Indice 2 Unità di appendimento 1 IRNFERENZ E ERHI 3 ttività pe iniziae veso le competenze fondamentali 4 1 La ciconfeenza e il cechio Posizioni di un punto ispetto a una ciconfeenza, 5 Posizioni di una etta ispetto a una ciconfeenza, 5 ode e pati della ciconfeenza, 6 Pati del cechio, 8 Posizioni ecipoche di due ciconfeenze, 8 10 2 ngoli al cento e angoli alla ciconfeenza Relazione ta angoli al cento e alla ciconfeenza, 11 lte popietà degli angoli alla ciconfeenza, 12 13 3 Poligoni inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza Poligoni inscitti in una ciconfeenza, 13 Poligoni cicoscitti a una ciconfeenza, 14 Il caso dei tiangoli, 15 Il caso dei quadilatei, 16 Poligoni egolai, 18 19 4 Lunghezza della ciconfeenza Relazione ta ciconfeenza e diameto, 19 Lunghezza di un aco di ciconfeenza, 21 23 5 ea del cechio ea della coona cicolae, 24 ea del settoe cicolae, 25 26 he cosa hai studiato 27 Ricoda III
esecizi di consolidamento 29 1 La ciconfeenza e il cechio 36 2 ngoli al cento e angoli alla ciconfeenza 42 3 Poligoni inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza 47 4 Lunghezza della ciconfeenza 54 5 ea del cechio 64 Fai il tuo bilancio 67 ttività di ecupeo 70 Laboatoio pe lo sviluppo delle competenze ppofondimenti: 1. Il calcolo di pi geco, 70 2. Le tasfomazioni affini, 74 3. Tasfomazioni affini di una ciconfeenza: le ellissi, 78. Uso di stumenti: 1. abì e la ciconfeenza, 80. 84 Unità di appendimento 2 GEMETRI DELL SPZI E PLIEDRI 85 ttività pe iniziae veso le competenze fondamentali 86 1 Posizioni ecipoche di ette e piani nello spazio Punti, ette e piani nello spazio, 86 Posizioni ecipoche di ette nello spazio, 86 Posizioni ecipoche di piani nello spazio, 88 Posizioni ecipoche di ette e piani nello spazio, 89 Distanza di un punto e di una etta da un piano, 90 Distanza ta piani paalleli, 91 91 2 Diedi e poliedi Diedi, 91 Solidi, 93 Poliedi, 93 ngoloidi, 94 Poliedi concavi e convessi, 94 I poliedi egolai, 96 Simmetie nei poliedi egolai, 96 IV
97 3 L equivalenza delle figue solide Popietà dell equivalenza ta solidi, 98 Metodi patici pe iconoscee l equivalenza ta solidi, 99 Il pincipio di onaventua avaliei, 100 oncetto di volume, 101 Relazione ta le misue di volume e di capacità, 101 102 4 I paallelepipedi e la loo misua Il paallelepipedo etto o ettangolo, 102 alcolo della lunghezza della diagonale del paallelepipedo etto, 103 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale del paallelepipedo etto, 104 Volume del paallelepipedo etto, 106 108 5 Il cubo e la sua misua Popietà del cubo, 108 alcolo della lunghezza della diagonale del cubo, 108 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale del cubo, 109 Volume del cubo, 110 111 6 I pismi e la loo misua Popietà dei pismi, 111 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale del pisma etto, 112 Volume del pisma etto, 114 115 7 Le piamidi e la loo misua Popietà delle piamidi, 115 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale della piamide etta, 118 Volume della piamide, 120 Il tonco di piamide, 122 125 he cosa hai studiato 126 Ricoda esecizi di consolidamento 127 1 Posizioni ecipoche di ette e piani nello spazio 131 2 Diedi e poliedi 137 3 L equivalenza delle figue solide 138 4 I paallelepipedi e la loo misua 143 5 Il cubo e la sua misua 148 6 I pismi e la loo misua 155 7 Le piamidi e la loo misua 166 8 Poliedi egolai 167 Fai il tuo bilancio V
171 ttività di ecupeo 176 Laboatoio pe lo sviluppo delle competenze ppofondimenti: 1. Le tasfomazioni poiettive, 176 2. Le tasfomazioni topologiche, 180. In collegamento con te e immagine: 1. La pospettiva nell ate, 184 2. La piamide di heope, 185. 188 Unità di appendimento 3 I SLIDI DI RTZINE 189 ttività pe iniziae veso le competenze fondamentali 190 1 Il cilindo Geneazione del cilindo, 191 Sezioni del cilindo, 191 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale del cilindo, 193 Volume del cilindo, 194 Il cilindo equilateo, 195 196 2 Il cono Geneazione del cono, 196 Sviluppo e aea della supeficie lateale e totale e volume del cono, 197 Il cono equilateo, 200 Il tonco di cono, 201 204 3 La sfea Geneazione della sfea, 205 ea della supeficie sfeica, 206 Volume della sfea, 207 Posizioni di un piano ispetto a una sfea, 208 lte pati della sfea, 210 211 4 lti solidi di otazione Rotazione di un tiangolo isoscele intono alla base, 211 Rotazione di un tiangolo ettangolo intono all ipotenusa, 212 Rotazioni di un tapezio isoscele intono alle sue basi, 212 Rotazioni di un tapezio ettangolo intono alle sue basi, 214 216 he cosa hai studiato 217 Ricoda VI
esecizi di consolidamento 219 1 Il cilindo 227 2 Il cono 238 3 La sfea 245 4 lti solidi di otazione 251 Fai il tuo bilancio 255 ttività di ecupeo 257 Laboatoio pe lo sviluppo delle competenze ppofondimenti: 1. Sezioni di poliedi, 257 2. Sezioni del cono a due falde: le coniche, 260. Pogetti di iceca, 200. In collegamento con Geogafia: 1. Le coodinate geogafiche, 263. ttività: 1. ostuzioni del cilindo e del cono, 265 2. Geneae alti solidi di otazione, 266. 267 Soluzioni 271 Tavole numeiche VII
NSENZE oncetti di ciconfeenza e cechio Posizioni di un punto e di una etta ispetto a una ciconfeenza Posizioni ecipoche di due ciconfeenze ngoli al cento e angoli alla ciconfeenza Poligoni inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio co di ciconfeenza, settoe cicolae, coona cicolae e loo misue ILITÁ alcolo della lunghezza di ciconfeenze e dell aea di cechi Utilizzae oppotuni stumenti di appesentazione (iga, squada, compasso) Risolvee poblemi elativi alla ciconfeenza e cechio MPETENZE Esaminae le posizioni ecipoche di un punto e di una etta ispetto a una ciconfeenza e le posizioni ecipoche di due ciconfeenze Indicae le pati di una ciconfeenza e di un cechio e le loo popietà Espimee le popietà degli angoli al cento e alla ciconfeenza, utilizzandole nella isoluzione di poblemi Elencae i vai casi di poligoni inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza e le ispettive popietà, utilizzandole nella isoluzione di poblemi alcolae coettamente la lunghezza di una ciconfeenza e di un aco di ciconfeenza alcolae coettamente l aea di un cechio, di una coona cicolae e di un settoe cicolae = 2p = p 2 PREREQUISITI Linee del piano cuve e ette Segmenti e asse di un segmento ngoli concavi e convessi isettice di un angolo Tiangoli, quadilatei e poligoni Uso di iga, squada e compasso
Pe ciascuna questione una sola isposta è esatta. Indica quale. ome si chiama la etta a del piano su cui giace la ciconfeenza, ispetto a questa? a a a estena secante tangente In quale figua è stato disegnato coettamente il aggio della ciconfeenza? Quale delle seguenti affemazioni è coetta? In un cechio solo i punti inteni sono a uguale distanza dal cento In un cechio solo i punti sulla ciconfeenza sono a uguale distanza dal cento In un cechio non esistono punti che hanno uguale distanza dal cento ongiungendo gli estemi di un diameto con un punto qualunque della ciconfeenza che cosa si ottiene? un tiangolo ettangolo un tiangolo equilateo un tiangolo ottusangolo Molto pobabilmente la foma geometica più diffusa in natua è quella del cechio. asta pensae a come ci appaiono il Sole e la Luna nel cielo, alla coolla di molti fioi, alla sezione dei tonchi della maggio pate degli albei, alla pupilla dell occhio. Queste fome, che tu conosci così bene, sono le stesse che eano familiai anche agli uomini pimitivi ed è pobabile che la loo egolaità abbia suscitato quell inteesse e quella cuiosità da cui è cetamente deivata la costuzione della uota, così deteminante pe lo sviluppo della scienza e della tecnologia. In questa U studieemo i concetti di ciconfeenza e cechio, li analizzeemo dettagliatamente e li applicheemo alla isoluzione dei poblemi. Macel Duchamp, Ruota di bicicletta, Ready-made, Damstadt, Museo dell ssia.
U1 iconfeenza e cechio 1 La ciconfeenza e il cechio La ciconfeenza è una linea chiusa costituita dall insieme dei punti equidistanti da un punto fisso detto cento. La distanza ta un punto della ciconfeenza e il cento pende il nome di aggio. cento aggio linea chiusa ciconfeenza veso oaio veso antioaio Nella patica del disegno pe descivee una ciconfeenza si usa il compasso e nel disegnala si possono utilizzae due sensi, o vesi, di pecoenza. Un senso viene definito oaio, peché è quello che seguono le lancette dell oologio, l alto viene denominato antioaio, peché è opposto a quello oaio. Se ossevi un qualunque oggetto che uoti di 360 intono a un suo punto fisso, vedai uotae di una ciconfeenza tutti gli alti suoi punti. osì avviene pe tutti i punti mobili di una uota, pe le lancette dell oologio o anche pe una fionda. L insieme dei punti che si tovano a una distanza dal cento minoe o uguale alla misua del aggio pende il nome di cechio. Pe questo si può anche die che il cechio è la pate di piano limitata da una ciconfeenza. ciconfeenza cechio Il cechio è una supeficie piana fomata dai punti inteni a una ciconfeenza e dai punti che stanno sulla ciconfeenza stessa. Il cento del cechio coincide con il cento della ciconfeenza, che foma il suo contono o peimeto. attenzione La ciconfeenza è una linea mente il cechio è una supeficie. 4 Esecizi da pag. 29
veso le competenze fondamentali U1 Posizioni di un punto ispetto a una ciconfeenza Un qualsiasi punto del piano su cui giace la ciconfeenza può essee, ispetto a questa: esteno, quando la sua distanza d dal cento è maggioe del aggio: d > ; appatenente alla ciconfeenza, o sulla ciconfeenza, quando la sua distanza dal cento è uguale al aggio: d = ; inteno, quando la sua distanza dal cento è minoe del aggio: d <. P d P esteno d P P appatenente alla ciconfeenza P d P inteno Posizioni di un punto ispetto a una ciconfeenza esteno appatenente alla ciconfeenza inteno Distanza dal cento d > d = d < Posizioni di una etta ispetto a una ciconfeenza Una qualsiasi etta del piano su cui giace la ciconfeenza può essee, ispetto a questa: estena, quando passa al di fuoi della ciconfeenza; tangente, quando tocca la ciconfeenza in un punto, detto punto di tangenza, o punto di contatto; secante, quando taglia la ciconfeenza in due punti. a a a d punto di tangenza d = d a estena a tangente a secante Le te posizioni sono iassunte nella tabella, che ipota anche, pe ogni posizione, la elazione ta la distanza della etta dal cento della ciconfeenza e il aggio. Posizioni di una etta ispetto a una ciconfeenza estena tangente secante Punti in comune nessuno uno due Distanza dal cento d > d = d < Esecizi da pag. 29 5
U1 iconfeenza e cechio aatteistica di una etta tangente è anche quella di avee una distanza dal cento uguale al aggio e di essee pependicolae al aggio che ha come estemo il punto di tangenza. Una etta tangente a una ciconfeenza è pependicolae al aggio che unisce il punto di tangenza al cento della ciconfeenza. La distanza ta questi due punti è uguale al aggio della ciconfeenza. 90 a ode e pati della ciconfeenza Una etta secante taglia la ciconfeenza in due punti e che la dividono in due pati, dette achi, mente il segmento che congiunge i due punti e pende il nome di coda. gni coda sottende quindi due achi. aco coda aco Un aco di estemi, si indica con (sopassegnato con un achetto), pe distinguelo dalla coda che ha gli stessi estemi. ccoe peò tenee pesente che due punti su una ciconfeenza identificano sempe due achi e quindi l indicazione può essee ambigua, peché fa capie che si tatta di un aco, i cui estemi sono appesentati dai punti e, ma non specifica a quale dei due achi ci si ifeisce. Nomalmente si considea l aco di lunghezza minoe. Tuttavia, pe eliminae l ambiguità si può consideae un ulteioe punto dell aco, pe esempio, e indicae l aco nel modo seguente:. osì facendo ciascun aco può essee identificato univocamente. D D Le code di una ciconfeenza godono di alcune popietà paticolai. La pincipale è la seguente. La pependicolae condotta dal cento di una ciconfeenza a una coda divide quest ultima a metà. 6 Esecizi da pag. 30
veso le competenze fondamentali U1 Ecco una dimostazione di questa popietà. Segui con attenzione il agionamento e ceca poi di icostuilo, utilizzando un foglio di cata e senza guadae il libo. Dimostazione 1. Disegniamo una ciconfeenza di cento e consideiamo due punti e sulla ciconfeenza. 2. Uniamo i due punti e : otteniamo la coda. H 3. onduciamo da la pependicolae alla coda e chiamiamo H il punto di inconto. H =H 4. Tacciamo i aggi e. 5. Il tiangolo è isoscele, poiché i lati e sono aggi della ciconfeenza e peciò sono uguali. 6. H è l altezza elativa alla base del tiangolo e, dal momento che in un tiangolo isoscele l altezza e la mediana elativa alla base coincidono, possiamo consideae H come mediana di e scivee quindi H =H, poiché la mediana divide il lato in 2 pati uguali. Esiste anche un alta popietà delle code di una ciconfeenza. Due code di una ciconfeenza conguenti ta di loo hanno uguale distanza dal cento della ciconfeenza stessa. Le code e D della ciconfeenza a fianco sono conguenti. nche i segmenti K e H, distanze delle due code dal cento, sono conguenti. Questa popietà si può anche scivee: se = D alloa H = K H K Sapesti dimostae che nella figua H = K? D check point Quando una coda passa pe il cento, essa pende il nome di diameto, mente ciascun aco così deteminato è una semiciconfeenza. diameto semiciconfeenza semiciconfeenza Esecizi da pag. 30 7
U1 iconfeenza e cechio Pati del cechio Se oa, anziché la ciconfeenza, consideiamo il cechio, vediamo che una coda lo divide in due pati, ciascuna delle quali assume il nome di segmento cicolae a una base. Se la coda coincide con un diameto, i due segmenti cicolai sono uguali e pendono ciascuno il nome di semicechio. La pate di cechio compesa ta due code paallele si chiama segmento cicolae a due basi. segmento cicolae a una base segmento cicolae a una base semicechio semicechio segmento cicolae a due basi Posizioni ecipoche di due ciconfeenze Due ciconfeenze che giacciono sullo stesso piano possono assumee le seguenti divese posizioni ecipoche. Due ciconfeenze si dicono: estene, quando non hanno alcun punto in comune e la distanza ta i loo centi è maggioe della somma dei aggi; d d > + tangenti estenamente, quando hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza o punto di contatto, e la distanza ta i loo centi è uguale alla somma dei ispettivi aggi; d d = + echi nel gano. 8 Esecizi da pag. 33
veso le competenze fondamentali U1 secanti, quando hanno due punti in comune e la distanza ta i loo centi è minoe della somma dei ispettivi aggi; d d < + tangenti intenamente, quando hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza o punto di contatto, e la distanza ta i loo centi è uguale alla diffeenza dei ispettivi aggi; d d = intene, quando non hanno alcun punto in comune e la distanza ta i loo centi è minoe della diffeenza dei ispettivi aggi; d d < concentiche, quando sono intene e hanno lo stesso cento. La pate di piano limitata da due ciconfeenze concentiche si chiama coona cicolae. d = 0 Posizioni ecipoche di due ciconfeenze di aggi e con > estene tangenti estenamente secanti tangenti intenamente intene concentiche Punti in comune nessuno uno due uno nessuno nessuno Distanza fa i centi d > + d = + d < + d = d < d = 0 Esecizi da pag. 33 9
U1 iconfeenza e cechio 2 ngoli al cento e angoli alla ciconfeenza bbiamo visto che una etta secante taglia una ciconfeenza in due punti, pe esempio e. Se i due punti non sono gli estemi di un diameto e li uniamo con il cento, tacciamo cioè i due aggi e, otteniamo due angoli ª di cui uno minoe e uno maggioe di 180 (in alte paole, uno concavo e l alto convesso). iascuno di questi angoli si chiama angolo al cento, mente ciascuna delle due pati in cui viene diviso il cechio pende il nome di settoe cicolae. angolo al cento settoe cicolae a angolo al cento settoe cicolae Notiamo subito una popietà che lega gli angoli al cento e i coispondenti achi di ciconfeenza. Se due achi sono uguali, sono tali anche gli angoli al cento coispondenti, e vicevesa. Pe esempio, con ifeimento alla figua a fianco: se = D alloa ª = ªD D Se i due punti nei quali un cechio è tagliato da una secante sono gli estemi di un diameto, i due angoli al cento sono uguali e hanno ampiezza 180. In questo caso, come abbiamo già visto, ogni aco pende il nome di semiciconfeenza, mente ogni settoe cicolae assume quello di semicechio. semiciconfeenza 180 semicechio 180 semicechio semiciconfeenza 10 Esecizi da pag. 36
veso le competenze fondamentali U1 Se oa uniamo i due punti e con un punto qualsiasi della ciconfeenza, l angolo ª si dice angolo alla ciconfeenza. Tale angolo individua un aco di ciconfeenza e si dice che insiste sull aco. insiste sull aco Mente esiste solo un angolo al cento che insiste su un deteminato aco, sono infiniti gli angoli alla ciconfeenza che insistono su uno stesso aco. Pe esempio, nella figua, ª, ªD, ªE insistono tutti sullo stesso aco. E D Relazione ta angoli al cento e alla ciconfeenza = 2 In una ciconfeenza, l angolo al cento che insiste su un aco è il doppio dell angolo alla ciconfeenza che insiste sullo stesso aco. vveo, ogni angolo alla ciconfeenza è la metà dell angolo al cento coispondente. Ecco una dimostazione di questa elazione. Segui con attenzione il agionamento e individuane i punti centali. Poi ceca di ipodulo con cua utilizzando un foglio di cata e senza guadae il libo. 1. Disegniamo pe pima cosa una ciconfeenza, e indichiamo con e gli estemi dell aco, con il cento e con un punto sulla ciconfeenza esteno all aco. 2. Uniamo poi i punti e con e, come nella figua, e tacciamo la etta che passa pe i punti e e inconta la ciconfeenza nel punto H. H 3. onsideiamo oa la figua alla desta di H. Il tiangolo è isoscele in quanto =, peché aggi di una stessa ciconfeenza. Sono quindi uguali anche gli angoli ª e ª. Notiamo inolte che: Hª + ª = 180 peché angoli supplementai ª + ª + ª = 180 peché somma degli angoli inteni di un tiangolo Dimostazione Esecizi da pag. 36 11
U1 iconfeenza e cechio 4. Sostituiamo il valoe degli angoli tenendo conto delle elazioni tovate. tteniamo: Hª = 180 ª ª + ª = 180 ª Da queste uguaglianze icaviamo: Hª = ª + ª Ma ª è uguale a ª, quindi possiamo anche scivee: Hª = 2ª 5. Effettuando oa la stessa opeazione sulla figua alla sinista di H, otteniamo: ªH = 2 ª Ricodando che Hª = 2ª possiamo alloa scivee: Hª + ªH = 2(ª + ª) cioè: ª = 2ª H che è quello che volevamo dimostae. lte popietà degli angoli alla ciconfeenza Dal momento che pe uno stesso aco possiamo avee un solo angolo al cento ma divesi angoli alla ciconfeenza, in base alla popietà pecedente possiamo dedue che tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono su uno stesso aco sono uguali. iascuno di essi avà infatti un ampiezza pai alla metà dell angolo al cento che insiste sullo stesso aco. Tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono su uno stesso aco sono uguali ta loo. Sempe in base alla popietà pecedente, si può dedue che un angolo alla ciconfeenza che insiste su una semiciconfeenza è un angolo etto. Infatti esso è la metà dell angolo al cento coispondente che, in questo caso, è un angolo piatto, cioè di 180. α β δ γ α=β=γ= 1 2 δ Tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono su una semiciconfeenza sono angoli etti. 90 90 180 12 Esecizi da pag. 36
veso le competenze fondamentali U1 3 Poligoni inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza Poligoni inscitti in una ciconfeenza onsidea una ciconfeenza di cento e di aggio. onsidea oa un poligono i cui vetici appatengano tutti alla ciconfeenza. Un tale poligono viene definito inscitto nella ciconfeenza, mente la ciconfeenza stessa è detta cicoscitta al poligono. I vetici di questo poligono sono tutti alla stessa distanza dal cento della ciconfeenza, che in questo caso diventa anche il cento del poligono. Il poligono DE è inscitto nella ciconfeenza di cento e aggio. Tutti i segmenti,,, D, E sono uguali, peché aggi della stessa ciconfeenza. La ciconfeenza stessa è cicoscitta al poligono DE. E D esempio Non tutti i poligoni possono essee inscitti in una ciconfeenza; quando questo è possibile il poligono viene detto inscittibile in una ciconfeenza. Un poligono è inscittibile in una ciconfeenza, se ne esiste una a cui appatengono tutti i suoi vetici. Se si consideano gli assi dei lati di un poligono inscitto in una ciconfeenza, questi passano tutti pe il cento della ciconfeenza. Il cento della ciconfeenza viene petanto detto, analogamente a quanto si ea visto nel caso del tiangolo, cicocento del poligono. E D Possiamo quindi affemae che: un poligono è inscittibile in una ciconfeenza se gli assi dei suoi lati passano tutti pe uno stesso punto. Tale punto, detto cicocento, è il cento della ciconfeenza cicoscitta al poligono stesso. Tutti i tiangoli possono essee inscitti in una ciconfeenza; infatti in ogni tiangolo i te assi dei lati passano pe uno stesso punto, il cicocento. Un tiangolo è sempe inscittibile in una ciconfeenza. Il cento di questa ciconfeenza è il cicocento del tiangolo. H R Esecizi da pag. 42 13
U1 iconfeenza e cechio Poligoni cicoscitti a una ciconfeenza onsidea una ciconfeenza di cento e di aggio. onsidea oa un poligono i cui lati siano tutti tangenti a questa ciconfeenza. Un tale poligono viene definito cicoscitto alla ciconfeenza, mente la ciconfeenza stessa è detta inscitta nel poligono. I lati di questo poligono sono tutti alla stessa distanza dal cento della ciconfeenza. Il poligono DE è cicoscitto alla ciconfeenza di cento e aggio P. I punti P, Q, R, S, T sono i punti di tangenza dei lati alla ciconfeenza. Tutti i segmenti P, Q, R, S, T sono uguali, peché aggi della stessa ciconfeenza. La ciconfeenza stessa è inscitta nel poligono DE. S R E T Q P D esempio Non tutti i poligoni possono essee cicoscitti a una ciconfeenza. Quando questo è possibile il poligono viene detto cicoscittibile a una ciconfeenza. Un poligono è cicoscittibile a una ciconfeenza, se ne esiste una a cui siano tangenti tutti i suoi lati. Se si consideano le bisettici degli angoli di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza, queste passano tutte pe il cento della ciconfeenza. In questo caso il cento della ciconfeenza viene detto, analogamente a quanto capita nel caso del tiangolo, incento del poligono. Possiamo quindi affemae che: un poligono è cicoscittibile a una ciconfeenza se le bisettici dei suoi angoli passano tutte pe uno stesso punto. Tale punto, detto incento, è il cento della ciconfeenza inscitta nel poligono stesso. Tutti i tiangoli possono essee cicoscitti a una ciconfeenza; infatti in ogni tiangolo le te bisettici degli angoli passano pe uno stesso punto, l incento appunto. Un tiangolo è sempe cicoscittibile a una ciconfeenza. Il cento di questa ciconfeenza è l incento del tiangolo. L H K 14 Esecizi da pag. 42
veso le competenze fondamentali U1 Il caso dei tiangoli bbiamo visto che: un tiangolo è sempe inscittibile e cicoscittibile a una ciconfeenza. Tiangolo acutangolo: cicocento e incento I sono sempe inteni al tiangolo. I Tiangolo ettangolo: il cicocento coincide con il punto medio dell ipotenusa, l incento I è sempe inteno. I Tiangolo ottusangolo: il cicocento è esteno al tiangolo, l incento I è inteno. I Pe i tiangoli possiamo, inolte, notae le seguenti egolaità, alcune delle quali già incontate studiando i tiangoli. F In un tiangolo equilateo, l incento e il cicocento coincidono e il aggio della ciconfeenza inscitta è la metà del aggio della ciconfeenza cicoscitta. Questo isulta dal fatto che, nel tiangolo equilateo, il baicento coincide con l incento e il cicocento. Va icodato, infatti, che il baicento divide ciascuna mediana in due segmenti, uno doppio dell alto. Dunque: D I H F E H = 1 D 2 I In un tiangolo isoscele l incento e il cicocento non coincidono e si tovano sull asse della base. D H E Esecizi da pag. 42 15
U1 iconfeenza e cechio Il caso dei quadilatei I quadilatei non sempe possono essee inscitti e cicoscitti a una ciconfeenza. ccoe cecae quali sono le condizioni di inscittibilità e cicoscittibilità. Inscittibilità dei quadilatei onsidea un quadilateo qualunque D inscitto in una ciconfeenza del piano di cento e di aggio. Sai già che l angolo convesso al cento ª è il doppio del coispondente angolo alla ciconfeenza ª (ª = 2 ª ). nche l angolo concavo al cento Ô è doppio del coispondente angolo alla ciconfeenza ªD. D alta pate la somma dell angolo concavo Ô D α α β β e dell angolo convesso ª è 360. Quindi la somma di ª e ªD è 180. ioè gli angoli opposti del quadilateo sono supplementai. Questo stesso agionamento si può sviluppae pe gli alti due angoli opposti del quadilateo, Dª e Dª. Possiamo quindi concludee che: α + β = 180 un quadilateo è inscittibile in una ciconfeenza se gli angoli opposti sono supplementai. Da questa popietà geneale dei quadilatei inscittibili in una ciconfeenza si possono immediatamente tae alcune conclusioni: un quadato è sempe inscittibile in una ciconfeenza; un ettangolo è sempe inscittibile in una ciconfeenza; un tapezio isoscele è sempe inscittibile in una ciconfeenza. check point Giustifica queste affemazioni. gni quadato, ogni ettangolo e ogni tapezio isoscele sono inscittibili in una ciconfeenza. 16 Esecizi da pag. 42
veso le competenze fondamentali U1 icoscittibilità dei quadilatei onsidea un quadilateo D cicoscitto a una ciconfeenza di cento. Segna i punti di tangenza P, Q, R, S; quindi unisci con Q e con P. I due tiangoli PD e QD sono ettangoli, peché Q è pependicolae ad D, in quanto unisce il punto di tangenza con il cento della ciconfeenza, e, pe lo stesso motivo, P è pependicolae a D. I due tiangoli, olte a essee ettangoli, sono anche uguali, peché hanno uguale un cateto (Q = P = aggio della ciconfeenza) e hanno l ipotenusa in comune. Pe cui: Q D PD = QD Lo stesso agionamento si può estendee a tutti i tiangoli analoghi, pe cui: Q = R; R = S; S = P La somma dei lati opposti e D è: S + D = R + R + P + PD mente la somma degli alti due lati opposti, D e, è: D + = Q + QD + S + S Queste due somme sono uguali peché fomate da segmenti ispettivamente uguali, dunque: + D = D + R P check point Secondo te un deltoide è cicoscittibile a una ciconfeenza? Peché? Si può quindi concludee che: un quadilateo è cicoscittibile a una ciconfeenza se le somme dei lati opposti sono uguali. Da questa popietà geneale dei quadilatei cicoscittibili a una ciconfeenza si possono immediatamente tae alcune conclusioni: un quadato è sempe cicoscittibile a una ciconfeenza; un ombo è sempe cicoscittibile a una ciconfeenza. check point Giustifica queste affemazioni I I Quadati e ombi sono sempe cicoscittibili a una ciconfeenza. Esecizi da pag. 42 17
U1 iconfeenza e cechio Poligoni egolai bbiamo visto che il tiangolo equilateo e il quadato sono inscittibili e cicoscittibili a una ciconfeenza e i centi, della ciconfeenza cicoscitta e della ciconfeenza inscitta, coincidono. Questo vuol die che la ciconfeenza inscitta e la ciconfeenza cicoscitta sono concentiche. Possiamo alloa chiedeci se queste popietà valgono in geneale pe ogni poligono egolae. In effetti ogni poligono egolae può essee sempe inscitto o cicoscitto a una ciconfeenza. In ciascuno di essi l incento e il cicocento coincidono e tale punto comune pende il nome di cento del poligono. Il aggio della ciconfeenza inscitta, cioè la distanza ta il cento e uno qualunque dei lati, pende il nome di apotema. Il aggio della ciconfeenza cicoscitta, cioè la distanza ta il cento e uno qualunque dei vetici pende il nome di aggio del poligono. La ciconfeenza inscitta e quella cicoscitta sono concentiche. D I I H E D aggio del poligono F apotema Un poligono egolae è sempe inscittibile e cicoscittibile a una ciconfeenza. Il cento della ciconfeenza cicoscitta e quello della ciconfeenza inscitta coincidono. Veifica che in ogni esagono egolae il lato è uguale al aggio della ciconfeenza cicoscitta (osseva la figua). check point F Veifica che in ogni tiangolo equilateo l apotema è la metà del aggio. 60 60 60 E D 18 Esecizi da pag. 42
veso le competenze fondamentali U1 4 Lunghezza della ciconfeenza Relazione ta ciconfeenza e diameto Tutte le volte che è necessaio misuae una ciconfeenza sogono difficoltà oggettive, in quanto gli stumenti che siamo abituati a utilizzae sono stumenti diitti e igidi (iga, doppio decimeto ) che mal si adattano alle linee o alle supefici cuve. Dovendo misuae la ciconfeenza di una bottiglia o di una lattina, la cosa più semplice è pendee un pezzo di spago, dispolo ben teso intono all oggetto e taglialo della misua giusta, dopodiché distendelo su un piano così da ottenee un segmento. Tale segmento è detto ciconfeenza ettificata, e può essee misuato con la iga. Se ipetiamo la stessa opeazione con oggetti cicolai di dimensioni divese e confontiamo ciascuna ciconfeenza ettificata con il ispettivo diameto, possiamo ossevae un inteessante egolaità: la ciconfeenza ettificata è lunga te volte il diameto più una pate. Questa elazione ta lunghezza della ciconfeenza e lunghezza del suo diameto è costante. La agione sta nel fatto che tutte le ciconfeenze sono figue simili ta di loo; infatti esse hanno la stessa foma e i appoti ta linee coispondenti sono costanti. onsideiamo due ciconfeenze che hanno ispettivamente cento e e diameto d e d. Se la lunghezza di d è il doppio di quella di d, anche la lunghezza della pima ciconfeenza è il doppio della lunghezza della seconda ciconfeenza. esempio d d Dunque, in geneale, possiamo die che: il appoto ta la lunghezza di una ciconfeenza e la lunghezza del suo diameto è costante. Esecizi da pag. 47 19
U1 iconfeenza e cechio Il valoe di pi geco (p) In geneale possiamo scivee: = costante oppue = d costante d dove è la lunghezza della ciconfeenza e d è la lunghezza del diameto. Il valoe di questa costante, appesentata in simboli dalla lettea dell alfabeto geco p (pi geco) è stato a lungo cecato fin dall antichità ed è stato dimostato che si tatta di un numeo iazionale, cioè di un numeo decimale illimitato non peiodico. Il suo valoe è: π = 3,141592653589... Nei nosti calcoli peò è nomalmente sufficiente utilizzae un valoe appossimato pe difetto a meno di un centesimo, cioè 3,14. Dunque possiamo iscivee le fomule pecedenti in questo modo: = π oppue = π d o, appossimando: = 3,14 d d La lunghezza di una ciconfeenza è uguale al valoe del suo diameto moltiplicato pe π. Sapendo inolte che il diameto è il doppio del aggio, possiamo iscivee la fomula nel modo seguente: = π 2 = 2π che, appossimando, puoi scivee = 6,28. La lunghezza di una ciconfeenza è uguale alla lunghezza del suo aggio moltiplicato pe 2π. Lunghezza della ciconfeenza Fomula dietta = 2p Fomule invese Pe tovae il aggio, conoscendo la lunghezza della ciconfeenza: = 2 p Pe tovae il diameto (d = 2), conoscendo la lunghezza della ciconfeenza: d = p attenzione Nel calcolae i isultati delle vaie opeazioni pe semplicità è possibile usae la lettea π al posto di 3,14. 20 Esecizi da pag. 47
veso le competenze fondamentali U1 Il aggio di una ciconfeenza è lungo 10 m. alcola la lunghezza della ciconfeenza. poblema 1 Dati conosciuti alcoli aggio della ciconfeenza = 10 m = 2 3,14 10 = 62,8 m oppue Dati da tovae = 2 π 10 = 20π m lunghezza della ciconfeenza Risposta Fomula da applicae La lunghezza della ciconfeenza = 2π è 62,8 m oppue 20π m. Una ciconfeenza misua 37,68 cm. alcola la lunghezza del aggio. poblema 2 Dati conosciuti alcoli ciconfeenza = 37,68 cm = 37,68 = 6 cm 2 3,14 Dati da tovae lunghezza del aggio Fomula da applicae = 2 π Risposta La lunghezza del aggio è 6 cm. Lunghezza di un aco di ciconfeenza Pe calcolae la lunghezza di un aco di ciconfeenza bisogna tene pesente che l ampiezza degli angoli al cento e la lunghezza degli achi coispondenti sono gandezze diettamente popozionali. ioè, se si addoppia l ampiezza di un angolo al cento, addoppia anche la lunghezza del coispondente aco, se si tiplica l ampiezza di un angolo al cento, tiplica anche la lunghezza del coispondente aco ecc. Pe cui, tenendo pesente che all angolo al cento di ampiezza 360 coisponde l intea ciconfeenza, possiamo scivee la tabella: STP icoda Due gandezze sono diettamente popozionali se addoppiando, tiplicando... la pima gandezza addoppia, tiplica... anche la seconda. Lunghezza lunghezza della ciconfeenza () lunghezza dell aco (l) a cui coisponde un angolo al cento α mpiezza dell angolo al cento 360 α Esecizi da pag. 52 21
U1 iconfeenza e cechio ssevando la tabella, possiamo scivee la popozione: : l = 360 : α da cui si icava: α l = α = 3 60 36 0 α l La lunghezza di un aco di ciconfeenza si ottiene dividendo la lunghezza della ciconfeenza pe 360 e moltiplicando il isultato pe l ampiezza dell angolo al cento coispondente all aco, espessa in gadi. Un aco di ciconfeenza di ampiezza 60 è pate di una ciconfeenza di 2 m di aggio. alcola la sua lunghezza. poblema Dati conosciuti aggio della ciconfeenza = 2 m ampiezza dell aco = 60 Dati da tovae lunghezza dell aco Fomule da applicae = 2π l = α 3 60 alcoli = 2 3,14 2 = 12,56 m 60 = 12,56 = 3 60 = 12,56 1 = 2,09 m α 6 oppue l = 2 π 2 = 4π m 1 2 60 l = 4π = 2 3 60 3 π m 6 3 Risposta La lunghezza dell aco di ciconfeenza è 2,09 m, oppue 2 π m. 3 l cuiosità Pe misuae il diameto di supefici cicolai si usano appositi stumenti. Uno di essi è il calibo a cusoe, sopa, l alto è il micometo, detto anche calibo Palme. Mente il pimo seve pe misuae diameti fino ad alcuni centimeti, il micometo seve pe misuae diameti di millimeti e fazioni di millimeti. 22 Esecizi da pag. 52
veso le competenze fondamentali U1 5 ea del cechio Pe misuae l aea del cechio esistono le stesse difficoltà incontate pe la ciconfeenza, dal momento che con un unità di misua come il centimeto quadato isulta poco agevole misuae supefici a contono cuvilineo. Potemmo tentae di appossimae l aea del cechio con il sistema della quadettatua usato pe misuae le supefici a contono cuvilineo, tuttavia è più utile sfuttae i isultati che abbiamo tovato nel caso dei poligoni egolai. Hai visto che l aea di un poligono egolae inscitto in un cechio si tova moltiplicando il peimeto pe l apotema e dividendo il isultato pe due. Hai anche visto che aumentando il numeo dei lati di un poligono egolae questo diventa sempe più simile a un cechio. Se ossevi con attenzione la figua qui sotto, puoi facilmente endeti conto che, man mano che aumenta il numeo dei lati dei poligoni egolai inscitti in un cechio, i loo peimeti tendono a confondesi con la ciconfeenza e i ispettivi apotemi (a 1, a 2, a 3 ) tendono a aggiungee la dimensione del aggio. Pe lo stesso motivo anche le ispettive aee si appossimano sempe più all aea del cechio. Dal momento che l aea dei poligoni egolai si tova con la fomula: poligono = peimeto apotema 2 e che, mente il peimeto tende alla ciconfeenza, l apotema tende al aggio, possiamo scivee: cechio = peimeto aggio = 2 2 a 3 a 1 a 2 Ma la lunghezza della ciconfeenza è uguale a 2π, quindi, sostituendo, si ha: cechio = 2π = 2π 2 =π 2 2 2 L aea del cechio si ottiene moltiplicando il quadato del aggio pe π. Questo isultato può essee anche espesso così: il appoto ta l aea di un cechio e il quadato della misua del suo aggio è costante e vale π. 2 =π ea del cechio Fomula dietta = p 2 Fomula invesa Pe tovae il aggio conoscendo l aea: = p Esecizi da pag. 54 23
U1 iconfeenza e cechio Il aggio di un cechio è lungo 10 m. alcola l aea del cechio. poblema 1 Dati conosciuti alcoli aggio = 10 m = 3,14 10 2 = 3,14 100 = 314 m 2 oppue = π 10 2 = 100π m 2 Dati da tovae aea del cechio Fomula da applicae Risposta = π 2 L aea del cechio è 314 m 2, oppue 100π m 2. L aea di un cechio misua 12,56 cm 2. Tova la lunghezza del aggio del cechio. poblema 2 Dati conosciuti alcoli aea del cechio = 12,56 cm 2 = 2,56 1 = 4 = 2 cm 3,14 Dati da tovae aggio del cechio Fomula da applicae = π Risposta La lunghezza del aggio del cechio è 2 cm. ea della coona cicolae L aea della coona cicolae si ottiene sottaendo dall aea del cechio maggioe l aea del cechio minoe. Indicando con R il aggio del cechio maggioe e con il aggio del cechio minoe, l aea della coona cicolae è data da: = π R 2 π 2 che possiamo anche scivee: = π (R 2 2 ) R L aea della coona cicolae si ottiene sottaendo l aea del cechio minoe dall aea del cechio maggioe. 24 Esecizi da pag. 60
veso le competenze fondamentali U1 ea del settoe cicolae L aea di un settoe cicolae si tova con un metodo analogo a quello usato pe calcolae la lunghezza di un aco di ciconfeenza. Infatti, l ampiezza degli angoli al cento e l aea dei settoi cicolai coispondenti sono gandezze diettamente popozionali. Pe cui, tenendo pesente che all angolo al cento di ampiezza 360 coisponde l inteo cechio, possiamo compilae la tabella: ea aea del cechio () aea del settoe cicolae ( S ) a cui coisponde un angolo al cento α mpiezza dell angolo al cento 360 α ssevando la tabella possiamo scivee la popozione: : S = 360 : α da cui si icava: S = α 3 60 Dunque la fomula dietta pe il calcolo dell aea del settoe cicolae è: π 2 S = α 3 60 L aea del settoe cicolae si ottiene dividendo l aea del cechio pe 360 e moltiplicando il isultato ottenuto pe l ampiezza dell angolo che definisce il settoe, espessa in gadi. α l Ma icodando che: cechio = 2 e sostituendo a la lunghezza l dell aco, si ottiene: S = l 2 che è analoga alla fomula pe tovae l aea di un tiangolo. L aea del settoe cicolae si ottiene moltiplicando la lunghezza dell aco pe quella del aggio e dividendo il podotto ottenuto pe due. Esecizi da pag. 61 25