Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono punti ngolosi n quindi non sistono sintoti orizzontli n o o quindi non sistono sintoti obliqui Prtnto nllo studio di tli funzioni si smino: ) dominio b) intrszioni con gli ssi N.B.: - l dtrminzion di punti di intrszion con l ss dll sciss può ssr vitt s il polinomio non è fcilmnt scomponibil - un funzion polinomil h l mssimo un numro di intrszioni con l ss dll sciss pri l grdo dl polinomio c)? ± d) studio di pr dtrminr gli intrvlli di crscnz di, mssimi minimi rltivi, flssi tngnt orizzontl ) studio di pr dtrminr l concvità di, flssi tngnt obliqu Funzioni rzionli frtt Crttristich: D { / R D ( ) } N ( ) D( ) i vlori ch nnullno il dnomintor sono punti di discontinuità pr l funzion, prtnto pr tli vlori vnno ricrcti gli sintoti vrticli S N() Q() sono di grdo cioè b con d-bc c d www.smths.ltrvist.org
l funzion è omogrfic rpprsnt un iprbol quiltr con A.V.: d A.O. : c c S o nnull contmpornmnt il numrtor il dnomintor l funzion h un discontinuità inbil prtnto dopo vr smplificto l sprssion (numrtor dnomintor) pr (- o ) si studi l nuov funzion ottnut ch è quivlnt ll dt D / (Vdi smpio N.) Prtnto nllo studio di tli funzioni si smino: Prof. Emnul ANDRISANI ) Dominio d vntuli simmtri vidnti b) intrszioni con gli ssi (ttnzion ll discontinuità inbili) c) insim di positività d) ricrc dgli sintoti vrticli ) ricrc dgli sintoti orizzontli (sistono solo s il grdo di N() è infrior o ugul l grdo di D() ) f) ricrc dgli sintoti obliqui : mq con m finito q finito f ( ) m f '( ) q [ f ( ) m] N.B.: L sintoto obliquo sist s il grdo di N() supr di il grdo di D(). Nll funzioni frtt l quzion di tl sintoto si può dtrminr in modo rpido uguglindo d il quozint tr N() D(). (Vdi smpio N.) g) studio di pr dtrminr gli intrvlli di crscnz di, mssimi minimi rltivi, flssi tngnt orizzontl h) studio di pr dtrminr l concvità di, flssi tngnt obliqu ( può ssr vitto s i clcoli sono lboriosi) Funzioni irrzionli n g( ) Crttristich: ) s n è pri D { / R g( ) } Agli strmi (cioè dov g() ) l funzion è dfinit Pr l positività dll funzion bst ossrvr il sgno ch prcd l rdic b) s n è dispri / R g() } D {, cioè il dominio dll funzion coincid con il dominio di g() L positività dll funzion dipnd dll positività dl rdicndo www.smths.ltrvist.org
c) S n; prim di procdr nllo studio dll funzion provr d lvr mbo i mmbri pr l indic dll rdic potrbb trttrsi di un rmo (positivo o ngtivo) di un curv notvol (circonfrnz,iprbol, lliss cc.) (Vdi smpio N.) d) Nll ricrc dgli sintoti vrticli ricordrsi ch possono ssrci A.V. A.V -. divrsi fr loro (Vdi smpi N. b ) ) S l indic dll rdic è pri, nll ricrc dgli sintoti orizzontli o obliqui, convin procdr distingundo: f ( ) f ( ) Inftti frquntmnt tli iti si prsntno nll form di indcision pr inrl potrbb ssr ncssrio portr dntro (o fuori) dl sgno di rdic l vribil (Vdi smpio N.b ) f) L drivt dll funzion irrzionl ssum l form: Prof. Emnul ANDRISANI ' n n g' ( ) g( ) n Quindi l funzion non è drivbil ni punti in cui g() (Vdi smpio N.) Funzioni in vlor ssoluto f () Crttristich: sono funzioni continu dov f() è continu i punti in cui l rgomnto dl vlor ssoluto si nnull sono punti di non drivbilità pr l funzion vlor ssoluto cioè punti ngolosi Pr lo studio di tli funzioni: ) Studir l funzion f() (cioè l funzion snz il vlor ssoluto) rpprsntrl grficmnt. b) Il grfico dll funzion in vlor ssoluto si ottin ribltndo risptto ll ss dll sciss i rmi dll ngtivi (ch si trovno l di sotto dll ss ) lscindo inltrti i rmi positivi (ch si trovno l di sopr dll ss ). (Vdi smpio N.) www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI Funzioni contnnti trmini in vlor ssoluto f ( ) g( ) Crttristich: l funzion è dfinit trtti, inftti prim di procdr nllo studio di funzion bisogn splicitr il vlor ssoluto ricordndo ch R / g( ) g( ) g ( ) g( ) quindi l funzion si dcompon in du sprssioni: R / g( ) < f ( ) g( ) f ( ) g( ) R / g( ) R / g( ) < i punti in cui l rgomnto dl vlor ssoluto si nnull sono punti di non drivbilità pr l funzion vlor ssoluto cioè punti ngolosi Pr lo studio di tli funzioni: ) Si studino sprtmnt l funzioni, ciscun nll intrvllo in cui è stt itt b) Il grfico dll funzion è dto dll union di grfici dll du funzioni (Vdi smpio N.b) Funzioni sponnzili f ( ) oppur f ( ) Crttristich: il dominio dll funzion coincid con il dominio dll sponnt l funzion è smpr positiv pr qulsisi vlor dll sponnt ( ricordr ch ) n nll ricrc dgli sintoti ricordr: f ( ) s > s << ( f ) ( ( f ( ) f ( ) f ) f ) n f ( ) ( ) f f ) f ( ) ( ( ) f f ( ) f ( ) non sistono intrszioni con l ss dll sciss inftti è impossibil l drivt ssum l form ' f '( ) f ( ) bst studir il sgno di f () (Vdi smpio N.) www.smths.ltrvist.org prtnto pr studir il sgno dll drivt
Prof. Emnul ANDRISANI Funzioni logritmich log f ( ) oppur log f ( ) Crttristich: il dominio è rpprsntto di vlori di ch rndono positivo l rgomnto dl logritmo pr l insim di positività ricordr ch: s > log f ( ) f ( ) s << log f ( ) f ( ) nll ricrc dgli sintoti ricordr ch: s > log f ( ) ) f ( log f ( ) f ( ) s << ) f ( log f ( ) log f ( ) f ( ) nll ricrc dgli vntuli sintoti obliqui convin inr l form di indcision con l rgol di D L Hopitl Funzioni goniomtrich Crttristich: l funzioni goniomtrich sono priodich prtnto dopo vrn dtrminto il dominio si it lo studio l rpprsntzion d un solo priodo in prticolr: sin cos tn cot si itno [ ],π sfruttndo l loro simmtri nch [,π ] si itno [,π ] oppur π, π s l funzion è dt dll somm di funzioni con priodi divrsi convin studirl nll intrvllo più mpio convin dtrminr il vlor ch l funzion ssum gli strmi dll intrvllo pr lcuni vlori di intrni dsso, d s: π f ( ), f ( ), f ( π ), f ( π ) f (π ) l insim di positività si clcol solo s l sprssion dll funzion gnr smplici disquzioni goniomtrich ssndo priodich non possono vr sintoti orizzontli o obliqui nll ricrc di mssimi di minimi rltivi di flssi, s l disquzioni rltiv llo studio dl sgno dll drivt prim scond non sono di immdit soluzion, convin usr il mtodo dll drivt succssiv.(vdi smpio N.7) www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI Esmpi Studio di funzion Esmpio D { DR / R } ( )( ) Esmpio D { / R } Ricrc dll'sintoto obliquo mtodo: f ( ) m m q ( f ( ) m) q- A.Ob. - mtodo - - - - A.Ob. - - - www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio D { / R } { / R } I.P.D-{, } Elvndo mbo i mmbri l qudrto con l condizion ch si h: qusto sistm rpprsnt grficmnt l smicirconfrnz positiv di cntro C(,) r Esmpio b D { / R } { / R } Elvndo mbo i mmbri l qudrto con l condizion ch si h: qusto sistm grficmnt rpprsnt l smiprbol ngtiv di vrtic V(,) ss di simmtri 7 www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio Dominio D { / R } { / R < } Intrszioni A(,) B(, ) Ricrc sintoti Pr l funzion non è dfinit v ricrcto l sintoto vrticl sinistro quindi A.V -. ( ) ( ) Studio dll drivt prim quindi ' D D-{ } ( ) ( ) A.O. l funzion quindi è drivbil pr < pr > pr tli vlori l drivt è positiv quindi l funzion è crscnt. Poiché pr l funzion è dfinit m non è drivbil pr ottnr ultriori informzioni sull ndmnto dll funzion in prossimità di si può clcolr: ' ( ) ciò signific ch l funzion nl punto di sciss h tngnt prlll ll ss www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio b Dominio D { / R } { / R < } Intrszioni - A (- ) non cc. A(,) Non vnno ricrct l intrszioni con l ss dll ordint prché l funzion non è dfinit pr Ricrc sintoti Pr - l funzion non è dfinit v ricrcto l sintoto vrticl sinistro ( )( ) ( )( ) quindi - A.V -. ( ) ( ) ( ) (pr inr l form di indcision si potv nch rzionlizzr) ( )( ) ( )( ) quindi - A.V. 9 www.smths.ltrvist.org
quindi A.O. Studio dll drivt prim ) ( ) ( ) ( ) ( ' D D-{ } ' ) )( ( - -. -. f. - - < quindi m M (-., -. ) M (.,.7 ) Poiché pr l funzion è dfinit m non è drivbil pr ottnr ultriori informzioni sull ndmnto dll funzion in prossimità di si può clcolr: ( ) ' ciò signific ch l funzion nl punto di sciss h tngnt prlll ll ss Prof. Emnul ANDRISANI www.smths.ltrvist.org
Esmpio ( ) ( ) - - - - - - - - - - Esmpio b / / < < R R / / < < R R 7 - - - - 7 - - Prof. Emnul ANDRISANI www.smths.ltrvist.org
Esmpio Dominio D { R / } { R / } Intrszioni ) A(, Non vnno ricrct l intrszioni con l ss dll sciss prché l quzion dl tipo è impossibil. Ricrc sintoti Nll ricrc dgli sintoti vrticli convin prim studir il sgno dll sponnt, sso prmtt di stbilir con fcilità s l sponnt tnd o - pr i vlori ch nnullno il dnomintor. N D - - quindi A.V -. quindi A.V. quindi A.O. Studio dll drivt prim ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ' D D Prof. Emnul ANDRISANI www.smths.ltrvist.org
Prof. Emnul ANDRISANI ' quindi è sciss di mssimo M(, ) Poiché pr pr l funzion è sintotic rispttivmnt solo d sinistr d dstr, pr vr un grfico più prciso in prossimità di di - convin clcolr il it dll funzion drivt pr vr informzioni sull ndmnto dll tngnti in tli punti: ( ) ' ' ( ) cioè l tngnt in tli punti h cofficint nullo 9 7 - -7 - - - - - - - 7 9 Esmpio 7 Dominio D { R / },π ito lo studio [ ] cos cos Clcolo di lcuni vlori π f ( ) f ( ) f ( π ) f ( π ) f ( π ) Studio di mssimi minimi flssi: mtodo ' cos sin sin sin ( cos ) D D ' in( cos ) f f Π Π - www.smths.ltrvist.org
quindi Π sono sciss di m M (, ) M (Π, ) mntr Π è sciss di min. C (Π,-) '' sin cos cos cos cos '' cos cos Prof. Emnul ANDRISANI cos π Π π Π - - F π, F π, mtodo ' cos sin sin sin ( cos ) D D ' sin cos Π Π ' ' sin cos cos ''() < m M (, ) ''(π ) < Π m M (Π, ) ''( π )? ' '' sin cos cos sin cos sin cos cos '''( π )? v ' sin cos cos ' v > Π min C (Π,-) π π '' sin cos cos Π π π '''( ) F, π π '''( ) F, -,,,,,,, 7, - - - www.smths.ltrvist.org