3 Esercitazini Esercizi svlti Esercizi 3. Un fasci di luce passa dalla regine A alla regine B di un mezz cn indice di rifrazine n attravers una spessa lastra di materiale il cui indice di rifrazine è n. Di quale angl viene deviat il fasci emergente rispett al fasci incidente? A θ n Utilizzand la legge di Snell per l'interfaccia superire si ha n senθ = n senθ, n mentre per l'interfaccia inferire si ha B θ 3 n senθ 3 = n n senθ. Sstituend la prima espressine nella secnda, si ttiene dunque n n senθ3 = senθ = senθ, n n ciè θ 3 = θ e l strat nn altera la direzine del fasci. Esercizi 3. Un piccl crp lumins pst sul fnd di un larg recipiente clm d'acqua (n acqua 4/3) e prfnd 00cm emette raggi di luce vers l'alt in tutte le direzini (vedi figura). Sulla supeficie dell'acqua si frma un cerchi di luce causat dai raggi che vengn rifratti passand nell'aria (n aria ). All'estern del cerchi i raggi vengn ttalmente riflessi e rimangn nell'acqua. Determinare il raggi R di quest cerchi. R θ c Plitecnic di Trin Pagina di 6
3 Esercitazini La riflessine ttale ha lug quand l'angl di incidenza è maggire dell'angl critic θ c, che si può ricavare facilmente dalla legge di Snell, impnend che l'angl frmat dal raggi cn la nrmale in aria sia rett: nacqua senθ c = nariasen 90 naria senθ c = 0. 75. n acqua Si ricava quindi facilmente θ c 48.6. Per ragini gemetriche il valre R del raggi del cerchi è infine dat da R = 00cm tanθ 00cm 3. = 3cm. c Esercizi 3.3 Due specchi (A e B) frman un angl α. Un raggi di luce viene rifless da A e successivamente da B. Determinare l angl γ di deflessine del raggi in funzine di α e verificare che ess è indipendente dall angl di incidenza del raggi su A. Determinare pi l'angl α in md che il raggi A incidente venga defless, dal sistema α 80 α frmat dai due specchi, di γ = 80. θ Α θ Α 90 θ Α 90 θ Β Suppniam che il raggi incidente θ Β θ giunga sul prim specchi A secnd un B Β angl di incidenza θ Α. La direzine del raggi rifless sarà rutata, rispett alla direzine del raggi incidente, di un angl γ Α = 80 θ Α (il che è evidente dalla figura cnsiderand il prlungament del raggi ltre l specchi). Analgamente la secnda riflessine apprterà una ulterire rtazine antiraria di un angl γ Β = 80 θ Β, dve θ Β è l angl di incidenza sull specchi B. L'angl di rtazine ttale si può scrivere dunque cme γ = γ A + γ B = 360 (θ Α + θ Β ). L'angl θ Β può pi essere determinat cn cnsiderazini gemetriche sul triangl frmat dai due specchi e dal raggi intermedi. Impnend infatti che la smma degli Plitecnic di Trin Pagina di 6
3 Esercitazini angli interni di tale triangl valga 80 si ttiene facilmente da cui θ Α + θ Β = 80 α, γ = α. Si sserva ciè che la deviazine ttale è sempre dppia dell'angl α ed è indipendente dall'angl di incidenza θ A. A quest punt, se si vule una deflessine ttale γ = 80 basta prre α = 90. Osserviam che in quest md si cstruisce un sistema che riflette i raggi luminsi in direzine uguale a quella di partenza indipendentemente da quale sia questa direzine e su un principi simile si basan i catarifrangenti delle autvetture. Esercizi 3.4 Qual è il minim valre dell'indice di rifrazine di un prisma di 45 impiegat per deviare un fasci di luce ad angl rett mediante riflessine ttale? A 45º B 45º C Il raggi entra nel prisma perpendiclarmente alla faccia AB e quindi nn subisce deviazini. Frma pi un angl di incidenza di 45 cn la nrmale alla faccia AC. Perchè il fasci venga rifless ttalmente da AC ccrre che l'angl critic sia θ c < 90. Dp questa riflessine ttale il fasci lumins attraversa la faccia BC senza ulteriri defrmazini ed emerge dal prisma deviat ad angl rett rispett al raggi incidente. Pertant il valre minim dell'indice di rifrazine è dat dalla cndizine di riflessine ttale sulla faccia AC n prisma sen 45 = n sen 90. Tenend cnt che n aria abbiam dunque n prisma sen 45 aria 44.. Plitecnic di Trin Pagina 3 di 6
3 Esercitazini Esercizi 3.5 Si definisce cammin ttic di un raggi lumins il prdtt della lunghezza del cammin gemetric l percrs dal raggi per l'indice di rifrazine n del mezz (è un ggett prprzinale al temp che la luce impiega a fare il percrs). Si dimstra che le leggi dell'ttica gemetrica si pssn ricavare impnend che il cammin ttic di un raggi per andare da un punt P a un punt P fissati sia stazinari, vver minim massim (principi di Fermat). Da quest principi deriva in particlare il fatt che in un mezz cn indice di rifrazine unifrme il percrs dei raggi luminsi sia rettiline (minim). Derivare la legge della rifrazine di Snell a partire dal principi di Fermat, iptizzand che il punt P si trvi in un mezz cn indice di rifrazine n e che il punt P si trvi in un mezz cn indice di rifrazine n. y y P y θ θ x P y x z x Dall schema di figura si vede che il pian y z (asse z suppst uscente dalla pagina) viene assunt cme separatre dei due mezzi mgenei cn indici di rifrazine n e n rispettivamente. Fissati il punt di partenza P nel mezz, cn crdinate (x,y,0), e il punt di arriv P nel mezz, cn crdinate (x,y,0), per quant dett nel test, il percrs del raggi nei mezzi mgenei deve essere rettiline e quindi le uniche due variabili rispett a cui si può rendere stazinari il cammin ttic sn l'rdinata y e la quta z del raggi alla separazine dei due mezzi. Calcland le lunghezze l e l del raggi nei due mezzi, il cammin ttic si può scrivere cme f ( y, z) = n l + n l = n x + ( y y ) + z + n x + ( y y ) + z. Per cercare il punt stazinari calcliam pi le derivate rispett a y e z e impniam che sian uguali a zer: Plitecnic di Trin Pagina 4 di 6
3 Esercitazini fy y z n y y y y (, ) = + n x + ( y y ) + z x + ( y y ) + z f z y z n z z (, ) = + n = x + ( y y ) + z x + ( y y) + z La secnda cndizine implica che sia z = 0, vver che il punt di intersezine del raggi cn il pian di separazine dei due mezzi sia cmplanare cn P e P. Inltre è facile vedere dalla figura che nella prima equazine le quantità che mltiplican gli indici di rifrazine crrispndn rispettivamente ai seni degli angli θ e θ, da cui nsenθ nsenθ = 0, che è prpri la legge di Snell della rifrazine. = 0. 0 Esercizi prpsti Esercizi 3.6 Si cnsideri il sistema descritt nell'esercizi 3.. Si è dimstrat che il raggi entrante e il raggi uscente dalla lastra di indice di rifrazine n sn paralleli. Determinarne la distanza d in funzine dell spessre t della lastra e dell'angl di incidenza θ, nell'iptesi che quest'ultim sia piccl. Risultat: n d t n θ Esercizi 3.7 Si cnsideri il sistema descritt nell'esercizi 3. e riprtat qui a fianc, cn un sservatre pst nel punt indicat dal simbl. A causa della rifrazine l'sservatre vede il crp lumins a una prfndità inferire a quella reale. Determinare tale prfndità nelle stesse iptesi dell'esercizi 3. (prfndità del recipiente = 00cm, n acqua 4/3, n aria ). Suggeriment: l'immagine apparente (virtuale) dell'ggett lumins si deve trvare nel punt di incntr dei prlungamenti in acqua (tratteggiati in figura) dei due raggi uscenti in aria. Infatti l'sservatre percepisce la prfndità di un punt tramite l'angl frmat dai due raggi prvenienti dal punt e incidenti sui sui cchi e tale angl deve Plitecnic di Trin Pagina 5 di 6
3 Esercitazini essere piccl. Verificare che se l'angl è piccl la prfndità apparente nn dipende dall'angl stess. Risultat: h apparente naria = hreale 00cm 0. 75 = 75 cm. n acqua Esercizi 3.8 Si cnsideri un raggi lumins che attraversa un prisma trianglare equilater, di indice di rifrazine n =.5, parallelamente a una faccia, csì cme indicat nella figura qui a fianc. Determinare l'angl di deflessine δ tra il raggi entrante e il raggi uscente dal prisma. δ Risultat: δ 37.8 Esercizi 3.9 Si cnsideri un prisma a 45 di indice di 45 rifrazine n =.5 e utilizzat in riflessine ttale, cme indicat nell schema qui a fianc. Determinare l'angl critic θ c e verificare che la cndizine di riflessine ttale è verificata per il θ raggi disegnat in figura cme linea intera. Se ra si fa incidere un raggi nn perpendiclare ma cn un angl di incidenza θ (linea tratteggiata), determinare l'angl di incidenza massim θ max 45 per cui si ha ancra riflessine ttale e verificare che quand questa è sddisfatta il raggi uscente è sempre parallel a quell entrante. Risultat: θ c = arcsen 48. n sen( 45 θc) θmax = arcsen 4. 79 senθ c Esercizi 3.0 Utilizzand il principi di Fermat, intrdtt nell'esercizi 3.5, derivare la legge della riflessine, iptizzand che un raggi lumins parta da un punt P e arrivi a un punt P ', entrambi nel mezz cn indice di rifrazine n, passand per un punt della superficie riflettente di crdinate da determinarsi. Plitecnic di Trin Pagina 6 di 6