Contenuto Condizioni di esistenz.... Linee di frzione.... Rdici di indice pri.... Logritmi.... Funzioni goniometriche inverse.... Composizione di condizioni di esistenz... Disequzioni irrzionli.... Esempi.... Esercizi svolti..... Primo esercizio..... Secondo esercizio..... Terzo esercizio..... Qurto esercizio... Divisione fr polinomi... Equzioni.... Equzioni di primo grdo.... Equzioni di secondo grdo..... Formul ridott... 7.. Risolvere con un sistem di due equzioni di primo grdo... 7.. Equzioni pure... 7.. Equzioni spurie... 7. Equzioni di grdo superiore l secondo... 7.. Equzioni biqudrtiche... 7.. Altre equzioni di grdo superiore l secondo... 7. Equzioni frtte... 8 Geometri... 8. Il punto... 8. Distnz punto-rett... 8. L rett... 8.. Generlità... 8.. Rett pssnte per due punti... 9 Notzione esponenzile... 9. Esponenti negtivi... 9. Esponenti frzionri... 9 7 Rdicli... 9 8 Ruffini... 9 9 Sistemi di disequzioni... 9. Esercizi svolti... Emnuele Agrimi
9.. Primo esercizio... 9.. Secondo esercizio... 9.. Terzo esercizio... 9.. Qurto esercizio... Studio del segno.... Studio del segno del prodotto.... Studio del segno del rpporto... Studio di funzioni... Tbelle di verità... APPENDICE A Formulrio.... Formule goniometriche.... Coniche.... Limiti notevoli... APPENDICE B Esercizirio.... Espressioni lgebriche.... Equzioni.... Sistemi di equzioni... Emnuele Agrimi
Condizioni di esistenz Prerequisito: nessuno. Linee di frzione Si pone il denomintore diverso d zero. Ad esempio: e.. Rdici di indice pri Si pone il rdicndo mggiore o ugule zero (non per rdici di indice dispri). Ad esempio: 7 7 7.. Logritmi Si pone l rgomento mggiore di zero, questo è fcile d ricordre vendo presente il grfico del logritmo. Ad esempio: log( ).. Funzioni goniometriche inverse Si pone come condizione che l rgomento pprteng l codominio dell funzione dirett. Ad esempio: rcsin z z z. Composizione di condizioni di esistenz Nelle espressioni più complicte bisogn imporre tutte le condizioni di esistenz e non solmente quell di livello più lto. Ad esempio: log( 9) log( 9) Non log( 9) log( 9) bensì, 9. Disequzioni irrzionli Prerequisito: Sistemi di disequzioni (8) Definizione: un disequzione in cui l incognit compre sotto rdice Portre il termine irrzionle sinistr e gurdre il verso dell disequzione: con g( ) si pone f ( ) f ( ) g( ) con g( ) si pone f ( ) e f ( ) g ( ) con g( ) non esistono soluzioni f ( ) g( ) con g( ) si pone f ( ) e f ( ) g ( ) Emnuele Agrimi
. Esempi pongo 8 - e pongo pongo pongo. Esercizi svolti.. Primo esercizio 8.. Secondo esercizio Risolvendo le disequzioni del primo sistem si trov cioè Risolvendo le disequzioni del secondo sistem si trov cioè Unendo le due soluzioni si h quindi: : S.. Terzo esercizio : S.. Qurto esercizio 7 Divisione fr polinomi Prerequisito: nessuno Emnuele Agrimi
N.B.: si ved nche Ruffini (8). Seguire il procedimento meccnico rppresentto nell esempio. Es. ( ) ( ) Cmbio di segno Sommo ( ) Cmbio di segno Sommo Emnuele Agrimi
resto Il risultto è quindi che ( ) ( ) Se nel polinomio fosse stto possibile fttorizzre, il resto dell divisione srebbe stto. Equzioni. Equzioni di primo grdo Si isol l incognit primo membro. Ad esempio: 7 7. Equzioni di secondo grdo Prerequisito: condizioni di esistenz per le rdici di indice pri (.). Definizione: un equzione si dice di secondo grdo qundo il grdo mssimo con cui compre l incognit è. Si port tutto primo membro, si ordin con grdo dell incognit discendente (portndosi nell form b c ) e si pplic l formul risolutiv:, b ± b c. Ad esempio: Emnuele Agrimi
, ( ) ± ( ) ( ) ± 9 ± 7.. Formul ridott Ignortene l esistenz: sbglierete inutilmente e perderete il vostro tempo. Uste l formul risolutiv normle, così com è... Risolvere con un sistem di due equzioni di primo grdo Prerequisito: sistemi di equzioni L equzione di secondo grdo viene post nell form s p e si risolve il sistem s p (s e p sono rispettivmente l somm ed il prodotto delle soluzioni e vlgono, con riferimento ll form b c, b s e.. Equzioni pure Definizione: equzioni di secondo grdo in cui b Si pplic l formul risolutiv con b :, ±.. Equzioni spurie Definizione: equzioni di secondo grdo in cui c Si pplic l formul risolutiv con c :, c p ). Equzioni di grdo superiore l secondo c b.. Equzioni biqudrtiche Prerequisito: equzioni di secondo grdo (.). Definizione: equzioni nell form b c Si pone t e si risolve l equzione di secondo grdo in t, infine si ricv il vlore di possono essere fino soluzioni). Ad esempio: t t t d cui, per i due vlori di t A, B ± t A, B t ± ( soluzioni) non esistono ( soluzioni), ± t (ci.. Altre equzioni di grdo superiore l secondo Prerequisito: divisione fr polinomi (), metodo di Ruffini (8), equzioni di secondo grdo (.). Si individu in mnier furb un soluzione dell equzione (di solito bst provre se ± o ±) e poi si bbss il grdo dell equzione effettundo l divisione fr polinomi. Si procede così fino d ver identificto tutte le soluzioni. Ad esempio: 7 7 7 è soluzione ( 7 ) ( ) sono soluzioni,, Emnuele Agrimi 7
. Equzioni frtte Prerequisito: condizioni di esistenz per linee di frzione (.), equzioni di primo grdo (.) Definizione: un equzione si dice frtt qundo l incognit compre denomintore Si risolvono seguendo questi pssi. Si pongono le condizioni di esistenz per le linee di frzione. Si costruisce il minimo comune multiplo fr i denomintori. Si eliminno i denomintori. Si risolve l equzione risultnte. Si verific che i risultti ottenuti rispettino le condizioni di esistenz. Ad esempio: ( )( ) Psso : Psso : ( ) ( ) Psso : Psso : Psso : soluzione ccettbile (non lede lcun condizione di esistenz post l psso ) Geometri. Il punto Prerequisito: nessuno - - - - Le coordinte del punto vengono riportte nell form (, ) P P. E possibile individure l posizione del punto procedendo come in figur, in cui è stto rppresentto il punto di coordinte (, ). - -. Distnz punto-rett Prerequisito: l rett (.) Si mette l rett in form implicit e si pplic l formul d( P, r) P (, ) ( P, r) e r :. L rett Prerequisito: il punto (.) P bp c. Ad esempio: b ( ) d... Generlità Si rppresent in form implicit b c o esplicit m q. Emnuele Agrimi 8
m è il coefficiente ngolre; q l intercett (corrisponde ll intersezione con l sse delle ordinte) r ed s sono prllele qundo m r ms ; sono perpendicolri qundo mr ms. A coefficienti ngolri positivi corrispondono rette crescenti, coefficienti ngolri negtivi rette decrescenti. Le rette orizzontli hnno equzione k mentre quelle verticli k, in cui k è un numero qulsisi... Rett pssnte per due punti Dti P ( ) e P ( l equzione dell rett pssnte per i due punti si può ricvre dll formul. L formul non vle per rette prllele gli ssi crtesini. Ad esempio: P (, ) e P (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Notzione esponenzile Prerequisito: nessuno. Esponenti negtivi Un esponente negtivo indic un frzione. Ad esempio:. Esponenti frzionri Un esponente frzionrio indic un rdice. Ad esempio: 7 Rdicli 8 Ruffini Prerequisito: nessuno Consente di clcolre il quoziente ed il resto di un divisione di un polinomio per i. Si ordin il dividendo secondo il grdo decrescente dell incognit e si riempie l tbellin di divisione considerndo il polinomio completo. Ad esempio: - - Riporto i coefficienti del polinomio completo ordinto e l soluzione propost (termine noto del divisore, cmbito di segno) Se nell esempio mncsse il termine di secondo grdo, nell tbellin dovremmo riportre uno zero fr il coefficiente di terzo e di primo grdo. Emnuele Agrimi 9
- - Abbsso il coefficiente del termine con grdo mssimo - - - - - - - - - - - - - - - - - - Moltiplico per e scrivo il risultto Sommo e e scrivo il risultto Moltiplico per e scrivo il risultto Sommo e e scrivo il risultto Moltiplico per e scrivo il risultto Sommo e e scrivo il risultto Quello che si ottiene è che ( ) ( ) ( ) stto vremmo fttorizzto il polinomio di terzo grdo.. Se il resto fosse 9 Sistemi di disequzioni Prerequisito: disequzioni (non le irrzionli, poiché si risolvono con i sistemi di disequzioni, tbelle di verità (). Risolvere ciscun disequzione seprtmente e stilre l tbell di verità. 9. Esercizi svolti 9.. Primo esercizio - S : 9.. Secondo esercizio ( ) - S : Emnuele Agrimi
9.. Terzo esercizio ( ) 9.. Qurto esercizio ( ) 7 -/ -/ 7 S : S : 7 Studio del segno N.B.: si ved nche le tbelle di verità (). Prerequisito: nessuno. Si pplic l regol dei segni i fttori del prodotto / l numertore e l denomintore dell frzione. Un trtto continuo indic segno, un trtto discontinuo (o l mncnz di trtto) indic segno.. Studio del segno del prodotto ( ) ( ) - S :. Studio del segno del rpporto Se voglimo spere qundo si h studimo l positività del numertore (N, può essere N o N ) e del denomintore (D, può essere solo D ) e poi pplichimo l regol dei segni. N D - S : Studio di funzioni Prerequisito: condizioni di esistenz (), limiti Si seguono questi pssi: Emnuele Agrimi
si individu il dominio (o insieme di esistenz) considerndo le condizioni di esistenz Verificre se l funzione è pri o dispri; Se f ( ) f ( ) l funzione si dice pri; Se f ( ) f () l funzione si dice dispri. si studi l continuità nei punti in cui l funzione non è definit. Se qulche limite non è finito signific che si h un sintoto verticle si svolgono i limiti gli estremi destro e sinistro: si svolgono i limiti f lim f lim e Se lmeno uno di questi due limiti è finito signific che esiste un sintoto orizzontle; Se uno o tutti e due i limiti non sono finiti è possibile che esistno sintoti obliqui. Ricerc degli eventuli sintoti obliqui : Nel cso in cui vi possno essere sintoti obliqui svolgere i limiti : ( ) f lim m e lim [ f ( ) m] n (e nloghi per ) Se questi due limiti sono finiti, l rett m n è un sintoto obliquo. Clcolo di f '( ) ove l funzione è derivbile e suo studio. Per lo studio del segno si pone : f '( ) per trovre i punti di m e min. f '( ) per vedere ove l funzione è crescente. f '( ) per vedere ove l funzione è decrescente. Clcolo di f ''( ) ove possibile e suo studio Per lo studio dell convessità si pone : f ''( ) per trovre i punti di flesso f ''( ) per vedere ove l funzione è convess f ''( ) per vedere ove l funzione è concv. Costruzione del grfico: Utilizzndo le crtteristiche trovte trccire il grfico dell funzione. Tbelle di verità N.B.: si ved nche lo studio del segno (). Prerequisito: nessuno. Si disegn un trtto continuo dove ciscun frse è ver e poi si pplic l simultneità delle verità, cioè prendo solo gli intervlli in cui sono vere tutte le frsi. Qundo gli estremi dell intervllo sono compresi si disegn un pllino pieno, qundo sono esclusi si disegn un pllino vuoto. Ad esempio e sono rppresentte di due intervlli in nero e l verità di entrmbe è rppresentto dll ultimo intervllo in bsso. - Emnuele Agrimi
APPENDICE A Formulrio. Formule goniometriche Relzione fondmentle: cos α sin α Sottrzione: sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cos( α β ) cos( α β ) cosα cos β sinα sin β tnα tn β tn( α β ) tnα tn β Addizione: sin α β sinα cos β cosα sin β tn ( α β ) cosα cos β sinα sin β tnα tn β tnα tn β Dupliczione: Bisezione: Formule prmetriche: α cosα t sin ± sinα sin α sinα cosα t α cosα t cosα cos α sin α cos ± cosα t tnα tn α α cosα α tn α tn ± t tn cosα Prostferesi: p q p q sin p sin q sin cos p q p q cos p cosq cos cos p q p q sin p sin q cos sin p q p q cos p cosq sin sin Werner: cosα cos β cos( α β ) cos( α β ) sinα cos β sin( α β ) sin( α β ) sinα sin β [ cos( α β ) cos( α β )] [ ] [ ]. Coniche Circonferenz: b c b b Centro :, r c Ellisse: b Intersezioni sse : ± Intersezioni sse : ± b c Fuochi: c b Eccentricità: e Emnuele Agrimi
b b Intersezioni sse : ± Asintoti obliqui: ± c Fuochi: c b Eccentricità: e Iperbole: Iperbole equilter: k Prbol: Vertice: b c b b V, b b Fuoco: F, c c b Asse di simmetri: b Direttrice: c. Limiti notevoli lim sen sen lim ( ) tn lim cos cos ( ) k lim lim lim k; α lim e e α lim ln( ) ln( α ) lim lim α lim ln log e e log ( ) lim lim log e con R {} ln k R APPENDICE B Esercizirio. Espressioni lgebriche Equzioni lgebriche t z t z t z t z t z t z t z Frzioni lgebriche 7 z z 8 8 8 8 ( ) Emnuele Agrimi
9 Divisione fr polinomi: ( ) [ ]. Equzioni Equzioni di primo grdo [ 7 ] [ ] Equzioni di secondo grdo 7 9 9 9 9 9 8 [ ] ± Equzioni frtte - non ccettbile. Sistemi di equzioni z z z,,,, z Trovre tre numeri l cui somm è spendo che il mggiore super il medio del doppio del minore e che il medio è ugule ll differenz tr il triplo del mggiore e nove volte il minore. [,, 7] Ho bnconote in pezzi d,, per un totle di 7 euro. Per comprre un vestito utilizzo l metà delle bnconote d e tutte quelle d spendendo euro. Di qunte bnconote disponevo (per ciscun tglio)? [7,, 8] Emnuele Agrimi