FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione Proprietà dell integrale indefinito Integrali indefiniti fondamentali Integrali notevoli
Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati: Tecniche di integrazione: Integrazione per sostituzione Integrazione per parti Per il calcolo di integrali del tipo, talvolta può essere vantaggioso sostituire alla variabile d integrazione una funzione di un altra variabile t, purchè tale funzione sia derivabile e invertibile Si integrano per parti funzioni del tipo P( e, P( sin, P( cos, e α sin β, e α cos β, dove P( è un polinomio Ponendo, si ha che:, da cui deriva
Integrali generalizzati più comuni Eulero (integrale di Gauss o (Integrale di (Γ denota la funzione Gamma (integrale ellittico, denota la funzione Beta
INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è la primitiva di f( sull intervallo (, che passa per P= (, Provare che le funzioni F ( = sin + 7 e G( = cos( sono due primitive di una stessa funzione f( su IR; trovare f( e dire di quale costante differiscono F ( e G( Usando le tabelle degli integrali elementari, calcolare i seguenti integrali indefiniti a + 5 d b ( + 5 d c ( 8 + 5 d d e d f d g e d h tan d log (log / i d j 7 cos( 5 d k cos sin d l sin e d + e cos ( + 5 d Calcolare per parti i seguenti integrali (a sin d (b e d (c (d log( 5 d (e log (5 d (f (g arctan d (h e sin d (i log( + d ( + cos d d 5 Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali + 7 (a d (b 5 6 + 8 d 9 + 8 5 (d + + + d (e + + d (c d 5 + (f + d 6 Calcolare i seguenti integrali, usando le opportune sostituzioni e (a e e + d (b sinh cosh + d (c (d ( + d (e d (f cos (h d (i ( + tan sin sin d cos + (j + d 5 + d (g d sin + cos d 7 Calcolare i seguenti integrali definiti (a d (b log( + ( + d (c 6 9 t t t + dt (d arctan d
8 Calcolare le seguenti aree: (a Area delimitata dal grafico della funzione f( = + + e dall asse della, per [, ] (b Area della regione piana R compresa tra il grafico della funzione + f( = se < π 6 sin se π π e l asse delle (c Area della regione R del piano y compresa tra la curva di equazione y = e e la retta per A= (, e e B= (, (d Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione e l asse delle, per [, ] f( = ( log( + (e Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione e l asse delle, per [ log, log ] f( = e e + e 9 Sia f( = { se < 6 se a Calcolare la media integrale µ di f sull intervallo [, ] b Dire se esiste un punto c [, ] per cui f(c = µ Data la funzione h( = log( + (a trovare tutte le primitive di h; (b trovare la primitiva di h( che passa per P= (, log Trovare la primitiva della funzione f( = sin + cos che si annulla per = π Sia se < f( = + se Determinare la primitiva generalizzata di f che si annulla per =
SOLUZIONE (a Per provare che F ( = + arcsin è una primitiva di f( = sull intervallo (, è sufficiente provare che F ( = f(, per ogni (, F ( = + = + / / = + + = + + = + = f( (b Sicuramente G( è una primitiva di f(, in quanto differisce da F ( solo per la costante π Controlliamo che G( = G( = + arcsin π = + π 6 π = F ( e G( sono entrambe derivabili su IR Sono entrambe primitive di una stessa funzione f( se si ha F ( = G ( = f(, per ogni IR Calcoliamo le derivate: F ( = sin cos = sin(, Dunque F ( = G ( = f( = sin( G ( = ( sin( = sin( Essendo due primitive della stessa funzione sullo stesso intervallo, la loro differenza deve essere costante Calcoliamone la differenza: F ( G( = sin + 7 + cos( + = sin + ( sin + 8 = 8 + = 7 (a + 5 d = ( + 5 / d = ( + 5 / + c = ( + 5 + c / (b ( + 5 d = ( + 5 / d = ( + 5 / + c = / + 5 + c (c (8 + 5 d = (8 + 5 (8 + d = + c = 8 (8 + + c e e (d d = + e + (e d = arctan(e + c (e log d = / d = arcsin(log + c (log (f d = (log / e d = tan d = (log / d = (log / / + c = log + c (g e d = + c e sin sin (h cos d = d = log cos + c cos (i sin d = sin cos d = cos sin cos d = cos (j 7 cos( 5 d = 7 6 cos( 5 d = 7 6 6 sin( 5 + c (k cos sin d = cos (sin / d = (sin / + c = (l cos ( + 5 d = 6 6 cos ( + 5 d = 6 tan( + 5 + c sin + c tan d = log tan + c
Ricordiamo la regola di integrazione per parti: (a Per ricavare sin d scegliamo f ( g( d = f( g( { f ( = sin g( = = f( g ( d { f( = cos g ( = Otteniamo: sin d = cos ( cos d = cos + sin + c { (b Per ricavare e d = e f d, conviene scegliere ( = e g( = { f( = e = g ( = Dunque: ( e d = e ( e d = ( e e + c = e ( + + c (c In questo caso conviene vedere la funzione integranda log( + come prodotto della funzione costante per { { f la funzione log( + e scegliere ( = f( = = g( = log( + g ( = + Pertanto log( + d = log( + + d Per calcolare l ultimo integrale, conviene prima eseguire un trucco algebrico, e poi sfruttare la linearità dell integrale; nel prossimo esercizio vedremo un procedimento più completo che tratta dell integrazione delle funzioni razionali Per ora, scriviamo: + = + = + + + + = + ; dunque + d = d + d = log + + c Tornando all integrale di partenza, si ha: log( + d = log( + + log ( + + c (d (e L ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che la funzione integranda è definita solo per > log( 5 d = log( 5 5 d Anche in questo caso, manipoliamo l ultima funzione razionale, nel seguente modo: 5 = 5 + 5 = 5 5 5 + 5 ( 5( + 5 = + 5 5 5 5 = + 5 + 5 5 Pertanto ( log( 5 d = log( 5 + 5 + 5 5 d = log( 5 La funzione integranda è definita solo per > 5; pertanto si avrà 5 = 5 Dunque log( 5 d = log( 5 5 5 log( 5 + c log (5 d = log (5 log(5 5 d = 5 log (5 log(5 5 5 log 5 + c Riapplicando nuovamente la formula di integrazione per parti all ultimo integrale, ricaviamo ( log (5 d = log (5 log(5 d = log (5 log(5 + + c
(f ( + cos d = ( + sin [ ( + sin d = ( + sin + ( + cos ] cos d = (g (h = ( + sin + ( + cos sin + c arctan d = arctan + d = + arctan d = + ( = arctan + d = arctan + arctan + c ( e sin d = e sin e cos d = e sin e cos + e sin d (i Dunque e sin d = e sin e cos da cui e sin d = (e sin e cos + c d = d = = d + d Dunque d = + arcsin da cui + d = ( + arcsin + c Lo stesso integrale può essere risolto per sostituzione (si veda l esercizio n 6 d = 5 (a Per risolvere gli integrali di funzioni razionali, occorre anzitutto che il grado del numeratore sia strettamente inferiore al grado del denominatore Se non lo è, bisogna procedere con la divisione dei polinomi Procediamo dunque alla divisione del polinomio a numeratore per il polinomio a denominatore e troviamo + 7 5 Dunque = + 7 + 5 (b ( + 7 d = + 7 + d = (+7 d + 5 5 6 + 8 d = ( ( d Con il metodo di decomposizione in fratti semplici si ottiene: 5 d = +7+ log 5 +c ( ( = A + B A( + B( = = ( ( Uguagliando i coefficienti dei polinomi a numeratore, si ottiene il sistema: { { A + B = A = A B = B = (A + B A B ( (
Quindi: Dunque: ( ( = [ 6 + 8 d = ] d = log log + c (c Per calcolare d possiamo usare direttamente il metodo di decomposizione in fratti semplici, in quanto il grado del numeratore è strettamente inferiore al grado del denominatore; dobbiamo scomporre il denominatore come prodotto di fattori irriducibili Ricordando che = ( ( + + e usando il metodo di decomposizione in fratti semplici, possiamo scomporre la frazione da integrare: = ( ( + + = A + B + C + + = (A + B + (A B + C + A C ( ( + + Uguagliando i numeratori della frazione iniziale e finale, si trova il sistema: A + B = A B + C = A C = = A = B = C = Quindi: d = d + + d = log = log log( + + + + + d + + + d + + + d = Per risolvere l ultimo integrale, usiamo il metodo di completamento dei quadrati, allo scopo di ottenere il denominatore nella forma k[ + (a + b ] (dove k, a, b sono costanti opportune da trovare + + = ( [ + + = ( ] [ ( + + = + + ] Pertanto + + d = [ + ( ] d = + + + c ( d = arctan + + Infine d = log log( + + + arctan + + c (d Il polinomio + + + ammette la radice = ; dunque è divisibile per + Effettuando i calcoli si trova + + + = ( + ( + Dunque 9 + 8 + + + d = 9 + 8 ( + ( + d Ricorriamo alla decomposizione in fratti semplici 9 + 8 ( + ( + = A + + B + C + = A( + + (B + C( + ( + ( + = (A + B + (B + C + A + C ( + ( +
Uguagliando i polinomi a numeratore della prima e dell ultima frazione, si ottiene il sistema: A + B = B + C = 9 A + C = 8 Pertanto: ( 9 + 8 + + + d = + + + 5 + = d = A = B = C = 5 + d + + d + 5 + d = = log + + log( + + 5 arctan + c = log + + 5 arctan + c ( + (e Poiché il grado del polinomio al numeratore è superiore a quello del denominatore, occorre preliminarmente procedere alla divisione dei due polinomi Si ottiene 5 + + Pertanto 5 + + = + + ( d = + d + d = + + log + c (f Effettuando la necessaria divisione tra il polinomio a numeratore e quello a denominatore, si ottiene 5 + + = + + Dunque 5 ( + + d = + + d = Ricorriamo alla decomposizione in fratti semplici: + d ( + d + ( + = A + B + C + D + Procedendo come sopra, si ottiene A = B = C = D = Dunque: 5 + + ( d = + + d = log arctan + c 6 (a L integrale e e e + d può essere trasformato nell integrale di una funzione razionale effettuando la sostituzione e = t, da cui = log t e d = t dt Pertanto e e e + d = t t t + t dt = t t + dt = (t (t dt
Si tratta dell integrale di una funzione razionale il cui denominatore è decomposto in fattori irriducibili Usiamo il metodo di decomposizione in fratti semplici: (t (t = A t + B A(t + B(t = = t (t (t Uguagliando i coefficienti dei polinomi a numeratore, si ottiene il sistema: (A + Bt A B (t (t { A + B = A B = = { A = B = (b Pertanto e e e + d = sinh cosh + d = ( t t e e e +e + d = dt = log t log t + c = log e log e + c e e e + e + d Effettuando, come sopra, la sostituzione e = t, da cui = log t e d = t dt, si ottiene sinh cosh + d = t t t + t + t dt = t (t (t + t + + t t dt = (t + t dt = Con il metodo di decomposizione in fratti semplici si ottiene: t t(t + dt t t(t + = A t + B A(t + + Bt = = t + t(t + Uguagliando i coefficienti dei polinomi a numeratore, si ottiene il sistema: (A + Bt + A t(t + { A + B = A = { A = B = Dunque: ( sinh cosh + d = + t t + dt = log t + log t + + c = log e + log e + + c = = log (e + + c + (c L integrale d, può essere ricondotto ad un integrale di funzione razionale operando la 5 sostituzione = t, da cui = + t e d = t dt Pertanto + 5 d = Eseguendo la divisione tra polinomi si ottiene Dunque: + 5 t + t + t t + t + t t Decomponendo l ultima frazione in fratti semplici, si ha: t + t + t t dt = t = t + + 5t + t ( 5t + d = t + + (t (t + dt dt 5t + (t (t + = A t + B A(t + + B(t = t + t = Uguagliando i numeratori della prima e dell ultima frazione si ottiene il sistema: (A + Bt + (A B t
{ A + B = 5 A B = = { A = 7 B = Dunque : + 5 ( 7 d = (t + dt + t + t + dt = t + t + 7 log t + log t + + c = = + + 7 log + log + + c (d Per risolvere l integrale ( + d, allo scopo di eliminare i radicali si può effettuare la sostituzione = t 6, da cui d = t 5 dt ; in tal modo si ha = t e Dunque: ( + d = t 5 t (t + dt = t ( t + dt = t + = t dt = t arctan t + c = (e L integrale = 6 arctan 6 + c d è già stato risolto precedentemente per parti; si può anche effettuare la sostituzione = sin t, da cui e d = cos t dt La funzione = sin t non è iniettiva; pertanto, per poter effettuare la sostituzione inversa, dobbiamo restringerci a un opportuno intervallo di integrazione; conviene scegliere l intervallo [ π, ] π, in cui oltre a invertire la funzione = sin t, trovando t = arcsin, è anche possibile ricavare = cos t Dunque + cos(t d = cos t dt = dt = t + sin(t + c = t + sin t cos t + c = = arcsin + + c (f Per risolvere l integrale + d conviene effettuare la sostituzione = sinh t, da cui si ricava d = cosh t dt ; si ha inoltre + = cosh t, tenendo conto che i due membri dell ultima uguaglianza sono funzioni sempre positive Dunque (e + d = cosh t + e t e t + e t + t dt = dt = dt = ( e t e t + t + c = = sinh(t + t + c = sinh t cosh t + t + c = + + settsinh + c (g Per risolvere l integrale d conviene effettuare la sostituzione = cosh t, da cui si ricava d = sinh t dt Ponendoci su un opportuno intervallo di integrazione, possiamo invertire la funzione = cosh t; conviene scegliere l intervallo [, +, in cui si trova t = log( + Inoltre è anche possibile ricavare = sinh t Dunque d = sinh t dt = (cosh t dt = cosh t dt t Sfruttando il risultato appena trovato sopra cosh t dt = sinh t cosh t + t + c, si ha: d = + log( + + c (h Per calcolare d, allo scopo di trasformarlo in un integrale di funzione razionale possiamo ( + tan usare la sostituzione tan = t, da cui = arctan t e d = +t dt Quindi:
( + tan d = ( + t + t dt Ricorriamo alla decomposizione in fratti semplici ( + t ( + t = A + t + B ( + t + Ct + D + t Procedendo come sopra, si ottiene A = B = C = D = Dunque: ( + tan d = + t dt + = log + tan ( + t dt + tan log( + tan + c (i Per risolvere l integrale cos sin sin d cos + è consigliabile usare la sostituzione cos = t, da cui sin d = dt Pertanto cos t sin sin d = cos + t t + dt = t t + t dt t dt = log + t + t + t log( + t + c = Il polinomio a denominatore ammette la radice t = e si fattorizza in t + t = (t (t + t + Ricorrendo alla decomposizione in fratti semplci, si trova t (t (t + t + = 5 t + 5 t 5 t + t + Dunque t t + t dt = ( t + 5 t t + t + dt = 5 ( log t t + t + t + dt 9 + (t + dt = = 5 log t 5 log(t + t + 9 arctan(t + + c 5 Infine cos sin cos + sin d = 5 log cos 5 log(cos + cos + 9 arctan(cos + + c 5 (j L integrale d, può essere ricondotto ad un integrale di funzione razionale mediante le sin + cos formule di razionalizzazione delle funzioni trigonometriche, cioè operando la sostituzione tan = t, da cui = arctan t e d = t dt ; si ha inoltre sin = + t + t e cos = t + t Pertanto sin + cos d = t +t + t +t + t dt = Decomponendo l ultima frazione in fratti semplici, si ha: (t + (t = A t + + 8t + t B A(t + B(t + = = t (t + (t dt = (t + (t dt (A + Bt + ( A + B (t + (t
Uguagliando i numeratori della prima e dell ultima frazione, si ottiene il sistema: Dunque sin + cos ( d = { A + B = A + B = = 5 log tan + tan t + + + c = t { A = B = dt = 5 log t + log t + c = 5 7 (a Per la formula fondamentale del calcolo integrale, per risolvere l integrale definito prima trovare una primitiva F ( della funzione f( = e poi calcolare F ( F ( Per calcolare d, ottenendo: ( ( + = A + d, si deve usiamo il metodo di decomposizione delle funzioni razionali in fratti semplici, B A( + + B( = = + ( + ( Uguagliando i coefficienti dei due polinomi a numeratore, si ottiene il sistema: (A + B + A B ( + ( { A + B = A B = { A = B = Dunque ( + + d = [ log + ] log + = log + log log log = log log (b Per calcolare l integrale definito Utilizziamo dapprima la sostituzione + = u e dunque d = di integrazione per parti; otteniamo: log( + ( + d = log u u du = ( u log u u du = Pertanto log( + ( + d = [ + log( + ] + c ( + Dunque l integrale definito cercato vale: log( + ( + d = log( + log( + ( + d, calcoliamo prima l integrale indefinito ( + d [ + log( + + ] = du, e in seguito applichiamo la formula ( + log 5 ( u log u + c u 5 = log 5 6 t (c Per calcolare l integrale definito 9 t dt, calcoliamo prima l integrale indefinito, usando la t + sostituzione: t = y, e dunque t = y da cui dt = y dy t Allora: t + t dt = y y ( y y dy = y + y y y + dy = y dy = y + = dy (y (y dy
Usiamo il metodo di decomposizione delle funzioni razionali in fratti semplici: (y (y = A y + B A(y + B(y (A + By A B = = y (y (y (y (y che porta a risolvere il sistema: { A + B = A B = { A = B = Dunque: dy (y (y ( dy = y y + y dy = y + log y log y + c Applicando ora la sostituzione inversa, si ottiene: t t t + dt = t + log t log t + c = t + log t + c t Si può infine ricavare il valore dell integrale definito 6 t t t + dt = 6 6 + log 9 9 log = + log 8 log 6 9 9 (d Per risolvere l integrale definito arctan d, si deve anzitutto spezzare l intervallo di integrazione [, ] nei due sottointervalli [, ] e [, ], in quanto la funzione assume in essi due espressioni diverse; si ha dunque arctan d = ( arctan d + ( arctan d Possiamo ora utilizzare la formula di integrazione per parti per calcolare l integrale indefinito: ( ( ( ( arctan d = arctan + d = arctan + d Poiché il polinomio a denominatore nell ultimo integrale non ha grado superiore a quello a numeratore, procediamo con la divisione del numeratore per il denominatore: ( + d = + + d = d + d + d = log( + arctan +c Dunque: ( ( arctan d = arctan ( log( + arctan + c Calcolando ora l integrale definito, si ricava: [( arctan d = arctan ( log( + arctan ] + [( + arctan ( log( + arctan ] = + ( π
8 (a Per [, ], f( è senz altro positiva (perché somma di quantità positive Dunque l area A richiesta risulta essere: [ A = f( d = = ( + + d = ( + + d = [ + log ] = + log log + = + log (b Tenendo conto che nell intervallo (, π la funzione f( è positiva, mentre, tra π e π, A della regione R è data da: ] + log + = f( è negativa, l area A = π + 6 d π π sin d = 6 [ + ] π [ cos ] π π = [ ] π 6 + π + [ + ] = π 8 + π + (c Si osservi che i punti A e B appartengono alla curva di equazione y = e Dunque sono i punti di intersezione tra la curva e la retta passante per A e B La retta r passante per i punti A= (, e e B= (, ha equazione y = ( e Notiamo inoltre che la funzione f( è sempre negativa, e dunque la regione R è situata al di sotto dell asse delle ; osserviamo infine che la corda AB sta al di sotto del grafico della funzione f( Pertanto l area A richiesta sarà data da: ( A = [( e ] d ( e d = (d Prima di pensare al calcolo dell area, dobbiamo studiare il segno di f in (, : il fattore ( è negativo il fattore log( + è positivo, perché + >, IR Dunque nell intervallo (, la funzione f( è negativa Pertanto l area richiesta è data da: A = f( d = [ ] e [( e +e ] d = + e ( log( + d Risolviamo l integrale indefinito, utilizzando il metodo di integrazione per parti: ( log( ( ( + d = log( ( + d = + = e log( + + d + Per risolvere il rimanente integrale, dividiamo il polinomio al numeratore per il denominatore, ottenendo: [ + d = ( + + 8 ] + d = + + d + 8 + d = Quindi: = log( + + arctan + c [ ( A = log( + + + log( + arctan = = [ + + log 5 arctan log ] log = log log 5 + arctan ]
(e Studiamo prima il segno di f Poiché il denominatore è una quantità sempre positiva, basta studiare il segno del numeratore f( > e e > e ( e > e > e < < Dunque: f( > per < ; f( < per > ( Consideriamo ora l intervallo log, log = ( log, log Per ( log, la funzione è positiva Dunque l area compresa tra il grafico di f e l asse delle è data da: A = log f( d Invece, per (, log, la funzione è negativa, e l area sarà data da: A = log Pertanto l area richiesta sarà la somma delle due aree: A = A + A = log f( d f( d log f( d Calcoliamo l integrale indefinito: e e f( d = d = + e e + (e d e + e d = arctan(e log ( + e + c Calcoliamo ora gli integrali definiti: A = arctan( log( + arctan e log + log ( + e log = = π log arctan + ( log + = π + log A = [arctan e log ( log + e log arctan + ] log = = arctan + log( + + π log = π + log Dunque l area richiesta è: A = ( log + log = log 9 a Per definizione di media integrale µ = f( d = ( d + ( ( (6 d = d + [6 ] = 6 + b Poiché f( non è continua sull intervallo [, ], non si può utilizzare il teorema della media integrale per affermare l esistenza di un punto c con le caratteristiche richieste Controlliamo pertanto direttamente se µ appartiene all immagine di f Si verifica facilmente che Im (f = [, [7, 5] Dunque µ / Im(f e non esiste nessun c [, ] tale che f(c = µ
(a Le primitive di h( = log( + si trovano risolvendo l integrale indefinito h( d Per risolvere questo integrale, si può applicare la formula di integrazione per parti: f( g ( d = f( g( f (g( d Nel nostro caso scegliamo f( = log( + e g ( = Si ottiene quindi: log( + d = log( + + ( = log( + + Dunque le primitive di h sono le funzioni: d = log( + + d = d = log( + + log( + + c F c ( = log( + + log( + + c, c IR (b Tra tutte le funzioni F c ( si deve trovare quella per cui F c ( = log F c ( = log + log + c = log + c Dunque F c ( = log se e solo se c = Pertanto la primitiva cercata è la funzione F ( = log( + + log( + + Possiamo procedere come sopra, trovando tutte le primitive di f( e poi quella che passa per P= ( π, Oppure possiamo sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale; la primitiva cercata è la funzione integrale F ( = π f(t dt Scegliamo la seconda strada Risolviamo prima l integrale indefinito f(t dt = (t sin t + cos t dt Incominciamo con il separare l integrale nella somma di due integrali, data la linearità dell operazione di integrazione Eseguiamo il primo integrale per parti, prendendo il fattore sin t come fattore differenziale: t sin t dt = t ( cos t ( cos t dt = t cos t + cos t dt = t cos t + sin t + h Per eseguire il secondo integrale possiamo usare l identità trigonometrica cos t dt = Quindi: ( + cos t π dt = dt + ( t sin t + cos t dt = cos t = cos t dt = t + [ t cos t + sin t + t + sin t ] π +cos t Allora: cos t dt = t + sin t + k = cos + sin + + sin + π cos π sin π π sin π = cos + sin + + sin π =
Data la presenza del valore assoluto, distinguiamo le due funzioni che formano la prima componente di f(, sui due intervalli (, e [,, e riscriviamo se < f( = se < + se Iniziamo a trovare tutte le primitive di ciascuna delle tre funzioni che compongono f( F ( = d = ( / F ( = F ( = d = + d = ( / + d = ( / / + c = ( + c, se < d = (/ / + c = + c, se (, d = Le primitive generalizzate devono essere funzioni continue Dunque deve essere Pertanto / + (/ d = arctan + c, se > lim F ( = lim F ( e lim F ( = lim F ( + + c = c e + c = arctan + c, da cui c = c = c e c = c + arctan Dunque tutte le primitive generalizzate di f( sono le funzioni + c se < F c ( = + c se < arctan + c + arctan se Cerchiamo tra esse quella tale che F c ( = : = / + c Si ricava dunque c = Pertanto la primitiva cercata è la funzione se < F ( = se < arctan + arctan se