tli rispetto ll nostr intuizione. Vedremo in seguito come le coordinte geogrfiche e crtogrfiche non sino solo più soddisfcenti per l nostr psicologi, m sino nche più utili, o ddirittur indispensbili, nell soluzione di importnti problemi prtici come l gestione delle cque. 1.4 Le superfici di riferimento Vi sono vlide motivzioni per scegliere come direzione di propgzione l verticle, definit dll grvità e individut dl filo piombo. Nelle misure in cmpgn è necessrio individure l direzione di proiezione, e per l verticle questo compito è semplice, se si dispone di un filo piombo o di ltri strumenti come le bolle, che sfruttno gli stessi principi fisici. Gli strumenti topogrfici, teodoliti o GPS, non possono essere messi in stzione in modo che i loro centri coincidno con i punti d rilevre, che sono normlmente costituiti d borchie infisse nel terreno. Il problem viene ggirto ponendo lo strumento sull verticle del punto d rilevre e misurndo il dislivello fr i due, detto ltezz strumentle, h S. In questo modo le misure consentono di determinre in prim istnz le coordinte del centro dello strumento x = ( x, y, z ), m quelle del punto in- S S S S cognito sono fcilmente ricvbili d esse: x = ( x, y, z h ). P S S L scelt dell verticle come direzione di proiezione è dovut l ftto che ess si individubile sempre, ovunque, e fcilmente. M vi è lmeno un second importnte rgione: l forz di grvità condizion fortemente molti spetti dell vit sull Terr e, fr l ltro, determin l direzione nell qule si muove l cqu. Si vuole che l ltezz ssocit i punti consent di cpire in qule verso correrà l cqu, dunque l terz coordint deve essere legt l potenzile grvitzionle. Come superficie di riferimento è rgionevole cercrne un ortogonle in ogni punto ll direzione di proiezione. Un superficie equipotenzile dell grvità possiede i requisiti richiesti. Poiché esistono infinite di queste superfici, è necessrio sceglierne un convenzionlmente. 1.5 Il geoide Si definisce geoide l superficie equipotenzile dell grvità che, in un punto convenzionle, coincide con il livello medio del mre. Nel cso dell Itli, per esem- S S 4

5 Vittorio Csell Dispense AA pio, il punto convenzionle si trov Genov, dopo l Istituto Idrogrfico dell Mrin gestisce un mreogrfo, uno strumento che registr l ltezz del mre. Sull bnchin dicente è stto creto un cposldo e gli è stt ttribuit un quot consistente con l ssunzione che l quot 0 corrispond l livello medio del mre nel periodo Si dice volte che il geoide coincide con l superficie che vrebbe l cqu del mre se venisse prolungt l di sotto dei continenti. Si trtt di un immgine efficce e sostnzilmente corrett in qunto se il mre vesse tempertur e slinità omogenee, se non esistessero correnti e venti, l su superficie srebbe equipotenzile. P Geoide mre q p Figur - Il terreno e il geoide Per conoscere l equzione del geoide è necessrio conoscere l ndmento dell densità ll interno dell Terr, cos non fcile, soprttutto nel pssto. Inoltre il geoide h un ndmento piuttosto irregolre, come l Figur 3 dimostr, cus delle irregolre distribuzione delle msse ll interno dell Terr. 5

6 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - Figur 3 - Andmento del geoide in Itli, secondo il modello Itlgeo99 ( Brzghi) Per usre un superficie come riferimento per il posizionmento è necessrio che l su equzione si not e che si trttbile mtemticmente in modo bbstnz semplice. Purtroppo per il geoide nessun di queste condizioni si verific. 1.6 L ellissoide di rotzione L necessità di individure un superficie di riferimento lterntiv l geoide h spinto i geodeti prendere in considerzione vrie forme: sferoide, ellissoide trissili e ellissoide bissili. Quest ultim è stt riconosciut come il miglior compromesso fr fedeltà ll form dell Terr e semplicità. Oggi è unnimemente riconosciuto come l form dell terr si ben pprossimt d un ellissoide di rotzione vente l sse verticle di rotzione minore di quello orizzontle, in qunto, come si dice, l Terr è schiccit i poli. L eccentricità è modest in qunto l form dell Terr non si discost troppo d quelle sferic. 1.7 Equzione di un ellissoide di rotzione Considerimo nzitutto un ellisse bidimensionle di ssi e b ; l su equzione è 6

7 Vittorio Csell Dispense AA x y b + = 1 (1.1) In geodesi è stto stbilito, dopo lunghe e plurisecolri discussioni, che l figur geometric che rppresent il miglior compromesso fr fedeltà ll form del geoide e semplicità è l ellissoide bissile di rotzione. Esso è ottenuto dll rotzione ttorno l semisse minore b di un ellisse come l (1.1). L ellissoide così ottenuto h i due semissi orizzontli coincidenti; sezionndolo con un pino orizzontle qulunque si ottiene un cerchio i cui bordi si chimno prlleli; sezionndolo con un pino verticle contenente il semisse b, si ottiene, qulunque si l orientmento del pino, un ellisse identic ll genertrice; i bordi di tle ellisse si chimno meridini; un tle pino si chim pino meridino. L equzione dell ellissoide così ottenuto è x + y z b + = 1 Il pino generto di due semissi orizzontli è detto pino equtorile. (1.) 1.8 Principli prmetri di un ellissoide Anche se un ellissoide del tipo (1.) è pienmente definito di semissi, si prendono in considerzione nche ltri prmetri come lo schiccimento, l eccentricità prim e l eccentricità second, le cui definizioni sono b f = (flttening, schiccimento) b e= (eccentricità prim) e'= e 1 e (eccentricità second) Tlvolt un ellissoide viene ssegnto medinte il semisse mggiore e lo schiccimento. In tl cso il semisse b può essere ricvto fcilmente b f = b= f b= f b= (1 f) Volendo ricvre le eccentricità direttmente d l eccentricità prim e f, si può scrivere, per 7

8 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - e= ( ) (1 f) (1 f) = ( ) f f 1 (1 ) 1 (1 ) = = e= 1 (1 f) e per l'eccentricità second '= e 1 (1 f) 1 (1 f) e = = 1 ( e 1 1 (1 ) 1 f) ( f ) f (1 f ) 1 = = 1 1 f 1 (1 f) 1 e' = 1 (1 f ) 1.9 Principli ellissoidi usti in Itli Nell stori delle geodesi sono stti definiti molti diversi ellissoidi e tle ttività non è ncor conclus: ll umentre dell precisione delle osservzioni, si definiscono ellissoidi che meglio si dttno d esse. Non è difficile trovre elencti decine di ellissoidi che sono stti definiti in diversi momenti e in vrie prti del mondo, tuttvi, per gli scopi itlini, solo tre di essi hnno interesse: quello di Hyford, detto Internzionle, che è stto definito nell nno 1909 e su cui sono bsti il dtum Rom40 e il ED50; l ellissoide WGS-84, che è usto nel dtum omonimo, nel qule vengono fornite le misure GPS; l ellissoide di Bessel, che è stto definito nel 1841 e sul qule er bst l crtogrfi itlin prim del Nome b f Hyford /97 WGS / Bessel / Tbell 4 - Principli prmetri degli ellissoidi di interesse per l Itli 8

9 Vittorio Csell Dispense AA Definizione delle coordinte geogrfiche sull ellissoide Fissto un ellissoide nello spzio, ogni punto P dello spzio stesso si possono ssocire le coordinte geogrfiche ellissoidiche. Considerimo l rett r 1 pssnte per P e normle ll ellissoide; chimimo P' il punto in cui ess intersec l ellissoide. L distnz PP ' è dett ltezz ellissoidic h. L rett r1 intersec l sse b, m non pss per il centro O dell ellissoide; l prim proprietà è grntit dll simmetri rotzionle dell ellissoide, mentre l second crtteristic è dovut l suo schiccimento. Rest d crtterizzre l posizione di P' sull ellissoide e per fre questo si usno due ngoli detti ltitudine e longitudine. Considerimo il pino π contenente l sse Z e che contiene l rett r1, che pss per P e P' : si trtt di un pino verticle. Esiste un tle pino? In genere non è vero che un pino conteng due rette qulunque, m in questo cso le due rette considerte hnno un punto in comune, in qunto r1 intersec l sse Z in un punto che indicheremo con Q. E noto che un pino pss per due rette intersecnti, che è equivlente dire che esso pss per tre punti non llineti. In prticolre π 1 è, fr i pini contenenti l sse Z, quello che pss per P' e che contiene ovvimente nche P. Si definisce ltitudine ϕ del punto P l ngolo formto dll rett r1 con il pino equtorile. Dto che non è del tutto ovvio cos si intend per ngolo formto d un rett con un pino, l definizione deve essere precist. Il pino π form, intersecndo il pino equtorile, l rett r. Le due rette r1 e r sono complnri, in qunto pprtengono llo stesso pino dunque si intersecno e formto un ngolo, che costituisce ppunto l ltitudine ϕ. L ltitudine vri d π / π / L definizione dell longitudine richiede preliminrmente l individuzione di un pino meridino che fung d origine. Per questo scopo si sceglie un punto qulunque R dell superficie ellissoidic e si consider il pino meridino che pss per R, cioè il pino contenente l sse b e il punto R. Esso, intersecndo il pino e- qutorile, individu un rett r che costituisce il riferimento per il clcolo dell 3 longitudine, che è definit come l ngolo formto dlle rette r3 e r. Esso si misur in senso ntiorrio rispetto r3 e vri fr 0 e π ; spesso tuttvi si us crtterizzre le longitudini mggiori di π con un ngolo negtivo, in modo che ess vri d π π : se λ > π, λ λ π

10 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - Figur 4 - Definizione delle coordinte ellissoidiche 1.11 Conversione fr le geogrfiche e le crtesine ellissocentriche Il clcolo delle coordinte crtesine ellissocentriche in funzione delle geogrfiche è semplice X = ( N + h)cosϕ cosλ Y = ( N + h)cosϕ sinλ Z = N e + h (1 ) sin ϕ dove N rppresent l grn normle N = ( 1 e sin ϕ ) (1.3) (1.4) L conversione delle crtesine in geogrfiche è meno semplice; esistono metodi itertivi ed ltri estti, come il seguente. Definite le grndezze usilirie P= X + Y Z Ψ= rctn bp (1.5) si h che 10

11 Vittorio Csell Dispense AA Y λ = rctn X P h= N cosϕ 3 + ( ') sin Ψ z e b ϕ = rctn 3 P e cos Ψ (1.6) Si noti che l second delle (1.6) deve essere invertit tenendo conto dell periodicità dell tngente, usndo l funzione che spesso è indict con rctn Geoide ed ellissoide: lterntivi o complementri? Sono complementri in qunto si f riferimento ll ellissoide per crtterizzre in generle l posizione di un punto. Tuttvi l ltezz ellissoidic non h le importnti proprietà dell ltezz ortometric, cioè l ltezz riferit l geoide, dunque si ssoci un punto nche l ltezz ortometric, indict con Q o H. L differenz fr h e H è dett ondulzione geoidic, indict generlmente con N. P H h Geoide N Ellissoide Figur 5 - Altezz ellissoidic ed ortometric Per uno stesso punto vle, meno di quntità trscurbili h= H + N Il GPS fornisce le ltezze ellissoidiche dei punti misurti. Se si vuole conoscere l loro quot ortometric, è possibile pplicre due metodi. Uno è l livellzione dei punti stessi: le quote ellissoidiche e ortometriche fnno riferimento due diverse superfici, dunque vengono misurte con due diversi metodi. L ltro metodo è molto più semplice e rpido, nche se meno preciso, ed è bsto sull conoscenz di modelli mtemtici dell ondulzione geoidic N: si trtt di 11

12 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - modelli che stimno l grndezz N in funzione del posto. Un esempio è il modello Itlgeo99, visulizzto in Figur 3. Note le ltezze ellissoidiche dei punti rilevti, si sottrggono d esse le ondulzioni, stimte nei punti stessi H( ϕ, λ) = h( ϕ, λ) N( ϕ, λ) L precisione grntit dl modello Itlgeo99 è ttorno i 10 cm; per ottenere precisioni migliori è necessrio stimre modelli locli di geoide oppure, in csi estremi, livellre. Esistono modelli di N globli, che rigurdno tutto il globo e sono riferiti l dtum WGS-84. L ondulzione geoidic può essere si positiv si negtiv, cioè in certe zone il geoide è sopr l ellissoide mentre in ltre vviene il contrrio. I vlori di N non eccedono, in vlore ssoluto i 100 m e questo dimostr come l ellissoide bissile si un ottim pprossimzione del geoide. 1.1 Definizione di dtum Se si vogliono ssegnre le coordinte punti che si trovno in un pino, è necessrio definire preliminrmente il sistem di riferimento. Fcendo riferimento coordinte crtesine ortogonli, ciò signific fissre l origine e l direzione dell sse X, in qunto l direzione dell sse Y viene implicitmente fisst dlle scelte precedenti. E ovvimente equivlente fissre, invece che l direzione di X, quell di Y. L misur dell posizione dei punti richiede l definizione di opportuni sr, che in geodesi si chimno dtum. Si prl di dtum plnimetrici, o semplicemente dtum, in riferimento i sr il cui scopo è crtterizzre l posizione tridimensionle di un punto rispetto ll ellissoide. Si definiscono dtum ltimetrici i sr il cui scopo è l misur dell quot dei punti rispetto l geoide. L definizione dei dtum geodetici incontr uno specifico ostcolo nel ftto che gli ssi dei sr non possono essere mterilizzti, dunque i sr devono essere definiti implicitmente, medinte un insieme di punti di coordinte note. L definizione di un dtum richiede essenzilmente: 1. l definizione delle informzioni sufficienti fissre il sr in modo non mbiguo;. un metodo per il trsporto delle coordinte 3. un insieme di punti che definisce e mterilizz implicitmente il dtum Considerimo or tre significtici esempi. 1

13 Vittorio Csell Dispense AA Dtum plnimetrici nel pino 1. E necessrio fissre le coordinte di un punto A e l ngolo di direzione del segmento α AB, dove B è un secondo punto, visibile d A m non necessrimente stzionbile. 1. Le procedure per il trsporto vengono usulmente suddivise: problem diretto. Note le coordinte crtesine di A e note le coordinte polri di B rispetto d A, trovre le crtesine di B. problem indiretto. Note le crtesine di A e B, trovre le polri di B rispetto d A. Nel pino le soluzione per questi due problemi sono le ben note e semplici formule dell topogrfi nel pino. L mterilizzzione vviene crendo un insieme di vertici e determinndo le loro coordinte prtire d A e B Dtum ltimetrici 1. E necessrio fissre l quot di un punto. Nel cso itlino ciò è stto ftto presso il mreogrfo di Genov.. Il trsporto vviene medinte livellzione geometric. 3. Dl punto inizile prtono livellzioni medinte le quli vengono quotti i cpisldi che mterilizzno il dtum ltimetrico Dtum plnimetrici nello spzio E necessrio fissre nzitutto fissre le dimensioni dell ellissoide e orientrlo nello spzio. Quest ultim operzione prende il nome di orientmento dell ellissoide. L ellissoide è un corpo rigido nello spzio e h 6 grdi di libertà, che devono essere fissti. Si prl di dtum ltimetrici Stbilire un dtum signific fissre un insieme di elementi che consentono di crtterizzre e misurre l posizione di punti in modo coerente rispetto un sr. Cos occorre per mterilizzre un dtum 13

14 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - Informzioni sufficienti fissre il SR in modo non mbiguo Un metodo per trsportre le coordinte Come si mterilizz un dtum verticle In prtic medinte un mreogrfo di cre un punto di quot not, dunque in quel punto si conosce l posizione del geoide. Si deve disporre di un metodo cpce di misurre i dislivelli rispetto l geoide, come l livellzione. A prtire dl punto inizile, si creno livellzioni che coprono tutto il territorio e che determinno le quote di un insieme di cpisldi Osservzioni sull ellissoide Distnz fr due punti: lunghezz dell rco di geodetic Angolo di direzione, zimuth, α B e il meridino pssnte per A. AB : ngolo formto fr l rco di geodetic fr A e Angolo fr due direzioni AB e AC. Angolo formto dlle rette tngenti le geodetiche in A. Le osservzioni ftte sul cmpo non coincidono con quelle teoriche, m sono confondibili. L orientmento dell ellissoide, e in prticolre, l posizione del polo Nord, determinno gli zimuth Trsporto dell coordinte sull ellissoide Per trsportre sul pino è necessrio: dte le coordinte (crtesine) di due punti A e B, trovre le polri di B rispetto d A dte le crtesine di A e le polri di B rispetto d A, trovre B Entrmbi questi problemi sono risolti d semplici formule Sull ellissoide si devono e si possono risolvere gli stessi due problemi, m le formule sono complictissime 14

15 Vittorio Csell Dispense AA Questo spieg perché si cerchi di proiettre l ellissoide sul pino Un secondo motivo è l difficile interpretbilità delle coordinte curvilinee. M l proiezione non deve essere qulunque 1.15 Orientmento ellissoide 1.16 Mterilizzzione di un dtum plnimetrico nel pino E necessrio fissre tre gdl; l scelt più senst è fissre le coordinte di un punto A e fissre l direzione α. Il punto B può essere nche non stzionbile. AB Con i metodi dell topogrfi si possono trsportre le coordinte, cioè ssegnre d ltri punti le coordinte in modo coerente con l scelt inizile D fre Come si mterilizz un dtum plnimetrico nel pino; un dtum ltimetrico; un dtum plnimetrico nello spzio: orientmento ellissoide, Monte Mrio, Bonn Le reti di inqudrmento geodetiche itline: trigonometric, ltimetric, GPS Scnsionre mpp livellzioni e monogrfi livellzioni Esempi di monogrfie di tutti i tipi Cmbio di dtum nello spzio e nel pino. Le formule, esempi Crtogrfi rt 15

16 Geodesi e Crtogrfi mtemtic - 16