1 Esercizio tratto dal Problema 13.34 del Mazzoldi 2) Un gas ideale biatomico passa dallo stato A.1 10 2 m 3, p A 0.6 bar, T A 476 K) allo stato B V B 3.0 10 2 m 3 ) con una compressione isobara reversibile. Il gas viene poi posto a contatto termico con una sorgente alla temperatura T C e si espande fino al volume 3.4 10 2 m 3, compiendo il lavoro W B C 2 kj. Dallo stato C il gas torna infine nello stato A con un espansione adiabatica reversibile. [R 8.314 J mol 1 K 1 ] NB: I punti da 1. a 4. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti da 1. a 4. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati. 1. Calcolare il numero di moli del gas [1 punto]; 2. Determinare pressione e temperatura del gas nello stato B [1 punto]; 3. Determinare pressione e temperatura del gas nello stato C [1 punto]; 4. Quanto vale il calore scambiato nel tratto C A? [1 punto];. Calcolare il calore scambiato nel tratto A B. E assorbito o ceduto? [3 punti]; 6. Calcolare il calore scambiato nel tratto B C. E assorbito o ceduto? [3 punti]; 7. Calcolare il rendimento del ciclo [2 punti]; 8. Calcolare il lavoro nel tratto A B; 9. Calcolare il lavoro nel tratto C A. p C B A V
2 SOLUZIONE Dati iniziali: Scriviamo i dati iniziali convertendo in unità del Sistema Internazionale p A 0.6 bar 0.6 10 Pa T A 476 K.1 10 2 m 3 V B 3.0 10 2 m 3 3.4 10 2 m 3 W B C 2 10 3 J 1) 1. Calcoliamo anzitutto il numero di moli del gas. Sfruttando l equazione di stato nella stato A abbiamo: p A nrt A Sostituendo i dati otteniamo n p A RT A 2) n 0.6 10 Pa.1 10 2 m 3 J 8.314 mol K 476 K 0.6 10.1 10 2 Pa m 3 8.314 476 K J mol K/ K/ [uso J N m Pa m 3 ] 0.773 mol 3) 2. Calcoliamo ora la pressione e la temperatura nello stato B. Dato che la trasformazione B C è isobara, abbiamo: p B p A 4) p B 0.6 10 Pa Per quanto riguarda la temperatura, usiamo nuovamente l equazione di stato p B V B nrt B T B p BV B nr [uso 2)] p BV B p A RT A R [uso 4)] T A V B )
3 T B T A V B 476 K 3.0 10 2 m 3.1 10 2 m 3 280 K 6) 3. Calcoliamo ora la pressione e la temperatura nello stato C. Siccome la trasformazione C A è un adiabatica, abbiamo che p C V γ C p AV γ A dove Pertanto γ c p c V 7 2 R 2 R 7 gas biatomico) 7) ) 7/ VA p C p A 8).1 10 p C 0.6 10 2 m 3 ) 7/ Pa 3.4 10 2 m 3 1.06 10 Pa 9) Per la temperatura usiamo nuovamente l equazione della curva adiabatica, questa volta nella forma T C V γ 1 C T A V γ 1 A da cui ) γ 1 VA T C T A T A VA ) 2/ 10).1 10 2 m 3 ) 2/ T C 476 K 3.4 10 2 m 3 60 K 11) 4. Nel tratto C A il calore in quanto C A è un adiabatica. Q C A 0 12). Calcoliamo ora il calore Q A B. Siccome si tratta di una trasformazione isobara, possiamo utilizzare la formula
4 Q A B nc p T B T A ) n 7 2 R T B T A ) 0.773 mol / 7 2 8.314 J 280 476) K/ mol / K/ 4409 J calore ceduto dal gas) 13) 6. Calcoliamo ora il calore Q B C. Utilizziamo il primo principio della termodinamica U Q W ) ed otteniamo Q B C U B C + W B C nc V T C T B ) + W B C n 2 R T C T B ) + W B C 7. Il rendimento del ciclo è definito come Per quanto calcolato in precedenza 8. Calcoliamo ora il lavoro W A B : 0.773 mol / 2 8.314 J 60 280) K/ + 2000J mol / K/ 6499 J calore assorbito dal gas) 14) η 1 + Q ced Q ass 1) Q ced Q A B 4409 J Q ass Q B C 6499 J η 1 4409 J 0.32 16) 6499 J VB W A B pdv p A V B ) 0.6 10 Pa 3.0.1) 10 2 m 3 1.26 10 3 Pa m 3 1260 J lavoro subìto dal gas) 17) 9. Calcoliamo ora il lavoro W C A. Per il primo principio applicato al caso di un adiabatica
si ha W C A U C A UC) UA) nc V T C T A ) n 2 RT C T A ) [uso 2) e 10) per esprimere tutto in termini dei dati iniziali] p ) ) A 2/ RT A 2 R VA T A T A VA ) 2/ 2 p A 1).1 ) 2/ 2. 0.6 10 Pa.1 10 2 m 3 1) 3.4 1347 J 18) Controlliamo che il rendimento del ciclo si possa valutare anche come η Per quanto calcolato in precedenza, otteniamo mentre che coincide col risultato 16). W Q ass 19) W W A B + W B C + W C A 1260 J + 2000 J + 1347 J 2087 J 20) Q ass Q B C 6499 J 21) η W 2087 J 0.32 22) Q ass 6499 J